Wiskunde - Graad 11 KABV

Hierdie boek is oorgeneem van die oorsponklike boek: Everything Maths and Science series deur Siyavula Education. Die oorsponklike werk kan afgelaai word van www.everythingmaths.co.za.

KENNISGEWING OOR KOPIEREG

Jou vryheid om wettig te kopieer, te meng en die boek te weer te gebruik:

Hierdie boek is uitgegee onder di CC-BY 4.0 lisensie.

Jy word toegelaat en aangemoedig om die inhoud van die boek te kopieer, vermeng en te hergebruik. Ons nooi jou uit om afdelings, vrae, sketse, enige deel van die boek of die hele boek te kopieer. Jy kan dus jou eie weergawe van die boek daarstel. Jy kan dit op jou eie webbladsy laai, 'n e-boek maak, studie notas opstel, lesplanne voorberei, dit vertaal, dit verryk met videos of dit oorskryf om te pas by jou eie leerplan.

Die enigste beperking is dat jy erkenning moet gee aan Siyavula Education as die oorsponklike skrywer, die Everything Maths and Science handboek as die oorsponklike bron waarvan jy kopieer en jou eie weergawe maak en dat jy vrylik werk kan aflaai van www.siyavula.com.

Everything Maths and Everything Science is handelsmerke van Siyavula Education en kan nie gebruik word sonder toestemming van Siyavula Education nie. Geen eis kan gemaak word dat Siyavula die inhoud wat gekopieer is van die boek, onderskryf nie.

Vir meer inligting omtrent Creative Commons Attribution 4.0 Unported (CC BY 4.0) lisensie, gaan na http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

Hoofstuk 1: Eksponente en wortels

Bespreek die getalsisteem; verduidelik die verskil tussen reële en nie- reële getalle.

Ontmoedig die leerders om sakrekenaars te gebruik in hierdie hoofstuk.

Algemene wanopvatting: (irrasionaal) ≈ (rasionaal).

Verduidelik dat die vierkantswortel van ‘n negatiewe getal nie- reëel is.

Bespreek die verheffing van ’n negatiewe getal tot ’n ewe en tot ’n onewe mag.

Verduidelik dat wortelvorme ‘n spesiale notasie of skryfwyse vir rasionale eksponente is.

Sleutelstrategie in die manipulasie van eksponensiële uitdrukkings: druk die grondtal uit in terme van sy priemfaktore.

Beklemtoon die beginsel van ekwivalensie en die gebruik van die optellingsinverse in die vereenvoudiging van vergelykings (en nie eenvoudig ‘neem die term na die ander kant toe’ nie).

Rasionalisering van die noemers is ‘n handige hulpmiddel wanneer daar met spesiale hoeke in Trigonometrie gewerk word.

Leerders behoort hulle finale antwoorde as gemengde breuke te skryf.

Antwoorde behoort altyd geskryf te word met positiewe eksponente.

1.1 Hersiening

Die getallestelsel

Die diagram hieronder wys die struktuur van die getallestelsel:

Video: 25B4

Ons gebruik die volgende definisies:

: natuurlike getalle is

: telgetalle is

: heelgetalle is

: rasionale getalle is getalle wat geskryf kan word as waar en heelgetalle is en , of as 'n eindige of repeterende desimale getal.

Voorbeelde:

: irrasionale getalle is getalle wat nie geskryf kan word as 'n breuk (met die teller en noemer beide heelgetalle) nie. Irrasionale getalle sluit ook in desimale getalle wat nie termineer of repeteer nie.

Voorbeelde:

: reële getalle sluit alle rasionale getalle en irrasionale getalle in.

: nie-reële getalle of imaginêre getalle is getalle wat nie reëel is nie.

Voorbeelde:

Video: 25B5

Oefening 1.1

Gebruik die lys van woorde hieronder om elk van die onderstaande getalle te beskryf (in sommige gevalle sal meer as een woord pas):

Natuurlik ()

Tel ()

Heel ()

Rasionaal ()

Irrasionaal ()

Reëel ()

Nie-reëel ()

Eksponentwette

Ons gebruik eksponensiële notasie om aan te dui dat 'n getal of veranderlike 'n aantal kere met homself vermenigvuldig word. Die eksponent, ook genoem die indeks of mag, dui aan hoeveel kere die vermenigvuldiging herhaal word.

Voorbeelde:

Vir , sê ons word gekwadreer en vir , sê ons word verhef tot die derde mag. In die laaste voorbeeld het ons ; ons sê is verhef tot die sesde mag.

Ons het ook die volgende definisies vir eksponente. Dit is belangrik om te onthou dat ons altyd die finale antwoord met 'n positiewe eksponent moet neerskryf.

( omdat ongedefiniëer is)

( omdat ongedefiniëer is)

Voorbeelde:

Ons gebruik die volgende reëls om met getalle in eksponentvorm te werk

waar , en .

Video: 25BR

Uitgewerkte voorbeeld 1: Eksponentwette

Vereenvoudig die volgende:

Uitgewerkte voorbeeld 2: Eksponentwette

Vereenvoudig:

Vereenvoudig na 'n vorm wat gefaktoriseer kan word

Haal 'n gemene faktor uit

Kanselleer die gemene faktor en vereenvoudig

Video: 25BS

Oefening 1.2

Vereenvoudig die volgende:

1.2 Rasionale eksponente en wortels

Die wette van eksponente kan uitgebrei word om ook die rasionale getalle in te sluit. 'n Rasionale getal is enige getal wat geskryf kan word as 'n breuk met 'n heelgetal teller en 'n heelgetal noemer. Ons het ook die volgende definisies vir werk met rasionale eksponente.

As , dan

waar , en , .

Vir , sê ons is die vierkantswortel van en vir , sê ons is die derdemagswortel van . Vir , sê ons is die vyfmagswortel van .

Wanneer ons met eksponente werk, verwys 'n wortel na 'n getal wat herhaaldelik met homself vermenigvuldig kan word om 'n nuwe getal te kry. Die diagram hieronder bevat die terminologie van wortelvorme.

Video: 25CN

Die wortelteken en graad dui aan watter wortel word bepaal. Die determinant is die getal onder die wortelteken.

As 'n ewe natuurlike getal is, moet die determinant positief wees, anders sal die wortels nie-reëel wees. Byvoorbeeld, as , maar die wortels van is nie-reëel aangesien .

As 'n onewe natuurlike getal is, dan kan die determinant positief of negatief wees. Byvoorbeeld, aangesien en aangesien .

Dit is ook moontlik dat daar meer as een wortel van 'n getal is. Byvoorbeeld, en , dus is beide en vierkantswortels van .

'n Wortelvorm gee 'n irrasionale getal as antwoord. Irrasionale getalle is getalle wat nie geskryf kan word as 'n breuk met 'n heelgetal as teller asook 'n heelgetal as noemer nie. Byvoorbeeld, , , is wortelvorme.

Uitgewerkte voorbeeld 3: Rasionale eksponente

Skryf elk van die volgende as 'n wortel en vereenvoudig waar moontlik:

nie-reëel

Video: 25CP

Uitgewerkte voorbeeld 4: Rasionale eksponente

Vereenvoudig sonder om 'n sakrekenaar te gebruik:

Skryf die breuk met positiewe eksponente in die noemer

Vereenvoudig die noemer

Neem die vierkantswortel

Video: 25CQ

Oefening 1.3

Vereenvoudig die volgende en skryf die antwoorde met positiewe eksponente:

Vereenvoudig:

Gebruik die wette om die volgende uitdrukking te herskryf as 'n mag van :

Vereenvoudiging van wortelvorme

Ons het in die vorige voorbeelde en oefeninge gesien dat rasionale eksponente naby verwant is aan wortelvorme. Dit is gewoonlik sinvol om 'n wortelvorm in eksponent-notasie te skryf, aangesien dit jou toelaat om die eksponentwette te gebruik.

Gebruik die lys van woorde hieronder om elk van die volgende getalle te beskryf (in sommige gevalle sal meer as een woord pas).

Uitgewerkte voorbeeld 5: Vereenvoudiging van wortelvorme

Dui aan dat:

Voorbeelde:

Gelyksoortige en ongelyksoortige wortelvorme

Twee wortelvorme en is gelyksoortige wortelvorme as , anders word hulle ongelyksoortige wortelvorme genoem. Byvoorbeeld, en is gelyksoortige wortelvorme aangesien . Voorbeelde van ongelyksoortige wortelvorme is aangesien .

Eenvoudigste wortelvorm

Ons kan soms wortelvorme vereenvoudig deur die determinant te skryf as 'n produk van faktore wat verder vereenvoudig kan word, deur gebruik te maak van .

Video: 25D4

Uitgewerkte voorbeeld 6: Eenvoudigste wortelvorm

Skryf die volgende in die eenvoudigste wortelvorm

Skryf die determinant as 'n produk van priemfaktore

Vereenvoudig deur middel van

Some kan 'n wortelvorm nie vereenvoudig word nie. Byvoorbeeld, is reeds in die eenvoudigste vorm.

Uitgewerkte voorbeeld 7: Eenvoudigste wortelvorm

Skryf die volgende in die eenvoudigste wortelvorm

Skryf die determinant as 'n produk van priemfaktore

Vereenvoudig deur middel van

Uitgewerkte voorbeeld 8: Eenvoudigste wortelvorm

Vereenvoudig:

Skryf die determinantgetalle as 'n produk van priemfaktore

Vereenvoudig deur middel van

Vereenvoudig en skryf die finale antwoord

Uitgewerkte voorbeeld 9: Eenvoudigste wortelvorm

Vereenvoudig:

Faktoriseer die determinante waar moontlik

Vereenvoudig deur middel van

Vereenvoudig en skryf die finale antwoord

Uitgewerkte voorbeeld 10: Eenvoudigste wortelvorm met breuke

Skryf in die eenvoudigste wortelvorm:

Faktoriseer die determinante waar moontlik

Vereenvoudig deur middel van

Vereenvoudig en skryf die finale antwoord

Oefening 1.4

Vereenvoudig die volgende en skryf die antwoorde met positiewe eksponente:

Vereenvoudig die volgende:

Rasionalisering van die noemers

Dit is gewoonlik makliker om te werk met breuke wat rasionale noemers het, eerder as wortelvormnoemers. Deur die noemer te rasionaliseer, verander ons 'n breuk met 'n wortelvorm in die noemer tot 'n breuk wat 'n rasionale noemer het.

Uitgewerkte voorbeeld 11: Rasionalisering van die noemer

Rasionalisering van die noemer:

Vermenigvuldig die breuk met

Let op dat , dus het die waarde van die breuk nie verander nie.

Vereenvoudig die noemer

Die term in die noemer is verander van 'n wortelvorm na 'n rasionale getal. Ons verkies om uitdrukkings te skryf met die wortelvorm in die teller.

Uitgewerkte voorbeeld 12: Rasionalisering van die noemer

Skryf die volgende met 'n rasionale noemer:

Vermenigvuldig die breuk met

Om die wortelvorm uit die noemer te haal, moet ons eers die breuk vereenvoudig met 'n uitdrukking wat 'n verskil in vierkante in die noemer tot gevolg sal hê.

Vereenvoudig die noemer

Video: 25DC

Oefening 1.5

Rasionaliseer die noemer in elk van die volgende:

1.3 Oplos van wortelvormvergelykings

Ons moet ook vergelykings wat wortelvorme bevat, kan oplos.

Video: 25DR

Uitgewerkte voorbeeld 13: Vergelykings met wortelvorme

Los op vir :

Skryf in eksponensiële notasie

Deel beide kante van die vergelyking deur en vereenvoudig

Vereenvoudig die eksponente

Kontroleer die oplossing deur die antwoord terug te stel in die oorspronklike vergelyking

Uitgewerkte voorbeeld 14: Vergelykings met wortelvorme

Los op vir :

Faktoriseer

Los op vir beide faktore

Die nulprodukwet bepaal: as dan of .

Dus

of

Kontroleer die oplossing deur beide antwoorde in die oorspronklike vergelyking te stel

As :

As :

Skryf die finale antwoord

Die oplossing van is of .

Uitgewerkte voorbeeld 15: Vergelykings met wortelvorme

Los op vir :

Skryf die vergelyking met slegs die wortelvorm aan die linkerkant

Gebruik die optellingsinverse om al die ander terme aan die regterkant en slegs die wortelvorm aan die linkerkant te kry.

Kwadreer beide kante van die vergelyking

Kontroleer die oplossing deur die antwoord terug te stel in die oorspronklike vergelyking

As :

Skryf die finale antwoord

Die oplossing van is .

Oefening 1.6

Los die onbekende veranderlike op (onthou om te kontroleer dat die oplossing geldig is):

1.4 Toepassings van eksponentuitdrukkings

Daar is baie regte wêreld toepassings wat eksponente bevat. Byvoorbeeld, eksponentuitdrukkings word gebruik om bevolkingsgroei te bepaal en hulle word ook gebruik in finansies om verskillende tipes rente te bereken.

Uitgewerkte voorbeeld 16: Toepassings van eksponentuitdrukkings

'n Soort bakterie het 'n baie hoë eksponensiële groeitempo teen % elke uur. As daar bakterieë is, bepaal hoeveel daar sal wees na vyf uur, na een dag en na een week.

Eksponensiële groei formule

Dus, in hierdie geval: waar aantal ure.

In ure

finale bevolking =

In dag = ure

finale bevolking =

in week = ure

finale bevolking =

Let daarop dat die antwoord gegee word in wetenskaplike notasie aangesien dit 'n baie groot getal is.

Uitgewerkte voorbeeld 17: Toepassings van eksponentuitdrukkings

'n Baie seldsame spesie diepseevis het 'n besondere lang lewenssiklus en hulle teel baie selde aan. As daar 'n totaal van van hierdie soort vis is en hulle aanwastempo is % elke maand, hoeveel van hierdie visse sal daar wees na 'n halwe jaar? Wat sal die visbevolking wees na tien jaar en na 'n honderd jaar?

Eksponensiële groei formule

Dus,in hierdie geval: waar aantal maande.

'n Halwe jaar = maande

In jare = maande

In jare = maande

Let daarop dat hierdie antwoord ook in wetenskaplike notasie gegee word aangesien dit 'n baie groot getal is.

Oefening 1.7

Nqobani belê in 'n rekening wat 'n grootsom uitbetaal aan die einde van jaar. As hy kry aan die einde van die periode, watter saamgestelde rentekoers het die bank hom aangebied? Gee jou antwoord korrek tot een desimale plek.

Die huidige bevolking van Johannesburg is en die gemiddelde bevolkingsgroei in Suid-Afrika is % p.a. Hoe groot kan die stadsbeplannners verwag sal die bevolking van Johannesburg wees na jaar?

Abiona sit boeke in 'n stapel op haar lessenaar. Die volgende dag tel sy die boeke in die stapel en sit dan nog net soveel boeke bo-op die stapel neer. Na hoeveel dae sal sy 'n stapel van boeke hê?

'n Tipe skimmel het 'n baie hoë eksponensiële groeitempo van % per uur. As daar aanvanklik individuele skimmelselle in die bevolking is, bepaal dan hoeveel daar sal wees in ure.

1.5 Opsomming

Die getalsisteem:

: natuurlike getalle is

: telgetalle is

: heelgetalle is

: rasionale getalle is getalle wat geskryf kan word as waar en heelgetalle is en , of as 'n eindigende of as 'n repeterende desimale getal.

: irrasionale getalle is getalle wat nie geskryf kan word as 'n breuk (met die teller en noemer beide heelgetalle) nie. Irrasionale getalle sluit ook in desimale getalle wat nie termineer nie, of nie repeteer nie.

: reële getalle sluit alle rasionale getalle en irrasionale getalle in.

: nie-reële getalle of imaginêre getalle is getalle wat nie-reëel is.

Definisies:

( omdat ongedefiniëer is)

( omdat ongedefiniëer is)

Eksponentwette:

waar , en .

Rasionale eksponente en wortelvorme:

As , dan

waar , en , .

Vereenvoudiging van wortelvorme:

Oefening 1.8

Vereenvoudig so ver as moontlik:

Vereenvoudig:

Vereenvoudig die volgende:

Herskryf die volgende uitdrukking as 'n mag van :

Brei uit:

Rasionaliseer die noemer:

Skryf as 'n enkele term met 'n rasionale noemer:

Skryf in die eenvoudigste wortelvorm:

Brei uit en vereenvoudig:

Vereenvoudig, sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

Vereenvoudig:

Rasionaliseer die noemer:

Evalueer sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

Bewys (sonder die gebruik van 'n sakrekenaar):

Vereenvoudig volkome en toon al jou stappe (moenie 'n sakrekenaar gebruik nie):

Vul die wortelvorm aan die regterkant in wat die volgende bewering sal waar maak:

Los op vir die onbekende veranderlike:

Wys dat gelyk is aan

Los vervolgens op

Hoofstuk 2: Vergelykings en ongelykhede

Bespreek terminologie.

Beklemtoon die goue reël vir die oplos van vergelykings: wat jy doen aan die linkerkant (LK), moet jy ook doen aan die regterkant (RK). Die LK moet altyd gelyk wees aan die RK.

Beklemtoon die gebruik van ekwivalensie en van die optellingsinverse in vergelykings (en nie ‘neem die term na die anderkant toe’ nie).

Grafieke is ingesluit om leerders te help om die antwoorde te visualiseer. Moedig leerders aan om vinnige sketse te trek selfs al word ’n grafiek nie vereis in die oplossing nie.

Moedig leerders aan om te kontroleer dat ‘n uitdrukking korrek gefaktoriseer is deur uitbreiding van die hakies om weer uit te kom by die oorspronklike uitdrukking.

Moedig leerders aan om hulle antwoorde (oplossings) te toets deur dit terug te substitueer in die oorspronklike vergelyking in en seker te maak dat die oplossing die vergelyking bevredig.

Beide metodes vir die voltooiing van die vierkant is ingesluit:

Neem die vierkantswortel aan beide kante van die vergelyking - hierdie is die makliker en voorkeurmetode.

Onthou om in te sluit sodat een oplossing nie verloor word nie.

Faktorisering - hierdie metode word in Graad 12 gebruik vir die vergelyking van ’n sirkel.

‘n Algemene fout wat deur leerders gemaak word, is om die kwadratiese formule te skryf as .

In die ondersoek oor die aard van die wortels, moet leerders geleentheid gegee word om die verband te ontdek tussen die antwoorde wat verkry word met die gebruik van die kwadratiese formule en die waarde van die diskriminant.

Woordprobleme: moedig leerders aan om hulle vaardigheid in die interpretasie van woordprobleme te ontwikkel deur sketse te trek en tabelle te maak van die inligting wat gegee word.

Herinner leerders om nie ‘n ongelykheid as ‘n vergelyking te hanteer nie.

Beklemtoon dat die kritiese waardes nie die oplossing van ’n ongelykheid is nie, hulle dui die punte aan waar die tekens verander. Dit word benodig om ’n getallelyn-tabel van tekens op te stel.

Herinner leerders dat wanneer hulle ‘n ongelykheid met ‘n negatiewe getal vermenigvuldig of deel, die rigting van die ongelykheidsteken verander.

2.1 Hersiening

Die oplos van kwadratiese vergelykings deur faktorisering

Terminologie |
Uitdrukking | 'n Uitdrukking is 'n term of groep terme bestaande uit getalle, veranderlikes en basiese operatore ().
Vergelyking | 'n Wiskundige stelling wat sê dat twee uitdrukkings gelyk is.
Ongelykheid | 'n Ongelykheid dui die verhouding tussen twee uitdrukkings aan ().
Oplossing | 'n Waarde of stel waardes wat 'n vergelyking/ongelykheid bevredig.
Wortel | Die waarde van wat so is dat .

'n Kwadratiese vergelyking is 'n tweedegraadse vergelyking (een veranderlike het 'n eksponent van ).

Die volgende is voorbeelde van kwadratiese vergelykings:

'n Kwadratiese vergelyking het maksimum twee oplossings (of wortels). Daar is egter sommige gevalle waar die vergelyking slegs een of dalk geen oplossings het nie.

Die grafiek van 'n kwadratiese vergelyking met twee wortels: en .

Die grafiek van 'n kwadratiese vergelyking met een wortel: .

Die grafiek van 'n kwadratiese vergelyking met geen reële wortels nie.

Een metode vir die oplos van kwadratiese vergelykings is faktorisering. Die standaardvorm van 'n kwadratiese vergelyking is . Dit dien as die beginpunt vir die oplos van enige vergelyking m.b.v. faktorisering.

Dit is baie belangrik om te onthou dat een kant van die vergelyking gelyk aan nul moet wees.

Nulprodukwet

Los die volgende vergelykings op:

Vind nou die waarde van veranderlike in elk van die volgende:

Om die twee wortels te kry, gebruik ons die feit dat indien , is en/of . Dit staan bekend as die Nulprodukwet.

Metode vir die oplos van kwadratiese vergelykings

Herskryf die vergelyking in die standaardvorm .

Deel die hele vergelyking deur 'n gemene faktor van die koëffisiënte om 'n eenvoudiger uitdrukking te verkry in die vorm , waar , en geen gemeenskaplike faktore het nie.

Faktoriseer na die vorm .

Die twee oplossings is

Toets altyd jou antwoorde deur dit terug te stel in die oorspronklike vergelyking.

Video: 25GT

Uitgewerkte voorbeeld 1: Die oplos van kwadratiese vergelykings deur faktorisering

Los op vir :

Herskryf die vergelyking in die vorm

Brei die hakies uit en trek van beide kante van die vergelyking af

Faktoriseer

Los beide faktore op

of

Die grafiek wys die wortels van die vergelyking of . Hierdie grafiek vorm nie deel van die antwoord nie, dit word net getoon vir duidelikheid.

Toets die oplossing deur dit terug te stel in die oorspronklike vergelyking

Skryf die finale oplossing

of

Uitgewerkte voorbeeld 2: Die oplos van kwadratiese vergelykings deur faktorisering

Los die vergelyking op.

Daar is geen gemeenskaplike faktore nie

Die kwadratiese vergelyking is reeds in die standaardvorm

Faktoriseer

Ons moet die kombinasie van faktore van bepaal wat die middelterm sal lewer.

Ons vind dat lewer 'n middeltermkoëffisiënt van , so ons kan die vergelyking as volg faktoriseer

Vind beide wortels

Ons het

of

Toets die oplossing deur dit terug te stel in die oorspronklike vergelyking

Skryf die finale oplossing

of .

Uitgewerkte voorbeeld 3: Die oplos van kwadratiese vergelykings deur faktorisering

Los op vir :

Faktoriseer deur verskil van vierkante

Ons weet dat

Ons kan die vergelyking as skryf

Faktoriseer

Selfs al is daar nie vir 'n skets gevra nie, is dit dikwels baie handig om die grafiek te teken. Ons kan sê en 'n rowwe sketsgrafiek maak om te sien waar die wortels lê.

Toets die oplossing deur dit terug te stel in die oorspronklike vergelyking

Skryf die finale oplossing

Uitgewerkte voorbeeld 4: Die oplos van kwadratiese vergelykings deur faktorisering

Los op vir :

Bepaal die beperkings

Die beperkings is die waardes vir wat daartoe sal lei dat die noemer gelyk is aan , en die breuk ongedefiniëerd sal maak. Daarom, en .

Bepaal die kleinste gemene noemer

Bepaal die kleinste gemene noemer .

Vermenigvuldig elke term in die vergelyking met die kleinste gemene noemer en vereenvoudig

Faktoriseer en los die vergelyking op

Toets die oplossing deur dit terug te stel in die oorspronklike vergelyking

Skryf die finale oplossing

of

Uitgewerkte voorbeeld 5: Kwadreer beide kante van die vergelyking

Los op vir :

Kwadreer beide kante van die vergelyking

Voor ons beide kante van die vergelyking kwadreer, moet ons seker maak dat die wortel die enigste term aan die een kant van die vergelyking is en al die ander terme aan die ander kant, anders word die vergelyking net meer ingewikkeld om op te los.

Brei die hakies uit en vereenvoudig

Faktoriseer en los op vir

Toets die oplossing deur dit terug te stel in die oorspronklike vergelyking

Om die oplossing te vind, het ons beide kante van die vergelyking gekwadreer. Deur 'n uitdrukking te kwadreer verander ons negatiewe waardes na positiewe waardes wat ongeldige antwoorde by die oplossing kan voeg. Daarom is dit baie belangrik om te toets dat al die antwoorde geldig is deur dit terug te stel in die oorspronklike vergelyking.

As : is geldig.

As : is nie geldig nie.

Skryf die finale oplossing

Video: 25GV

Oefening 2.1

Los die volgende kwadratiese vergelykings op deur faktorisering. Antwoorde mag in wortelvorm gelos word waar nodig.

Toets : Oplossing is ongeldig.

Toets : Oplossing is geldig.

Finale antwoord: .

Toets : Oplossing is geldig.

Toets : Oplossing is ongeldig.

Finale antwoord: .

Toets : Oplossing is geldig.

Toets : Oplossing is ongeldig.

Finale antwoord: .

Beperkings: ,

Vermenigvuldig beide kante met :

Volgens die beperking , daarom .

Beperkings: .

Vermenigvuldig beide kante : wat altyd waar is, dus , .

Beperkings: ,

Beperkings: ,

Beperkings: ,

Toets : Oplossing is geldig.

Toets : Oplossing is geldig.

Finale antwoord: of .

2.2 Vierkantsvoltooiing

Vierkantsvoltooiing

Kan jy elk van die onderstaande vergelykings oplos deur twee verskillende metodes te gebruik?

Faktorisering van die laaste vergelyking is nogal moeilik. Gebruik die vorige voorbeelde as 'n wenk en probeer om die verskil tussen twee vierkante te verkry.

Video: 25HR

Ons het gesien dat uitdrukkings van die vorm as die verskil van vierkante bekend staan en as volg gefaktoriseer word . Hierdie eenvoudige faktorisering lei tot 'n verdere tegniek vir die oplos van kwadratiese vergelykings wat as vierkantsvoltooiing bekend staan.

Beskou die vergelyking . Ons kan nie maklik hierdie vergelyking faktoriseer nie. Wanneer ons die volgende volkome vierkant uitbrei en die terme beskou, sien ons dat .

Indien ons die twee vergelykings vergelyk, sien ons dat slegs die konstante terme verskil. Ons kan 'n volkome vierkant skep deur dieselfde hoeveelheid by die oorspronklike vergelyking by te tel en af te trek:

Metode 1: Vind die vierkantswortel aan beide kante van die vergelyking om vir op te los.

Baie belangrik: Onthou om altyd 'n positiewe en negatiewe antwoord in te sluit as jy 'n vierkantswortel neem, aangesien en .

Metode 2: Faktoriseer die uitdrukking as verskil van vierkante deur gebruik te maak van .

Ons kan skryf

Die oplossing is dan of

Metode vir die oplos van kwadratiese vergelykings deur vierkantsvoltooiing

Skryf die vergelyking in die standaardvorm .

Maak die koëffisiënt van die -term gelyk aan deur die hele vergelyking te deel met .

Neem die helfte van die koëffisiënt van die term en kwadreer dit; tel dit nou by en trek dit van die vergelyking af sodat dit wiskundig korrek bly. In bostaande voorbeeld het ons bygetel om die vierkant te votooi en toe afgetrek, sodat die vergelyking waar bly.

Skryf die linkerkant as die verskil van twee vierkante.

Faktoriseer die vergelyking in terme van die verskil van vierkante en los vir op.

Video: 25HS

Uitgewerkte voorbeeld 6: Los die kwadratiese vergelykings op deur vierkantsvoltooiing

Los op deur die vierkant te voltooi:

Die vergelyking is reeds in die vorm

Verseker dat die koëffisiënt van die term is gelyk aan

Neem die helfte van die koëffisiënt van die term en kwadreer dit; tel by en trek af

Die koëffisiënt van die term is . Gevolglik, sal die helfte van die koëffisiënt van die term wees en die kwadraat sal dan wees. Dus .

Skryf die drieterm as 'n volkome vierkant

Metode 1: Neem die vierkantswortel aan beide kante van die vergelyking

Belangrik: wanneer die vierkantswortel bepaal word, onthou dat daar beide 'n positiewe en negatiewe antwoord is want en .

Bepaal vir

Metode 2: Faktoriseer as die verskil tussen twee kwadrate

Vereenvoudig en bepaal vir

Skryf die finale oplossing

Let op dat beide metodes dieselfde antwoord lewer. Hierdie wortels is rasionaal aangesien 'n volkome vierkant is.

Uitgewerkte voorbeeld 7: Los die kwadratiese vergelykings op deur vierkantsvoltooiing

Bepaal deur kwadraatsvoltooiing:

Die vergelyking is reeds in die standaardvorm

Verseker dat die koëffisiënt van die term gelyk is aan

Die koëffisiënt van die term is . Deel dus die hele vergelyking deur :

Neem die helfte van die koëffisiënt van die term, kwadreer dit; tel by en trek af

Die koëffisiënt van die term is , dus :

Skryf die drieterm as 'n volkome vierkant

Metode 1: Neem die vierkantswortel aan beide kante van die vergelyking

Onthou: Wanneer die vierkantswortel bepaal word, is daar positiewe en negatiewe antwoorde.

Bepaal vir

Metode 2: Faktoriseer as die verskil tussen twee kwadrate

Bepaal vir

Let op dat die wortels irrasionaal is aangesien nie 'n volkome vierkant is nie.

Video: 25HT

Oefening 2.2

Los die volgende vergelykings op deur kwadraatsvoltooiing:

Bepaal in terme van :

Bepaal in terme van , en :

2.3 Kwadratiese vergelykings

Dit is nie altyd moontlik om 'n kwadratiese vergelyking op te los deur faktorisering nie en kwadraatsvoltooiing kan baie tyd in beslag neem. Die metode van kwadraatsvoltooiing lewer wel 'n formule wat gebruik kan word om enige kwadratiese vergelyking vinning en maklik op te los.

Beskou die standaardvorm van die kwadratiese vergelyking . Deel aan beide kante met om die koëffisiënt van een te maak

Deur gebruik te maak van kwadraatsvoltooiing, halveer ons die koëffisiënt van en kwadreer dit. Ons tel by en trek dit af, sodat die oorblywende vergelyking waar bly.

Ons tel die konstante by aan weerskante van vergelyking en bepaal die vierkantswortel aan beide kante. Hou in gedagte dat positiewe en negatiewe antwoorde ingesluit word.

Gevolglik kan ons die twee wortels van enige kwadratiese vergelyking bepaal as

Dit is belangrik om daarop op te let dat die uitdrukking groter of gelyk aan nul moet wees vir die wortels van die kwadraat om reëel te wees. Indien die uitdrukking onder die vierkantswortel kleiner as nul is, is die wortels nie-reëel (imaginêr).

Video: 25J9

Uitgewerkte voorbeeld 8: Gebruik van die kwadratiese formule

Bepaal vir en vereenvoudig tot eenvoudigste vorm as: .

Kontroleer of die vergelyking gefaktoriseer kan word

Die vergelyking kan nie gefaktoriseer word nie, gevolglik moet die algemene kwadratiese formule gebruik word.

Skryf die vergelyking in die standaardvorm

Identifiseer die koëffisiënte in die formule

Pas die kwadratiese formule toe

Skryf altyd eers die formule neer en vervang dan die waardes van , en .

Skryf die finale oplossing

Die twee wortels is of .

Uitgewerkte voorbeeld 9: Gebruik van die kwadratiese vergelyking

Vind die wortels van die funksie .

Bepaal die wortels

Om die wortels van te bepaal, stel ons .

Kontroleer of die vergelyking gefaktoriseer kan word

Die vergelyking kan nie gefaktoriseer word nie, gevolglik moet die algemene kwadratiese formule gebruik word.

Identifiseer die koëffisiënte en vervang in die formule

Pas die kwadratiese formule toe

Skryf die finale oplossing

Daar is geen reële wortels vir nie aangesien die uitdrukking onder die vierkantswortel negatief is ( is 'n nie-reële getal). Dit beteken dat die grafiek van die kwadratiese funksie geen -afsnit het nie; die hele grafiek lê dus bo die -as.

Video: 25JB

Oefening 2.3

Bepaal die oplossing van die volgende kwadratiese vergelykings met die kwadratiese formule:

2.4 Substitusie

Dit help soms om 'n substitusie te doen vir 'n uitdrukking binne in die kwadratiese vergelyking. Dit maak die vergelyking eenvoudiger en makliker om op te los.

Uitgewerkte voorbeeld 10: Oplossing deur substitusie

Los op vir :

Bepaal die beperkings vir

Die beperkings is die waardes van wat veroorsaak dat die noemer gelyk is aan . Dit sal die breuk ongedefiniëerd maak. Dus en .

Substitusie van 'n herhaalde uitdrukking deur 'n enkele veranderlike

Let op dat dan herhaal word en gevolglik stel ons . Die vergelyking word dan

Bepaal die beperkings vir

Die beperkings is die waardes van wat veroorsaak dat die noemer gelyk is aan . Dit sal die breuk ongedefiniëerd maak. Dus .

Bepaal vir

Ons kontroleer die twee wortels teen die beperkings op en bevestig dat hulle geldig is.

Gebruik waardes soos bepaal vir om die oorspronklike veranderlike te bepaal

Vir

Vir

Ons kontroleer die wortels teen die beperkings van en bevestig dat al drie geldig is.

Skryf die finale oplossing

Die wortels van die vergelyking is , en .

Oefening 2.4

Bepaal die oplossing van die volgende kwadratiese vergelykings deur substitusie:

Let op dat dan herhaal word en gevolglik stel ons en die vergelyking word dan

Bepaal vir :

Gebruik waardes soos bepaal vir om die oorspronklike veranderlike te bepaal

Vir

Vir

Die wortels van die vergelyking is , , en .

Let op dat dan herhaal word en gevolglik stel ons en die vergelyking word dan

Bepaal vir :

Gebruik waardes soos bepaal vir om die oorspronklike veranderlike te bepaal

Vir

Vir

Die wortels van die vergelyking is , en .

Die beperkings is die waardes van wat veroorsaak dat die noemer gelyk is aan . Dit sal die breuk ongedefiniëerd maak. Dus en .

Let op dat dan herhaal word en gevolglik stel ons en die vergelyking word dan

Die beperkings is die waardes van wat veroorsaak dat die noemer gelyk is aan . Dit sal die breuk ongedefiniëerd maak. Dus .

Bepaal vir

Ons kontroleer die wortels teen die beperkings van en bevestig dat hulle geldig is.

Gebruik waardes soos bepaal vir om die oorspronklike veranderlike te bepaal

Vir

Vir

Ons kontroleer die wortels teen die beperkings van en bevestig dat hulle geldig is.

Die wortels van die vergelyking is , , en .

Die beperkings is die waardes van wat veroorsaak dat die noemer gelyk is aan . Dit sal die breuk ongedefiniëerd maak. Dus en .

Let op dat dan herhaal word en gevolglik stel ons en die vergelyking word dan

Die beperkings is die waardes van wat veroorsaak dat die noemer gelyk is aan . Dit sal die breuk ongedefiniëerd maak. Dus .

Bepaal vir

Ons kontroleer die wortels teen die beperkings van en bevestig dat hulle geldig is.

Gebruik waardes soos bepaal vir om die oorspronklike veranderlike te bepaal

Vir

Vir

Ons kontroleer die wortels teen die beperkings van en bevestig dat hulle geldig is.

Die wortels van die vergelyking is , , en .

Die beperkings is die waardes van wat veroorsaak dat die noemer gelyk is aan . Dit sal die breuk ongedefiniëerd maak. Dus en .

Let op dat dan herhaal word en gevolglik stel ons en die vergelyking word dan

Die beperkings is die waardes van wat veroorsaak dat die noemer gelyk is aan . Dit sal die breuk ongedefiniëerd maak. Dus .

Bepaal vir

Ons kontroleer die wortels teen die beperkings van en bevestig dat hulle geldig is.

Gebruik waardes soos bepaal vir om die oorspronklike veranderlike te bepaal

Vir

Vir

Ons kontroleer die wortels teen die beperkings van en bevestig dat hulle geldig is.

Die wortels van die vergelyking is , , en .

2.5 Vind die vergelyking

Ons het gesien dat die wortels die oplossings is van 'n kwadratiese vergelyking. Indien die wortels gegee word, kan ons terugwerk en die oorspronklike kwardatiese vergelyking bepaal.

Uitgewerkte voorbeeld 11: Bepaling van vergelyking wanneer wortels gegee word

Vind die vergelyking met wortels en .

Ken 'n veranderlike toe en skryf as twee vergelykings

Gebruik optellingsinverse om nul aan die regterkant te kry.

Skryf die produk van die twee faktore neer

Let op dat die tekens binne die hakies, die teenoorgestelde is van die gegewe wortels.

Doen hakie uitbreiding

Wanneer elke term in die vergelyking vermenigvuldig word met 'n konstante, kan daar baie moontlike vergelykings ontstaan met dieselfde wortels. Byvoorbeeld:

Vermenigvuldig met :

Vermenigvuldig met :

Uitgewerkte voorbeeld 12: Bepaling van 'n vergelyking wanneer die wortels breuke is

Vind 'n vergelyking met die wortels en .

Ken 'n veranderlike toe en skryf as twee vergelykings

Gebruik optellingsinverse om nul aan die regterkant te kry

Ons vermenigvuldig die tweede vergelyking met om die breuk uit te skakel.

Skryf die produk van twee faktore neer

Doen hakie uitbreiding

Die kwadratiese vergelyking is .

Oefening 2.5

Bepaal 'n kwadratiese vergelyking vir die grafiek met die wortels en .

Vind 'n kwadratiese vergelyking vir grafiek met -afsnitte en .

Bepaal die kwadratiese vergelyking van die vorm , waar en heeltallig is, met wortels en .

Bepaal die waarde van en die ander wortel van 'n kwadratiese vergelyking , as gegee word dat een van die wortels is.

Een wortel van die vergelyking is . Vind en die ander wortel.

Oefening 2.6

Bepaal die oplossing van elk van die volgende kwadratiese vergelykings deur gebruik te maak van faktorisering, of die kwadratiese formule of kwadraatsvoltooiing:

Probeer altyd om eers te faktoriseer; gebruik die formule as die drieterm nie faktoriseer nie.

Gebruik kwadraatsvoltooiing slegs wanneer daarvoor gevra word.

Gee antwoord in wortelvorm of in desimale vorm.

2.6 Aard van wortels

Aard van wortels

Gebruik die kwadratiese formule om die wortels te bepaal van onderstaande kwadratiese vergelyking en gee aandag aan:

die teken van die uitdrukking onder die vierkantswortel

die tipe getal vir die finale antwoord (rasionaal/irrasionaal/reëel/nie-reëel)

Kies die gepaste woorde uit die tabel wat die wortels van bostaande vergelykings beskryf.

rasionaal | ongelyk | reëel
imaginêr | nie volkome vierkant | gelyk
volkome vierkant | irrasionaal | ongedefiniëerd

Die uitdrukking onder die vierkantswortel, , word die diskriminant genoem. Kan jy 'n vermoede of 'n hipotese formuleer oor die verband tussen die diskriminant en die wortels van 'n kwadratiese vergelyking?

Die diskriminant

Die diskriminant word gedefiniëer as .

Dit is die uitdrukking onder die vierkantswortel in die kwadratiese formule. Die diskriminant bepaal die “aard” van die wortels van die kwadratiese vergelyking. Die woord “aard” verwys na die tipe getalle wat die wortels kan wees: reëel, rasionaal, irrasionaal of imaginêr. is die Griekse simbool vir die letter D.

Vir 'n kwadratiese funksie , word die oplossing van die gegee deur die formule

Indien , dan is die wortels imaginêr (nie-reëel) en buite die bestek van hierdie boek.

Indien , dan is die uitdrukking onder die vierkantswortel positief en die wortels is daarom reëel. Vir reële wortels is daar verdere moontlikhede.

Indien , dan is die wortels gelyk en kan ons sê dat daar slegs een wortel is.

Indien , dan is daar twee moontlikhede vir wortels wat nie gelyk is nie.

is die vierkant van 'n rasionale getal: die wortels is rasionaal.

is nie 'n volkome vierkant nie: die wortels is irrasionaal en kan in desimale- of wortelvorm uitgedruk word.

Aard van wortels
Diskriminant

Wortels is nie-reëel.

Wortels is reëel en gelyk.

Wortels is reëel en ongelyk:

Rasionale wortels

Irrasionale wortels

'n vierkant rasionaal

nie 'n vierkant rasionaal

Video: 25KR

Uitgewerkte voorbeeld 13: Aard van die wortels

Toon aan dat die wortels van irrasionaal is.

Interpreteer die vraag

Om aan te toon dat die wortels reëel en irrasionaal is, moet ons bereken en wys dat dit groter as nul is en nie 'n volkome vierkant nie.

Maak seker dat die vergelyking in die standaardvorm is

Identifiseer die koëffisiënte wat ingestel moet word in die uitdrukking vir die diskriminant

Skryf die uitdrukking neer en stel die waardes in

Ons weet dat en dit is nie 'n volkome vierkant nie.

Onderstaande grafiek toon die wortels vir die vergelyking . Let op dat die grafiek nie deel vorm van die antwoord nie. Dit is slegs ingesluit vir verduideliking.

Skryf die finale oplossing

Ons het bereken dat en dat dit nie 'n volkome vierkant is nie, daarom is ons gevolgtrekking dat die wortels reëel, ongelyk en irrasionaal is.

Uitgewerkte voorbeeld 14: Aard van die wortels

Vir watter waarde(s) van sal die wortels van reëel en gelyk wees?

Interpreteer die vraag

Vir die wortels om reëel en gelyk te wees, moet ons die waarde(s) van bepaal sodat .

Maak seker dat die vergelyking in die standaardvorm is

Identifiseer die koëffisiënte wat ingestel moet word in die uitdrukking vir die diskriminant

Skryf die uitdrukking neer en stel die waardes in

Vir wortels om reëel en gelyk te wees, .

Daarom of .

Toets beide antwoorde deur hulle in te stel in die oorspronklike vergelyking

Vir :

Ons sien dat vir het die kwadratiese vergelyking reële, gelyke wortels .

Vir :

Ons sien dat vir het die kwadratiese vergelyking reële, gelyke wortels .

Skryf die finale oplossing

Vir die wortels van die kwadratiese vergelyking om reëel en gelyk te wees, moet of .

Uitgewerkte voorbeeld 15: Aard van die wortels

Toon aan dat die wortels van reëel is vir alle reële waardes van en .

Interpreteer die vraag

Om aan te toon dat die wortels reëel is, moet ons bereken en wys dat vir alle reële waardes van , en .

Maak seker dat die vergelyking in die standaardvorm is

Brei die hakies uit en groepeer soortgelyke terme.

Identifiseer die koëffisiënte wat ingestel moet word in die formule vir die diskriminant

Skryf die formule neer en stel die waardes in

Vir wortels om reëel te wees moet .

Skryf die finale oplossing

Ons het aangetoon dat , daarom is die wortels reëel vir alle reële waardes van en .

Oefening 2.7

Bepaal die aard van die wortels vir elk van die volgende vergelykings:

Ons weet en 'n volkome vierkant is.

is 'n volkome vierkant, en die wortels is reëel, ongelyk en rasionaal.

en die wortels is reëel en gelyk.

Ons weet en nie 'n volkome vierkant is nie.

en nie 'n volkome vierkant is nie; die wortels is reëel, ongelyk en irrasionaal.

Ons weet en is 'n volkome vierkant.

en is 'n volkome vierkant; die wortels is reëel, ongelyk en rasionaal.

Ons weet en nie 'n volkome vierkant is nie.

en nie 'n volkome vierkant is nie; die wortels is reëel, ongelyk en irrasionaal.

En .

; die wortels is nie-reëel.

En en is 'n volkome vierkant.

en is 'n volkome vierkant; die wortels is reëel, ongelyk en rasionaal.

En en nie 'n volkome vierkant is nie.

Dus, en nie 'n volkome vierkant is nie; die wortels is reëel, ongelyk en irrasionaal.

En .

; die wortels is nie-reëel.

; die wortels is reëel en gelyk.

Gegee: ,

Toon aan dat die diskriminant gegee word deur:

Indien , bespreek die aard van die wortels van die vergelyking.

As :

Byvoorbeeld, as dan , as , dan en as dan .

Die wortels is reëel en ongelyk. Ons kan nie bepaal of die wortels rasionaal of irrasionaal is nie want dit hang af van die waarde van .

Indien , vind die waarde(s) van waarvoor die wortels gelyk is.

As :

Die wortels is .

Toon aan dat nie-reële wortels het vir alle waardes van .

[IEB, Nov. 2002, HG]

Die wortels is daarom imaginêr.

Die vergelyking het reële wortels.

Vind die grootste waarde van sodat .

Aangesien 'n heelgetal moet wees, is die grootste waarde van .

Vind een rasionale waarde van waarvoor bostaande vergelyking rasionale wortels het.

Vir rasionale wortels moet 'n volkome vierkant wees.

Dit is 'n volkome vierkant. Daarom, as dan is die wortels rasionaal.

Beskou die volgende vergelyking: waar .

Vind 'n waarde vir waarvoor die wortels gelyk is.

.

Vind 'n heelgetal waarvoor die wortels van die vergelyking rasionaal en ongelyk sal wees.

Hierdie is nie 'n heelgetal nie. Ons probeer dan :

Hierdie is nie 'n heelgetal nie. Ons probeer dan :

Hierdie is nie 'n heelgetal nie. Ons probeer dan :

As of , die wortels is rasionaal en ongelyk.

Bewys dat die wortels van die vergelyking reëel is vir alle reële waardes van , en .

Ons moet bewys dat .

vir alle reële waardes van , en . Daarom is die wortels reëel vir alle reële waardes van , en .

Wanneer sal die wortels van die vergelyking gelyk wees?

Die wortels is gelyk as , wat geld wanneer en .

Indien en slegs die waardes , of kan hê, bepaal alle getallepare () sodat reële wortels het.

[IEB, Nov. 2005, HG]

Ons moet die waardes van , en vind waarvoor .

Moontlike waardes vir die paar : . Ooreenstemmende waardes vir :

(en daarom is die wortels reëel) vir

2.7 Kwadratiese ongelykhede

Kwadratiese ongelykhede kan die volgende vorme aanneem:

Om 'n kwadratiese ongelykheid grafies op te los, moet ons bepaal watter deel van die grafiek van die kwadratiese funksie bo of onder die -as lê. 'n Ongelykheid kan daarom opgelos word deur gebruik te maak van 'n grafiek, of kan algebraïes opgelos word deur gebruik te maak van 'n tabel van tekens (getallelyne) wat aantoon waar die funksie positief en negatief is.

Uitgewerkte voorbeeld 16: Oplos van kwadratiese ongelykhede

Los op vir : .

Faktoriseer die kwadratiese uitdrukking

Bepaal die kritiese waardes van

Vanuit die gefaktoriseerde kwadratiese vergelyking kan ons sien dat die waardes waarvoor die ongelykheid nul is, is en . Hierdie word die kritiese waardes van die ongelykheid genoem en hulle word gebruik om 'n tabel van tekens te voltooi.

Voltooi 'n tabel van tekens

Ons moet bepaal waar elke faktor van die ongelykheid positief en negatief is op die getallelyn:

aan die linkerkant (in 'n negatiewe rigting) van die kritiese waarde

gelyk aan die kritiese waarde

aan die regterkant (in 'n positiewe rigting) van die kritiese waarde

In die laaste ry van die tabel bepaal ons waar die ongelykheid positief en negatief is deur die produk te bepaal van die faktore en hul onderskeie tekens.

Kritiese waardes

In die tabel sien ons is groter as of gelyk aan nul vir of .

'n Rowwe skets van die grafiek

'n Grafiek van die kwadratiese funksie help ons om die antwoord van die ongelykheid te bepaal. Ons kan die antwoord grafies aflees deur te kyk waar die grafiek bo die -as lê.

Vanuit die standaardvorm, , en daarom is die grafiek 'n “glimlag” en het dit 'n minimum draaipunt.

Vanuit die gefaktoriseerde form, , weet ons dat die -afsnitte is en .

Die grafiek is bo of op die -as vir of .

Skryf die finale antwoord en stel dit op 'n getallelyn voor

Uitgewerkte voorbeeld 17: Oplos van kwadratiese ongelykhede

Los op vir :

Faktoriseer die kwadratiese vergelyking

Bepaal die kritiese waardes van

Vanuit die gefaktoriseerde kwadratiese vergelyking sien ons dat die waarde waarvoor die ongelykheid gelyk is aan nul, is . Ons weet dat vir enige reële getal , en daarom sal nooit negatief wees nie.

'n Rowwe skets van die grafiek

Onderstaande grafiek is nie deel van die antwoorde nie en word slegs getoon as deel van die verduideliking.

Vanuit die standaardvorm, , en daarom is die grafiek “glimlag” en het dit 'n minimum draaipunt.

Vanuit die gefaktoriseerde form, , weet ons dat die -afsnitte is .

Let op dat geen deel van die grafiek onder die -as lê nie.

Skryf die finale antwoord en stel dit op 'n getallelyn voor

Uitgewerkte voorbeeld 18: Oplos van kwadratiese ongelykhede

Los op vir :

Ondersoek die vorm van die ongelykheid

Let daarop dat die koëffisiënt van die term is. Onthou dat as ons 'n ongelykheid vermenigvuldig of deel met 'n negatiewe getal, dan draai die rigting van die ongelykheidsteken om. Dus kan ons dieselfde ongelykheid op verskillende maiere skryf en steeds dieselfde antwoord kry, soos hieronder aangetoon.

Vermenigvuldig met en verander die rigting van die ongelykheidsteken

Ons kan sien vanaf hierdie rowwe skets dat beide ongelykhede dieselfde oplossing verskaf; die waardes van wat tussen die twee -afsnitte lê.

Faktoriseer die kwadratiese vergelyking

Ons let op dat nie maklik gefaktoriseer kan word nie. Dus laat en gebruik die kwadratiese formule om die wortels van die vergelyking te bepaal.

Dus kan ons skryf, korrek tot een desimale plek,

Bepaal die kritiese waardes van

Vanuit die gefaktoriseerde kwadraat sien ons dat die kritiese waardes is en .

Voltooi 'n tabel van tekens

Kritiese waardes

Vanuit die tabel sien ons die funksie is negatief vir .

'n Skets van die grafiek

Vanuit die standaardvorm, , en daarom is die grafiek 'n “glimlag” en het dit 'n minimum draaipunt.

Vanuit die gefaktoriseerde vorm, , weet ons die -afsnitte is en .

Vanaf die grafiek sien ons die funksie lê onder die -as tussen en .

Skryf die finale antwoord en stel dit op 'n getallelyn voor

Belangrik: wanneer daar gewerk word met 'n breukongelykheid waar die veranderlike in die noemer is, word 'n ander benadering benodig. Onthou om altyd na te gaan vir beperkings.

Uitgewerkte voorbeeld 19: Oplos van kwadratiese ongelykhede met breuke

Los op vir :

,

,

Oplos van die vergelyking

Om hierdie vergelyking op te los vermenigvuldig ons beide kante van die vergelyking met en vereenvoudig:

Oplos van die ongelykheid

Dit is baie belangrik om daarop te let dat ons liefs nie dieselfde metode as hierbo gebruik om die ongelykheid op te los nie: indien ons 'n ongelykheid vermenigvuldig of deel met 'n negatiewe getal, verander die rigting van die ongelykheidsteken. Ons moet eerder die ongelykheid vereenvoudig na die kleinste gemene noemer en dan 'n tabel van tekens gebruik om die waardes wat die ongelykheid bevredig, te bepaal.

Trek van beide kante van die ongelykheid af

Bepaal die kleinste gemene noemer en vereenvoudig die breuk

Behou die noemer, want dit beïnvloed die finale antwoord.

Bepaal die kritiese waardes van

Vanuit die gefaktoriseerde ongelykheid sien ons dat die kritiese waardes is , en .

Voltooi 'n tabel van tekens

Kritiese waardes |  |  |  |  |  |  |
|  | ongedef |  |  |  |  |
|  |  |  | ongedef |  |  |
|  | ongedef |  | ongedef |  |  |

Vanuit die tabel sien ons die funksie is kleiner as of gelyk aan nul vir of . Ons sluit nie of die oplossing in nie weens die beperkings op die noemer.

Skryf die finale antwoord en stel dit op 'n getallelyn voor

Oefening 2.8

Los die volgende ongelykhede op en wys elke antwoord op 'n getallelyn:

.

Kritiese waardes

Kritiese waardes

of

Daar is geen reële oplossing.

Kritiese waardes

Die oplossing is alle reële waardes van .

Die oplossing is alle reële waardes van .

Kritiese waardes

of .

Daar is geen oplossing nie.

,

Kritiese waardes |  |  |  |  |
|  | ongedef |  |  |
|  | ongedef |  |  |

en .

,

Kritiese waardes |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  | ongedef |
|  |  |  |  |  | ongedef |

en met .

,

en .

Teken 'n skets van die volgende ongelykhede en los op vir :

of .

.

Daar is geen oplossing nie.

Teken die parabool:

Ons sien dat hierdie parabool nooit die -as raak nie en altyd positief is. Daarom is die ongelykheid waar vir alle reële waardes van .

2.8 Gelyktydige vergelykings

Gelyktydige lineêre vergelykings kan opgelos word deur middel van drie verskillende metodes: substitusie, eliminasie of met behulp van 'n grafiek om te bepaal waar die twee lyne mekaar sny. Om 'n stel gelyktydige vergelykings met lineêre en nie-lineêre vergelykings op te los, gebruik ons meestal die substitusie metode. 'n Grafiese oplossing is nuttig om te wys waar twee funksies mekaar sny.

In die algemeen, om vir onbekende veranderlikes op te los, word 'n stel onafhanklike vergelykings benodig.

'n Voorbeeld van 'n stel gelyktydige vergelykings met een lineêre vergelyking en een kwadratiese vergelyking is

Oplossing deur substitusie

Gebruik die eenvoudigste van die twee gegewe vergelykings om die een veranderlike in terme van die ander uit te druk.

Substitueer in die tweede vergelyking. Deur dit te doen, verminder ons die getal vergelykings en die getal veranderlikes met een.

Ons het nou een vergelyking met een onbekende veranderlike wat opgelos kan word.

Substitueer die oplossing terug in die eerste vergelyking om die waarde van die ander onbekende veranderlike te vind.

Uitgewerkte voorbeeld 20: Gelyktydige vergelykings

Los op vir en :

Maak die onderwerp van die eerste vergelyking

Substitueer in die tweede vergelyking en vereenvoudig

Faktoriseer die vergelyking en pas die nulprodukreël toe

Substitueer die waardes van terug in die eerste vergelyking om die ooreenstemmende -waardes te bepaal

As :

As :

Bevestig dat die twee oplossings beide oorspronklike vergelykings bevredig

Skryf die finale oplossing

Die oplossing is of . Hierdie is die koördinaatpare vir die punte van snyding soos onder gesien kan word.

Los op deur middel van eliminasie

Maak een van die veranderlikes die onderwerp van beide vergelykings.

Stel die twee vergelykings aan mekaar gelyk; deur dit te doen verminder ons die getal vergelykings en die getal veranderlikes met een.

Ons het nou een vergelyking met een onbekende veranderlike wat opgelos kan word.

Substitueer die oplossing terug in die eerste vergelyking om die waarde van die ander onbekende veranderlike te vind.

Uitgewerkte voorbeeld 21: Gelyktydige vergelykings

Los op vir en :

Maak die onderwerp van die tweede vergelyking

Stel die twee vergelykings gelyk aan mekaar en los op vir

Substitueer die waardes van terug in die tweede vergelyking om die ooreenstemmende -waardes te bereken

As : Dit gee die punt .

As : Dit gee die punt .

Bevestig dat die twee punte beide oorspronklike vergelykings bevredig

Skryf die finale oplossing

Die oplossing is of . Hierdie is die koördinaatpare vir die snypunte soos onder te sien.

Uitgewerkte voorbeeld 22: Gelyktydige vergelykings

Los op vir en :

Maak die onderwerp van die tweede vergelyking

Stel die twee vergelykings gelyk aan mekaar en los op vir

Substitueer die waardes van terug in die tweede vergelyking om die ooreenstemmende -waardes te bereken

As : Dit gee die punt .

As : Dit gee die punt .

Bevestig dat die twee punte beide oorspronklike vergelykings bevredig

Skryf die finale oplossing

Die oplossing is of . Hierdie is die koördinaatpare vir die snypunte soos onder gesien kan word.

Grafiese oplossing

Maak die onderwerp van elke vergelyking.

Teken die grafiek van elke funksie op dieselfde assestelsel.

Die finale oplossing van die stel vergelykings is die koördinate van die punte waar die twee grafieke sny.

Uitgewerkte voorbeeld 23: Gelyktydige vergelykings

Los grafies op vir en :

Maak die onderwerp van elke vergelyking

Vir die eerste vergelyking het ons

en vir die tweede vergelyking

Teken die reguitlyn en parabool op dieselfde assestelsel

Bepaal waar die twee grafieke mekaar sny

Vanuit die diagram sien ons die grafieke sny mekaar by en .

Bevestig dat die twee punte albei oorspronklike vergelykings bevredig

Skryf die finale oplossing

Die oplossing vir die stel gelyktydige vergelykings is en .

Oefening 2.9

Los die volgende stel gelyktydige vergelykings algebraïes op. Gee jou antwoord in wortelvorm waar van toepassing.

As : Dit gee die punt .

As : Dit gee die punt .

en

As :

As :

As : Dit gee die punt .

As : Dit gee die punt .

en

;

As :

As :

As : Dit gee die punt .

As : Dit gee die punt .

en

As :

As :

Los die volgende stel gelyktydige vergelykings grafies op. Bevestig jou oplossings deur dit ook algebraïes op te los.

Die oplossing is die punte en .

Die oplossing is die punte en .

Beperkings: en

Die oplossing is die punte en .

2.9 Woordprobleme

Woordprobleme word opgelos deur regte wêreld konsepte in wiskundige taal te beskryf. Probleemoplossing strategieë word dikwels in die natuurwetenskappe en ingenieurs dissiplines (soos fisika, biologie en elektriese ingenieurswese) gebruik, maar ook in die sosiale wetenskappe (soos ekonomie, sosiologie en politieke wetenskap). Om woordprobleme op te los moet ons 'n stel vergelykings opstel wat die probleem wiskundig beskryf.

Voorbeelde van regte wêreld probleemoplossing toepassings is:

modellering van bevolkingsgroei;

modelleer effek van higbesoedeling;

modelleer effek van globale verhitting;

rekenaarspeletjies;

in die wetenskappe, om te verstaan hoe die natuurlike wêreld werk;

simuleerders wat gebruik word om mense op te lei vir sekere beroepe soos vlieëniers, dokters en soldate;

in geneeskunde, om die verloop van 'n siekte te volg.

Video: 25N8

Probleemoplossing strategie

Lees die probleem versigtig deur.

Wat is die vraag en wat moet ons oplos?

Wys veranderlikes aan onbekende hoeveelhede toe, byvoorbeeld, en .

Vertaal die woorde na algebraïese uitdrukkings deur gegewe inligting oor te skryf in terme van die veranderlikes.

Stel 'n stel vergelykings op.

Los die veranderlikes op deur middel van substitusie.

Toets die oplossing.

Skryf die finale antwoord neer.

Eenvoudige woordprobleme

Skryf 'n vergelyking neer wat die volgende regte wêreld toestande wiskundig beskryf.

Mohato en Lindiwe het albei verkoue. Mohato nies twee keer vir elke keer wat Lindiwe nies. As Lindiwe keer nies, skryf 'n vergelyking wat beskryf hoeveel keer altwee genies het.

Die verskil van twee getalle is en die som van hul kwadrate is . Bepaal die twee getalle.

Liboko bou 'n reghoekige stoorkamer. Indien die diagonaal van die kamer   is en die omtrek , bepaal die afmetings van die kamer.

Dit reën die helfte soveel in Julie as in Desember. Indien dit mm in Julie reën, skryf 'n uitdrukking neer wat die reënval in Julie en Desember weergee.

Zane kan 'n kamer in ure verf. Tlali kan die kamer in ure verf. Hoe lank sal dit hulle neem om die kamer saam te verf?

aar gelede was Arthur jaar ouer as 'n derde van Bongani se ouderdom. Vandag is Bongani jaar jonger as twee keer Arthur se ouderdom. Hoe oud is Bongani?

Die produk van twee heelgetalle is . Bepaal die heelgetalle as hul som is.

Uitgewerkte voorbeeld 24: Gimnasium lidmaatskap

Die jaarlikse gimnasiumledegeld vir 'n enkele lid is , terwyl 'n jaarlikse gesinslidmaatskap is. Die gimnasium oorweeg om alle ledegeld met dieselfde hoeveelheid te verhoog. Indien dit gebeur, sal 'n enkele lidmaatskap van 'n gesinslidmaatskap kos. Bepaal die voorgestelde verhoging.

Identifiseer die onbekende hoeveelheid en ken 'n veranderlike daaraan toe

Laat die voorgestelde verhoging wees.

Gebruik die gegewe inligting om die tabel die voltooi

| nou | na verhoging
enkel persoon |  |
familie |  |

Stel 'n vergelyking op

Bepaal vir

Skryf die finale oplossing

Die voorgestelde verhoging is .

Uitgewerkte voorbeeld 25: Koffiehuis op die hoek

Erica besluit om haar vriende uit te neem vir koffie by die Koffiehuis op hoek. Erica betaal vir vier cappuccino's en drie koppies filterkoffie. As 'n cappuccino meer kos as 'n koppie koffie, bereken hoeveel 'n koppie van elke tipe koffie kos.

Metode 1: Identifiseer die onbekende waardes en ken twee veranderlikes toe

Gestel die koste van 'n cappuccino is , en die koste van 'n filterkoffie is .

Gebruik die gegewe inligting om 'n stelsel van vergelykings op te stel

Gebruik die vergelykings deur die tweede vergelyking in die eerste vergelyking in te stel

As , dan kry ons deur die tweede vergelyking te gebruik.

Kontroleer dat die oplossing beide van die oorspronklike vergelykings bevredig

Skryf die finale oplossing

'n Cappuccino kos en 'n filterkoffie kos .

Metode 2: Identifiseer die onbekende waardes en ken een veranderlike toe

Gestel die koste van 'n cappuccino is , en die koste van 'n filterkoffie is .

Gebruik die gegewe inligting om 'n vergelyking op te stel

Bepaal vir

Skryf die finale oplossing

'n Cappuccino kos en 'n filterkoffie kos .

Uitgewerkte voorbeeld 26: Krane wat 'n houer vol maak

Twee krane, waarvan een sterker vloei as die ander een, word gebruik om 'n houer vol te maak. Op sy eie neem die swakker kraan ure langer as die ander een om die houer vol te maak. As altwee krane oopgemaak is, neem dit uur, minute en sekondes. Bepaal hoe lank dit die swakker kraan sal neem om alleen die houer vol te maak.

Identifiseer die onbekende hoeveelhede en ken veranderlikes toe

Gestel die tyd wat dit neem vir die kraan wat swakker vloei om die houer vol te maak, is uur en die tyd wat die sterker kraan neem is uur.

Skakel alle tye om na 'n gemeenskaplike tydseenheid

Eerstens moet ons ure, minute en sekondes omskakel na ure toe:

Gebruik die gegewe inligting om 'n stelsel van vergelykings op te stel

Stel 'n vergelyking op wat beskryf hoe die twee krane saam die houer volmaak:

Vermenigvuldig die vergelyking aan beide kante met die kleinste gemene veelvoud en vereenvoudig

Vermenigvuldig die vergelyking aan beide kante met om dit makliker te maak om te faktoriseer (of om die kwadratiese formule te gebruik) Dus of .

Ons het bereken dat die swakker vloeiende kraan ure of uue neem om die houer vol te maak. Ons weet egter dat as altwee krane oop is, sal dit ure neem. So, ons kan die oplossing ignoreer.

Dus maak die kraan wat swakker loop die houer in ure vol en die sterker kraan neem ure.

Kontroleer dat die oplossing die oorspronklike vergelyking bevredig

Skryf die finale oplossing

Die swakker kraan maak die houer in ure vol en die sterker kraan neem ure.

Oefening 2.10

Mr. Tsilatsila bou 'n heining rondom sy reghoekige groentetuin van . Gestel die groentetuin se lengte is dubbeld dié van sy breedte. Bepaal die afmetings van Mr. Tsilatsila se groentetuin.

Kevin speel 'n paar rondtes kegelbal. In die derde rondte het hy meer punte as in die tweede rondte aangeteken. In die eerste rondte het hy punte minder as in die tweede rondte aangeteken. Sy totale puntetelling vir die eerste twee rondtes was . As hy 'n gemiddelde telling van wil hê, hoeveel punte moet hy in die vierde rondte aanteken?

Die eerste rondte = , die tweede rondte = , die derde rondte = en die vierde rondte = :

En

Kevin moet punte in die vierde rondte aanteken.

As 'n voorwerp laat val word of afwaarts gegooi word, word die afstand, , wat dit val in sekondes, deur die volgende vergelyking beskryf:

In hierdie vergelyking is, die aanvangssnelheid, gegee in . Afstand word gemeet in meter, en tyd in sekondes. Gebruik die vergelyking om te bepaal hoe lank dit neem vir 'n tennisbal om die grond te bereik as dit afwaarts gegooi word vanuit 'n warmlugballon wat hoog is. Die aanvangsnelheid van die bal is .

Die tabel hieronder gee die tye wat dit vir Sheila neem om die gegewe afstande te stap.

tyd (minute)

afstand (km)

Stip die punte.

Indien die verwantskap tussen die afstande en tye lineêr is, kry die vergelyking van die reguitlyn deur enige twee punte te gebruik. Gebruik dan hierdie vergelyking om die volgende vrae te beantwoord:

Hoe lank sal dit Sheila neem om te stap?

Hoe ver sal Sheila stap in minute?

As Sheila die tempo waarteen sy stap sou halveer, hoe sou die grafiek van haar afstande en tye lyk?

minute

Sheila sal stap kilometre in minute.

Die gradiënt van die grafiek sal twee keer soveel wees as die gradiënt van die eerste grafiek. Die grafiek is steiler en lê nader aan die -as.

Die drywing (in watt) wat aan 'n stroombaan deur 'n volt battery verskaf word, word gegee deur die formule waar die stroom in ampere is.

Omdat beide die drywing en die stroom groter moet wees as , kry die grense van die stroom wat deur die stroombaan getrek kan word.

Teken 'n grafiek van en gebruik jou antwoord van die eerste vraag om die terrein van die grafiek te bepaal.

Wat is die maksimum stroom wat getrek kan word?

Lees af van jou grafiek hoeveel drywing verskaf word aan die stroombaan as die stroom ampere is. Gebruik die vergelyking om jou antwoord te kontroleer.

By watter waarde van die stroom sal die drywing verskaf 'n maksimum wees?

Die maksimum stroom is .

Die drywing is .

'n Houtblok word gemaak soos in die diagram gewys. Die eindvlakke is reghoekige driehoeke met kante , en . Die lengte van die blok is . Die totale buiteoppervlakte van die blok is .

Wys dat

2.10 Opsomming

Nulprodukreël: as , dan en/of .

Kwadratiese formule: .

Diskriminant: .

Aard van wortels
Diskriminant

Wortels is nie-reeël

Wortels is reeël en gelyk

Wortels is reëel en ongelyk:

Rasionale wortels

Irrasionale wortels

volkome vierkant

nie volkome vierkant

Oefening 2.11

Los op: . Gee jou antwoord korrek tot twee desimale plekke.

Los op:

Los op:

Los op vir :

Los op vir :

(Gee jou antwoord korrek tot een desimale plek.)

(Gee jou antwoord korrek tot twee desimale plekke.)

Los op vir in terme van deur vierkantsvoltooiing:

Die vergelyking het wortels en . Kry een stel moontlike waardes vir , en .

Die twee wortels van die vergelyking verskil met . Bereken die waarde van .

Gebruik kwadraatsvoltooiing:

'n Vergelyking van die vorm word op die bord geskryf. Saskia en Sven skryf dit verkeerd af. Saskia het 'n fout gemaak in die konstante term en kry die oplossings en . Sven het 'n fout gemaak in die koëffisiënt van en kry die oplossings van en . Bepaal die korrekte vergelyking wat op die bord geskryf was.

Vir watter waardes van is uitdrukking

ongedefiniëerd?

gelyk aan nul?

Die uitdrukking is ongedefiniëerd vir

Oplossing: of

Beperkings:

Gegee . Los op vir as:

'n reële getal is.

'n rasionale getal is.

'n irrasionale getal is.

'n heelgetal is.

Beperkings: .

Die drie oplossings is reëel.

Daar is geen heelgetal oplossing.

Gegee: . Vir watter waarde(s) van is die vergelyking:

gelyk aan nul?

ongedefiniëerd?

Gelyk aan nul:

Ongedefiniëerd:

Los op vir as .

Beperkings: .

Tabel van waardes:

Kritiese waardes |  |  |  |  |
|  | ongedef |  |  |
|  | ongedef |  |  |

Oplossing:

Abdoul het in 'n buitelandse handboek afgekom op die volgende formule om die kwadratiese vergelyking op te los:

Gebruik hierdie formule om die volgende vergelyking op te los: .

Los die vergelyking weereens op, deur faktorisering, om te sien of die gegewe formule werk vir hierdie vergelyking.

Abdoul het probeer om hierdie formule af te lei ten einde te bewys dat dit altyd werk. Hy het egter vasgesteek op 'n punt. Hier is sy poging:

Voltooi sy afleiding.

Los op vir :

of

of

Los die volgende stel gelyktydige vergelykings algebraïes op. Gee jou antwoord in wortelvorm waar van toepassing.

As : Dit gee die punt .

As : Dit gee die punt .

Oplossing: .

As :

As :

Oplossing: of .

As :

As :

Oplossing: of .

As :

As :

Oplossing: of .

As :

As :

Oplossing: .

As :

As :

Oplossing: .

As :

As :

Oplossing: of .

As :

As :

Oplossing: of .

Los die volgende stelsel van vergelykings grafies op:

'n Klip word vertikaal opwaarts gegooi en sy hoogte bo die grond (in meter) in tyd (in sekondes) word gegee deur:

Bepaal die oorspronklike hoogte bo die grond.

Laat :

'n Vervoermaatskapy het, nadat hulle navorsing daaroor gedoen het, bepaal dat die koers waarteen petrol verbruik word deur een van sy groot voertuie, wat teen 'n gemiddelde spoed van km per uur reis, gegee word deur:

Neem aan dat die petrol per liter kos en dat die drywer per uur (reistyd) verdien. Lei nou af dat die totale koste, , in rand, vir 'n tog van gegee word deur:

Los die volgende kwadratiese vergelykings op deur fakortisering, kwadraatsvoltooiing óf die kwadratiese formule:

Probeer altyd om eers te faktoriseer, en gebruik die formule as die drieterm nie kan faktoriseer nie

Los party van die vergelykings op deur vierkantsvoltooiing

Een wortel van die vergelyking is . Bepaal die waarde van en van die ander wortel.

Die wortels is:

Los op vir in .

Hieruit, los op vir in .

Laat , en ons kry die vergelyking :

gee geen reële oplossing vir .

Los op vir :

Los op vir in .

Hieruit, los op vir in .

Laat , en ons kry die vergelyking :

Los op vir :

Sonder om die vergelyking op te los, bepaal die waarde van .

Los nou op en gebruik die resultaat om jou antwooord in die vraag hierbo te kontoleer.

Los op vir :

Laat :

Los op vir :

Los op vir :

Hoofstuk 3: Getalpatrone

In vorige grade het ons geleer van lineêre rye, waar die verskil tussen opeenvolgende terme konstant is. In hierdie hoofstuk leer ons van kwadratiese rye waar die verskil tussen opeenvolgende terme nie konstant is nie, maar sy eie patroon volg.

Bespreek terminologie.

Beklemtoon die verband tussen lineêre funksies (algemene term) en lineêre rye.

Moenie die formule vir rekenkundige reekse gebruik nie.

Beklemtoon die verband tussen kwadratiese furnksies (algemene term) en kwadratiese rye.

Sleutelaktiwiteit in die wiskundige beskrywing van ‘n patroon: vind die verwantskap tussen die nommer van die term en die waarde van die term.

3.1 Hersiening

Terminologie |
Ry/patroon | 'n Ry of patroon is 'n geordende stel getalle en/of veranderlikes.
Agtereenvolgend/opeenvolgend | Agtereenvolgende of opeenvolgende terme is terme wat mekaar direk, een na die ander, volg in 'n ry.
Gemene verskil | Die gemene of konstante verskil is die verskil tussen een term en sy voorafgaande term in die ry.
Algemene term | 'n Wiskundige uitdrukking wat die ry beskryf en wat enige term in die patroon genereer deur verskillende waardes vir in te stel.
Vermoede | 'n Stelling, gebaseer op bekende data, wat nog nie as waar of vals bewys is nie.

Belangrik: 'n reeks is nie dieselfde as 'n ry of patroon nie. Verskillende tipes reekse word in Graad 12 behandel.

Video: 25QM

Beskrywing van patrone

Ons gebruik die volgende notasie om terme in 'n patroon te beskryf:

is die first term in die ry.

is die fourth term in die ry.

is die algemene term en word dikwels as die term van 'n ry uitgedruk.

'n Ry hoef nie 'n patroon te volg nie, maar indien dit wel 'n patroon volg, kan ons 'n vergelyking skryf vir die algemene term. Die algemene term kan gebruik word om enige term in 'n ry te bereken. Byvoorbeeld, beskou die volgende lineêre ry: Die term word gegee deur die uitdrukking: .

Jy kan dit toets deur verskillende waardes vir in te stel:

As ons die verhouding tussen die posisie van 'n term en sy waarde kan vasstel, dan kan ons die patroon beskryf en enige term in die ry bepaal.

Video: 25QN

Lineêre rye

Lineêre ry

'n Ry van getalle waarin daar 'n gemene verskil () bestaan tussen enige term en die voorafgaande term, word 'n lineêre ry genoem.

Belangrik: ,  nie nie.

Uitgewerkte voorbeeld 1: Lineêre ry

Bepaal die gemene verskil () en die algemene term vir die volgende ry:

Bepaal die gemene verskil

Om die gemene verskil te bepaal, bepaal ons die verskil tussen enige term en die voorafgaande term:

Bepaal die algemene term

Om die algmene term te vind, moet ons die verhouding bepaal tussen:

die waarde van 'n getal in die patroon en

die posisie van die getal in die patroon

posisie |  |  |  |
waarde |  |  |  |

Ons begin met die waarde van die first term in die ry. Ons moet 'n uitdrukking neerskryf wat die waarde van die gemene verskil () insluit en die posisie van die term ().

Skryf nou 'n soortgelyke uitdrukking vir die second term.

Ons sien nou dat 'n patroon vorm, wat die posisie en die waarde van 'n term in die ry verbind.

Teken 'n grafiek van die patroon

Ons kan ook 'n patroon grafies voorstel, soos hieronder getoon.

Let op dat die pleknommer in die ry () slegs positiewe heelgetalle kan wees.

Die patroon kan ook in woorde uitgedruk word: “elke term in die ry kan bereken word deur die pleknommer in die ry te vermenigvuldig met negatief drie en dan dertien by die antwoord te tel”.

Video: 25QP

Oefening 3.1

Skryf die volgende drie terme neer in die ry:

Die algemene term word gegee deur die ry hieronder. Bereken die ontbrekende terme.

Vind die algemene term vir die volgende rye en vind dan , en :

Die sitplekke in 'n klaskamer is gerangskik sodat die eerste ry lessenaars het, die tweede ry lessenaars, die derde ry lessenaars, ensovoorts. Bereken hoeveel lessenaars in die ninth ry is.

Voltooi die volgende:

Kyk na die getalle aan die linkerkant: wat let jy op van die ene-syfer en die tiene-syfer?

Die ene-syfer en die tiene-syfer het posisies geruil.

Ondersoek die patroon deur van ander voorbeelde van -syfer getalle gebruik te maak.

Formuleer 'n vermoede van die patroon wat jy gesien het.

Die som van die twee getalle sal altyd keer die som van die twee syfers wees.

Bewys die vermoede.

Laat die eerste nommer wees en laat die tweede nommer wees:

3.2 Kwadratiese rye

Kwadratiese rye

Bestudeer die gestippelde teëlpatroon getoon en beantwoord die volgende vrae:

Voltooi die fourth patroon van die diagram.

Voltooi die onderstaande tabel:

patroonnommer |  |  |  |  |  |  |
gestippelde teëls |  |  |  |  |  |  |
verskil () |  |  |  |  |  |  |

Wat kom jy agter van die verskil in die aantal gestippelde teëls?

Beskryf die patroon in woorde: “Die aantal gestippelde teëls...”.

Skryf die algemene term neer:

Gee die wiskundige term vir hierdie tipe patroon.

As 'n patroon gestippelde teëls het, bepaal die waarde van .

Bestudeer nou die hoeveelheid leë teëls en beantwoord die volgende vrae:

Voltooi die onderstaande tabel:

patroonnommer |  |  |  |  |  |
leë teëls |  |  |  |  |  |
eerste verskil |  |  |  |  |  |
tweede gemene verskil |  |  |  |  |  |

Wat kom jy agter van die verskil in die aantal leë teëls?

Beskryf die patroon in woorde: “Die aantal leë teëls...”.

Skryf die algemene term neer:

Gee die wiskundige term vir hierdie tipe patroon.

As 'n patroon leë teëls het, bepaal die waarde van .

'n Patroon het gestippelde teëls, bepaal aantal leë teëls.

Kwadratiese ry

'n Kwadratiese ry is 'n ry getalle waar die tweede gemene verskil tussen enige twee opeenvolgende terme konstant is.

Beskou die volgende voorbeeld:

Die eerste verskil word bereken deur die verskil tussen twee opeenvolgende terme te kry:

Die tweede verskil word verkry deur die verskil tussen opeenvolgende verskille te bepaal:

Ons merk op dat al die tweede verskille gelyk is aan . Enige ry wat 'n konstante tweede verskil het, is 'n kwadratiese ry.

Dit is belangrik om op te let dat die eerste verskille van 'n kwadratiese ry ook 'n ry vorm. Hierdie ry het 'n konstante verskil tussen opeenvolgende terme. Met ander woorde, 'n lineêre ry volg uit die eerste verskille van 'n kwadratiese ry.

Algemene geval

Indien die ry kwadraties is, moet die term van die vorm wees.

In elke geval is die konstante tweede verskil .

Oefening 3.2

Bepaal die tweede verskil tussen die terme van die volgende rye:

Voltooi die ry deur die ontbrekende term in te vul

Gebruik die algemene term om die eerste vier opeenvolgende terme in die ry te bereken:

Uitgewerkte voorbeeld 2: Kwadratiese rye

Skryf die volgende twee terme en bepaal 'n vergelyking vir die term vir die ry ; ; ; ;

Vind die eerste verskille tussen die terme

Vind die tweede verskille tussen die terme

Daar is 'n konstante tweede verskil van . Ons kan dus vasstel dat hierdie 'n kwadratiese ry is van die vorm .

Deur die voort te gaan met die ry, vind ons die volgende verskille:

Bepaal die volgende twee terme in die ry

Die volgende twee terme is:

Die ry is dus: ; ; ; ; ; ;

Bepaal die algemene term vir die ry

Om die waardes van , en vir te vind, kyk ons na die eerste terme in die ry:

Ons los 'n stel gelyktydige vergelykings op om die waardes van , en te vind.

Ons weet dat , en

Skryf die algemene term vir die ry

Uitgewerkte voorbeeld 3: Die trek van 'n grafiek

Beskou die volgende ry:

Bepaal die algemene term () vir die ry.

Is hierdie 'n lineêre of 'n kwadratiese ry?

Trek 'n grafiek van teenoor .

Bepaal die eerste en tweede verskille

Ons sien dat die eerste verskille nie konstant is nie maar die ry vorm, wat 'n konstante tweede verskil van het. Daarom is die ry kwadraties en het 'n algemene term van .

Bepaal die algemene term

Om die waardes van , en vir te vind, kyk ons na die eerste terme in die ry:

Ons los 'n stel gelyktydige vergelykings op om die waardes van , en te bepaal. Ons weet dat , en .

Daarom is die algemene term van die ry .

Trek 'n grafiek van teenoor

Gebruik die algemene term van die ry, , om die tabel te voltooi.

Gebruik die tabel om die grafiek te trek:

In hierdie geval sal dit nie korrek wees om die punte te verbind nie: dui die posisie van 'n term in 'n ry aan en kan dus slegs 'n positiewe heelgetal wees. Ons kan wel sien dat die punte in die vorm van 'n parabool is.

Uitgewerkte voorbeeld 4: Olimpiese Spele sokkerkragmeting

In die eerste fase van die sokkerkragmeting by die Olimpiese Spele is daar spanne van vier verskillende lande in elke groep. Elke land in 'n groep moet een keer teen elke ander land in die groep speel.

Hoeveel wedstryde sal tydens die eerste fase in elke groep gespeel word?

Hoeveel wedstryde sal gespeel word as daar spanne in elke groep is?

Hoeveel wedstryde sal gespeel word as daar spanne in elke groep is?

Bepaal die algemene term vir die ry.

Bepaal die aantal wedstryde as daar spanne in 'n groep is

Laat die spanne van vier verskillende lande , , en wees.

spanne in 'n groep
wedstryde gespeel

beteken dat span teen span speel en sal dieselfde wedstryd wees as . So, indien daar vier verskillende spanne in 'n groep is, speel elke groep wedstryde.

Bepaal die aantal wedstryde indien daar spanne in 'n groep is

Laat die spanne van vyf verskillende lande en wees.

spanne in 'n groep
wedstryde gespeel

Indien daar dus vyf spanne in 'n groep is, speel elke groep wedstryde.

Bepaal die aantal wedstryde indien daar spanne in 'n groep is

Laat die spanne van ses verskillende lande en wees.

spanne in 'n groep
wedstryde gespeel

Indien daar dus ses spanne in 'n groep is, speel elke groep wedstryde.

Ons hou aan om die aantal spanne in 'n groep te vermeerder en vind dat 'n groep van spanne, speel wedstryde en 'n groep van spanne, speel wedstryde.

Beskou die ry

Ons ondersoek die ry om te bepaal of dit lineêr of kwadraties is:

Ons sien dat die eerste verskille nie konstant is nie, maar dat daar wel 'n konstante tweede verskil is van . Die ry is dus kwadraties en het 'n algemene term van die vorm .

Bepaal die algemene term

Om die waardes van , en vir te vind, kyk ons na die eerste terme in die ry:

Ons los 'n stel gelyktydige vergelykings op om die waardes van , en te bepaal. Ons weet dat , en .

Daarom is die algemene term van die ry .

Oefening 3.3

Bereken die gemeenskaplike tweede verskil vir elk van die volgende kwadratiese rye:

Bepaal die eerste vyf terme van die kwadratiese ry wat deur die volgende formule voorgestel word: .

Gegee dat , bepaal .

Gegee , vir watter waarde van is ?

Skryf die volgende twee terme van die kwadratiese ry neer:

Bepaal die algemene formule vir die kwadratiese ry hierbo.

3.3 Opsomming

is die algemene term van 'n ry.

Opeenvolgende of agtereenvolgende terme is terme wat die een na die ander in 'n ry volg.

'n Lineêre ry het 'n konstante verskil () tussen enige twee opeenvolgende terme.

'n Kwadratiese ry het 'n konstante tweede verskil tussen enige twee opeenvolgende eerste verskille.

Die algemene term vir 'n kwadratiese ry is

'n Algemene kwadratiese ry:

Oefening 3.4

Bepaal die eerste vyf terme van die kwadratiese ry wat voorgestel word deur:

Bepaal watter van die volgende rye is:

'n lineêre ry,

'n kwadratiese ry,

nie een van die twee nie.

Kwadratiese ry

Kwadratiese ry

Kwadratiese ry

Kwadratiese ry

Kwadratiese ry

Kwadratiese ry

Lineêre ry

Lineêre ry

Kwadratiese ry

Kwadratiese ry

Kwadratiese ry

Lineêre ry

Kwadratiese ry

Gegee die patroon: , bepaal die waarde van indien die patroon lineêr is.

Gegee: , vir watter waarde van is ?

Gegee: , bepaal .

Gegee: , vir watter waarde van is ?

Gegee: , bepaal .

Gegee: , vir watter waarde van is ?

Vir elk van die volgende patrone, bepaal:

die volgende term in die patroon,

die algemene term,

die tenth term die patroon.

Vir elk van die volgende rye, bepaal die vergelyking van die algemene term en gebruik dan die vergelyking om te bepaal.

Gegee:

Skryf die eerste vyf terme van die ry neer.

Wat kom jy agter oor die verskil tussen enige twee opeenvolgende terme?

Konstante verskil,

Sal dit altyd die geval wees vir 'n lineêre ry?

Ja

Gegee die volgende ry:

Bepaal die vergelyking vir die algemene term.

Bereken hoeveel terme daar in die ry is.

Gegee

Thabang bepaal dat die algemene term is. Is hy reg? Verduidelik.

Thabang se algemene term beskryf 'n lineêre ry en hierdie is 'n kwadratiese ry.

Cristina bepaal dat die algemene term is. Is sy reg? Verduidelik.

Gegee die volgende patroon van blokke:

Teken patroon .

Voltooi onderstaande tabel:

patroonnommer |  |  |  |  |  |  |
aantal wit blokke |  |  |  |  |  |  |

patroonnommer |  |  |  |  |  |  |
aantal wit blokke |  |  |  |  |  |  |

Is hierdie 'n lineêre of kwadratiese ry?

Lineêr

Kubusse van word op mekaar gestapel om 'n toring te vorm:

Voltooi die tabel vir die toring se hoogte:

toringnommer |  |  |  |  |  |
hoogte van die toring |  |  |  |  |  |

toringnommer |  |  |  |  |  |
hoogte van die toring |  |  |  |  |  |

Watter tipe ry is dit?

Lineêr

Beskou nou die aantal kubusse in elke toring en voltooi dan die onderstaande tabel:

toringnommer |  |  |  |
aantal kubusse |  |  |  |

toringnommer |  |  |  |
aantal kubusse |  |  |  |

Watter tipe ry is dit?

Kwadraties

Bepaal die algemene term vir hierdie ry.

Hoeveel kubusse word benodig vir toring nommer ?

Hoe hoog sal 'n toring met kubusse wees?

'n Kwadratiese ry het 'n tweede term van , 'n derde term van en 'n vierde term van .

Bepaal die tweede verskil vir hierdie ry.

Bepaal nou die eerste term van die patroon.

Daar is skole wat kompeteer in die O16 dogtershokkiekampioenskap en elke span moet twee wedstryde speel: een tuiswedstryd en een wegwedstryd.

Gebruik die gegewe inligting om die tabel te voltooi:

aantal skole
aantal wedstryde

aantal skole
aantal wedstryde

Bereken die tweede verskil.

Bepaal die algemene term vir die ry.

Hoeveel wedstryde sal gespeel word indien daar skole in die kampioenskap speel?

Indien wedstryde gespeel moet word, hoeveel skole kompeteer in die kampioenskap?

Die eerste term van 'n kwadratiese ry is , die derde term is en die gemeenskaplike tweede verskil is . Bepaal die eerste ses terme in die ry.

Uitdaging:

Gegewe dat die algemene term vir 'n kwadratiese ry is, laat die eerste verskil en die gemeenskaplike tweede verskil wees.

Wys dat .

Wys dat .

Wys dat .

Gevolglik, wys dat .

Hoofstuk 4: Analitiese meetkunde

Analitiese meetkunde, ook bekend as koördinaatmeetkunde of Cartesiese meetkunde, is die studie van meetkundige eienskappe en verwantskappe tussen punte, lyne en hoeke in 'n Cartesiese vlak. Meetkundige vorms word beskryf met behulp van 'n koördinaatstelsel en algebraïese beginsels. In hierdie hoofstuk gaan ons kyk na die vergelyking van 'n reguitlyn, ewewydige en loodregte lyne en die gradiënt van 'n lyn.

Integreer kennis van Euklidiese Meetkunde met Analitiese Meetkunde.

Beklemtoon die waarde en belangrikheid daarvan om sketse te maak.

Beklemtoon die belangrikheid daarvan om die koördinate vir die afstandsformule en vir gradiënt konsekwent (in ooreenstemmende volgorde) te skryf.

Bespreek en verduidelik:

dat ewewydige lyne gelyke gradiënte en gelyke inklinasiehoeke het.

dat die produk van die gradiënte van loodregte lyne gelyk is aan .

dat die gradiënt van ‘n horisontale lyn gelyk is aan zero.

dat die gradiënt van ‘n vertikale lyn ongedefinieërd is.

Hersien die eienskappe van die verskillende vierhoeke aangesien hierdie kennis benodig word in baie van die oefeninge.

Verduidelik dat die inklinasiehoek nooit groter as is nie.

4.1 Hersiening

Punte en word in die diagram hieronder getoon:

Stelling van Pythagoras

Afstandsformule

Afstand tussen twee punte:

Let op dat .

Video: 25TG

Gradiënt

Gradiënt beskryf die gradiënt van 'n lyn wat twee punte verbind. Die gradiënt van 'n lyn word deur die verhouding tussen die vertikale verandering en horisontale verandering gedefiniëer.

Onthou om konsekwent te wees: .

Horisontale lyne |  |
Vertikale lyne |  | is ongedefiniëerd
Ewewydige lyne |  |
Loodregte lyne |  |

Middelpunt van 'n lynsegment

Die koördinate van die middelpunt van 'n lyn tussen enige twee punte en :

Video: 25TH

Punte op 'n reguitlyn

Die diagram toon punte , en op 'n reguitlyn.

Ons weet dat

Deur te gebruik, vind ons die volgende vir enige punt op 'n reguitlyn

Uitgewerkte voorbeeld 1: Hersiening

Gegewe die punte en :

Bepaal die lengte van die lynsegment .

Bepaal die middelpunt van die lynsegment .

Toon aan dat die lyn wat deur en gaan, loodreg is op die lyn is.

Teken 'n skets

Ken veranderlikes aan die koördinate van die gegewe punte toe

Laat die koördinate van en wees

Skryf die afstandsformule neer

Die lengte van die lynsegment is eenhede.

Skryf die middelpuntformule neer en vervang die waardes

Die middelpunt van is .

Bepaal die gradiënte van en

Bepaal die produk van die twee gradiënte:

Dus is loodreg op .

Vierhoeke

'n Vierhoek is 'n geslote vorm wat uit vier reguitlynsegmente bestaan.

'n Parallelogram is 'n vierhoek waarvan beide pare teenoorstaande sye parallel is.

Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.

Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot

Die diagonale halveer mekaar (sny mekaar in die middel).

'n Reghoek is 'n parallelogram waarvan al vier hoeke gelyk is aan .

Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank en parallel.

Die diagonale halveer mekaar (sny mekaar in die middel).

Die diagonale is ewe lank.

'n Rombus (of ruit) is 'n parallelogram waarvan al vier sye ewe lank is.

Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank en parallel.

Die diagonale halveer mekaar reghoekig.

Die diagonale van 'n rombus halveer beide pare teenoorstaande hoeke.

'n Vierkant is 'n rombus waarvan al vier binnehoeke gelyk is aan .

Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank en parallel.

Die diagonale halveer mekaar reghoekig.

Die diagonale is ewe lank.

Die diagonale halveer beide pare teenoorstaande hoeke (met ander woorde, alle hoeke is ).

'n Trapesium is 'n vierhoek waarvan een paar teenoorstaande sye parallel is.

'n Vlieër is 'n vierhoek waarvan twee pare aangrensende sye ewe lank is.

Een paar teenoorstaande hoeke is ewe groot (die hoeke is tussen ongelyke sye).

Die diagonaal tussen gelyke sye halveer die ander diagonaal.

Die diagonaal tussen gelyke sye halveer die binnehoeke.

Die diagonale sny met hoeke van .

Uitgewerkte voorbeeld 2: Vierhoeke

Punte , , en is punte op die Cartesiese vlak. Bepaal as 'n parallelogram is.

Teken 'n skets

Die middelpunt van sal dieselfde wees as die middelpunt van . Ons vind eers die middelpunt van en gebruik dit dan om die koördinate van punt bepaal.

Ken waardes toe aan en

Laat die middelpunt van wees.

Skryf die middelpuntformule neer

Vervang die waardes en bepaal die koördinate van

Gebruik die koördinate van om te bepaal

is ook die middelpunt van dus gebruik ons en om te vind.

Vervang die waardes en bepaal en

Alternatiewe metode: inspeksie

Aangesien dit gegee is dat 'n parallelogram is, kan ons die eienskappe van 'n parallelogram en die gegewe punte gebruik om die koördinate van te bepaal.

Vanaf die skets verwag ons dat punt laer as punt sal lê.

Beskou die gegewe punte en :

Teenoorstaande sye van 'n parallelogram is parallel, dus moet parallel wees aan en hul gradiënte moet dieselfde wees.

Die vertikale verandering van na is eenhede opwaarts.

Dus is die vertikale verandering van na ook eenhede opwaarts ().

Die horisontale verandering van na is eenhede na regs.

Dus is die horisontale verandering van na ook eenhede na regs ().

of

Teenoorstaande sye van 'n parallelogram is parallel, dus moet parallel wees aan en hul gradiënte moet dieselfde wees.

Die vertikale verandering van na is eenhede opwaarts.

Dus is die vertikale verandering van na eenhede afwaarts ().

Die horisontale verandering van na is eenheid na regs.

Dus is die horisontale verandering van na eenheid na links ().

Skryf die finale antwoord neer

Die koördinate van is .

Oefening 4.1

Bepaal die lengte van die lynsegment tussen die volgende punte:

en

en

en

Gegewe en lengte eenhede, bepaal die waarde van .

Bepaal die gradiënt van die lyn as:

en

en

Bewys dat die lyn , met en , parallel is aan die lyn .

Gegewe die punte , , en en , bepaal die waarde van .

Bereken die koördinate van die middelpunt van die lynsegment tussen die punte:

en

en

Die lyn wat en verbind, het die middelpunt . Bepaal die waardes van en .

Gegewe die vierhoek met hoekpunte , , en .

Bepaal die vergelyking van lyn en van lyn .

Toon aan dat .

Bereken die lengtes van en .

Bepaal die vergelyking van die diagonaal .

Watter soort vierhoek is ?

Parallelogram (teenoorstaande sye gelyk en parallel)

is 'n parallelogram met punte , en . Teken 'n skets en bepaal die koördinate van .

is 'n parallelogram, dus en :

is 'n vierhoek met punte , , en in die Cartesiese vlak.

Bepaal die lengtes van en .

Bepaal die middelpunt van .

Laat die middelpunt van wees.

Toon aan dat .

Bepaal die vergelykings van lyn en van lyn .

Is ? Verduidelik jou antwoord.

Nee; .

Watter soort vierhoek is ?

Parallelogram

4.2 Vergelyking van 'n lyn

Ons kan verskillende vorms van die vergelyking van die reguitlyn aflei. Die gebruik van die verskillende vorms hang af van watter inligting in die probleem gegee word.

Die twee-punt vorm van die reguitlynvergelyking:

Die gradiënt–punt vorm van die reguitlynvergelyking:

Die gradiënt–afsnit vorm van die reguitlynvergelyking:

Die twee-punt vorm van die reguitlynvergelyking

Gegewe enige twee punte en , kan ons die vergelyking van die lyn wat deur twee punte gaan, bepaal deur gebruik te maak van die vergelyking:

Uitgewerkte voorbeeld 3: Die twee-punt vorm van die reguitlynvergelyking

Vind die vergelyking van die reguitlyn wat deur en gaan.

Teken 'n skets

Ken veranderlikes aan die koördinate van die gegewe punte toe

Laat die koördinate van en wees

Skryf die twee-punt vorm van die reguitlynvergelyking neer

Vervang die waardes en maak die onderwerp van die vergelyking

Skryf die finale antwoord neer

Oefening 4.2

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn deur die punte:

en

en

en

en

en

en

en

en

en

Die gradiënt–punt vorm van die reguitlynvergelyking

Ons lei die gradiënt–punt vorm van die reguitlynvergelyking af deur die definisie van gradiënt en die twee-punt vorm van die reguitlynvergelyking te gebruik

Vervang aan die regterkant van die vergelyking

Vermeningvuldig beide kante van die vergelyking met

Om die vergelyking te kan gebruik het ons nodig om die gradiënt van die lyn en die koördinate van een punt op die lyn te weet.

Video: 25VC

Uitgewerkte voorbeeld 4: Die gradiënt–punt vorm van die reguitlynvergelyking

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn met gradiënt en wat deur die punt gaan.

Teken 'n skets

Ons let op dat , dus daal die grafiek soos toeneem.

Skryf die gradiënt–punt vorm van die reguitlynvergelyking neer

Vervang die waarde van die gradiënt

Vervang die koördinate van 'n gegewe punt

Skryf die finale antwoord neer

Die vergelyking van die reguitlyn is .

As ons twee punte op 'n reguitlyn gegee word, kan ons ook die gradiënt–punt vorm gebruik om die vergelyking van 'n reguitlyn te bepaal. Ons bereken eerstens die gradiënt deur die twee gegewe punte te gebruik en vervang dan enigeen van die twee punte in die gradiënt–punt vorm van die vergelyking.

Uitgewerkte voorbeeld 5: Die gradiënt–punt vorm van die reguitlynvergelyking

Bepaal die vergelyking van 'n reguitlyn wat deur en gaan.

Teken 'n skets

Ken veranderlikes aan die koördinate van die gegewe punte toe

Bereken die gradiënt deur die twee gegewe punte te gebruik

Skryf die gradiënt–punt vorm van die reguitlynvergelyking neer

Vervang die waarde van die gradiënt

Vervang die koördinate van 'n gegewe punt

Skryf die finale antwoord neer

Die vergelyking van die reguitlyn is .

Video: 25VD

Oefening 4.3

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn:

gaan deur die punt en met .

met en gaan deur die punt .

gaan deur die punt en met .

parallel aan die -as en gaan deur die punt .

gaan deur die punt en met .

loodreg op die -as en gaan deur die punt .

met en gaan deur die punt .

met ongedefiniëerde gradiënt en gaan deur die punt .

met en gaan deur die punt .

Die gradiënt–afsnit vorm van die reguitlynvergelyking

Deur gebruik te maak van die gradiënt–punt vorm, kan ons die gradiënt–afsnit vorm van die reguitlynvergelyking aflei.

Ons begin met die vergelyking

Vermenigvuldig die hakies uit en maak die onderwerp van die formule

Ons definiëer die konstante so dat sodat ons die volgende vergelyking kry:

Hierdie word ook die standaardvorm van die reguitlynvergelyking genoem.

Let op dat wanneer , het ons

Dus is die -afsnit van die reguitlyn.

Uitgewerkte voorbeeld 6: Die gradiënt–afsnit vorm van die reguitlynvergelyking

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn met die gradiënt en wat deur die punt gaan.

Gradiënt van die lyn

Ons let op dat , dus daal die grafiek soos toeneem.

Skryf die gradiënt–afsnit vorm van die reguitlynvergelyking neer

Vervang die waarde van die gradiënt

Vervang die koördinate van die gegewe punt en vind

Dit gee die -afsnit .

Skryf die finale antwoord neer

Die vergelyking van 'n reguitlyn is .

As ons twee punte op 'n reguitlyn gegee word, kan ons ook die gradiënt–afsnit vorm van die reguitlynvergelyking gebruik om die vergelyking van die reguitlyn te bepaal. Ons gebruik gelyktydige vergelykings om vir die twee onbekendes, en , op te los deur van die metodes van substitusie (vervanging) of eliminasie gebruik te maak.

Uitgewerkte voorbeeld 7: Die gradiënt–afsnit vorm van die reguitlynvergelyking

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punte en gaan.

Teken 'n skets

Skryf die gradiënt–afsnit vorm van die reguitlynvergelyking neer

Vervang die koördinate van die gegewe punte

Ons het twee vergelyings met twee onbekendes; ons kan dus die probleem oplos met behulp van gelyktydige vergelykings.

Maak die koëffisiënt van een van die veranderlikes dieselfde in beide vergelykings

Ons kan sien dat die koëffisiënt van in beide vergelykings is, dus kan ons die een vergelyking van die ander een aftrek om te elimineer:

Vervang in enigeen van die twee vergelykings en bepaal : of

Skryf die finale antwoord neer

Die vergelyking van 'n reguitlyn is .

Oefening 4.4

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn:

gaan deur die punt en met .

gaan deur die punte en .

gaan deur die punte en .

gaan deur die punt en met .

wat die -as by sny en met .

4.3 Inklinasie van 'n lyn

Die diagram toon dat 'n reguitlyn 'n hoek met die positiewe -as maak. Dit word die inklinasiehoek van 'n reguitlyn genoem.

Ons sien dat as die gradiënt verander, dan verander die waarde van ook, dus is daar 'n verband tussen die inklinasiehoek van 'n lyn en sy gradiënt. Ons weet dat die gradiënt die verhouding is tussen 'n verandering in die -rigting en 'n verandering in die -rigting:

Vanuit trigonometrie weet ons dat die tangensfunksie gedefiniëer word as die verhouding:

Vanuit die diagram sien ons dat

Dus is die gradiënt van 'n reguitlyn gelyk aan die tangens van die hoek wat gevorm word tussen die lyn en die positiewe rigting van die -as.

Vertikale lyne

Gradiënt is ongedefiniëerd aangesien daar geen verandering in die -waardes is nie ().

Dus is ook ongedefiniëerd (die grafiek van het 'n asimptoot by ).

Horisontale lyne

Gradiënt is gelyk aan , aangesien daar geen verandering in die -waardes is nie ().

Dus is ook gelyk aan (die grafiek van gaan deur die oorprong ).

Lyne met negatiewe gradiënte

As 'n reguitlyn 'n negatiewe gradiënt het (, ), dan is die hoek wat gevorm word tussen die lyn en die positiewe rigting van die -as is stomphoek.

Vanuit die CAST diagram in trigonometrie weet ons dat die tangensfunksie negatief is in die tweede en vierde kwadrante. As ons die inklinasiehoek van 'n lyn met 'n negatiewe gradiënt bereken, moet ons bytel om die negatiewe hoek in die vierde kwadrant te verander na 'n stomphoek in die tweede kwadrant.

As ons 'n reguitlyn met gradiënt gegee word, dan kan ons die inklinasiehoek met 'n sakrekenaar bepaal:

Hierdie negatiewe hoek lê in die vierde kwadrant. Ons moet bytel om by die stomphoek in die tweede kwadrant uit te kom:

En ons kan altyd ons sakrekenaar gebruik om te bevestig dat die stomphoek 'n gradiënt van gee.

Oefening 4.5

Bepaal die gradiënt (korrek tot desimale plek) vir elk van die volgende reguitlyne, gegewe dat die inklinasiehoek gelyk is aan:

Bepaal die inklinasiehoek (korrek tot desimale plek) vir elkeen van die volgende:

'n lyn met

die lyn gaan deur die punte en

Horisontale lyn

Vertikale lyn

die lyn gaan deur die punte en

'n lyn met 'n gradiënt gelyk aan

Uitgewerkte voorbeeld 8: Inklinasie van 'n reguitlyn

Bepaal die inklinasiehoek (korrek tot desimale plek) van die reguitlyn wat deur die punte en gaan.

Teken 'n skets

Ken veranderlikes toe aan die koördinate van die gegewe punte toe

Bepaal die gradiënt van 'n lyn

Gebruik die gradiënt om die inklinasiehoek van die lyn te bepaal

Belangrik: maak seker dat jou sakrekenaar op die DEG (grade) stelling is.

Skryf die finale antwoord neer.

Die inklinasiehoek van die reguitlyn is .

Uitgewerkte voorbeeld 9: Inklinasie van 'n reguitlyn

Bepaal die vergelyking van 'n reguitlyn wat deur die punt gaan met 'n inklinasiehoek van .

Gebruik die inklinasiehoek om die gradiënt van die lyn te bepaal

Skryf die gradiënt–punt vorm van die reguitlynvergelyking neer

Vervang

Vervang die gegewe punt

Skryf die finale antwoord neer

Die vergelyking van die reguitlyn is .

Uitgewerkte voorbeeld 10: Inklinasie van 'n reguitlyn

Bepaal die skerphoek (korrek tot desimale plek) tussen die lyn wat deur die punte en gaan en die reguitlyn .

Teken 'n skets

Teken die lyn deur die punte en en die lyn op 'n gepaste assestelsel. Dui en , die inklinasiehoeke van die twee lyne, aan. Dui ook , die skerphoek tussen die twee reguitlyne, aan.

Let op dat en skerphoeke is en dat 'n stomphoek is.

Gebruik die gradiënt om die inklinasiehoek te bepaal

Vanuit die vergelyking kan ons sien dat , dus is 'n stomphoek só dat .

Hierdie negatiewe hoek lê in die vierde kwadrant. Ons weet dat die inklinasiehoek 'n stomphoek is wat in die tweede kwadrant lê, dus

Bepaal die gradiënt en die inklinasiehoek vir die lyn deur en

Bepaal die gradiënt

Bepaal die inklinasiehoek

Skryf die finale antwoord neer

Die skerphoek tussen twee reguitlyne is .

Oefening 4.6

Bepaal die inklinasiehoek vir elkeen van die volgende:

'n lyn met

'n lyn met

die lyn wat deur en gaan

die lyn wat deur en gaan

Gradiënt ongedefiniëerd

Bepaal die skerphoek tussen die lyn wat deur die punte en gaan en die lyn wat deur punte en gaan.

Laat die inklinasiehoek vir lyn wees en laat die inklinasiehoek vir lyn wees. Laat die hoek tussen die twee lyne wees.

Bepaal die hoek tussen die lyn en die lyn .

Laat die inklinasiehoek vir die lyn wees en laat die inklinasiehoek vir die lyn wees. Laat die hoek tussen die twee lyne wees.

Vind die hoek tussen die lyn en die lyn wat deur die punte en gaan.

Laat die inklinasiehoek vir die lyn wees en laat die inklinasiehoek vir die ander lyn wees. Laat die hoek tussen die twee lyne wees.

4.4 Ewewydige lyne

Ewewydige lyne

Maak 'n skets van die lyn wat deur die punte en gaan en die lyn wat deur punte en gaan.

Benoem en meet en , die inklinasiehoeke van reguitlyne en , onderskeidelik.

Beskryf die verwantskap tussen en .

“ en is verwisselende hoeke, dus .” Is hierdie stelling waar? Indien nie, gee die korrekte stelling.

Gebruik jou sakrekenaar om en te bepaal.

Voltooi die sin: lyne het inklinasiehoeke.

Bepaal die vergelykings van die reguitlyne en .

Wat let jy op omtrent en ?

Voltooi die sin: lyne het gradiënte.

'n Ander metode om die vergelyking van 'n reguitlyn te bepaal, is om 'n punt te hê op die onbekende lyn, asook die vergelyking van 'n lyn wat parallel is aan die onbekende lyn.

Laat die vergelyking va die onbekende lyn wees en die vergelyking van die gegewe lyn wees.

As die twee lyne parallel is, dan

Belangrik: wanneer die gradiënt van die lyn met behulp van die koëffisiënt van bepaal word, maak seker dat die gegewe vergelyking in die gradiënt–afsnit (standaard) vorm geskryf is.

Vervang die waarde van en die gegewe punt , in die gradiënt–afsnit vorm van die reguitlynvergelyking

en bepaal die vergelyking van die onbekende lyn.

Uitgewerkte voorbeeld 11: Ewewydige lyne

Bepaal die vergelyking van die lyn wat deur gaan en ewewydig is aan die lyn .

Skryf in die gradiënt–afsnit vorm

Ons skryf die gegewe vergelyking in die gradiënt–afsnit vorm en bepaal die waarde van .

Ons weet dat die twee lyne ewewydig is, dus .

Skryf die gradiënt–punt vorm van die reguitlynvergelyking neer

Vervang

Vervang die gegewe punt

'n Skets was nie nodig nie, maar dit is altyd nuttig en kan gebruik word om antwoorde te kontroleer.

Skryf die finale antwoord neer

Die vergelyking van 'n reguitlyn is .

Uitgewerkte voorbeeld 12: Ewewydige lyne

Lyn gaan deur die punt en het 'n inklinasiehoek van . Bepaal die vergelyking van die lyn wat deur die punt gaan en ewewydig is aan .

Die gebruik van die gegewe inklinasiehoek om die gradiënt te bepaal

Ewewydige lyne het dieselfde gradiënt

Aangesien aan ons gegee is dat ,

Skryf die gradiënt–punt vorm van die reguitlynvergelyking neer

Vervang die gradiënt .

Vervang die gegewe punt .

'n Skets was nie nodig nie, maar is altyd nuttig.

Skryf die finale antwoord neer

Die vergelyking van 'n reguitlyn is .

Video: 25X5

Oefening 4.7

Bepaal of die volgende twee lyne ewewydig is of nie:

en

Ewewydige lyne.

en

Ewewydige lyne.

en die lyn wat deur en gaan

Ewewydige lyne.

en

Nie-ewewydige lyne.

Die lyn wat deur punte en gaan en die lyn

Ewewydige lyne.

en die lyn wat deur punte en gaan

Ewewydige lyne.

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punt gaan en ewewydig is aan die lyn .

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punt gaan en ewewydig is aan die lyn .

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punt gaan en ewewydig is aan die lyn met 'n inklinasiehoek van .

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punt gaan en ewewydig is aan die lyn met 'n inklinasiehoek van .

4.5 Loodregte lyne

Loodregte lyne

Maak 'n skets van die lyn wat deur die punte en gaan en die lyn wat deur punte en gaan.

Benoem en meet en , die inklinasiehoeke van reguitlyne en , onderskeidelik.

Benoem en meet , die hoek tussen die lyne en .

Beskryf die verwantskap tussen die lyne en .

“ is 'n refleksehoek, dus .” Is hierdie 'n waar stelling? Indien nie, gee 'n korrekte stelling.

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn en die lyn .

Gebruik jou sakrekenaar om te bepaal.

Bepaal .

Wat let jy op in verband met hierdie produkte?

Voltooi die sin: as twee lyne aan mekaar is, dan is die produk van hulle gelyk

Voltooi die sin: as die gradiënt van 'n reguitlyn gelyk is aan die negatief van die gradiënt van 'n ander lyn, dan is die twee lyne

Die afleiding van die formule:

Beskou die punt met 'n inklinasiehoek van op die Cartesiese vlak, roteer deur 'n hoek van en plaas punt by sodat ons 'n inklinasiehoek van het.

Ons bepaal die gradiënt van :

Bepaal die gradiënt van :

Deur rotasie het ons dat

Ons kan ook skryf dat

As ons 'n algemene punt het met 'n inklinasiehoek en punt sodat , dan weet ons dat

Nog 'n metode om die vergelyking van 'n reguitlyn te bepaal is om 'n punt op die lyn te hê, , asook die vergelyking van 'n lyn wat loodreg op die onbekende lyn is. Laat die vergelyking van die onbekende lyn wees en die vergelyking van die gegewe lyn wees.

As die twee lyne loodreg is dan

Nota: hierdie reël is nie van toepassing op vertikale of horisontale lyne nie.

Wanneer ons die gradiënt van 'n lyn bepaal deur die koëffisiënt van te gebruik, maak seker dat die gegewe vergelyking in die gradiënt–afsnit (standaard) vorm geskryf is . Dan weet ons dat

Vervang die waarde van en die gegewe punt , in die gradiënt–afsnit vorm van die reguitlynvergelyking en bepaal die vergelyking van die onbekende lyn.

Uitgewerkte voorbeeld 13: Loodregte lyne

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn wat deur punt gaan en loodreg op die lyn is.

Skryf die vergelyking in die standaardvorm

Laat die gradiënt van die onbekende lyn wees en laat die gegewe gradiënt wees. Ons skryf die gegewe vergelyking in die gradiënt–afsnit vorm en bepaal die waarde van .

Ons weet dat die twee lyne loodreg is, dus . Dus .

Skryf die gradiënt–punt vorm van die reguitlynvergelyking neer

Vervang .

Vervang die gegewe punt .

'n Skets was nie nodig nie, maar is nuttig om die antwoord te kontroleer.

Skryf die finale antwoord neer

Die vergelyking van 'n reguitlyn is .

Uitgewerkte voorbeeld 14: Loodregte lyne

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punt gaan en loodreg is op die lyn met 'n inklinasiehoek van .

Gebruik die inklinasiehoek om die gradiënt te bepaal

Laat die gradiënt van die onbekende lyn wees en laat die gegewe gradiënt wees.

Bepaal die onbekende gradiënt

Ons weet die twee lyne is loodreg op mekaar,

Skryf die gradiënt–punt vorm van die reguitlynvergelyking neer

Vervang die gradiënt .

Vervang die gegewe punt .

Skryf die finale antwoord neer

Die vergelyking van 'n reguitlyn is .

Video: 25XJ

Oefening 4.8

Bepaal of die volgende twee lyne loodreg op mekaar is of nie.

en

Loodregte lyne.

en

Nie-loodregte lyne.

en die lyn wat deur en gaan

Loodregte lyne.

en

Loodreg: horisontale en vertikale lyne.

en

Loodregte lyne.

en die lyn wat deur en gaan

Nie-loodregte lyne.

en

Nie-loodregte lines.

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punt gaan en loodreg op die lyn is.

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punt gaan en loodreg op die lyn is.

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punt gaan en loodreg is op die lyn met 'n inklinasiehoek van .

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punt gaan en loodreg is op die lyn .

4.6 Opsomming

Afstand tussen twee punte:

Gradiënt van 'n lyn tussen twee punte:

Middelpunt van 'n lyn:

Ewewydige lyne:

Loodregte lyne:

Algemene vorm van die reguitlynvergelyking:

Twee-punt vorm van die reguitlynvergelyking:

Gradiënt–punt vorm van die reguitlynvergelyking:

Gradiënt–afsnit vorm van die reguitlynvergelyking (standaard vorm):

Inklinasiehoek van 'n reguitlyn: , die hoek gevorm tussen die lyn en die positiewe -as;

Oefening 4.9

Bepaal die vergelyking van die lyn:

deur die punte en

deur die punte en

ewewydig aan en wat deur gaan

loodreg op en wat deur gaan

loodreg op en wat deur die oorsprong gaan

Bepaal die inklinasiehoeke van die volgende lyne:

, en is die hoekpunte van in die Cartesiese vlak. sny die -as by . Bepaal die volgende:

die vergelyking van die lyn

die koördinate van punt

die inklinasiehoek van (korrek tot twee desimale plekke)

die gradiënt van lyn

die vergelyking van die lyn loodreg op en wat deur die oorsprong gaan

die middelpunt van

die vergelyking van die lyn ewewydig aan en wat deur punt gaan

Punte , en is gegee.

Stip die punte op die Cartesiese vlak.

Bepaal die koördinate van as 'n parallelogram is.

Bewys dat 'n rombus is.

Beskou die skets hierbo, met die volgende lyne wat aangetoon word:

Bepaal die koördinate van die punt .

Bepaal die koördinate van die punt .

Bepaal die vergelyking van die vertikale lynstuk .

Bepaal die lengte van die vertikale lyn .

Bepaal die grootte van .

Bepaal die vergelyking van die lyn ewewydig aan en wat deur die punt gaan.

Die volgende punte is gegee: , , .

Stip die punte op die Cartesiese vlak.

Bewys dat 'n reghoekige gelykbenige driehoek is.

Bepaal die vergelyking van lyn .

Bepaal die koördinate van as 'n vierkant is.

Bepaal die koördinate van , die middelpunt van .

Gegewe punte , en .

Bepaal die vergelyking van die lyn .

Bepaal die grootte van .

Beskou die driehoek met hoekpunte , en .

Skets op die Cartesiese vlak.

Wys dat 'n gelykbenige driehoek is.

Bepaal die vergelyking van die lyn , loodregte halveerlyn van .

Lê op die lyn ?

Bepaal die vergelyking van die lyn ewewydig aan en wat deur punt gaan.

Gegewe die punte , en . is die middelpunt van en is die middelpunt van .

Teken 'n skets op die Cartesiese vlak.

Toon aan dat die koördinate van en , onderskeidelik en en is.

Gebruik analitiese meetkundige metodes om die middelpuntstelling te bewys. (Bewys dat en .)

Hoofstuk 5: Funksies

Leerders moet in staat wees om die vergelyking van ‘n funksie te bepaal vanaf die grafiek.

Bespreek en verduidelik die eienskappe van funksies: gebied, terrein, as-afsnitte, maksimum- en minimumwaardes, simmetrie, ens.

Beklemtoon by leerders die belangrikheid daarvan om die vergelyking van ‘n funksie goed te bestudeer en die vorm van die grafiek te antisipeer.

Bespreek die verskillende funksies en die invloed van die parameters in algemene terme.

'n Funksie beskryf 'n spesifieke verwantskap of verband tussen twee veranderlikes: waar 'n onafhanklike (invoer) veranderlike presies een afhanklike (uitvoer) veranderlike het. Elke element van die gebied beeld af op slegs een element in die terrein. Funksies kan een-tot-een of meer-tot-een verwantskappe wees. 'n Meer-tot-een verwantskap assosieer twee of meer waardes van die onafhanklike veranderlike met 'n enkele waarde van die afhanklike veranderlike. Funksies laat ons toe om verbande visueel voor te stel in die vorm van grafieke, wat baie makliker is om te lees en te interpreteer as lyste van getalle.

5.1 Kwadratiese funksies

Hersiening

Funksies van die vorm

Funksies van die algemene vorm word paraboliese funksies genoem, waar en konstantes is.

Die effek van en op :

Die effek van : vertikale skuif

Vir , word vertikaal opwaarts geskuif met eenhede.

Die draaipunt van is bokant die -as.

Vir , is vertikaal afwaarts geskuif met eenhede.

Die draaipunt van is onder die -as.

is ook die -afsnit van die parabool.

Die effek van : vorm

Vir ; die grafiek van is 'n “glimlag” en het 'n minimum draaipunt . Soos die waarde van groter word, word die grafiek nouer.

Soos nader beweeg aan , word wyer.

Vir ; die grafiek van is 'n “frons” en het 'n maksimum draaipunt . Soos die waarde van kleiner word, word die grafiek nouer.

Soos nader beweeg aan , word wyer.

Oefening 5.1

Op aparte assestelsels, trek akkurate grafieke van die volgende funksies.

Gebruik tabelle indien nodig.

Gebruik grafiekpapier indien beskikbaar.

Gebruik jou sketsgrafieke van die funksies hierbo om die volgende tabel te voltooi (die eerste kolom is reeds ingevul as 'n voorbeeld):

waarde van |  |  |  |
effek van |  |  |  |
waarde van |  |  |  |
effek van | standaard parabool |  |  |
draaipunt |  |  |  |
simmetrie-as | (-as) |  |  |
gebied |  |  |  |
terrein |  |  |  |

waarde van |  |  |  |
uitwerking van |  |  | , skuif eenheid afwaards | , skuif eenhede opwaarts
waarde van |  |  |  |
uitwerking van | standard parabola | glimlag, min. draaipunt | frons, maks. draaipunt | frons, maks. draaipunt
draaipunt |  |  |  |
simmetrie-as | (-as) | (-as) | (-as) | (-as)
gebied |  |  |  |
terrein |  |  |  |

Funksies van die vorm

Ons beskou nou paraboliese funksies van die vorm en die invloed van parameter .

Die effek van , en op 'n paraboliese grafiek

Op dieselfde assestelsel, trek die volgende gafieke:

Gebruik jou grafieke van die funksies hierbo om die volgende tabel te voltooi:

-afsnit(te) |  |  |  |  |
-afsnit |  |  |  |  |
draaipunt |  |  |  |  |
simmetrie-as |  |  |  |  |
gebied |  |  |  |  |
terrein |  |  |  |  |
effek van |  |  |  |  |

Op dieselfde assestelsel, trek die volgende gafieke:

Gebruik jou grafieke van die funksies hierbo om die volgende tabel te voltooi:

-afsnit(te) |  |  |  |  |
-afsnit |  |  |  |  |
draaipunt |  |  |  |  |
simmetrie-as |  |  |  |  |
gebied |  |  |  |  |
terrein |  |  |  |  |
effek van |  |  |  |  |

Oorweeg die volgende drie funksies en beantwoord die vrae wat volg:

Wat is die waarde van vir ?

Het 'n minimum of maksimum draaipunt?

Wat is die koördinate van die draaipunt van ?

Vergelyk die grafieke van en . Bespreek die ooreenkomste en verskille.

Wat is die waarde van vir ?

Sal die grafiek van nouer of wyer wees as die grafiek van ?

Bepaal die koördinate van die draaipunt van .

Vergelyk die grafieke van en . Beskryf enige verskille.

Video: 25YT

Die effek van parameterveranderinge op

Die effek van is 'n horisontale skuif omdat al die punte dieselfde afstand in dieselfde rigting beweeg (die hele grafiek skuif na die linkerkant of na die regterkant).

Vir , word die grafiek eenhede links geskuif.

Vir , word die grafiek eenhede regs geskuif.

Die waarde van beïnvloed ook of die draaipunt aan die linkerkant van die -as of aan die regterkant van die -as is. Die as van simmetrie is die lyn .

Die effek van is 'n vertikale skuif. Die waarde van beïnvloed of die draaipunt bo die -as of onder die -as sal wees.

Die waarde van beïnvloed die vorm van die grafiek. As , is die grafiek 'n “frons” en het 'n maksimum draaipunt. As is die grafiek 'n “glimlag” en het 'n minimum draaipunt. Wanneer , is die grafiek 'n horisontale lyn .

Simulation: 25YV

Ontdek die eienskappe

Vir funksies van die algemene vorm: :

Gebied en terrein

Die gebied is want daar is geen waarde van waarvoor ongedefiniëerd is nie.

Die terrein van hang daarvan af of die waarde van positief of negatief is. As het ons:

Die terrein is dus as . Soortgelyk, as , is die terrein .

Uitgewerkte voorbeeld 1: Gebied en terrein

Gee die gebied en terrein vir .

Bepaal die gebied

Die gebied is want daar is geen waarde van waarvoor ongedefiniëerd is nie.

Bepaal die terrein

Die terrein van kan bereken word van: Dus die terrein is of in intervalnotasie .

Let daarop in die voorbeeld hierbo dat dit nuttig is om die funksie te skryf in die vorm .

Ons gebruik die metode van voltooi die vierkant om 'n kwadratiese funksie te skryf in die algemene vorm van te skryf in die vorm (sien Hoofstuk ).

Oefening 5.2

Gee die gebied en terrein vir elk van die volgende funksies:

Afsnitte

Die -afsnit:

Elke punt op die -as het 'n -koördinaat van , dus om die -afsnit te bereken, stel ons .

Byvoorbeeld, die -afsnit van word verkry deur te stel: Dit gee die punt .

Die -afsnit:

Elke punt op die -as het 'n -koördinaat van , dus om die -afsnit te bereken, laat ons .

Byvoorbeeld, die -afsnit van word verkry deur te stel: wat geen reële oplossings het nie. Dus, die grafiek van lê bo die -as en het geen -afsnitte nie.

Oefening 5.3

Bepaal die - en -afsnitte vir elk van die volgende funksies:

Draaipunt

Die draaipunt van die funksie word bepaal deur die terrein van die funksie te ondersoek:

As , het 'n minimum draaipunt en die terrein is .

Die minimumwaarde van is .

As , dan , en dus .

Dit gee die draaipunt .

As , het 'n maksimum draaipunt en die terrein is .

Die maksimumwaarde van is .

As , dan , en dus .

Dit gee die draaipunt .

Dus die draaipunt van die kwadratiese funksie is .

Alternatiewe vorm van die kwadratiese vergelyking:

Ons kan die kwadratiese vergelyking ook skryf in die vorm

Die effek van is steeds 'n horisontale skuif, maar let op dat:

Vir , word die grafiek na die regs geskuif met eenhede.

Vir , word die grafiek na die links geskuif met eenhede.

Die draaipunt is en die as van simmetrie is die lyn .

Uitgewerkte voorbeeld 2: Draaipunt

Bepaal die draaipunt van .

Skryf die vergelyking in die vorm

Ons gebruik die metode van die voltooiing van die vierkant:

Bepaal die draaipunt

Van die vergelyking weet ons die draaipunt van is .

Uitgewerkte voorbeeld 3: Draaipunt

Toon dat die -waarde vir die draaipunt van gegee word deur .

Bepaal vervolgens die draaipunt van .

Skryf die vergelyking in die vorm en wys dat

Ons gebruik die metode van die voltooiing van die vierkant:

Neem die helfte van die koëffisiënt van die term en kwadreer dit; tel dit dan by en trek dit af van die uitdrukking. Van bostaande sien ons die draaipunt is by en .

Bepaal die draaipunt van

Skryf die vergelyking in die algemene vorm . Dus ; ; .

Gebruik die resultate hierbo verkry om te bepaal:

Substitueer om die ooreenstemmende -waarde te kry: Die draaipunt van is .

Oefening 5.4

Bepaal die draaipunt van elk van die volgende:

As van simmetrie

Die as van simmetrie vir is die vertikale lyn . Die as van simmetrie gaan deur die draaipunt en is ewewydig aan die -as.

Oefening 5.5

Bepaal die as van simmetrie van elk van die volgende:

Skryf die vergelyking neer van 'n parabool waar die -as die as van simmetrie is.

Skets die grafiek van die vorm

Ten einde die grafiek te skets van die vorm , moet ons vyf kenmerke bepaal:

teken van

draaipunt

-afsnit

-afsnit(te) (as hulle bestaan)

gebied en terrein

Video: 25ZN

Uitgewerkte voorbeeld 4: Skets 'n parabool

Skets die grafiek van .

Merk die as-afsnitte, draaipunt en die as van simmetrie. Gee die gebied en terrein van die funksie.

Ondersoek die vergelyking in die vorm

Ons let op dat , dus is die grafiek 'n “frons” en het 'n maksimum draaipunt.

Bepaal die draaipunt

Van die vergelyking weet ons dat die draaipunt is.

Bepaal die as van simmetrie van

Van die vergelyking weet ons dat die as van simmetrie is.

Bepaal die -afsnit

Die -afsnit word verkry deur te stel: Dit gee die punt .

Bepaal die -afsnitte

Die -afsnitte word verkry deur te stel: wat geen reële oplossings het nie. Dus, daar is geen -afsnitte nie en die grafiek lê onder die -as.

Stip die punte en teken die grafiek

Gee die gebied en die terrein

Gebied:

Terrein:

Video: 25ZP

Uitgewerkte voorbeeld 5: Skets 'n parabool

Skets die grafiek van .

Bepaal die as-afsnitte, die draaipunt en die as van simmetrie. Gee die gebied en terrein van die funksie.

Ondersoek die vergelyking in die vorm

Ons let op dat , dus is die grafiek 'n “glimlag” en het 'n minimum draaipunt.

Bepaal die draaipunt en die as van simmetrie

Kontroleer dat die vergelyking in die standaardvorm is en identifiseer die koëffisiënte.

Bereken die -waarde van die draaipunt Dus is die as van simmetrie .

Substitueer in die oorspronlike vergelyking om die ooreenstemmende -waarde te kry. Dit gee die punt .

Bepaal die -afsnit

Die -afsnit word verkry deur te stel: Dit gee die punt .

Bepaal die -afsnitte

Die -afsnitte word verkry deur te stel : Dus of . Dit gee die punte en .

Stip die punte en teken die grafiek

Gee die gebied en die terrein

Gebied:

Terrein:

Skuif van 'n parabool

Carl en Eric doen hulle Wiskunde huiswerk en besluit om mekaar se antwoorde te kontroleer.

Huiswerkvraag:

As die parabool , eenhede na regs geskuif word, bepaal die vergelyking van die nuwe parabool.

Carl se antwoord:

'n Skuif na regs beteken om in die positiewe rigting te beweeg, dus word vervang met en die nuwe vergelyking is .

Eric se antwoord:

Ons vervang met , dus is die nuwe vergelyking .

Werk saam in pare. Bespreek die twee verskillende antwoorde en besluit watter een is korrek. Gebruik berekeninge en sketse om te help om jou redenasie te verduidelik.

Om die vergelyking te skryf van 'n parabool wat geskuif word

Die parabool word horisontaal geskuif:

As die parabool eenhede na regs geskuif word, word vervang met .

As die parabool eenhede na links geskuif word, word vervang met .

Die parabool word vertikaal geskuif:

As die parabool eenheid afgeskuif word, word vervang met .

As die parabool eenhede opskuif, word vervang met .

Uitgewerkte voorbeeld 6: Skuif van 'n parabool

Gegee .

As die parabool eenheid na regs geskuif word, bepaal die nuwe vergelyking van die parabool.

As die parabool eenhede afwaarts geskuif word, bepaal die nuwe vergelyking van die parabool.

Bepaal die nuwe vergelyking van 'n parabool wat geskuif het

Die parabool word eenhede na regs geskuif, dus moet vervang word met . Wees versigtig om nie 'n baie algemene fout te maak nie: naamlik om te vervang met vir 'n skuif na regs.

Die parabool word eenhede afgeskuif, dus moet vervang word met .

Oefening 5.6

Skets grafieke van die volgende funksies. Bepaal:

as-afsnitte

draaipunt

asse van simmetrie

gebied en terrein

Trek die volgende grafieke op dieselfde assestelsel:

Trek 'n skets van elk van die volgende grafieke:

as , , .

as , , .

as , , .

as , en die -afsnitte het verskillende tekens.

as , , en een wortel is nul.

as , , .

Bepaal die nuwe vergelyking (in die vorm ) as:

met eenhede links geskuif word.

met eenheid opgeskuif word.

met eenhede regs geskuif word.

Die vind van die vergelyking van 'n parabool vanaf die grafiek

As die as-afsnitte gegee word, gebruik .

Voorbeeld:

-afsnitte: en

-afsnit:

Vergelyking van die parabool:

As die -afsnitte en nog 'n punt gegee word, gebruik .

Voorbeeld:

-afsnitte: en

Substitueer die punt:

Vergelyking van die parabool:

As die draaipunt en nog 'n punt gegee word, gebruik .

Voorbeeld:

Draaipunt:

Substitueer die punt:

Vergelyking van die parabool:

Oefening 5.7

Bepaal die vergelykings van die volgende grafieke. Skryf jou antwoorde in die vorm .

5.2 Gemiddelde gradiënt

Ons let op dat die gradiënt van 'n kromme verander by elke punt op die kromme, daarom werk ons met gemiddelde gradiënt. Die gemiddelde gradiënt tussen enige twee punte op 'n kromme is die gradiënt van die reguitlyn deur die twee punte.

Vir die diagram hierbo, is die gradiënt van Dit is die gemiddelde gradiënt van die kromme tussen die punte en .

Wat gebeur met die gradiënt as ons die posisie van die een punt bevestig en die tweede punt met die kromme saam al nader beweeg na die vaste punt?

Gradiënt by 'n enkele punt op 'n kromme

Die kromme hieronder getoon word gedefiniëer deur . Punt is vas by en die posisie van punt wissel.

Voltooi die tabel hieronder deur die -koördinate te bereken van punt vir die gegewe -koördinate en om dan die gemiddelde gradiënt tussen punte en te bereken.

Gemiddelde gradiënt

Wat gebeur met die gemiddelde gradiënt soos nader beweeg aan ?

Wat gebeur met die gemiddelde gradiënt soos wegbeweeg van ?

Wat is die gemiddelde gradiënt wanneer oorvleuel met ?

In die voorbeeld hierbo, verander die gradiënt van die reguitlyn deur die punte en soos al nader beweeg aan . By die punt waar en oorvleuel, gaan die reguitlyn deur slegs een punt op die kromme. Die lyn staan bekend as 'n raaklyn aan die kromme.

Ons voer vervolgens die idee in van die gradiënt by 'n enkele punt op 'n kromme. Die gradiënt by 'n punt op die kromme is die gradiënt van die raaklyn aan die kromme by 'n gegewe punt.

Uitgewerkte voorbeeld 7: Gemiddelde gradiënt

Vind die gemiddelde gradiënt tussen twee punte en op 'n kromme .

Bepaal die gemiddelde gradiënt tussen en .

Verduidelik wat gebeur met die gemiddelde gradiënt as nader beweeg aan .

Benoem die -waardes van die gegewe punte

Bepaal die ooreenstemmende -koördinate

Deur gebruik te maak van die funksie , kan ons bepaal:

Bereken die gemiddelde gradiënt

Die gemiddelde gradiënt tussen en op die kromme is .

Bereken die gemiddelde gradiënt tussen en

Die -koördinaat van is en die -koördinaat van is . Dus, as ons weet dat en , dan .

Die gemiddelde gradiënt is dus

Wanneer al nader beweeg aan

Wanneer punt al nader beweeg aan punt , word al kleiner.

Wanneer die punt oorvleuel met die punt , en die gradiënt word gegee deur .

Ons kan die formule vir die gemiddelde gradiënt ook in 'n ander vorm skryf. Gegee 'n kromme met twee punte en met en . Die gemiddelde gradiënt tussen en is: Hierdie resultaat is belangrik vir die berekening van die gradiënt by 'n punt op die kromme en sal in groter besonderhede bestudeer word in Graad .

Uitgewerkte voorbeeld 8: Gemiddelde gradiënt

Gegee .

Teken die skets van die funksie en bepaal die gemiddelde gradiënt tussen die punte , waar , en , waar .

Bepaal die gradiënt van die kromme by die punt .

Ondersoek die vorm van die vergelyking

Van die vergelyking sien ons dat , dus is die grafiek 'n “frons” en het 'n maksimum draaipunt. Ons sien ook dat wanneer , , dus gaan die grafiek deur die oorsprong.

Teken 'n rowwe skets

Bereken die gemiddelde gradiënt tussen en

Bereken die gemiddelde gradiënt vir

By punt , en .

Dus

Oefening 5.8

Bepaal die gemiddelde gradiënt van die kromme tussen en .

Sê vervolgens wat jy kan aflei oor die funksie tussen en .

is 'n punt op .

Teken 'n skets van en benoem punt .

Bepaal die gradiënt van die kromme by die punt .

Bepaal die vergelyking van die raaklyn by .

Gegee: .

Teken 'n skets van .

Bepaal die gemiddelde gradiënt van die kromme tussen en .

Bepaal die gradiënt van by .

Bepaal die gradiënt van by .

5.3 Hiperboliese funksies

Hersiening

Funksies van die vorm

Funksies van die algemene vorm word hiperboliese funksies genoem, waar en konstantes is.

Die effek van en op :

Die effek van : vertikale skuif

Vir , word vertikaal opwaarts geskuif met eenhede.

Vir , word vertikaal afwaarts geskuif met eenhede.

Die horisontale asimptoot is die lyn .

Die vertikale asimptoot is die -as, die lyn .

Die effek van : vorm en kwadrante

Vir , lê in die eerste en derde kwadrante.

Vir , sal verder wees van beide asse af as vir .

Vir , soos nader kom aan , beweeg nader aan die asse as .

Vir , lê in die tweede en vierde kwadrante.

Vir , sal verder wees van beide asse af as vir .

Vir , soos nader kom aan , beweeg nader aan die asse as .

Oefening 5.9

Beskou die volgende hiperboliese funksies:

Voltooi die tabel om die eienskappe van die hiperboliese funksie op te som:

waarde van

effek van
geen vertikale skuif

waarde van

effek van
lê in kwadrant I en III

asimptote

-as,

-as,

simmetrie-asse

gebied

terrein

waarde van

uitwerking van
geen vertikale skuif
geen vertikale skuif
skuif eenhede afwaarts
skuif eenheid opwaarts

waarde van

uitwerking van
lê in kwadrant I en III
lê in kwadrant II en IV
lê in kwadrant I en III
lê in kwadrant II en IV

asimptote

-as,

-as,

-as,

-as,

-as,

-as,

simmetrie-asse

gebied

terrein

Funksies van die vorm

Ons beskou nou hiperboliese funksies van die vorm en die effek van parameters .

Die invloed van , en op 'n hiperboliese grafiek

Op dieselfde assestelsel, trek die volgende gafieke:

Gebruik jou grafieke van die funksies hierbo om die volgende tabel te voltooi:

as-afsnit(te) |  |  |  |
asimptote |  |  |  |
simmetrie-asse |  |  |  |
gebied |  |  |  |
terrein |  |  |  |
effek van |  |  |  |

Voltooi die volgende sinne vir funksies van die vorm :

'n Verandering in veroorsaak 'n skuif.

As die waarde van toeneem, sal die grafiek en die vertikale asimptoot

As die waarde van verander, sal die asimptoot van die hiperbool skuif.

As die waarde van afneem, sal die grafiek en die vertikale asimptoot

Die effek van parameterveranderinge op

Die effek van is 'n horisontale skuif omdat al die punte dieselfde afstand in dieselfde rigting beweeg (die hele grafiek skuif na die linkerkant of na die regterkant).

Vir , word die grafiek eenhede links geskuif.

Vir , word die grafiek eenhede regs geskuif.

Die waarde van beïnvloed ook die vertikale asimptoot, naamlik die lyn .

Die invloed van is 'n vertikale skuif. Die waarde van beïnvloed ook die horisontale asimptoot, naamlik die lyn .

Die waarde van beïnvloed die vorm van die grafiek en die posisie in die Cartesiese vlak.

Ontdek die eienskappe

Vir funksies van die algemene vorm: :

Gebied en terrein

Die gebied is . As , is die noemer gelyk aan nul en die funksie is ongedefiniëer.

Ons sien dat herskryf kan word as: As dan: Die terrein is dus

Hierdie beperkings op die gebied en die terrein bepaal die vertikale asimptoot en die horisontale asimptoot .

Uitgewerkte voorbeeld 9: Gebied en terrein

Bepaal die gebied en terrein vir .

Bepaal die gebied

Die gebied is aangesien ongedefiniëerd is vir .

Bepaal die terrein

Laat : Dus is die terrein .

Oefening 5.10

Bepaal die gebied en terrein vir elk van die volgende funksies:

Afsnitte

Die -afsnit:

Om die -afsnit te bereken, stel ons . Byvoorbeeld, die -afsnit van word bepaal deur te stel: Dit gee die punt .

Die -afsnit:

Om die -afsnit te bereken, stel ons . Byvoorbeeld, die -afsnit van word bepaal deur te stel: Dit gee die punt .

Oefening 5.11

Bepaal die - en -afsnitte vir elk van die volgende funksies:

Asimptote

Daar is twee asimptote vir funksies van die vorm . Die asimptote gee die waardes van waarvoor die funksie nie bestaan nie. Met ander woorde, die waardes wat uitgesluit is uit die gebied en terrein. Die horisontale asimptoot is die lyn en die vertikale asimptoot is die lyn .

Oefening 5.12

Bepaal die asimptote vir elk van die volgende funksies:

Asse van simmetrie

Daar is twee lyne ten opsigte waarvan die hiperbool simmetries is.

Vir die standaard hiperbool , sien ons dat as ons en vervang, kry ons . Soortgelyk, as ons en vervang, bly die funksie dieselfde. Dus die funksie is simmetries met betrekking tot die lyne en .

Vir die geskuifde hiperbool , sny die asse van simmetrie by die punt .

Om die asse van simmetrie te bepaal, definiëer ons twee reguitlyne en . Vir die standaard en geskuifde hiperboliese funksie, is die gradiënt van een van die lyne van simmetrie en die gradiënt van die ander lyn van simmetrie is . Die asse van simmetrie is loodreg op mekaar en die produk van hulle gradiënte is gelyk aan . Dus ons stel en . Dan substitueer ons , die snypunt van die simmetrie-asse, in beide vergelykings in om die waardes van en te bereken.

Uitgewerkte voorbeeld 10: Asse van simmetrie

Bepaal die asse van simmetrie vir .

Bepaal die snypunt van

Van die vergelyking sien ons dat en . So, die asse an simmetrie sal sny by .

Definiëer twee reguitlynvergelykings

Los op vir en

Gebruik om op te los vir :

Gebruik om op te los vir :

Skryf die finale antwoord

Die asse van simmetrie vir is die lyne

Oefening 5.13

Voltooi die volgende vir en :

Skets die grafiek.

Bepaal .

Vind die asse van simmetrie.

Vergelyk en asook hulle asse van simmetrie. Wat let jy op?

'n Hiperbool van die vorm gaan deur die punt . As die asse van simmetrie sny by , bepaal die vergelyking van .

Skets die grafiek van die vorm

Ten einde die grafieke te skets van funksies van die vorm, , moet ons vyf eienskappe bepaal:

kwadrante

asimptote

-afsnit

-afsnit

gebied en terrein

Uitgewerkte voorbeeld 11: Skets 'n hiperbool

Skets die grafiek van . Bepaal die afsnitte, asimptote en asse van simmetrie. Gee die gebied en terrein van die funksie.

Ondersoek die vergelyking in die vorm

Ons let op , dus sal die grafiek in die eerste en derde kwadrante lê.

Bepaal die asimptote

Van die vergelyking weet ons dat en .

Die horisontale asimptoot is dus die lyn en die vertikale asimptoot is die lyn .

Bepaal die -afsnit

Die -afsnit word verkry deur te stel: Dit gee die punt .

Bepaal die -afsnit

Die -afsnit word verkry deur te stel: Dit gee die punt .

Bepaal die asse van simmetrie

Gebruik om op te los vir : Dus die asse van simmetrie is en .

Stip die punte en teken die grafiek

Gee die gebied en die terrein

Gebied:

Terrein:

Uitgewerkte voorbeeld 12: Skets 'n hiperbool

Gebruik horisontale en vertikale skuiwe om die grafiek van te skets.

Ondersoek die vergelyking in die vorm

Ons let op , dus sal die grafiek in die eerste en derde kwadrante lê.

Skets die standaard hiperbool

Begin met die skets van die standaard hiperbool .

Die vertikale asimptoot is en die horisontale asimptoot is .

Bepaal die vertikale skuif

Van die vergelyking sien ons dat , wat beteken moet eenhede opgeskuif word.

Die horisontale asimptoot skuif ook eenhede op na .

Bepaal die horisontale skuif

Van die vergelyking sien ons dat , wat beteken skuif eenhede regs.

Die vertikale asimptoot skuif ook eenhede regs.

Bepaal die -afsnit

Die -afsnit word verkry deur te stel: Dit gee die punt .

Bepaal die -afsnit

Die -afsnit word verkry deur te stel: Dit gee die punt .

Bepaal die gebied en terrein

Gebied:

Terrein:

Uitgewerkte voorbeeld 13: Vind die vergelyking van 'n hiperbool vanaf die grafiek

Gebruik die grafiek hieronder om die waardes van , en te bepaal vir .

Ondersoek die grafiek en lei af wat is die teken van

Ons sien die grafiek lê in die tweede en vierde kwadrante, dus .

Bepaal die asimptote

Van die grafiek sien ons die vertikale asimptoot is , dus . Die horisontale asimptoot is , en dus .

Bepaal die waarde van

Om die waarde van te bepaal, substitueer ons 'n punt op die grafiek, naamlik :

Skryf die finale antwoord

Oefening 5.14

Trek die grafieke van die volgende funksies en dui aan:

die asimptote

die as-afsnitte, waar van toepassing

die asse van simmetrie

die gebied en terrein

Gegee die grafiek van die hiperbool van die vorm , bepaal die waardes van en .

Gegee 'n skets van die funksie van die vorm , bepaal die waardes van , en .

Teken die grafiek van , .

Bepaal die gemiddelde gradiënt van die grafiek tussen en .

Gemiddelde gradiënt tussen en is .

Is die gradiënt by minder of meer as die gemiddelde gradiënt tussen en ? Illustreer dit op jou grafiek.

Gemiddelde gradiënt by is groter as die gemiddelde gradiënt tussen en .

5.5 Eksponensiële funksies

Hersiening

Funksies van die vorm

Funksies van die algemene vorm , vir , word eksponensiële funksies genoem, waar , en konstantes is.

Die effek van , en op :

Die effek van : vertikale skuif

Vir , word vertikaal opwaarts geskuif met eenhede.

Vir , is vertikaal afwaarts geskuif met eenhede.

Die horisontale asimptoot is die lyn .

Die effek van : vorm

Vir , neem toe.

Vir , neem af. Die grafiek word gereflekteer rondom die horisontale asimptoot.

Die effek van :

Neem aan :

As , is 'n toenemende funksie.

As , is 'n afnemende funksie.

As , is nie gedefiniëer nie.

Oefening 5.15

Op aparte assestelsels, trek akkurate grafieke van elk van die volgende funksies:

Gebruik tabelle indien nodig.

Gebruik grafiekpapier indien beskikbaar.

Gebruik jou sketsgrafieke van die funksies hierbo om die volgende tabel te voltooi (die eerste kolom is reeds ingevul as 'n voorbeeld):

waarde van

effek van
geen vertikale skuif

waarde van

effek van
toenemend

asimptoot

-as,

gebied

terrein

waarde van

uitwerking van
geen vertikale verskuiwing
geen vertikale verskuiwing
skuif eenheid opwaarts
skuif eenhede afwaarts

waarde van

uitwerking van
toenemend
afnemend
toenemend
toenemend

asimptoot

-as,

-as,

gebied

terrein

Funksies van die vorm

Ons ondersoek nou eksponensiële funksies van die vorm en die effek van parameter .

Die effek van , en op 'n eksponensiële grafiek

Op dieselfde assestelsel, trek die volgende gafieke:

Gebruik jou grafieke van die funksies hierbo om die volgende tabel te voltooi:

as-afsnit(te) |  |  |  |  |
asimptoot |  |  |  |  |
gebied |  |  |  |  |
terrein |  |  |  |  |
effek van |  |  |  |  |

Op dieselfde assestelsel, trek die volgende gafieke:

Gebruik jou grafieke van die funksies hierbo om die volgende tabel te voltooi:

as-afsnit(te) |  |  |  |  |
asimptote |  |  |  |  |
gebied |  |  |  |  |
terrein |  |  |  |  |
effek van |  |  |  |  |

Die effek van parameterveranderinge op

Die effek van is 'n horisontale skuif omdat al die punte dieselfde afstand in dieselfde rigting beweeg (die hele grafiek skuif na die linkerkant of na die regterkant).

Vir , word die grafiek eenhede links geskuif.

Vir , word die grafiek eenhede regs geskuif.

Die invloed van is 'n vertikale skuif. Die waarde van beïnvloed ook die horisontale asimptoot, naamlik die lyn .

Die waarde van beïnvloed die vorm van die grafiek en sy posisie relatief tot die horisontale asimptoot.

Vir , lê die grafiek bokant die horisontale asimptoot, .

Vir , lê die grafiek onder die horisontale asimptoot, .

Ontdek die eienskappe

Vir funksies van die algemene vorm: :

Gebied en terrein

Die gebied is want daar is geen waarde van waarvoor ongedefinëerd is nie.

Die terrein van is afhanklik daarvan of die waarde van positief of negatief is.

As het ons: Die terrein is dus

Soortgelyk, as , is die terrein .

Uitgewerkte voorbeeld 14: Gebied en terrein

Gee die gebied en terrein vir .

Bepaal die gebied

Die gebied is want daar is geen waarde van waarvoor ongedefiniëerd is nie.

Bepaal die terrein

Die terrein van kan bereken word van: Dus die terrein is of in intervalnotasie .

Oefening 5.16

Gee die gebied en terrein vir elk van die volgende funksies:

Afsnitte

Die -afsnit:

Om die -afsnit te bereken, stel ons . Byvoorbeeld, die -afsnit van word bepaal deur te stel : Dit gee die punt .

Die -afsnit:

Om die -afsnit te bereken, stel ons . Byvoorbeeld, die -afsnit van word bepaal deur te stel : wat geen reële oplossings het nie. Dus, die grafiek van lê bo die -as en het geen -afsnitte nie.

Oefening 5.17

Bepaal die - en -afsnitte vir elk van die volgende funksies:

Asimptoot

Eksponensiële funksies van die vorm het 'n horisontale asimptoot, naamlik die lyn .

Uitgewerkte voorbeeld 15: Asimptoot

Bepaal die asimptoot vir .

Bepaal die asimptoot

Die asimptoot van kan bereken word as: Die asimptoot van die lyn is dus .

Oefening 5.18

Gee die asimptoot vir elk van die volgende funksies:

Skets die grafiek van die vorm

Ten einde die grafiek van funksies van hierdie vorm te skets, moet ons vyf karakteristieke eienskappe bepaal:

vorm

-afsnit

-afsnit

asimptoot

gebied en terrein

Uitgewerkte voorbeeld 16: Skets 'n eksponensiële grafiek

Skets die grafiek van .

Merk die as-afsnit(te) en asimptote. Gee die gebied en terrein van die funksie.

Ondersoek die vergelyking in die vorm

Ons sien dat en , dus die funksie is toenemend.

Bepaal die -afsnit

Die -afsnit word verkry deur te stel: Dit gee die punt .

Bepaal die -afsnit

Die -afsnit word verkry deur te stel: Dit gee die punt .

Bepaal die asimptoot

Die horisontale asimptoot is die lyn .

Stip die punte en teken die grafiek

Gee die gebied en die terrein

Gebied:

Terrein:

Vind die vergelyking van 'n eksponensiële funksie vanaf die grafiek

Uitgewerkte voorbeeld 17: Vind die vergelyking van 'n eksponensiële funksie vanaf die grafiek

Gebruik die gegewe grafiek van om die waardes van en te vind.

Ondersoek die vergelyking in die vorm

Vanaf die grafiek sien ons die funksie is afnemend. Ons sien dat en .

Ons moet vir en oplos.

Gebruik die asimptote om te bepaal

Die horisontale asimptoot word gegee, dus weet ons dat .

Gebruik die -afsnit om te bepaal

Substitueer in die vergelyking en los op vir :

Skryf die finale antwoord

Oefening 5.19

Gegee die grafiek van die hiperbool van die vorm , , wat gaan deur die punt .

Wys dat .

Skryf die vergelyking neer van die nuwe funksie wat gevorm word as :

eenhede vertikaal opwaarts skuif

eenhede regs skuif

reflekteer rondom die -as

so skuif dat die asimptote en sal wees

opwaarts skuif om deur die punt te gaan

eenhede links en eenheid vertikaal afwaarts skuif (vir )

Gegee die grafieke van en .

Die as van simmetrie vir is en en sny by punt . Die lyn gaan ook deur .

Bepaal:

die koördinate van

is simmetries om die lyn , dus .

die vergelyking van

die vergelyking van

die waardes waarvoor

die terrein van

Op dieselfde assestelsel, skets:

die grafieke van en . Bepaal alle as-afsnitte, draaipunt(e) en asimptote.

die refleksie van rondom die -as. Benoem hierdie funksie as .

Skets die grafiek van vir:

, ,

, , een wortel

Op verskillende stelle asse, teken die grafieke vir:

Vir die diagramme hieronder, bepaal:

die vergelykings van die funksies; , , en

die simmetrie-asse van elke funksie

die definisiegebied en terrein van elke funksie

Gegewe die grafiek van die funksie .

Wys dat .

Vind die waarde van as die punt op is.

Bereken die gemiddelde gradiënt van die kurwe tussen en .

Bepaal die vergelyking van die nuwe funksie wat gevorm word as met eenhede vertikaal afwaarts en met eenhede na links geskuif word.

Vind die vergelyking van elkeen van die volgende funksies:

Gegewe: die grafiek van met die draaipunt by . Die grafiek van die reguitlyn wat deur punte en gaan word ook aangedui.

Bepaal:

die lengtes , , en

die vergelyking van

die vergelyking van

die -waardes waarvoor

die -waardes waarvoor

die lengte van

Trigonometriese funksies word getoets in VRAESTEL .

5.5 Sinusfunksies

Hersiening

Funksies van die vorm vir

Periode van een volledige golf is .

Amplitude is die maksimum hoogte van die golf bo en onder die -as en is altyd positief. Amplitude = .

Gebied:

Vir is die definisiegebied , maar in hierdie geval is die definisiegebied beperk tot die interval .

Terrein:

-afsnitte: , ,

-afsnitte:

Maksimum draaipunt:

Minimum draaipunt:

Funksies van die vorm

Die effek van en op :

Die effek van : vertikale skuif

Vir , word vertikaal opwaarts geskuif met eenhede.

Vir , word vertikaal afwaarts geskuif met eenhede.

Die effek van : vorm

Vir , vermeerder die amplitude van .

Vir , verminder die amplitude van .

Vir is daar 'n refleksie om die -as.

Vir is daar 'n refleksie om die -as en die amplitude verminder.

Vir is daar 'n refleksie om die -as en die amplitude vermeerder.

Oefening 5.20

Teken akkurate grafieke van elkeen van die volgende funksies, vir , op verskillende assestelsels.

Gebruik tabelle indien nodig.

Gebruik grafiekpapier indien beskikbaar.

Bepaal ook die volgende vir elke funksie:

Periode

Amplitude

Gebied en terrein

- en -afsnitte

Maksimum en minimum draaipunte

Funksies van die vorm

Die uitwerking van op 'n sinusgrafiek

Voltooi die volgende tabel vir vir :

Gebruik die waardetabel om die kromme van vir te teken.

Op dieselfde assestelsel, trek die volgende gafieke:

Gebruik jou grafieke van die funksies hierbo om die volgende tabel te voltooi:

periode |  |  |  |
amplitude |  |  |  |
gebied |  |  |  |
terrein |  |  |  |
maksimum draaipunte |  |  |  |
minimum draaipunte |  |  |  |
-afsnit(te) |  |  |  |
-afsnit(te) |  |  |  |
effek van |  |  |  |

Wat merk jy op omtrent en ?

Is 'n waar bewering? Verduidelik jou antwoord.

Kan jy 'n formule aflei om die waarde van te bepaal?

Die uitwerking van die parameter op

Die waarde van beïnvloed die periode van die sinusfunksie. As negatief is, dan word die grafiek om die -as gereflekteer.

Vir :

Vir verklein die periode van die sinusfunksie.

Vir vergroot die periode van die sinusfunksie.

Vir :

Vir word die grafiek om die -as gereflekteer, en die periode vergroot.

Vir word die grafiek om die -as gereflekteer en die periode verklein.

Negatiewe hoeke :

Berekening van die periode:

Om die periode van te bepaal, gebruik ons, waar die absolute waarde van is (dit beteken word altyd as positief beskou).

Uitgewerkte voorbeeld 18: Sinusfunksie

Teken die volgende funksies op dieselfde stel asse vir .

Bepaal die volgende vir elke funksie:

Periode

Amplitude

Gebied en terrein

- en -afsnitte

Maksimum en minimum draaipunte

Bestudeer die vergelykings van die vorm

Let daarop dat vir , daarom verminder die periode van die grafiek.

Voltooi 'n tabel met waardes

Teken die sinusgrafieke

Voltooi die tabel

periode |  |
amplitude |  |
gebied |  |
terrein |  |
maksimum draaipunte |  | en
minimum draaipunte |  |
-afsnit(te) |  |
-afsnit(te) | , en | , en

Ontdek die eienskappe

Vir funksies van die algemene vorm: :

Gebied en terrein

Die definisiegebied is omdat daar geen waarde vir is waarvoor nie gedefiniëer is nie.

Die reeks is of .

Afsnitte

Die -afsnitte word bepaal deur te laat wees en vir op te los.

Die -afsnit word bereken deur te laat wees en te bereken. Dit gee die punt .

Oefening 5.21

Teken die volgende funksies vir . Bepaal vir elke grafiek:

Periode

Amplitude

Gebied en terrein

- en -afsnitte

Maksimum en minimum draaipunte

Vir :

Vir :

Vir :

Vir :

Bepaal die waarde van vir elke grafiek van die vorm :

Funksies van die vorm

Die uitwerking van op 'n sinusgrafiek

Op dieselfde assestelsel, teken die volgende grafieke vir :

Gebruik jou grafieke van die funksies hierbo om die volgende tabel te voltooi:

periode |  |  |  |  |
amplitude |  |  |  |  |
gebied |  |  |  |  |
terrein |  |  |  |  |
maksimum draaipunte |  |  |  |  |
minimum draaipunte |  |  |  |  |
-afsnit(te) |  |  |  |  |
-afsnit(te) |  |  |  |  |
effek van |  |  |  |  |

Die uitwerking van die parameter op

Die uitwerking van op die sinusfunksie is 'n horisontale verskuiwing, ook genoem 'n 'fase-verskuiwing'; die hele grafiek skuif na links of na regs.

Vir skuif die grafiek van die sinusfunksie na links met grade.

Vir skuif die grafiek van die sinusfunksie na regs met grade.

Uitgewerkte voorbeeld 19: Sinusfunksie

Teken die volgende funksies op dieselfde stel asse vir .

Bepaal die volgende vir elke funksie:

Periode

Amplitude

Gebied en terrein

- en -afsnitte

Maksimum en minimum draaipunte

Bestudeer die vergelykings van die vorm

Let daarop dat vir het ons (geen fase-verskuiwing), en vir het ons , daarom skuif die grafiek met na regs.

Voltooi 'n tabel met waardes

θ

Teken die sinusgrafieke

Voltooi die tabel

periode |  |
amplitude |  |
gebied |  |
terrein |  |
maksimum draaipunte | en | en
minimum draaipunte | en | en
-afsnit(te) |  |
-afsnit(te) | , , , en | , , en

Ontdek die eienskappe

Vir funksies van die algemene vorm: :

Gebied en terrein

Die definisiegebied is omdat daar geen waarde vir is waarvoor nie gedefiniëer is nie.

Die terrein is .

Afsnitte

Die -afsnitte word bepaal deur te laat wees en op te los.

Die -afsnit word bereken deur te laat wees en te bereken.

Oefening 5.22

Teken die volgende funksies vir .

Bepaal vir elke funksie:

Periode

Amplitude

Gebied en terrein

- en -afsnitte

Maksimum en minimum draaipunte

Vir :

Vir :

Vir :

Teken van sinusgrafieke

Uitgewerkte voorbeeld 20: Teken van 'n sinusgrafiek

Teken die grafiek van vir .

Ondersoek die vorm van die vergelyking

Skryf die vergelyking in die vorm .

Om 'n grafiek van die funksie hierbo te teken, weet ons dat die standaard sinusgrafiek, , moet:

om die -as gereflekteer word

na regs geskuif word met

Voltooi 'n tabel met waardes

θ

Stip die punte uit en verbind met 'n gladde kromme

Periode:

Amplitude:

Gebied:

Terrein:

Maksimum draaipunt:

Minimum draaipunt:

-afsnit:

-afsnitte:

Uitgewerkte voorbeeld 21: Teken van 'n sinusgrafiek

Teken die grafiek van vir .

Ondersoek die vorm van die vergelyking

Skryf die vergelyking in die vorm .

Om 'n grafiek van die vergelyking hierbo te teken moet die standaard sinusgrafiek, , op die volgende maniere verander word:

verminder die periode met 'n faktor van

skuif grafiek na links

Voltooi 'n tabel met waardes

θ

Stip die punte uit en verbind met 'n gladde kromme

Periode:

Amplitude:

Gebied:

Terrein:

Maksimum draaipunt:

Minimum draaipunt:

-afsnitte:

-afsnitte: , en

Oefening 5.23

Teken die volgende grafieke op verskillende asse:

vir

vir

vir

vir

vir

Gegewe die grafiek van die funksie , bepaal die waardes van en .

Kan jy hierdie grafiek beskryf in terme van ?

; en

5.6 Kosinusfunksies

Hersiening

Funksies van die vorm vir

Die periode is en die amplitude is .

Gebied:

Vir is die definisiegebied , maar in hierdie geval is die definisiegebied beperk tot die interval .

Terrein:

-afsnitte: ,

-afsnitte:

Maksimum draaipunte: ,

Minimum draaipunt:

Funksies van die vorm

Kosinusfunksies van die algemene vorm , waar en konstantes is.

Die effek van en op :

Die effek van : vertikale skuif

Vir , word vertikaal opwaarts geskuif met eenhede.

Vir , is vertikaal afwaarts geskuif met eenhede.

Die effek van : vorm

Vir , vermeerder die amplitude van .

Vir , verminder die amplitude van .

Vir is daar 'n refleksie om die -as.

Vir is daar 'n refleksie om die -as en die amplitude verminder.

Vir is daar 'n refleksie om die -as en die amplitude vermeerder.

Oefening 5.24

Teken akkurate grafieke van elkeen van die volgende funksies, vir , op verskillende assestelsels.

Gebruik tabelle indien nodig.

Gebruik grafiekpapier indien beskikbaar.

Bepaal ook die volgende vir elke funksie:

Periode

Amplitude

Gebied en terrein

- en -afsnitte

Maksimum en minimum draaipunte

Funksies van die vorm

Ons kyk nou na kosinusfunksies van die vorm en die uitwerking van parameter .

Die uitwerking van op 'n kosinusgrafiek

Voltooi die volgende tabel vir vir :

θ |  |  |  |  |  |  |
θ |  |  |  |  |  |  |

Gebruik die waardetabel om die kromme van vir te teken.

Op dieselfde assestelsel, trek die volgende gafieke:

Gebruik jou grafieke van die funksies hierbo om die volgende tabel te voltooi:

periode |  |  |  |
amplitude |  |  |  |
gebied |  |  |  |
terrein |  |  |  |
maksimum draaipunte |  |  |  |
minimum draaipunte |  |  |  |
-afsnit(te) |  |  |  |
-afsnit(te) |  |  |  |
effek van |  |  |  |

Wat merk jy op omtrent en ?

Is 'n waar stelling? Verduidelik jou antwoord.

Kan jy 'n formule aflei om die waarde van te bepaal?

Die uitwerking van die parameter op

Die waarde van beïnvloed die periode van die kosinusfunksie.

Vir :

Vir , verklein die periode van die kosinusfunksie.

Vir , vergroot die periode van die kosinusfunksie.

Vir :

Vir , vergroot die periode.

Vir , verklein die periode.

Negatiewe hoeke: Let daarop dat vir negatiewe waardes van word die grafiek nie gereflekteer om die -as nie.

Berekening van die periode:

Om die periode van te bepaal, gebruik ons, waar die absolute waarde van is.

Uitgewerkte voorbeeld 22: Kosinusfunksie

Teken die volgende funksies op dieselfde stel asse vir .

Bepaal die volgende vir elke funksie:

Periode

Amplitude

Gebied en terrein

- en -afsnitte

Maksimum en minimum draaipunte

Bestudeer die vergelykings van die vorm

Let op dat ; , daarom sal die periode van die grafiek toeneem.

Voltooi 'n tabel van waardes

θ

Skets die kosinusgrafieke

Voltooi die tabel

periode |  |
amplitude |  |
gebied |  |
terrein |  |
maksimum draaipunte |  |
minimum draaipunte |  | geen
-afsnit(te) |  |
-afsnit(te) |  |

Ontdek die eienskappe

Vir funksies van die algemene vorm: :

Gebied en terrein

Die definisiegebied is omdat daar geen waarde vir is waarvoor nie gedefiniëer is nie.

Die terrein is of .

Afsnitte

Die -afsnitte word bepaal deur te laat wees en vir op te los.

Die -afsnit word bereken deur te laat wees en te bereken. Dit gee die punt .

Oefening 5.25

Skets die volgende funksies vir . Vir elke grafiek bepaal:

Periode

Amplitude

Gebied en terrein

- en -afsnitte

Maksimum en minimum draaipunte

Vir :

Vir :

Vir :

Vir :

Bepaal die waarde van vir elke grafiek van die vorm :

Funksies van die vorm

Ons kyk nou na kosinusfunksies van die vorm en die uitwerking van parameter .

Die uitwerking van op 'n kosinusgrafiek

Op dieselfde assestelsel teken die volgende grafieke vir :

Gebruik jou grafieke van die funksies hierbo om die volgende tabel te voltooi:

periode |  |  |  |  |
amplitude |  |  |  |  |
gebied |  |  |  |  |
terrein |  |  |  |  |
maksimum draaipunte |  |  |  |  |
minimum draaipunte |  |  |  |  |
-afsnit(te) |  |  |  |  |
-afsnit(te) |  |  |  |  |
effek van |  |  |  |  |

Die uitwerking van die parameter op

Die effek van op die kosinusfunksie is 'n horisontale verskuiwing (of faseverskuiwing); die hele grafiek beweeg na links of na regs.

Vir , skuif die grafiek van die kosinusfunksie na links met grade.

Vir , skuif die grafiek van die kosinusfunksie na regs met grade.

Uitgewerkte voorbeeld 23: Kosinusfunksie

Teken die volgende funksies op dieselfde stel asse vir .

Bepaal die volgende vir elke funksie:

Periode

Amplitude

Gebied en terrein

- en -afsnitte

Maksimum en minimum draaipunte

Bestudeer die vergelykings van die vorm

Let op dat vir het ons (geen faseverskuiwing) en vir is . Dus skuif die grafiek na links met .

Voltooi 'n tabel van waardes

θ

Skets die kosinusgrafieke

Voltooi die tabel

periode |  |
amplitude |  |
gebied |  |
terrein |  |
maksimum draaipunte | , en | en
minimum draaipunte | en | en
-afsnit(te) |  |
-afsnit(te) | , , en | , , en

Ontdek die eienskappe

Vir funksies van die algemene vorm: :

Gebied en terrein

Die definisiegebied is omdat daar geen waarde vir is waarvoor nie gedefiniëer is nie.

Die terrein is .

Afsnitte

Die -afsnitte word bepaal deur te laat wees en vir op te los.

Die -snypunt word bereken deur te laat wees en te bereken. Dit gee die punt .

Oefening 5.26

Teken die volgende funksies vir .

Bepaal vir elke funksie:

Periode

Amplitude

Gebied en terrein

- en -afsnitte

Maksimum en minimum draaipunte

Skets van kosinusgrafieke

Uitgewerkte voorbeeld 24: Skets van 'n kosinusgrafiek

Teken die grafiek van vir .

Ondersoek die vorm van die vergelyking

Skryf die vergelyking in die vorm .

Om 'n grafiek van bostaande funksie te teken, moet die standaard kosinusgrafiek, , op die volgende wyses verander word:

verminder die periode met 'n faktor van

skuif grafiek na regs

Voltooi 'n tabel van waardes

θ

Stip die punte uit en verbind met 'n gladde kromme

Periode:

Amplitude:

Gebied:

Terrein:

Maksimum draaipunte: , en

Minimum draaipunte: , , en

-afsnit:

-afsnit: , , , , en

Uitgewerkte voorbeeld 25: Die vind van die vergelyking van 'n kosinusgrafiek

Gegewe die grafiek van , bepaal die waardes van , , en die minimum draaipunt.

Bepaal die waarde van

Vanuit die grafiek sien ons dat die periode van die grafiek is, dus .

Bepaal die waarde van

Vanuit die skets kan ons sien dat die maksimum draaipunt is, dus weet ons dat die amplitude van die grafiek is, en dus .

Bepaal die waarde van

Vergelyk die gegewe grafiek met die standaard kosinusfunksie en let op die verskil in die maksimum draaipunte. Ons sien dat die gegewe funksie met na regs geskuif het, dus .

Bepaal die minimum draaipunt

By die minimum draaipunt, :

Dit gee die punt .

Oefening 5.27

Teken die volgende grafieke op verskillende asse:

vir

vir

vir

vir

vir

vir

Die volgende grafiek word aan twee meisies gegee:

Audrey besluit dat die vergelyking vir die grafiek 'n kosinusfunksie van die vorm is. Bepaal die waarde van .

Megan dink dat die vergelyking vir die grafiek 'n kosinusfunksie van die vorm is. Bepaal die waarde van .

Wat kan hulle hieruit aflei?

5.7 Tangensfunksies

Hersiening

Funksies van die vorm vir

Die vertikale stippellyne word asimptote genoem. Die asimptote is by die waardes van θ waar nie gedefiniëerd is.

Periode:

Gebied:

Terrein:

-afsnitte: , ,

-afsnitte:

Asimptote: en

Funksies van die vorm

Tangensfunksies het die algemene vorm , waar en konstantes is.

Die effek van en op :

Die effek van : vertikale skuif

Vir , word vertikaal opwaarts geskuif met eenhede.

Vir , word vertikaal afwaarts geskuif met eenhede.

Die effek van : vorm

Vir , is die takke van steiler.

Vir , is die takke van minder steil en buig meer.

Vir is daar 'n refleksie om die -as.

Vir , is daar 'n refleksie rondom die -as en die takke van die grafiek is minder steil.

Vir , is daar 'n refleksie rondom die -as en die takke van die grafiek is steiler.

Oefening 5.28

Teken elkeen van die volgende funksies vir akkuraat op aparte asse:

Gebruik tabelle indien nodig.

Gebruik grafiekpapier indien beskikbaar.

Bepaal ook die volgende vir elke funksie:

Periode

Gebied en terrein

- en -afsnitte

Asimptote

Funksies van die vorm

Die effek van op 'n tangensgrafiek

Voltooi die volgende tabel vir vir :

θ |  |  |  |  |  |  |
θ |  |  |  |  |  |  |

Gebruik die waardetabel om die kromme van vir te teken.

Op dieselfde assestelsel, trek die volgende gafieke:

Gebruik jou grafieke van die funksies hierbo om die volgende tabel te voltooi:

periode |  |  |  |
gebied |  |  |  |
terrein |  |  |  |
-afsnit(te) |  |  |  |
-afsnit(te) |  |  |  |
asimptote |  |  |  |
effek van |  |  |  |

Wat merk jy op omtrent en ?

Is 'n waar stelling? Verduidelik jou antwoord.

Kan jy 'n formule aflei om die waarde van te bepaal?

Die uitwerking van die parameter op

Die waarde van affekteer die periode van die tangensfunksie. As negatief is, dan is die grafiek gereflekteer rondom die -as.

Vir :

Vir , neem die periode van die tangensfunksie af.

Vir , neem die periode van die tangensfunksie toe.

Vir :

Vir word die grafiek om die -as gereflekteer, en die periode vergroot.

Vir word die grafiek om die -as gereflekteer en die periode verklein.

Negatiewe hoeke :

Berekening van die periode:

Om die periode van te bepaal, gebruik ons waar die absolute waarde van is.

Uitgewerkte voorbeeld 26: Tangens-funksie

Teken die volgende funksies op dieselfde stel asse vir .

Bepaal die volgende vir elke funksie:

Periode

Gebied en terrein

- en -afsnitte

Asimptote

Bestudeer die vergelykings van die vorm

Let daarop dat vir , daarom verminder die periode van die grafiek.

Voltooi 'n waardetabel

θ |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  | ongedef |  |  |  | ongedef |  |
| ongedef |  |  |  |  |  |  |  | ongedef

Skets die tangensfunksie

Voltooi die tabel

periode |  |
gebied |  |
terrein |  |
-afsnit(te) |  |
-afsnit(te) | , en | , en
asimptote | en | ; en

Ontdek die eienskappe

Vir funksies van die algemene vorm: :

Gebied en terrein

Die gebied van een vertakking is omdat ongedefinëer is vir en .

Die terrein is of .

Afsnitte

Die -afsnitte word bepaal deur te stel en op te los.

Die -afsnit word bepaal deur te stel en te bereken. Dit gee die punt .

Asimptote

Hierdie is die waarde van waarvoor ongedefiniëerd is.

Oefening 5.29

Skets die volgende funksies vir . Vir elke grafiek bepaal:

Periode

Gebied en terrein

- en -afsnitte

Asimptote

Funksies van die vorm

Ons kyk nou na die tangensfunksies van die vorm en die effek van die parameter .

Die effek van op 'n tangens-grafiek.

Op dieselfde assestelsel teken die volgende grafieke vir :

Gebruik jou grafieke van die funksies hierbo om die volgende tabel te voltooi:

periode |  |  |  |  |
gebied |  |  |  |  |
terrein |  |  |  |  |
-afsnit(te) |  |  |  |  |
-afsnit(te) |  |  |  |  |
asimptote |  |  |  |  |
effek van |  |  |  |  |

Die uitwerking van die parameter op

Die effek van op die tangensfunksie is 'n horisontale verskuiwing (of faseverskuiwing); die hele grafiek skuif na links of na regs.

Vir , skuif die grafiek van die tangensfunksie na links met grade.

Vir , skuif die grafiek van die tangensfunksie na regs met grade.

Uitgewerkte voorbeeld 27: Tangensfunksie

Teken die volgende funksies op dieselfde stel asse vir .

Bepaal die volgende vir elke funksie:

Periode

Gebied en terrein

- en -afsnitte

Asimptote

Bestudeer die vergelykings van die vorm

Let op dat vir het ons (geen faseverskuiwing) en vir het ons en dus skuif die grafiek met na links.

Voltooi 'n waardetabel

θ |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  | ongedef |  |  |  | ongedef |  |

Skets die tangensfunksie

Voltooi die tabel

periode |  |
gebied |  |
terrein |  |
-afsnit(te) |  |
-afsnit(te) | , en |
asimptote |  |

Ontdek die eienskappe

Vir funksies van die algemene vorm: :

Gebied en terrein

Die gebied van een tak is omdat die funksie ongedefiniëerd is vir en .

Die terrein is .

Afsnitte

Die -afsnitte word bepaal deur te stel en op te los.

Die -afsnit word bepaal deur te stel en te bereken. Dit gee die punt .

Oefening 5.30

Teken die volgende funksies vir .

Vir elke grafiek bepaal:

Periode

Gebied en terrein

- en -afsnitte

Asimptote

Die skets van tangensfunksies

Uitgewerkte voorbeeld 28: Skets 'n tangensfunksie

Teken die grafiek van vir .

Ondersoek die vorm van die vergelyking

Vanuit die vergelyking kan ons sien dat , dus sal die takke van die grafiek minder steil wees as die standaard tangensgrafiek . Ons let ook op dat , en dus sal die grafiek na regs skuif op die -as.

Bepaal die periode

Die periode van is:

Bepaal die asimptote

Die standaard tangensgrafiek, , vir is ongedefiniëerd by en . Dus kan ons die asimptote van bepaal:

Die asimptote by lê buite die gevraagde interval.

Stip die punte uit en verbind met 'n gladde kromme

Periode:

Gebied:

Terrein:

-afsnit:

-afsnitte:

Asimptote:

Oefening 5.31

Teken die volgende grafieke op verskillende asse:

vir

vir

vir

vir

Gegewe die grafiek van , bepaal die waardes van en .

;

Oefening 5.32

Bepaal die vergelyking vir elk van die volgende:

en

en

en

en

Gegewe die funksies en :

Skets die grafieke van beide funksies op dieselfde assestelsel, vir . Dui die draaipunte en afsnitte op die diagram aan.

Wat is die periode van ?

Wat is die amplitude van ?

Gebruik jou skets om te bepaal hoeveel oplossings daar is vir die vergelyking . Gee een van die oplossings.

By

Dui op jou skets aan waar op die grafiek die oplossing vir gevind kan word.

todo

Die skets toon twee funksies en vir . Punte en lê op en , respektiewelik.

Bepaal die waardes van , en .

, en

Wat is die periode van ?

Los die vergelyking grafies op en dui jou antwoord(e) op die diagram aan.

Bepaal die vergelyking van die nuwe grafiek as gereflekteer word rondom die -as en na regs geskuif word met .

Skets die grafieke van en , op dieselfde assestelsel vir .

5.8 Opsomming

Paraboliese funksies:

Standaardvorm:

-afsnitte:

-afsnitte:

Draaipunt:

As van simmetrie:

Voltooide vierkant vorm:

Draaipunt:

: horisontale verskuiwing na links

: horisontale verskuiwing na regs

: vertikale verskuiwing opwaarts

: vertikale verskuiwing afwaarts

Gemiddelde gradiënt:

Gemiddelde gradiënt

Hiperboliese funksies

Standaardvorm:

: eerste en derde kwadrant

: tweede en vierde kwadrant

Geskuifde vorm:

: horisontale verskuiwing na links

: horisontale verskuiwing na regs

: vertikale verskuiwing opwaarts

: vertikale verskuiwing afwaarts

Asimptote: en

Eksponensiële funksies

Standaardvorm:

: bo -as

: onder -as

: toenemende funksie as ; afnemende funksie as

: afnemende funksie as ; toenemende funksie as

Geskuifde vorm:

: horisontale verskuiwing na links

: horisontale verskuiwing na regs

: vertikale verskuiwing opwaarts

: vertikale verskuiwing afwaarts

Asimptoot:

Sinusfunksies:

Geskuifde vorm:

Periode

of : periode neem af

of : periode neem toe

: horisontale verskuiwing na links

: horisontale verskuiwing na regs

: vertikale verskuiwing opwaarts

: vertikale verskuiwing afwaarts

Kosinusfunksies:

Geskuifde vorm:

Periode

of : periode neem af

of : periode neem toe

: horisontale verskuiwing na links

: horisontale verskuiwing na regs

: vertikale verskuiwing opwaarts

: vertikale verskuiwing afwaarts

Tangensfunksies:

Geskuifde vorm:

Periode

of : periode neem af

of : periode neem toe

: horisontale verskuiwing na links

: horisontale verskuiwing na regs

: vertikale verskuiwing opwaarts

: vertikale verskuiwing afwaarts

Asimptote: ,

Oefening 5.33

Wys dat as , dan is die waardeversameling (terrein) van .

As die draaipunt is van , vind die waardes van die konstantes en .

Die volgende grafiek word deur die vergelyking voorgestel. Die koördinate van die draaipunt is . Toon dat en .

Gegewe: . Gee die vergelyking van die nuwe grafiek wat ontstaan wanneer:

die grafiek van drie eenhede na links geskuif word.

die -as drie eenhede na onder geskuif word.

'n Parabool met draaipunt word vertikaal met eenhede opwaarts geskuif. Wat is die koördinate van die draaipunt van die verskuifde parabool?

Trek die grafiek van die hiperbool gedefineer deur vir . Veronderstel die hiperbool word met eenhede na regs en eenhede af geskuif. Wat is dan die nuwe vergelyking?

Gebaseer op die grafiek van , bepaal die vergelyking van die grafiek met asimptote en en wat deur die punt gaan.

Die kolomme in die tabel hieronder gee die -waardes van die volgende funksies: , en . Pas elke funksie by die korrekte kolom.

A
B
C

Kolom A: ; Kolom B: ; Kolom C:

Die grafiek van ( is 'n konstante) gaan deur die oorsprong.

Bepaal die waarde van .

Bepaal die waardes van korrek tot vyf desimale plekke.

Bepaal die waarde van , as op die grafiek van lê.

As die grafiek van eenhede na regs geskuif word om die funksie te gee, skryf die vergelyking van neer.

todo

Die grafiek van () het die punt op .

As , bereken die waaarde van .

Skryf dus die vergelyking van neer.

Bepaal, korrek tot twee desimale plekke, die waarde van .

Beskryf die transformasie van die kurwe van na as .

Geskuif eenhede regs

Deur gebruik te maak van jou kennis van die effekte van en , teken rowwe skets van die volgende grafieke sonder om 'n tabel van waardes te gebruik.

vir

vir

vir

vir

vir

vir

vir

vir

Hoofstuk 6: Trigonometrie

Beklemtoon dat die area-/sinus-/kosinusreël nie ’n reghoekige driehoek vereis nie.

Moedig leerders aan om die toepaslike vorm van die area-/sinus-/kosinusreël te gebruik.

Herinner leerders daaraan dat hoeke in die Cartesiese vlak altyd gemeet word vanaf die positiewe -as.

Belangrik om daarop te let dat:

nie ingesluit is in die afdeling oor die reduksieformules nie.

tangens se ko-funksie nie ingesluit is nie.

Herinner leerders om te kontroleer dat hulle antwoorde binne die gegewe interval val.

In die verkryging van die algemene oplossing, maak seker dat die oplossing in die korrekte kwadrante en binne die gevraagde interval lê.

Moenie alle driehoeke as benoem nie. Leerders moet in staat wees om die formules met verskillende notasies en in verskillende kontekste toe te pas.

Moenie identiteite as vergelykings hanteer nie: MOENIE = teken tussen die twee uitdrukkings van ‘n identeit gebruik nie. Hou die LK en die RK apart.

Om identiteite te bewys, manipuleer ons gewoonlik die meer ingewikkelde uitdrukking totdat dit dieselfde lyk as die eenvoudiger uitdrukking.

Video: 267M

6.1 Hersiening

Trigonometriese verhoudings

Ons stip die punte en in die Cartesiese vlak en meet die hoeke vanaf die positiewe -as tot by die terminaallyne .

lê in die eerste kwadrant met en lê in die tweede kwadrant met .

Deur die stelling van Pythagoras te gebruik, sien ons dat

Laat .

Trigonometriese verhoudings

In die tweede kwadrant sien ons dat

Soortgelyk is die tekens van die trigonometriese verhoudings in die derde en vierde kwadrante afhanklik van die tekens van en :

Spesiale hoeke

θ

ongedef

Oplos van vergelykings

Uitgewerkte voorbeeld 1: Oplos van vergelykings

Bepaal die waardes van en in die reghoekige driehoek (korrek tot een desimale plek):

Identifiseer die teenoorstaande en aangrensende sye en die skuinssy

Bepaal die waarde van

Bepaal die waarde van

Probeer altyd om die inligting te gebruik wat gegee is en nie die antwoorde wat jyself uitgewerk het nie, ingeval jy 'n fout gemaak het. Byvoorbeeld, vermy dit om te gebruik om die waarde van te bepaal.

Skryf die finale antwoord

eenhede en eenhede.

Vind 'n hoek

Uitgewerkte voorbeeld 2: Vind 'n hoek

Bereken die waarde van in die reghoekige driehoek (korrek tot een desimale plek):

Identifiseer die teenoorstaande en aangrensende sye en die skuinssy

Bepaal die waarde van

Uitgewerkte voorbeeld 3: Vind 'n hoek

Gegee . Bepaal die waarde van (korrek tot een desimale plek).

Vereenvoudig die vergelyking

Moenie berekenings afrond totdat jy die finale antwoord bepaal het nie. In die berekening hieronder, dui die dotjies aan dat die getal nie afgerond is nie, sodat die antwoord so akkuraat as moontlik sal wees.

Tweedimensionele probleme

Uitgewerkte voorbeeld 4: Vlieg 'n vlieër

Thelma vlieg 'n vlieër aan 'n stuk tou en die hoogte van die vlieër bo die grond is . Bepaal die hoogtehoek van die tou (korrek tot een desimale plek).

Teken 'n skets en identifiseer die teenoorstaande en aangrensende sye en die skuinssy

Laat die hoogtehoek van die tou wees.

Gebruik die toepaslike trigonometriese verhouding om te vind

Oefening 6.1

As en , gebruik 'n sakrekenaar bepaal of die volgende bewerings waar of vals is:

Bepaal die grootte van die volgende hoeke (korrek tot een desimale plek):

In . Die loodregte lyn vanaf sny by .

Bepaal:

die lengte van

die lengte van

die hoek

'n Rombus het 'n omtrek van en een van die binnehoeke is .

Bepaal die lengte van die sye.

Bepaal die lengtes van die diagonale.

Die diagonale van 'n ruit halveer mekaar loodreg en halveer ook die interne hoeke. Laat die kortste diagonaal wees:

Laat die langste diagonaal wees:

Bereken die area van die rombus.

Vereenvoudig die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar.

Gegee die diagram hieronder:

Bepaal die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

Die leer van 'n brandweerwa leun teen die muur van 'n brandende gebou teen 'n hoek van . 'n Oop venster in die gebou is van die grond af. Sal die leer tot by die venster kom?

6.2 Trigonometriese identiteite

'n Identiteit is 'n wiskundige vergelyking wat waar is vir alle waardes van die veranderlikes. Trigonometriese identiteite stel ons in staat om 'n gegewe uitdrukking so te vereenvoudig dat dit slegs sinus- en kosinusverhoudings bevat. Dit maak dit moontlik om vergelykings op te los en om ander identiteite te bewys.

Kwosiënt-identiteit

Kwosiënt-identiteit

Voltooi die tabel sonder om 'n sakrekenaar te gebruik en los jou antwoord in wortelvorm waar van toepassing:

Ondersoek die laaste twee rye van die tabel en vorm 'n vermoede.

Is daar enige waardes van waarvoor jou vermoede nie geldig sal wees nie? Verduidelik jou antwoord.

Ons weet dat gedefiniëer is as:

Gebruik die diagram hieronder asook die stelling van Pythagoras, en skryf die tangensfunksie in terme van en :

Hierdie is die kwosiënt-identiteit:

Let daarop dat ongedefiniëerd is as , dus , waar 'n onewe heelgetal is.

Vierkant-identiteit

Vierkant-identiteit

Gebruik 'n sakrekenaar om die volgende tabel te voltooi:

Wat let jy op? Formuleer 'n vermoede.

Teken 'n skets en bewys jou vermoede in algemene terme: gebruik en .

Deur die stelling van Pythagoras te gebruik, kan ons die sinus- en kosinusfunksies skryf in terme van en :

Hierdie is die vierkant-identiteit:

Ander vorme van die vierkant-identiteit

Voltooi die volgende:

Hier is 'n paar handige wenke vir die bewys van identiteite:

Verander alle trigonometriese verhoudings na sinus en kosinus.

Kies een kant van die vergelyking om te vereenvoudig en toon aan dat dit gelyk is aan die ander kant.

Gewoonlik is dit beter om die meer komplekse kant te kies en dit te vereenvoudig.

Soms is dit nodig om beide kante te vereenvoudig, om te wys dat hulle gelyk is.

'n Vierkantswortel of 'n kwadraat dui gewoonlik aan dat die vierkant-identiteit gebruik moet word.

Ons kan ook byvoegings maak tot die uitdrukking om vereenvoudiging makliker te maak:

vervang met .

vermenigvuldig met in die vorm van 'n geskikte breuk, byvoorbeeld .

Video: 2688

Uitgewerkte voorbeeld 5: Trigonometriese identiteite

Vereenvoudig die volgende:

Skryf die uitdrukking in terme van sinus en kosinus alleenlik

Ons gebruik die vierkant- en kwosiënt-identiteite om die uitdrukking te skryf in terme van sinus en kosinus en vereenvoudig dan so ver as moontlik.

Uitgewerkte voorbeeld 6: Trigonometriese identiteite

Bewys:

Let op beperkings

Wanneer ons met breuke werk, moet ons versigtig wees dat die noemer nie gelyk aan kan wees nie. Dus vir die breuk aan die linkerkant en vir die breuk aan die regterkant.

Vereenvoudig die linkerkant

Hierdie is nie 'n vergelyking wat opgelos moet word nie. Ons moet aantoon dat die uitdrukking aan die een kant van die gelykaanteken gelyk is aan die uitdrukking aan die ander kant.

Let daarop dat niks verander het aan die vergelyking nie: hierdie stap is dieselfde as om te vermenigvuldig met aangesien die teller en die noemer dieselfde is.

Bepaal die kleinste gemene noemer en vereenvoudig

Oefening 6.2

Vereenvoudig elk van die volgende tot een trigonometriese verhouding:

Bewys die volgende identiteite en noem die ontoelaatbare waardes of beperkings waar van toepassing:

Beperkings: ongedefiniëer as en as ongedefiniëer is.

Dus .

Beperkings: ongedefiniëer as ongedefiniëer is.

Dus .

Beperkings: ongedefiniëer as en as ongedefiniëer is.

Dus .

6.3 Reduksieformules

Enige trigonometriese funksie met 'n argument in die vorm van ; en kan eenvoudiger uitgedruk word in terme van .

Afleiding van reduksieformules

Reduksieformules vir funksiewaardes van

Funksiewaardes van

In die figuur lê en op die sirkel met radius . maak 'n hoek van met die -as.

As punte en simmetries is ten opsigte van die -as, bepaal die koördinate van .

Skryf waardes neer vir , en .

Gebruik die koördinate vir om , , te bepaal.

Vanaf jou resultate bepaal 'n verwantskap tussen die trigonometriese funksiewaardes van en .

Funksiewaardes van

In die figuur lê en op die sirkel met radius . maak 'n hoek met die -as.

As punte en simmetries is rondom die oorsprong (die punte is simmetries rondom beide die -as en die -as), bepaal die koördinate van .

Gebruik die koördinate vir om , en te bepaal.

Vanaf jou resultate bepaal 'n verwantskap tussen die trigonometriese funksiewaardes van en .

Voltooi die volgende reduksieformules:

Uitgewerkte voorbeeld 7: Reduksieformules vir funksiewaardes van

Skryf die volgende as 'n enkele trigonometriese verhouding:

Gebruik reduksieformules om die trigonometriese funksiewaardes uit te druk in terme van skerphoeke en

Vereenvoudig

Oefening 6.3

Bepaal die waardes van die volgende uitdrukkings sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

Skryf die volgende in terme van 'n enkele trigonometriese verhouding:

As , druk die volgende uit in term van :

Reduksieformules vir funksiewaardes van () en

Funksiewaardes van () en

In die Cartesiese vlak meet ons die hoeke vanaf die positiewe -as tot by die terminaallyn, wat beteken dat 'n anti-kloksgewyse rotasie 'n positiewe hoek gee. Ons kan gevolglik negatiewe hoeke meet deur in 'n kloksgewyse rigting te roteer.

Vir 'n skerphoek , weet ons dat in die vierde kwadrant sal lê.

In die figuur lê en op die sirkel met radius . maak 'n hoek met die -as.

As punte en simmetries is rondom die -as (), bepaal die koördinate van .

Gebruik die koördinate van om , en te bepaal.

Gebruik die koördinate van om , en te bepaal.

Gebruik jou resultate om die verwantskap te bepaal tussen die funksiewaardes van en .

Voltooi die volgende reduksieformules:

Funksiewaardes van

Ons kan ook hoeke kry wat groter is as . Die hoek voltooi 'n rotasie van en draai dan verder om 'n hoek van te gee.

Voltooi die volgende reduksieformules:

Uit ons werk met funksies, weet ons dat die grafiek van 'n periode van het. Dus, een volledige golf van die sinuskurwe is dieselfde as een volledige revolusie vir in die Cartesiese vlak.

Daar kan veelvuldige revolusies wees. Die periodisiteit van die trigonometriese grafiek toon dit duidelik. 'n Volledige sinus- of kosinuskromme word voltooi in .

As enige heelgetal is, dan

Uitgewerkte voorbeeld 8: Reduksieformules vir funksiewaardes van

As , druk die volgende uit in terme van

Gebruik reduksieformules

Uitgewerkte voorbeeld 9: Gebruik reduksieformules

Evalueer sonder 'n sakrekenaar:

Vereenvoudig die uitdrukking deur gebruik te maak van reduksieformules en spesiale hoeke

Oefening 6.4

Vereenvoudig die volgende:

Skryf die volgende in terme van :

Vereenvoudig die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar.

Gegee dat , gebruik 'n skets om te help verduidelik waarom:

As , druk die volgende uit in term van :

Reduksieformules vir funksiewaardes van

In enige reghoekige driehoek is die twee skerphoeke komplemente van mekaar,

Voltooi:

In :

Komplementêre hoeke is positiewe skerphoeke waarvan die som is. Byvoorbeeld, en is komplementêre hoeke.

In die figuur is en op die sirkel met radius . maak 'n hoek met die -as.

Funksiewaardes van

As punte en simmetries is rondom die lyn , bepaal die koördinate van .

Gebruik die koördinate van om en te bepaal.

Vanaf jou resultate bepaal 'n verwantskap tussen die funksiewaardes van en .

Funksiewaardes van

In die figuur lê en op die sirkel met radius . maak 'n hoek met die -as.

As punt roteer deur om punt te gee, bepaal die koördinate van .

Gebruik die koördinate van om en te bepaal.

Vanaf jou resultate bepaal 'n verwantskap tussen die funksiewaardes van en .

Voltooi die volgende reduksieformules:

Sinus en kosinus is bekend as ko-funksies. Twee funksies word ko-funksies genoem as waar (d.w.s., en is komplementêre hoeke).

Die funksiewaarde van 'n hoek is gelyk aan die ko-funksiewaarde van die komplementêre hoek.

Dus, vir sinus en kosinus het ons

Die sinus- en kosinusgrafieke illustreer dit duidelik: die twee grafieke is identies behalwe vir 'n faseverskil van .

Uitgewerkte voorbeeld 10: Gebruik die ko-funksiereël

Skryf elk van die volgende in terme van :

Funksiewaardes van

Ons kan skryf as

Soortgelyk, kan ons wys dat .

Dus, en .

Uitgewerkte voorbeeld 11: Ko-funksies

Druk die volgende uit in terme van as :

Vereenvoudig die uitdrukking met die gebruik van reduksieformules en ko-funksies

Gebruik die CAST diagram om te kontroleer in watter kwadrante die trigonometriese verhoudings positief of negatief is.

Oefening 6.5

Vereenvoudig die volgende:

Gegee , druk die volgende uit in terme van :

Reduksieformules en ko-funksies:

Die reduksieformules geld vir enige hoek . Gerieflikheidshalwe neem ons aan is 'n skerphoek ().

Wanneer ons funksiewaardes van (), () en () bepaal, verander die funksie nie.

Wanneer ons funksiewaardes van () en () bepaal, verander die funksie na die ooreenstemmende ko-funksie.

tweede kwadrant of | eerste kwadrant of
| alle trigonometriese funksies is positief
derde kwadrant | vierde kwadrant

Oefening 6.6

Skryf en elk as 'n enkele trigonometriese verhouding:

Bepaal vervolgens:

Skryf die volgende as 'n funksie van 'n skerphoek:

Bepaal die waarde van die volgende, sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

Bewys dat die volgende identiteit waar is en meld enige beperkings:

6.4 Trigonometriese vergelykings

Die oplos van trigonometriese vergelykings vereis dat ons die waardes van die hoeke kry wat die vergelykings bevredig. As 'n interval vir die oplossing gespesifiseer word, hoef ons slegs die waardes van die hoek te kry wat die vergelyking waar maak en wat binne die interval val. As geen interval gespesifiseer word nie, beteken dit dat die algemene oplossing gevind moet word. Die periodiese aard van die trigonometriese funksie beteken dat daar baie waardes is wat die gegewe vergelyking bevredig, soos aangetoon in die onderstaande diagram.

Uitgewerkte voorbeeld 12: Oplos van trigonometriese vergelykings

Los op vir (korrek tot een desimale plek), gegee en .

Gebruik 'n sakrekenaar om op te los vir

Hierdie waarde van is 'n skerphoek wat in die eerste kwadrant lê en die verwysingshoek genoem word.

Gebruik die CAST diagram om te kontroleer in watter kwadrante positief is

Die CAST diagram dui aan dat positief is in die eerste en derde kwadrante, daarom moet ons die waarde van bepaal sodat .

Met die gebruik van reduksieformules, weet ons

Ons kan 'n sakrekenaar gebruik om te kontroleer dat ons oplossing die oorspronklike vergelyking bevredig

Skryf die finale antwoord

of .

Uitgewerkte voorbeeld 13: Oplos van trigonometriese vergelykings

Los op vir (korrek tot een desimale plek), as en .

Gebruik 'n sakrekenaar om die verwysingshoek te vind

Ons gebruik nie die negatiewe teken om die verwysingshoek te vind nie. Die verwysingshoek moet 'n skerphoek wees in die eerste kwadrant waar al die trigonometriese funksies positief is.

Gebruik die CAST diagram om te kontroleer in watter kwadrante negatief is

Die CAST diagram dui aan dat negatief is in die tweede en die derde kwadrante, daarom moet ons die waarde van bepaal sodat .

Deur reduksieformules te gebruik, weet ons en

In die tweede kwadrant:

In die derde kwadrant:

Let op: Die verwysingshoek vorm nie deel van die oplossing nie.

Gebruik 'n sakrekenaar om te kontroleer dat die oplossing die oorspronklike vergelyking bevredig

Skryf die finale antwoord

of .

Uitgewerkte voorbeeld 14: Oplos van trigonometriese vergelykings

Los op vir (korrek tot een desimale plek), as en .

Gebruik 'n sakrekenaar om die verwysingshoek te vind

Om die verwysingshoek te bepaal, gebruik ons 'n positiewe waarde.

Gebruik die CAST diagram om te kontroleer in watter kwadrante negatiewe is

Die CAST diagram dui aan dat negatief is in die derde en vierde kwadrante. Ons moet ook die waardes vind van sodat .

Deur reduksieformules te gebruik, weet ons en

In die derde kwadrant:

In die vierde kwadrant:

Let op: Die verwysingshoek vorm nie deel van die oplossing nie.

Gebruik 'n sakrekenaar om te kontroleer dat die oplossing die oorspronklike vergelyking bevredig

Skryf die finale antwoord

, , of .

Oefening 6.7

Bepaal die waardes van vir as:

In die vierde kwadrant:

In die derde kwadrant:

In die vierde kwadrant:

In die derde kwadrant:

In die derde kwadrant:

In die vierde kwadrant:

In die tweede kwadrant:

In die tweede kwadrant:

In die vierde kwadrant:

Bepaal die waardes van vir as:

In die tweede kwadrant:

Negatiewe hoeke:

In die tweede kwadrant:

In die derde kwadrant:

Negatiewe hoeke:

In die derde kwadrant:

Negatiewe hoeke:

In die derde kwadrant:

Negatiewe hoeke:

In die vierde kwadrant:

Negatiewe hoeke:

Die algemene oplossing

In die vorige uitgewerkte voorbeeld is die oplossing beperk tot 'n sekere interval. Die periodisiteit van die trigonometriese funksies beteken egter dat daar 'n oneindige aantal positiewe en negatiewe hoeke is wat die vergelyking bevredig. As ons nie die oplossing beperk nie, moet ons die algemene oplossing van die vergelyking vind. Ons weet die sinus- en kosinusfunksies het 'n periode van en die tangensfunksie het 'n periode van .

Motode vir die vind van die algemene oplossing:

Bepaal die verwysingshoek (gebruik 'n positiewe waarde).

Gebruik die CAST diagram om te bepaal waar die funksie positief of negatief is (afhangende van die gegewe vergelyking).

Vind die hoeke wat die vergelyking bevredig in die interval en tel veelvoude van die periode by elke antwoord.

Kontroleer antwoorde met 'n sakrekenaar.

Uitgewerkte voorbeeld 15: Vind die algemene oplossing

Bepaal die algemene oplossing vir (gee antwoorde tot een desimale plek).

Gebruik 'n sakrekenaar om die verwysingshoek te vind

Gebruik die CAST diagram om te bepaal in watter kwadrante positief is

Die CAST diagram dui aan dat positief is in die eerste en tweede kwadrante.

Deur reduksieformules te gebruik, weet ons dat .

In die eerste kwadrant

In die tweede kwadrant:

waar .

Kontroleer dat die oplossing die oorspronklike vergelyking bevredig

Ons kan willekeurige waardes vir kies om te kontroleer dat die antwoorde die oorspronklike vergelyking bevredig.

Laat :

Die oplossing is korrek.

Soortgelyk, as ons stel :

Hierdie oplossing is ook korrek.

Skryf die finale antwoord

of .

Uitgewerkte voorbeeld 16: Vind die algemene oplossing

Bepaal die algemene oplossing vir (gee antwoorde tot een desimale plek).

Gebruik 'n sakrekenaar om die verwysingshoek te vind

Gebruik CAST diagram om te bepaal in watter kwadrante negatief is

Die CAST diagram wys dat negatief is in die tweede en derde kwadrante.

Dus gebruik ons die reduksieformules en .

In die tweede kwadrant:

In die derde kwadrant:

waar .

Onthou: om ook die periode te deel deur die koëffisiënt van .

Kontroleer dat die oplossing die oorspronklike vergelyking bevredig

Ons kan willekeurige waardes vir kies om te kontroleer dat die antwoorde die oorspronklike vergelyking bevredig.

Laat :

Die oplossing is korrek.

Soortgelyk, as ons stel :

Hierdie oplossing is ook korrek.

Skryf die finale antwoord

of .

Uitgewerkte voorbeeld 17: Vind die algemene oplossing

Bepaal die algemene oplossing vir en kry vervolgens die oplossing vir (gee antwoorde korrek tot een desimale plek).

Doen 'n substitusie

Om hierdie vergelyking op te los, kan dit handig wees om 'n substitusie te doen: laat .

Gebruik 'n sakrekenaar om die verwysingshoek te vind

Gebruik die CAST diagram om te bepaal in watter kwadrante die tangensfunksie positief is

Ons sien dat positief is in die eerste en derde kwadrante, dus gebruik ons die reduksieformule . Dit is ook belangrik om te onthou dat die periode van die tangensfunksie is.

In die eerste kwadrant

In die derde kwadrant:

waar .

Onthou: om die periode te deel deur die koëffisiënt van .

Vind die antwoorde binne die gegewe interval

Substitueer geskikte waardes van om die waardes van te bepaal wat binne die interval lê ().

| I: | III:
|  |  |  | (buite)
|  | (buite) |  |
|  | (buite) |  |
|  |  |  | (buite)

Let op hoe sommige van die waardes herhaal word as gevolg van die periodiese aard van die tangensfunksie. Daarom hoef ons slegs die oplossing te vind:

vir .

Skryf die finale antwoord

; ; of .

Uitgewerkte voorbeeld 18: Vind die algemene oplossing deur ko-funksies te gebruik

Bepaal die algemene oplossing vir .

Gebruik ko-funksies om die vergelyking te vereenvoudig

Gebruik die CAST diagram om die korrekte kwadrante te bepaal

Aangesien die oorspronklike vergelyking 'n sinus en kosinusfunksie gelykstel, moet ons werk in die kwadrant waar beide hierdie funksies dieselfde teken het, sodat die vergelyking waar bly. Ons vind dus die oplossing deur die eerste en derde kwadrante te gebruik.

In die eerste kwadrant:

In die derde kwadrant:

waar .

Kontroleer dat die oplossing die oorspronklike vergelyking bevredig

Skryf die finale antwoord

of .

Oefening 6.8

Vind die algemene oplossing vir elke vergelyking.

Vind vervolgens al die oplossings in die interval .

Vind die algemene oplossing vir elke vergelyking.

Los kwadratiese trigonometriese vergelyking op

Ons kan ons kennis van algebraïese vergelykings gebruik om kwadratiese trigonometriese vergelykings op te los.

Uitgewerkte voorbeeld 19: Kwadratiese trigonometriese vergelykings

Vind die algemene oplossing van .

Vereenvoudig die vergelyking en bepaal die verwysingshoek

Bepaal in watter kwadrante die sinusfunksie positief en negatief is

Die CAST diagram wys dat positief is in die eerste en tweede kwadrante en negatief in die derde en vierde kwadrante.

Positief in die eerste en tweede kwadrante:

Negatief in die derde en vierde kwadrante:

waar .

Kontroleer dat die oplossing die oorspronklike vergelyking bevredig

Skryf die finale antwoord

of of of

Uitgewerkte voorbeeld 20: Kwadratiese trigonometriese vergelykings

Vind as vir .

Faktoriseer die vergelyking

Vereenvoudig die vergelykings en los op vir

of

waar .

Vervang geskikte waardes vir

Bepaal die waardes van wat in die gegewe interval lê deur geskikte waardes van te substitueer.

As ,

As ,

As ,

Alternatiewe metode: substitusie

Ons kan die gegewe vergelyking vereenvoudig deur te stel en dan te faktoriseer:

Ons substitueer terug in hierdie twee vergelykings in en los op vir .

Skryf die finale antwoord

; ;

Uitgewerkte voorbeeld 21: Kwadratiese trigonometriese vergelykings

Vind as vir .

Faktoriseer die vergelyking deur die gemene faktor uit te haal

Vereenvoudig die vergelykings en los op vir

or

Om verder te vereenvoudig, deel ons beide kante van die vergelyking deur .

waar .

Vervang geskikte waardes vir

Bepaal die waardes van wat in die gegewe interval lê deur geskikte waardes van te substitueer.

As :

As :

As :

Skryf die finale antwoord

; ; ; ;

Oefening 6.9

Vind die algemene oplossing vir elk van die volgende vergelykings:

of

of

of

of

of

of

Vind as vir .

Bepaal die algemene oplossing vir elk van die volgende:

of

of

of of of

of

of

of

Vind as vir .

of

6.5 Area-, sinus- en kosinusreëls

Daar is drie identiteite vir trigonometriese funksies wat die hantering van driehoeke vergemaklik:

die areareël

die sinusreël

die kosinusreël

Die areareël

Die areareël

Beskou :

Voltooi die volgende:

Area =

en dus

Dus, area =

Beskou :

Voltooi die volgende:

Hoe verskil van ?

Bereken area .

Gebruik jou resultate om die algemene formule neer te skryf vir die area van :

Vir enige met , en , kan ons 'n loodregte hoogte () konstrueer van hoekpunt tot by lyn :

In :

Ons weet ook dat

Andersins, kan ons ook skryf

En dan het ons

Soortgelyk, deur 'n loodregte lyn te konstrueer vanaf hoekpunt tot by lyn , kan ons ook aantoon dat die area .

Die areareël

In enige :

Uitgewerkte voorbeeld 22: Die areareël

Vind die area van (korrek tot twee desimale plekke):

Gebruik die gegewe inligting om die onbekende hoeke en sye te bereken

Gebruik die areareël om die area van te bereken

Let daarop dat ons nie weet hoe lank sy is nie en daarom moet ons die vorm van die areaformule kies wat nie hierdie sy van die driehoek insluit nie.

In :

Skryf die finale antwoord

Area van vierkante eenhede.

Uitgewerkte voorbeeld 23: Die areareël

Toon aan dat die area van .

Konstrueer 'n loodregte hoogte

Trek sodat en laat , en .

In :

Gebruik die areareël om die area van te bereken

In :

Die areareël

In enige :

Die areareël dui aan dat die area van enige driehoek gelyk is aan die helfte van die produk van die lengtes van twee sye van die driehoek vermenigvuldig met die sinus van die hoek wat ingesluit word deur die twee sye.

Oefening 6.10

Teken 'n skets en bereken die area van as gegee word dat:

; en

; en

Vind die area van as gegee is dat , en .

Bepaal die area van 'n parallelogram waarvan die lengtes van twee aangrensende sye en is en die hoek tussen hulle is.

As die area van is, met en , wat is die twee moontlike groottes van ?

Die sinusreël

Tot dusver het ons slegs die trigonometriese verhoudings toegepas in reghoekige driehoeke. Ons brei nou die toepassings van die trigonometriese verhoudings uit na driehoeke wat nie 'n regte hoek het nie.

Die sinusreël

In , , en . Vind .

Metode : gebruik die sinusverhouding

Teken 'n skets van .

Konstrueer .

In :

In :

Dus het ons:

Metode : gebruik die areareël

In :

Ons weet ook dat

Ons kan hierdie twee vergelykings gelykstel en oplos vir :

Gebruik jou resultate om die algemene formule vir die sinusreël neer te skryf vir :

Vir enige driehoek met , en , kan ons 'n loodregte hoogte () konstrueer by :

Metode : gebruik die sinusverhouding

In :

In :

Ons kan die twee vergelykings gelykstel

Soortgelyk, deur 'n loodregte hoogte te konstrueer vanaf hoekpunt na lyn , kan ons ook aantoon dat:

Soortgelyk, deur 'n loodregte lyn te konstrueer vanaf hoekpunt tot by lyn , kan ons ook aantoon dat die area .

Metode : gebruik die areareël

In :

Die sinusreël

In enige :

Video: 26CJ

Uitgewerkte voorbeeld 24: Die sinusreël

Gegee dat met , en , bepaal , en .

Teken 'n skets

Laat , en .

Vind deur hoeke in 'n driehoek te gebruik

Bepaal en deur gebruik te maak van die sinusreël

Uitgewerkte voorbeeld 25: Die sinusreël

Bewys die sinusreël vir met .

Gebruik die sinusreël om die hoeke van 'n driehoek uit te druk in terme van die lengtes van die sye

In :

In :

Stel die twee vergelykings gelyk en lei die sinusreël af

Die dubbelsinnige geval

As twee sye en 'n nie-ingeslote hoek van 'n driehoek bekend is, en die sy teenoor die bekende hoek is korter as die ander bekende sy kan ons twee verskillende driehoeke trek ( en ) wat albei die gegewe afmetings het. Ons noem dit die dubbelsinnige geval omdat daar twee maniere is om die gegewe inligting te interpreteer en dit nie seker is watter een van die twee die vereiste oplossing is nie.

Uitgewerkte voorbeeld 26: Die dubbelsinnige geval

In , , en . Trek en vind (korrek tot een desimale plek).

Trek 'n skets en identifiseer die dubbelsinnige geval

Ons let op dat vir die gegewe afmetings van , sy teenoor korter is as . Dit beteken dat ons twee verskillende driehoeke kan trek met die gegewe afmetings.

Los op vir die onbekende hoek deur die sinusreël te gebruik

In :

In :

Ons weet dat , wat beteken ons kan ook dié oplossing hê: Beide oplossings is korrek.

Uitgewerkte voorbeeld 27: Vuurtorings

Daar is 'n kuslyn met twee vuurtorings, een op elke punt van die strand. Die twee vuurtorings is van mekaar af en die een is reg oos van die ander een. Die vuurtorings kan bepaal hoe naby 'n boot aan die kus is deur 'n peiling na die boot te neem ('n peiling is 'n hoek wat kloksgewyse vanaf noord geneem word). Hierdie rigtingpeilings word getoon op die diagram hieronder.

Bereken hoe ver die boot is vanaf elke vuurtoring.

Ons sien dat die twee vuurtorings en die boot 'n driehoek vorm. Aangesien ons weet wat die afstand tussen die twee vuurtorings is en die groottes van die twee hoeke het, kan ons trigonometrie gebruik om die twee onbekende sye van die driehoek, dit wil sê die afstande van die boot na die twee vuurtorings, te bereken.

Ons moet die lengtes van die twee sye, en bepaal. Ons kan die sinusreël gebruik om die onbekende lengtes te vind.

Oefening 6.11

Vind al die onbekende sye en hoeke van die volgende driehoeke:

waarin ; en

waarin ; en

waarin ; en

waarin ; en

In , ; en . Vind die lengte van sye en .

In , ; en . Vind die lengte van sy .

In , ; en . Vind die lengte van sy .

In , , en . In , en . Bepaal .

In , , en . Kan jy bepaal?

Nee, daar is nie genoeg inligting nie

Die kosinusreël

Die kosinusreël

As ons 'n driehoek gegee word met twee sye en die ingeslote hoek bekend, kan ons nie die oorblywende onbekende sy en hoeke bereken met die sinusreël nie. Daarom ondersoek ons die kosinusreël:

In en . Vind .

Bepaal :

Konstrueer .

Laat en dus

Pas die stelling van Pythagoras toe in die reghoekige driehoeke:

In :

In :

Stel vergelyking in vergelyking in:

Nou is die enigste oorblywende onbekende. In :

Dus het ons

Gebruik jou resultate om 'n algemene formule vir die kosinusreël neer te skryf vir :

Die kosinusreël druk die lengte van 'n sy van 'n driehoek uit in terme van die hoek teenoor die sy en die ander twee sye van die driehoek.

Beskou met :

In : vanaf die stelling van Pythagoras.

In : vanaf die stelling van Pythagoras.

Aangesien gemeenskaplik is aan beide vergelykings, kan ons skryf:

Ten einde te elimineer, kyk ons na , waar ons het. Dus, .

Deur terug te substitueer, kry ons .

Die kosinusreël

In enige :

Video: 26CW

Uitgewerkte voorbeeld 28: Die kosinusreël

Bepaal die lengte van .

Gebruik die kosinusreël om die onbekende sy op te los

Skryf die finale antwoord

Uitgewerkte voorbeeld 29: Die kosinusreël

Bepaal .

Pas die kosinusreël toe:

Dit is baie belangrik:

om nie af te rond voor die finale antwoord nie aangesien dit die akkuraatheid sal beïnvloed;

om die vierkantswortel te trek;

om te onthou om eenhede te gee waar van toepassing.

Hoe om te bepaal watter reël om te gebruik:

Areareël

as geen loodregte hoogte gegee word nie

Sinusreël

as geen regte hoek gegee word nie

as twee sye en 'n hoek gegee word (nie die ingeslote hoek nie)

as twee hoeke en 'n sy gegee word

Kosinusreël

as geen regte hoek gegee word nie

as twee sye en die ingeslote hoek gegee word

as drie sye gegee word

Oefening 6.12

Los die volgende driehoeke op (d.w.s. vind al die onbekende sye en hoeke):

waarin ; en

waarin ; en

waarin ; en

waarin ; en

waarin ; en

Vind die lengte van die derde sy van die waar:

; en

; en

Bepaal die grootste hoek in:

waarin ; en

waar ; en

Video: 26D8

Oefening 6.13

is 'n skip by 'n punt suid van 'n ander skip . is 'n vuurtoring op die kus sodat .

Bepaal:

die afstand

die kortste afstand van die vuurtoring na die denkbeeldige lyn wat die twee skepe verbind ()

is 'n trapesium, met ; ; en .

Bepaal die afstande en .

Tydens 'n vlug vanaf Johannesburg na Kaapstad ontdek die loods dat hy van koers af gevlieg het. Op hierdie tydstip is die vliegtuig van Johannesburg af. Die direkte afstand tussen Kaapstad en Johannesburg lughawens is . Bepaal, tot die naaste :

Die afstand wat die vliegtuig moet vlieg om by Kaapstad te kom en vervolgens die addisionele afstand wat die vliegtuig moet vlieg weens die loods se fout.

Die korreksie, tot een honderste van 'n graad, aan die vliegtuig se koers (of rigting).

is 'n trapesium (bedoelende dat ). ; ; en .

Vind 'n uitdrukking vir die lengte van in terme van , , en .

'n Landmeter probeer om die afstand tussen twee punte en te bepaal. Die afstand kan egter nie direk bepaal word nie omdat daar 'n rif tussen die twee punte lê. Vanaf 'n punt wat ewe ver is van en , meet hy die hoek .

As en , wys dat .

Bereken (tot die naaste kilometer) as km en .

Vind die area van (tot twee desimale plekke):

Vind die area van die geskakeerde driehoek in terme van , , , en :

6.6 Opsomming

Vierkant-identiteit

Kwosiënt-identiteit

negatiewe hoeke

periodisiteit identiteite

ko-funksie identiteite

sinusreël

areareël

kosinusreël

area

area

area

Algemene oplossing:

vir .

Hoe om te bepaal watter reël om te gebruik:

Areareël

geen loodregte hoogte is gegee nie

Sinusreël

geen regte hoek is gegee nie

twee sye en 'n hoek is gegee (nie die ingeslote hoek nie)

twee hoeke en 'n sy is gegee

Kosinusreël

geen regte hoek is gegee nie

twee sye en die ingeslote hoek is gegee

drie sye is gegee

Oefening 6.14

Skryf die volgende as 'n enkele trigonometriese verhouding:

Bepaal die waarde van die volgende uitdrukking sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

Vereenvoudig:

Evalueer sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

Bewys die volgende identiteite:

Bewys:

Vir watter waardes van is die identiteit hierbo ongedefiniëer?

Vereenvoudig:

Los vervolgens die vergelyking op vir .

Gegee en .

Teken 'n skets.

Bepaal sonder die gebruik van 'n sakrekenaar en .

Gebruik 'n sakrekenaar om te vind (korrek tot twee desimale plekke).

In die figuur, is 'n punt in die Cartesiese vlak sodat eenhede en . Bepaal, sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

die waardes van en

die waarde van

Los op vir (korrek tot een desimale plek):

Vind die algemene oplossing vir die volgende vergelykings:

Gegee die vergelyking:

Vind die algemene oplossing van die vergelyking.

Illustreer hoe hierdie vergelyking grafies opgelos kan word vir .

Skryf die oplossings neer van vir .

is die hootste punt van 'n vertikale toring . By punt op die toring, meters vanaf die bopunt van die toring, het 'n voël sy nes gemaak. Die hoogtehoek van na punt is en die hoogtehoek van na punt is .

Druk uit in terme van en .

Druk uit in terme van en/of .

Toon aan dat die hoogte van die nes vanaf die grond () bepaal kan word met die formule

Bereken die hoogte van die nes as , en (gee antwoord korrek tot die naaste meter).

Mnr. Collins wil sy agterplaas, in die vorm van 'n trapesium, plavei. en . , en .

Bereken die lengte van die diagonaal .

Bereken die lengte van die sy .

Bereken die area van die agterplaas met die gebruik van meetkunde.

Bereken die area van die agterplaas met die gebruik van trigonometrie.

In , , , en . Bewys dat .

Hoofstuk 7: Meting

Gebruik papier of karton vir die ontvouiing (net) van vaste liggame om leerders te help om die verskillende hoogtes, veral loodregte hoogte en skuinshoogtes te sien.

Eenhede is noodsaaklik wanneer daar met regte lewe kontekste gewerk word.

Sketse is waardevolle en belangrike hulpmiddels.

Afronding behoort alleenlik in die laaste stap gedoen te word en die graad van akkuraatheid behoort relevant tot die konteks te wees.

Hierdie hoofstuk is hersiening van die omtrek en area van tweedimensionele voorwerpe en die buite-oppervlakke en volumes van driedimensionele voorwerpe. Ons ondersoek ook verskillende kombinasies van meetkundige voorwerpe en bereken areas en volumes in 'n verskeidenheid van regte-wêreld kontekste.

Video: 26F8

7.1 Area van 'n poligoon

Vierkant

Reghoek

Driehoek

Video: 26F9

Trapesium

Parallelogram

Sirkel

Video: 26FB

Uitgewerkte voorbeeld 1: Vind die area van 'n poligoon

is 'n parallelogram met , en .

Bereken:

die area van

die omtrek van

Bepaal die area

Die area van parallelogram basis hoogte:

Bepaal die omtrek

Die omtrek van parallelogram .

Om die lengte van te vind, gebruik ons en die Stelling van Pythagoras.

Oefening 7.1

Vuyo en Banele kompeteer om te sien wie kan die beste vlieër bou met balsahout ('n lig-gewig hout) en papier. Vuyo besluit om sy vlieër te maak met een diagonaal lank en die ander diagonaal lank. Die snypunt van die twee diagonale verdeel die langer diagonaal in die verhouding .

Banele gebruik ook diagonale van en , maar hy ontwerp sy vlieër as 'n rombus.

Maak 'n skets van Vuyo se vlieër en skryf al die bekende afmetings neer.

Bepaal hoeveel balsahout Vuyo benodig om die buite raamwerk van sy vlieër te bou (gee antwoord korrek tot die naaste sentimeter).

Bereken hoeveel papier hy sal nodig hê om die raam van sy vlieër te bou.

Maak 'n skets van Banele se vlieër en skryf al die bekende afmetings neer.

Bepaal hoeveel hout en papier Banele sal benodig vir sy vlieër.

Vergelyk die twee ontwerpe en lewer kommentaar op die ooreenkomste en die verskille. Watter een dink jy is die beste ontwerp? Motiveer jou antwoord.

Dieselfde hoeveelheid papier word benodig vir beide ontwerpe. Vuyo se ontwerp benodig meer balsahout.

is die middelpunt van 'n halfsirkel met radius . Twee kleiner semisirkels is ingeskrewe in die groter een, soos aangetoon op die diagram. Bereken die volgende (in terme van ):

Die area van die ingekleurde gedeelte van die figuur.

Die omtrek van die ingekleurde gedeelte.

Karen se ingenieurshandboek is lank en wyd. Sy let op dat die afmetings van haar lessenaar in dieselfde verhouding is as die afmetings van haar handboek.

As die lessenaar wyd is, bereken die area van die boonste oppervlak van die lessenaar.

Karen gebruik karton om elke hoek van haar lessenaar te bedek met 'n gelykbenige driehoek, soos aangetoon op die diagram:

Bereken die omtrek en area van die sigbare oppervlak van haar lessenaar.

Gebruik hierdie nuwe area om die afmetings te bereken van 'n vierkantige lessenaar met dieselfde oppervlakarea as Karen se lessenaar.

7.2 Regte prismas en silinders

'n Regte prisma is 'n meetkundige vaste liggaam met 'n poligoon as basis en vertikale syvlakke loodreg op die basis. Die basis en die boonste vlak het dieselfde vorm en grootte. Dit word 'n 'regte' prisma genoem omdat die hoeke tussen die sye en die basis regte hoeke is.

'n Driehoekige prisma het 'n driehoek as basis, 'n reghoekige prisma het 'n reghoek as basis en 'n kubus is 'n reghoekige prisma met al die sye ewe lank. 'n Silinder is 'n ander tipe regte prisma met 'n sirkel as basis. Voorbeelde van regte prismas word hieronder gegee: 'n reghoekige prisma, 'n kubus, 'n driehoekige prisma en 'n silinder.

Buite-oppervlakke van prismas en silinders

Buite-oppervlakke is die totale area van die sigbare of buite-oppervlakke van 'n prisma. Dit is makliker om hierdie konsep te verstaan as ons ons verbeel die prisma is 'n kartonboks wat ons kan oopvou. 'n Vaste liggaam wat op hierdie manier ontvou word, word 'n net, of 'n ontvouing, genoem. Wanneer 'n prisma in 'n net ontvou word, kan ons elke vlak duidelik sien. Ten einde die buite-oppervlakke van die prisma te bereken, kan ons dan eenvoudig die area van elke vlak bereken en hulle almal bymekaartel.

Byvoorbeeld, wanneer 'n driehoekige prisma ontvou word in 'n net, kan ons sien dit het twee driehoekige vlakke en drie reghoekige vlakke. Om die buite-oppervlakke van die prisma te bereken, vind ons die area van elke driehoek en elke reghoek en tel hulle almal bymekaar.

In die geval van 'n silinder, is die bo- en ondervlakke sirkels en die gekromde oppervlak ontvou in 'n reghoek waarvan die lengte gelyk is aan die omtrek van die sirkelvormige basis. Om die buite-oppervlakke te bereken, bereken ons dus die area van die twee sirkels en reghoek en tel hulle bymekaar.

Hieronder is voorbeelde van regte prismas wat ontvou is in nette. 'n Reghoekige prisma wat ontvou is in 'n net, bestaan uit ses reghoeke.

'n Kubus ontvou in 'n net wat bestaan uit ses identiese vierkante.

'n Driehoekige prisma ontvou in 'n net wat bestaan uit twee driehoeke en drie reghoeke. Die som van die lengtes van die reghoeke is gelyk aan die omtrek van elke driehoek.

'n Silinder ontvou in 'n net wat bestaan uit twee identiese sirkels en 'n reghoek waarvan die lengte gelyk is aan die omtrek van die sirkel.

Uitgewerkte voorbeeld 2: Berekening van buite-oppervlakke

'n Boks sjokolade het die volgende afmetings:

'n Silindervormige blik koekies het die volgende afmetings:

Bereken die area van geskenkpapier wat nodig is om die hele boks toe te draai (aanvaar geen oorvouings by die hoeke).

Bepaal of dieselfde hoeveelheid toedraaipapier genoeg is om die blik koekies toe te draai.

Bepaal die buite-oppervlakke van die reghoekige boks

Bepaal die buite-oppervlakke van die silindriese blik

Die radius van die silinder .

Skryf die finale antwoord

Nee, die oppervlakke van die vel oortrekpapier wat gebruik is om die boks oor te trek, is nie genoeg om die blik oor te trek nie.

Oefening 7.2

'n Populêre sjokoladehouer is 'n gelyksydige regte driehoekige prisma met sye . Die boks is lank. Bereken die buite-oppervlakke van die boks (tot die naaste vierkante sentimeter).

Gordon koop 'n silindervormige watertenk om die reënwater van sy dak af op te vang. Hy ontdek 'n vol blik groen verf in sy motorhuis en besluit om die tenk te verf. As hy gebruik om te verf, sal hy genoeg groen verf hê om die tenk een laag verf te gee?

Afmetings van die tenk:

Ja, hy het genoeg verf vir laag.

Volume van prismas en silinders

Volume, ook soms genoem kapasiteit, is die driedimensionele ruimte ingeneem deurdie voorwerp, of die inhoudsmaat van 'n voorwerp. Dit word gemeet in kubieke eenhede.

Die volume van 'n regte prisma word eenvoudig bereken deur die area van die basis te vermenigvuldig met die hoogte van die liggaam.

Reghoekige prisma

Driehoekige prisma

Silinder

Video: 26FJ

Uitgewerkte voorbeeld 3: Bereken volume

'n Reghoekige glas blompot met afmetings word gebruik vir blomrangskikkings. 'n Bloemis gebruik 'n plastiese silindervormige beker om water in die glasbak mee te gooi. Die beker het 'n deursnit van en 'n hoogte van .

Sal die plastiese beker water hou?

Sal 'n vol beker water genoeg wees om die glasbak te vul?

Bepaal die volume van die plastiese beker

Die deursnit van die beker is , dus is die radius .

Volume van 'n silinder = area van die basis hoogte

Nee, die inhoudsmaat van die beker is nie genoeg om water te hou nie.

Bepaal die volume van die glasbak

Volume van 'n reghoekige prisma = area van die basis hoogte

Ja, die volume van die beker is groter as die volume van die bak.

Oefening 7.3

Die dak van Phumza se huis is in die vorm van 'n reghoekige trapesium. 'n Silindervormige watertenk is opgerig langs 'n huis sodat reënwater van die dak af in die tenk kan loop. Die deursnit van die tenk is en die hoogte is .

Bepaal die area van die dak.

Bepaal hoeveel liters water die tenk kan hou.

Die lengte van 'n sy van 'n heksagonale lekkergoedblik is en die hoogte is gelyk aan helfte van 'n sylengte.

Wys dat die binnehoeke gelyk is aan .

Bepaal die lengte van lyn .

Teken 'n lyn loodreg aan sodat op lê. Laat .

Bereken die volume van die blik.

7.3 Regte piramides, regte konusse en sfere

'n Piramide is 'n geometriese vaste liggaam wat 'n poligoon as basis het, met sye wat ontmoet by 'n punt, genaamd die topoek. Met ander woorde die sye is nie loodreg op die basis nie.

Die driehoekige piramide en vierkantige piramide ontleen hulle name van die vorm van die basis. Ons noem 'n piramide 'n “regte piramide” as die lyn tussen die tophoek en die middel van die basis loodreg is op die basis. Konusse is soortgelyk aan piramides behalwe dat hulle basisse sirkels is in plaas van poligone. Sfere is soliede liggaame wat volmaak rond is en dieselfde lyk vanaf enige rigting.

Buite-oppervlakke van piramides, konusse en sfere

Vierkantige piramide

Driehoekige piramide

Regte keël

Sfeer

Volume van piramides, konusse en sfere

Vierkantige piramide

Driehoekige piramide

Regte keël

Sfeer

Video: 26FN

Uitgewerkte voorbeeld 4: Vind buite-oppervlakke en volume

Die Southern African Large Telescope (SALT) is gehuisves in 'n silindervormige gebou met 'n koepeldak in die vorm van 'n hemisfeer. Die hoogte van die gebou se muur is en die deursnit is .

Bereken die totale buite-oppervlakke van die gebou.

Bereken die totale volume van die gebou.

Bereken die totale buite-oppervlakke

Bereken die totale volume

Oefening 7.4

'n Roomyshorinkie het 'n deursnit van en 'n totale hoogte van .

Bereken die buite-oppervlakke van die roomys en die horinkie.

Bereken die totale volume van die roomys en die horinkie.

Hoeveel roomyshorinkies kan gevul word uit 'n houer roomys (neem aan die horinkie word heeltemal volgemaak met roomys)?

Beskou die ontvouing van die konus hieronder. is die lengte vanaf die hoekpunt van die konus tot by sy omtrek is .

Bepaal die waarde van .

Bereken die lengte van die boog .

Bereken die lengte van boog .

7.4 Vermenigvuldiging van 'n afmeting met 'n konstante faktor

Wanneer een of meer afmetings van 'n prisma of silinder vermenigvuldig word met 'n konstante, sal die buite-oppervlakke en die volume verander. Die nuwe buite-oppervlakke en volume kan bereken word deur die formules in die voorafgaande afdeling te gebruik.

Dit is belangrik om die verwantskap te sien tussen die verandering in die afmetings en die ooreenstemmende verandering in die buite-oppervlakke en die volume. Hierdie verwantskappe maak dit eenvoudiger om die nuwe volume en nuwe buite-oppervlakke van 'n voorwerp te bereken wanneer sy afmetings groter of kleiner gemaak word.

Beskou 'n reghoekige prisma met afmetings , en . Hieronder vermenigvuldig ons een, twee en drie van sy afmetings met 'n konstante faktor van en bereken die nuwe volume en buite-oppervlakke.

Afmetings

Volume

Buite-oppervlakke

Oorspronklike afmetings

Vermenigvuldig een dimensie met

Vermenigvuldig twee dimensies met

Vermenigvuldig al drie dimensies met

Vermenigvuldig al drie afmetings met

Uitgewerkte voorbeeld 5: Die effek van

Die Nash-familie wil 'n nuwe televisiekamer aanbou aan hulle huis. Die pa teken 'n plan vir die nuwe vierkantige vertrek met 'n lengte van meter. Die ma kyk na die plan en voel dat die area van die vertrek verdubbel moet word. Om dit te bereik:

stel die ma voor dat die lengte van die sye van die vertrek verdubbel moet word

die pa stel voor dat bygetel word by die lengte van die sye

die dogter stel voor dat die lengte van die sye vermenigvuldig word met 'n faktor van

die seun stel voor dat slegs die wydte van die kamer verdubbel word

Watter een se voorstel sal die area van die vierkantige vertrek verdubbel? Toon alle berekeninge.

Teken sketse

Bereken en vergelyk

Bereken eers die area van die vierkantige kamer op die oorspronklike plan: Dus, verdubbeling van die area van die vertrek, sal beteken .

Oorweeg die ma se voorstel om die lengte van die sye van die vertrek te verdubbel: Hierdie area sal keer die oorspronklike area wees.

Die pa stel voor dat bygevoeg word by die lengte van die sye van die vertrek: Dit is nie dubbeld die oorspronklike area nie.

Die dogter stel voor dat die lengte van die sye vermenigvuldig word met 'n faktor van : Die dogter se voorstel sal die area van die vertrek verdubbel. Prakties gesproke kan die lengte van die sye van die vertrek vermenigvuldig word met wat 'n area sal gee van .

Die seun stel voor dat slegs die wydte van die vertrek verdubbel word: Die seun se voorstel sal die area van die kamer verdubbel, maar die vertrek sal nie meer 'n vierkant wees nie.

Skryf die finale antwoord

Die dogter se voorstel om die lengte van die sye van die vertrek te vermenigvuldig met 'n faktor van sal die vorm van die vertrek 'n vierkant hou terwyl die area sal verdubbel.

Oefening 7.5

Voltooi die volgende sinne:

As een afmeting van 'n kubus met 'n faktor van vermenigvuldig word, sal die volume van die kubus

halveer

As twee dimensies van 'n kubus vermenigvuldig word met 'n faktor van , sal die volume van die kubus

Ongeveer keer groter

As drie afmetings van 'n kubus vermenigvuldig word met 'n faktor van , dan sal:

elke sy van die kubus

word keer langer.

die buite-oppervlakke van die kubus

word keer groter.

die volume van die kubus

word keer groter.

As elke sy van 'n kubus halveer word, sal:

die buite-oppervlakke van die kubus

vermenigvuldig word met 'n faktor , dus word die oppervlakke keer kleiner.

die volume van die kubus

vermenigvuldig word met 'n faktor , dus word die oppervlakke keer kleiner.

Die munisipaliteit beoog om 'n swembad te bou met 'n volume van kubieke meters. Hulle besef egter dit sal baie duur wees om die swembad vol water te maak, so hulle besluit om die swembad kleiner te maak.

Die lengte en die breedte van die swembad word verklein met 'n faktor van . Druk die nuwe volume uit in terme van .

Die afmetings van die swembad word so verminder dat die volume van die swembad verminder met 'n faktor van . Bepaal die nuwe afmetings van die swembad in terme van (onthou dat die swembad 'n kubus moet wees).

Elke sy behoort nou effens meer as van die oorspronklike lengte te wees.

7.5 Opsomming

oppervlakke is die tweedimensionele spasie binne die grense van 'n plat voorwerp.

oppervlakke formules:

vierkant:

reghoek:

driehoek:

trapesium:

parallelogram:

sirkel:

Buite-oppervlakke is die totale van die buite of sigbare oppervlakke van 'n prisma.

'n Ontvouing is die oopgevoude “plan” van 'n vaste liggaam.

Volume is die driedimensionele spasie wat ingeneem word deur 'n voorwerp, of die inhoud van 'n voorwerp.

Volume van 'n reghoekige prisma:

Volume van 'n driekhoekige prisma:

Volume van 'n vierkantige prisma of kubus:

Volume van 'n silinder:

’n Piramide is ’n soliede geometriese figuur met ’n veelhoekbasis wat verbind is aan die toppunt waar die syvlakke ontmoet (met ander woorde die sye is nie loodreg op die basis nie).

Totale buite-oppervlakke formules:

vierkantige piramide:

driehoekige piramide:

keël:

sfeer:

Volume formules:

vierkantige piramide:

driehoekige piramide:

keël:

sfeer:

Oefening 7.6

Beskryf hierdie figuur in terme van 'n prisma.

Vierkantige prisma met 'n driehoekige prisma aan een kant. Let daarop dat dit nie 'n vyfhoekige prisma is nie, siende dat al die hoeke nie ewe groot is nie.

Teken 'n net, of ontvouing, van hierdie figuur.

Watter van die volgende is 'n net van 'n kubus?

a en d

Benoem en teken die volgende figure:

'n Prisma met die minste sye.

Driehoekige prisma

'n Piramide met die minste hoekpunte.

Driehoekige piramide

'n Regte prisma met 'n vlieër as basis.

Rombiese prisma

Bepaal hoeveel papier benodig word om 'n boks te maak met 'n wydte van , hoogte van en lengte van (aanvaar daar is geen oorvleueling by die hoeke nie).

Gee 'n wiskundige naam vir die vorm van dié boks.

Reghoekige prisma

Bereken die volume van dié boks.

Bepaal hoeveel papier benodig word om 'n kubus te maak met 'n inhoudsmaat van .

Vergelyk die boks en die kubus. Watter een het die grootste volume en watter een vereis die meeste papier om te maak?

Die kubus het 'n groter volume en meer papier word benodig om die boks te maak.

is 'n rombus met sylengtes van millimeters. Die diagonale sny by en lengte van millimeters. Druk die area van uit in terme van .

Die diagram wys 'n reghoekige piramide met 'n basis van lank en breed. Die vertikale hoogte van die piramide is .

Bereken die volume van die piramide.

Bereken en .

Bereken die buite-oppervlakke van die piramide.

'n Groep kinders speel sokker op 'n oop stuk veld. Die sokkerbal het 'n inhoudsmaat van (kubieke sentimeters). 'n Afvoerpyp in die hoek van die veld het 'n deursnit van . Is dit moontlik dat die kinders se bal in die pyp kan inval? Toon jou berekenings.

Nee, die bal is te groot om by die pyp af te gaan.

'n Liter waspoeier pas in 'n standaard kubiese houer by die fabriek.

Bepaal die lengte van die sye van die houer.

Bepaal die afmetings van die kubiese houer wat dubbeld hierdie volume waspoeier kan hou.

'n Kubus het sye met lengte eenhede.

Beskryf die effek op die volume van die kubus as die hoogte verdrievoudig word.

As al drie afmetings van die kubus verdrievoudig word, bepaal die effek op die buite-oppervlakke van die kubus.

As al drie afmetings op die kubus verdrievoudig word, bepaal die effek op die volume.

Hoofstuk 8: Euklidiese meetkunde

Bespreek terminologie.

Omgekeerde stellings is nie eksamineerbaar nie.

Goeie praktyk vir die beantwoording van vrae:

maak ‘n netjiese en akkurate skets

noem die driehoek/figuur wat ter sprake is

gee bewering en toepaslike rede

gee ‘n gevolgtrekking

8.1 Hersiening

Parallelogram

'n Parallelogram is 'n vierhoek met beide pare teenoorstaande sye ewewydig.

Opsomming van die eienskappe van 'n parallelogram:

Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig.

Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.

Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.

Beide hoeklyne halveer mekaar.

Die middelpuntstelling

Die lyn wat die middelpunte van twee sye van 'n driehoek verbind, is ewewydig aan die derde sy en gelyk aan die helfte van die lengte van die derde sy.

Gegee: en . Dan kan ons tot die gevolgtrekking kom dat en .

8.2 Sirkelmeetkunde

Terminologie

Die volgende terme word gereeld gebruik wanneer ons verwys na sirkels:

Boog — 'n gedeelte van die omtrek van 'n sirkel.

Koord — 'n reguitlyn wat die eindpunte van 'n boog verbind.

Omtrek — grenslyn van die sirkel.

Radius () — enige reguitlyn vanaf die middelpunt van 'n sirkel tot by 'n punt op die omtrek.

Middellyn — 'n spesiale koord wat deur die middelpunt van die sirkel gaan. 'n Midellyn is 'n reguitlynsegment van een punt op die omtrek na 'n ander punt op die omtrek en wat deur die middelpunt van die sirkel gaan.

Segment — 'n deel van die sirkel wat afgesny word deur 'n koord; 'n koord verdeel 'n sirkel in twee segmente.

Raaklyn — 'n reguitlyn wat die sirkel slegs in een punt op die omtrek ontmoet.

Video: 26G7

Aksiomas

'n Aksioma is 'n gevestigde en algemeen aanvaarde beginsel. Vir hierdie afdeling, is die volgende aanvaarde aksiomas.

Die stelling van Pythagoras lui dat die vierkant op die skuinssy van 'n reghoekige driehoek is gelyk aan die som van die vierkante op die ander twee sye.

'n Raaklyn is loodreg op die radius (), getrek na die punt van kontak met die sirkel.

Stellings

'n Stelling is 'n hipotese (vermoede) wat as waar getoon kan word met behulp van aanvaarde wiskundige bewerkings en argumente. 'n Bewys is die proses waardeur getoon word 'n stelling is korrek.

Die omgekeerde stelling is die omruiling van die hipotese en die gevolgtrekking. Byvoorbeeld, gegee die stelling “as , dan ”, die omgekeerde is “as , dan ”.

Theorem: Loodregte lyn vanaf die middelpunt van die sirkel na 'n koord, halveer die koord

As 'n lyn getrek word vanaf die middelpunt van 'n sirkel loodreg op 'n koord, dan halveer dit die koord.

(Rede: vanaf middelpunt halveer koord)

Sirkel met middelpunt en lyn loodreg op koord .

Trek en .

In en in , en Dus halveer .

Alternatiewe bewys:

In en in , Dus halveer .

(BEWYS NIE VIR EKSAMENS) Omgekeerde:: Lyn vanaf middelpunt van die sirkel na die middelpunt van die koord, is loodreg op die koord

As 'n lyn getrek word vanaf die middelpunt van die sirkel na die middelpunt van 'n koord, dan sal die lyn loodreg op die koord wees.

(Rede: lyn vanaf middelpunt van sirkel na middelpunt van die koord )

Sirkel met middelpunt en lyn na middelpunt op koord .

Trek en .

In en in , Dus .

Video: 26G8

Theorem: Loodregte halveerlyn van 'n koord gaan deur die middelpunt van die sirkel

As 'n loodregte halveerlyn van 'n koord getrek word, dan sal die lyn deur die middelpunt van die sirkel gaan.

(Rede: halveerlyn deur middelpunt)

Sirkel met middelpunt op koord .

Lyn word getrek sodat .

Lyn word getrek sodat .

Sirkel se middelpunt lê op die lyn

Trek lyne en .

Trek lyne en .

In en in ,

Soortgelyk kan dit getoon word dat in en in , .

Ons kom tot die gevolgtrekking dat al die punte wat ewe ver is van en sal lê op lyn verleng. Dus die middelpunt , wat ewe ver is van alle punte op die omtrek, moet ook op die lyn lê.

Uitgewerkte voorbeeld 1: Loodregte lyn vanaf sirkelmiddelpunt halveer die koord

Gegee en eenhede, bepaal die waarde van .

Gebruik stellings en die gegewe inligting om al die gelyke hoeke en sye in die diagram te vind

Los op vir

In :

Skryf die finale antwoord

eenhede.

Oefening 8.1

In die sirkel met middelpunt , , eenhede en . Bepaal .

In die sirkel met middelpunt en radius eenhede, en . Bepaal .

In die sirkel met middelpunt , , eenhede en eenhede. Bepaal .

In die sirkel met middelpunt , , , eenhede, eenhede en eenhede. Bepaal .

In die sirkel met middelpunt , , , eenhede, eenhede en eenhede. Bepaal .

Hoeke onderspan deur 'n boog by die middelpunt en die omtrek van 'n sirkel

Meet hoeke en in elk van die volgende sketse, noukerig met 'n gradeboog:

Voltooi die tabel:

Gebruik jou resultate om 'n vermoede te formuleer oor die verwantskap tussen hoeke onderspan deur 'n boog by die middelpunt van 'n sirkel en hoeke by die omtrek van 'n sirkel.

Trek nou drie van jou eie soortgelyke diagramme en meet die hoeke om jou vermoede te kontroleer.

Theorem: Hoek by die middelpunt van 'n sirkel is tweemaal die grootte van die hoek by die omtrek van die sirkel

As 'n boog 'n hoek by die middelpunt van 'n sirkel en op die omtrek onderspan, dan is die grootte van die hoek by die middelpunt tweemaal die grootte van die hoek by die omtrek.

(Rede: )

Sirkel met middelpunt , boog onderspan by die middelpunt van die sirkel, en by die omtrek.

Trek verleng na en laat en .

Soortgelyk, kan ons ook aantoon dat .

Vir die eerste twee diagramme hierbo getoon, het ons dat En vir die laaste diagram het ons dat

Uitgewerkte voorbeeld 2: Hoek by die middelpunt van die sirkel is tweemaal die hoek by die omtrek

Gegee , die middellyn van die sirkel gaan deur die middelpunt .

Gebruik stellings en die gegewe inligting om al die gelyke hoeke en sye in die diagram te vind

Los op vir

In :

Gevolgtrekking

Die middellyn van die sirkel onderspan 'n regte hoek by die omtrek (Rede: hoek in 'n halfsirkel).

Oefening 8.2

Gegee is die middelpunt van die sirkel, bepaal die onbekende hoek in elk van die volgende diagramme:

Omtrekshoeke in dieselfde sirkelsegment

Meet hoeke , , , en in die diagram hieronder:

Kies enige twee punte op die omtrek van die sirkel en benoem hulle en

.

Trek en , en meet

Trek en , en meet

Wat neem jy waar? Maak 'n bewering omtrent hierdie tipes hoeke.

Theorem: Omtrekshoeke in dieselfde sirkelsegment is ewe groot

Omtrekshoeke, onderspan deur 'n koord en aan dieselfde kant van die koord, is ewe groot.

(Rede: s in dieselfde segment gelyk)

Sirkel met middelpunt , en punte en op die omtrek van die sirkel. Boog onderspan en in dieselfde segment.

Gelyke boë onderspan ewe groot hoeke

Van die stelling hierbo kan ons aflei dat as omtrekshoeke van 'n sirkel onderspan word deur boë van dieselfde lengte, sal die hoeke ewe groot wees. In die figuur hieronder, let daarop dat as ons die twee koorde van dieselfde lengte nader en nader aanmekaar skuif totdat hulle oorvleuel, sal ons dieselfde situasie hê as in die stelling hierbo. Dit toon dat hoeke onderspan deur boë van dieselfde lengte, ook ewe groot is.

(BEWYS NIE VIR EKSAMENS) Omgekeerde:: Konsikliese punte

As 'n lynsegment twee gelyke hoeke by twee verskillende punte aan dieselfde kant van die lynsegment onderspan, is hierdie vier punt konsiklies (lê hulle op 'n sirkel).

Lynsegment sonderspan gelyke hoeke by punte en aan dieselfde kant van die lynsegment .

, , en lê op die sirkel.

Bewys deur teenstelling:

Punte op die omtrek van 'n sirkel: ons weet daar is net twee moontlike opsies met betrekking tot 'n spesifieke punt - dit lê óf op die omtrek óf dit lê nie op die omtrek nie.

Ons neem aan dat die punt nie op die omtrek lê nie.

Ons trek 'n sirkel wat sny by en wat gaan deur , en . Dus moet die aanname dat die sirkel nie deur punt loop nie vals wees.

Ons kan dus aanneem , , en lê op die sirkel (, , en is konsiklies).

Uitgewerkte voorbeeld 3: Konsikliese punte

Gegee en , bepaal die waarde van .

Gebruik stellings en die gegewe inligting om al die gelyke hoeke in die diagram te vind

Los op vir

Oefening 8.3

Bepaal die waardes van die onbekende hoeke.

Gegee , bepaal die waarde van .

Is die middellyn van die sirkel? Verduidelik jou antwoord.

Nee, aangesien

Gegee 'n sirkel met middelpunt , en . Bepaal .

Koordevierhoeke

Koordevierhoeke is vierhoeke waar al vier punte op die omtrek van 'n sirkel lê (konsiklies is).

Koordevierhoek

Beskou die onderstaande diagramme:

Sirkel
Sirkel
Sirkel

Voltooi die volgende:

is 'n koordevierhoek omdat

Voltooi die tabel:

Sirkel
Sirkel
Sirkel

Gebruik jou resultate om 'n veronderstelling te maak oor die verhouding tussen hoeke van 'n koordevierhoek.

Theorem: Teenoorstaande binnehoeke van 'n koordevierhoek

Die teenoorstaande binnehoeke van 'n koordevierhoek is supplementêr.

(Rede: teenoorst. e koordevierhoek.)

Sirkel met middelpunt en met punte en op die omtrek (dus is 'n koordevierhoek).

en

Trek en . Benoem en . Ons kan net so wys dat .

Omgekeerde stelling: teenoorstaande binnehoeke van 'n vierhoek

As die teenoorstaande hoeke van 'n vierhoek supplementêr is, dan is dit 'n koordevierhoek.

Buitehoeke van 'n koordevierhoek

As 'n vierhoek 'n koordevierhoek is, dan is die buitehoek gelyk aan die teenoorstaande binnehoek.

Uitgewerkte voorbeeld 4: Teenoorstaande binnehoeke van 'n koordevierhoek

Gegee 'n sirkel met middelpunt en 'n koordevierhoek . is getrek en . Bepaal die waardes van , en .

Gebruik stellings en die gegewe inligting om al die gelyke hoeke in die skets te vind

Los op vir

In :

Metodes om te bewys dat 'n vierhoek 'n koordevierhoek is

Daar is drie maniere om te bewys dat 'n vierhoek 'n koordevierhoek is:

| Metode om te bewys | Rede
| As of , dan is is 'n koordevierhoek | tst. binnehoeke suppl.
| As of , dan is 'n koordevierhoek | hoeke in dieselfde seg. is gelyk
| As , dan is 'n koordevierhoek | buitehoek gelyk aan tst binnehoek

Uitgewerkte voorbeeld 5: Om te bewys dat 'n vierhoek 'n koordevierhoek is

Bewys is 'n koordevierhoek.

Gebruik stellings en die gegewe inligting om al die gelyke hoeke in die skets te vind

Bewys dat is 'n koordevierhoek

Oefening 8.4

Vind die waardes van die onbekende hoeke.

Bewys dat is 'n koordevierhoek.

Raaklyn aan 'n sirkel

'n Raaklyn is 'n lyn wat die omtrek van 'n sirkel raak in slegs een plek. Die radius van 'n sirkel is loodreg op die raaklyn by die raakpunt.

Theorem: Twee raaklyne wat van dieselfde punt buite 'n sirkel getrek word

As twee raaklyne vanaf dieselfde punt buite 'n sirkel getrek word, is hulle ewe lank.

(Rede: raaklyne vanaf dieselfde punt na omtrek)

Sirkel met middelpunt en raaklyne en , waar en die onderskeie kontakpunte van die twee lyne is.

In en ,

Uitgewerkte voorbeeld 6: Raaklyne vanaf dieselfde punt buite 'n sirkel

In die diagram hieronder is , en . Bepaal die waardes van , en .

Gebruik stellings en die gegewe inligting om al die gelyke hoeke in die diagram te vind

Los op vir , en

Los op vir onbekende veranderlikes met gelyktydige vergelykings

Trek vergelyking van af en vervang dan in vergelyking .

Oefening 8.5

Bepaal die waardes van die onbekende lengtes.

Raaklyn-koord

Beskou die diagramme hieronder:

Diagram
Diagram
Diagram

Meet die volgende hoeke met 'n gradeboog en voltooi die tabel:

Diagram
Diagram
Diagram

Gebruik jou resultate om die volgende te voltooi: die hoek tussen 'n raaklyn aan 'n sirkel en 'n koord is aan die hoek in die teenoorstaande segment.

Theorem: Raaklyn-koord

Die hoek tussen 'n raaklyn aan 'n sirkel en 'n koord wat by die kontakpunt getrek word, is gelyk aan die hoek wat die koord onderspan in die teenoorstaande segment.

(Rede: raaklyn-koord)

Sirkel met middelpunt en raaklyn wat die sirkel by raak. Koord wat en onderspan.

Trek middellyn en verbind en .

Laat .

Uitgewerkte voorbeeld 7: Raaklyn-koord

Bepaal die waardes van en .

Gebruik stellings en die gegewe inligting om al die gelyke hoeke in die diagram te vind

Los op vir

Los op vir

Oefening 8.6

Bepaal die waardes van die onbekende simbole en gee redes vir jou antwoord.

is die middelpunt van die sirkel en is 'n raaklyn, met . Bepaal , en , met redes.

Gegee , en . Bewys.

is 'n raaklyn aan die sirkel .

is 'n raaklyn aan die sirkel .

Omgekeerde: raaklyn-koord stelling

As 'n lyn deur die eindpunt van 'n koord geteken word sodat dit 'n hoek vorm wat gelyk is aan die hoek wat die koord in die alternatiewe segment onderspan, dan is die lyn 'n raaklyn aan die sirkel.

(Rede: tussen lyn en koord in alt. seg.)

Uitgewerkte voorbeeld 8: Toepassing van stellings

is 'n raaklyn aan die sirkel met middelpunt , met .

Bewys dat:

is 'n koordevierhoek

Sal 'n raaklyn aan 'n sirkel wees wat deur en ? Motiveer jou antwoord.

Bewys is 'n koordevierhoek deur te wys dat die teenoorstaande binnehoeke supplementêr is

Bewys dat 'n gelykbenige driehoek is

Om te wys dat , moet ons eers bewys dat 'n gelykbenige driehoek is deur te wys dat .

Bewys

Bepaal of 'n raaklyn aan die sirkel deur , , en is

Bewys deur teenstelling.

Laat ons aanneem dat 'n raaklyn aan die sirkel wat deur die punte , , en is: En deur die sirkel met middelpunt en raaklyn te gebruik, het ons: Daarom is ons aanname vals en kan ons tot die gevolgtrekking kom dat is nie 'n raaklyn aan die sirkel deur , , en nie.

Uitgewerkte voorbeeld 9: Toepassing van stellings

is parallel aan raaklyn

Bewys dat:

is 'n koordevierhoek

Bewys dat 'n koordevierhoek is deur hoeke in dieselfde segment te gebruik

Bewys

8.3 Opsomming

Boog — 'n gedeelte van die omtrek van 'n sirkel.

Koord — 'n reguitlyn wat die eindpunte van 'n boog verbind.

Omtrek — grenslyn van die sirkel.

Radius () — enige reguitlyn vanaf die middelpunt van 'n sirkel tot by 'n punt op die omtrek.

Middellyn — 'n spesiale koord wat deur die middelpunt van die sirkel gaan. 'n Midellyn is 'n reguitlynsegment van een punt op die omtrek na 'n ander punt op die omtrek en wat deur die middelpunt van die sirkel gaan.

Segment — 'n deel van die sirkel wat afgesny word deur 'n koord; 'n koord verdeel 'n sirkel in twee segmente.

Raaklyn — 'n reguitlyn wat die sirkel slegs in een punt op die omtrek ontmoet.

'n Raaklyn is loodreg op die radius getrek vanaf die kontakpunt van die raaklyn met die sirkel.

As die middelpunt is en , dan .

As die middelpunt is en , dan .

As en , dan gaan deur die middelpunt .

As 'n boog 'n hoek by die middelpunt van 'n sirkel en op die omtrek onderspan, dan is die grootte van die hoek by die middelpunt tweemaal die grootte van die hoek by die omtrek.

Hoeke by die omtrek wat onderspan word deur dieselfde boog (of deur gelyke boë) is ewe groot.

Die vier sye van 'n koordevierhoek is koorde van die sirkel met middelpunt .

(teenoorst. e supp.)

(teenoorst. e supp.)

(buitehoek koordevierhoek)

(regoorstaande hoeke, buitehoek koordevierhoek)

Om te bewys 'n vierhoek is 'n koordevierhoek: As of , dan is 'n koordevierhoek.

As of , dan is 'n koordevierhoek.

As of , dan is 'n koordevierhoek.

As en raaklyne is aan die sirkel , dan

(raaklyn radius)

(raaklyn radius)

(raaklyne vanaf dieselfde punt is ewe lank)

As 'n raaklyn is, dan en

As of , dan is 'n raaklyn wat raak by

Oefening 8.7

is die middellyn van die sirkel met middelpunt . is die middelpunt van koord . en . Druk die volgende hoeke uit in terme van , met vermelding van redes:

, , en is punte op die sirkel met middelpunt . en . Bepaal die groottes van die volgende hoeke, met vermelding van redes:

is 'n punt op die sirkel met middelpunt . is ook die middelpunt van 'n tweede sirkel. sny die kleiner sirkel by en . Druk die volgende hoeke uit in terme van ; met redes:

is die middelpunt van die sirkel met radius en koord . Bereken die lengtes van:

in sirkel met middelpunt . en . Bereken die waarde van , met opgaaf van redes.

is die middellyn van die sirkel met middelpunt . halveer en .

Skryf nog twee hoeke neer wat ook gelyk is aan .

Bereken in terme van , met opgaaf van redes.

Bewys dat 'n loodregte halveerlyn is van .

is 'n middellyn van die sirkel met middelpunt . en . Bereken die waarde van die volgende, met redes:

in die sirkel met middelpunt , is verleng na sodat . Druk uit in terme van .

is die middelpunt van die sirkel met middellyn . by en koord sny by . Bewys dat:

In die sirkel met middelpunt , , en . Bepaal die lengte van .

, , en is punte op die sirkel met middelpunt . en word verleng en ontmoet by . en .

Bepaal, met redes, nog drie hoeke gelyk aan .

As , bereken , en .

Verduidelik hoekom 'n raaklyn is aan die sirkel by punt .

, dus is ‘n raaklyn aan die sirkel deur (hoek tussen lyn en koord gelyk aan in teenoorst. segment)

Bepaal .

is 'n middellyn van die sirkel met middelpunt . is verleng na en is 'n raaklyn aan die sirkel. en is 'n reguitlyn. Bewys:

is 'n koordevierhoek

en is raaklyne aan die sirkel met middelpunt . is 'n punt op die omtrek van . Druk die volgende uit in terme van , met vermelding van redes:

is 'n middellyn van die sirkel met middelpunt . en sny by .

Bewys

Toon dat halveer word deur

As , druk uit in terme van

Bereken die radius van die sirkel as en

en is koorde van die sirkel en . Die raaklyn aan die sirkel by ontmoet verleng by . Die raaklyn by ontmoet by . en word getrek.

Laat en . Bewys dat:

is 'n koordevierhoek

is die middelpunt van die sirkel

Die twee sirkels sny by punte en . is 'n raaklyn aan die kleiner sirkel by . Reguitlyn word so getrek dat . 'n reguitlyn is en koord en sny by . Bewys dat:

is 'n parallelogram

Hoofstuk 9: Finansies, groei en verval

Bespreek terminologie.

Baie belangrik om te beklemtoon dat berekeninge nie afgerond moet word voor die finale antwoord nie.

Leerders behoort berekeninge in een stap te kan doen deur die geheuefunksie van hulle sakrekenaars te gebruik.

Trek tydlyne wat die verskillende tydsperiodes, rentekoerse en enige depositos/onttrekkings aantoon.

Bespreek regte lewe finansiële sake: spaar, begrotings, belasting, aftrede, ens.

9.1 Hersiening

Enkelvoudige rente is die rente wat slegs bereken word op die aanvanklike bedrag wat belê is, die hoofsom. Saamgestelde rente word bereken op die hoofsom en die opgeloopte rente. Dit beteken dat rente op rente verdien word. Die opgeloopte bedrag is die finale bedrag; die som van die hoofsom bedrag en die hoeveelheid rente verdien.

Formule vir enkelvoudige rente:

Formule vir saamgestelde rente: met

Uitgewerkte voorbeeld 1: Enkelvoudige en saamgestelde rente

Sam wil vir jaar lank belê. Wise Bank bied 'n spaarrekening aan wat enkelvoudige rente teen 'n rentekoers van % per jaar betaal, en Grand Bank bied 'n spaarrekening aan wat saamgestelde rente teen 'n rentekoers van % per jaar betaal. Watter bankrekening sal vir Sam die hoogste opgeloopte balans gee teen die einde van die jaar periode?

Bereken deur die enkelvoudige rente formule te gebruik

Skryf die bekende veranderlikes, asook die enkelvoudige rente formule, neer

Vervang nou die waardes in om die opgeloopte bedrag vir Wise Bank se spaarrekening te bepaal.

Bereken deur die saamgestelde rente formule te gebruik

Skryf die bekende veranderlikes, asook die saamgestelde rente formule, neer.

Vervang nou die waardes in om die opgeloopte bedrag vir Grand Bank se spaarrekening te bepaal

Skryf die finale antwoord

Die Grand Bank spaarrekening sou vir Sam die hoogste opgeloopte balans, teen die einde van die jaar periode, gegee het.

Uitgewerkte voorbeeld 2: Om te bepaal

Bongani besluit om in 'n beleggingsrekening te plaas. Watter saamgestelde rentekoers moet die beleggingsrekening vir Bongani gee sodat hy sy geld kan verdubbel in jaar? Gee jou antwoord korrek tot een desimale plek.

Skryf die bekende veranderlikes en die saamgestelde rente formule neer

Vervang die waardes in en los op vir

Skryf die finale antwoord neer en interpreteer die antwoord

Ons rond boontoe af na 'n rentekoers van % p.j. om seker te maak dat Bongani sy belegging sal verdubbel.

Oefening 9.1

Bepaal die waarde van 'n belegging van teen % enkelvoudige rente per jaar vir jaar.

Bereken die waarde van belê teen % p.j. saamgestelde rente vir jaar.

Bereken hoeveel rente John sal verdien as hy vir jaar belê teen:

% p.j. enkelvoudige rente

% p.j. saamgestelde rente

Die waarde van die belegging groei van tot in jaar. Bepaal die enkelvoudige rentekoers waarteen dit belê is.

James het gehad en het dit vir jaar belê. As die waarde van sy belegging is, watter saamgestelde rente het dit verdien?

9.2 Enkelvoudige of saamgestelde waardevermindering

Sodra 'n nuwe motor die handelaar verlaat, verminder sy waarde en word hy as “tweedehands” beskou. Voertuie, toerusting, masjinerie en ander soortgelyke bates verloor waarde met tyd as gevolg van gebruik en ouderdom. Hierdie verlies in waarde word waardevermindering (of depresiasie) genoem. Bates wat 'n relatief lang gebruikslewe, soos masjiene, vragmotors, plaastoerusting ens., depresiëer stadiger as bates soos kantoortoerusting, rekenaars, meubels ens., wat meer gereeld vervang moet word en dus vinniger depresiëer (m.a.w. vinniger waardevermindering ondergaan).

Waardevermindering word gebruik om die waarde van 'n maatskappy se bates te bereken, wat bepaal hoeveel belasting 'n maatskappy moet betaal. Maatskappye kan waardevermindering as 'n uitgawe sien, en sodoende hul belasbare inkomste verminder. 'n Laer belasbare inkomste beteken dat die maatskappy minder inkomstebelasting aan die Suid-Afrikaanse Inkomstediens (SAID) sal betaal.

Ons kan twee verskillende tipes waardevermindering bereken: enkelvoudige verval en saamgestelde verval. Verval is ook 'n term wat gebruik word om 'n vermindering of afname in waarde te beskryf. Enkelvoudige verval word ook reguitlyn waardevermindering genoem, en saamgestelde verval kan ook na verwys word as verminderde-balans waardevermindering. In die reguitlynmetode word die waarde van die bate elke jaar met 'n vaste bedrag verminder, wat op die beginwaarde van die bate bereken word. In verminderde-balans waardevermindering word die waardevermindering op die verminderde waarde van die bate gebaseer. Dit beteken dat die waarde van die bate elke jaar met 'n verskillende hoeveelheid verminder.

Enkelvoudige of saamgestelde waardevermindering

Mnr. Sontange koop 'n Opel Fiesta vir . Hy verwag dat die waarde van die motor elke jaar met sal depresiëer. Hy stel 'n tabel op om die gedepresiëerde waarde van sy Opel Fiesta te bereken.

Voltooi Mnr. Sontange se tabel van waardes vir die jaar periode:

Jaar
Waarde aan die begin van die jaar
Depresiasiebedrag
Waarde aan die einde van die jaar

Sy seun, David, stem nie saam dat die waarde van die motor elke jaar met dieselfde bedrag sal afneem nie. David dink dat die motor sal depresiëer met % per jaar.

Voltooi David se tabel van waardes

Jaar
Waarde aan die begin van die jaar
Depresiasiebedrag
Waarde aan die einde van die jaar

Vergelyk en bespreek die resultate van die twee verskillende tabelle.

Beskou die grafiek hieronder wat Mnr. Sontange se tabel van waardes verteenwoordig:

Teken 'n soortgelyke grafiek deur David se tabel van waardes te gebruik.

Interpreteer die twee grafieke en bespreek die verskille tussen hulle.

Verduidelik hoe die grafieke gebruik kan word om die totale waardevermindering in elke geval te bepaal.

Teken twee grafieke deur die maksimumwaarde van elke staaf te stip.

Verbind die punte met 'n lyn om die algemene tendens te wys.

Is dit wiskundig korrek om hierdie punte te verbind? Verduidelik jou antwoord.

Enkelvoudige waardevermindering

Uitgewerkte voorbeeld 3: Reguitlyn waardevermindering

'n Nuwe slimfoon kos , en depresiëer teen % p.j. op 'n reguitlyn. Bepaal die waarde van die slimfoon aan die einde van elke jaar oor 'n -jaar tydperk.

Bereken die depresiasiebedrag

Dus depresiëer die slimfoon met elke jaar.

Voltooi die tabel van waardes

Jaar
Waarde aan die begin van die jaar
Depresiasiebedrag
Waarde aan die einde van die jaar

Ons let op dat

waar

Dus kan die gedepresiëerde waarde van die bates (ook genoem die boekwaarde) bereken word as:

Let op die ooreenkoms met die enkelvoudige rente formule . Rente verhoog die waarde van die hoofsombedrag, terwyl enkelvoudige verval die waarde van die hoofsombedrag verminder.

Belangrik: om 'n akkurate antwoord te verkry, doen al jou berekenings in een stap op jou sakrekenaar. Moenie jou antwoorde afrond voor jou finale antwoord nie. In die uitgewerkte voorbeelde in hierdie hoofstuk gebruik ons kolletjies om aan te toon dat die antwoord nie afgerond is nie. Ons rond altyd die finale antwoord af tot twee desimale plekke (sente, in die geval van geld).

Uitgewerkte voorbeeld 4: Reguitlyn waardeverminderingsmetode

'n Motor is gewaardeer teen . As dit depresiëer met % p.j. op die reguitlyn-metode, bereken die waarde van die motor na jaar.

Skryf die bekende veranderlikes en die enkelvoudige vervalformule neer

Vervang die waardes in en los op vir

Skryf die finale antwoord

Aan die einde van jaar is die motor werd.

Uitgewerkte voorbeeld 5: Enkelvoudige verval

'n Klein besigheid koop 'n fotokopieerder vir . Vir die belastingopgawe depresiëer die eienaar hierdie bate oor jaar deur die reguitlyn depresiasiemetode te gebruik. Watter bedrag sal hy elke jaar op sy belastingvorm invul?

Skryf die bekende veranderlikes neer

Die eienaar van die besigheid wil hê dat die fotokopieerder 'n boekwaarde van na jaar moet hê.

Dus kan ons die jaarlikse waardevermindering bereken as

Bepaal die boekwaarde aan die einde van elke jaar

Oefening 9.2

'n Besigheid koop 'n vragmotor vir . Oor 'n periode van jaar depresiëer die waarde van die vragmotor na volgens die reguitlynmetode. Wat is die waarde van die vragmotor na jaar?

Harry wil sy oupa se donkie vir koop. Sy oupa is ingenome met die aanbod, aangesien die donkie slegs teen % per jaar gedepresiëer het op die reguitlynmetode. Oupa het die donkie jaar gelede gekoop. Wat het oupa oorspronklik vir die donkie betaal?

Sewe jaar gelede het Rocco se drommestel hom gekos. Dit is nou gewaardeer op . Teen watter koers van enkelvoudige waardevermindering het dit gedepresiëer?

Fiona koop 'n DStv satellietskottel vir . As gevolg van verwering depresiëer die waarde daarvan met % per jaar. Na hoe lank sal die satellietskottel 'n boekwaarde van nul hê?

Of

Saamgestelde depresiasie

Uitgewerkte voorbeeld 6: Verminderende-balans depresiasie

'n Tweedehandse plaastrekker wat werd is, het 'n gebruiksleeftyd van jaar, en depresiëer teen % p.j. op 'n verminderde-balans beginsel. Bepaal die waarde van die trekker aan die einde van elke jaar oor die -jaar periode.

Skryf die bekende veranderlikes neer

Wanneer ons die waardevermindering met behulp van die verminderde-balans metode bereken, moet ons onthou:

die depresiasiebedrag verander elke jaar

die depresiasiebedrag word elke jaar minder

die boekwaarde aan die einde van 'n jaar word die hoofsombedrag vir die volgende jaar

die bate sal altyd 'n sekere waarde hê (die boekwaarde sal nooit gelyk wees aan nul nie).

Voltooi die tabel van waardes

Jaar
Boekwaarde
Waardevermindering
Waarde aan die einde van die jaar

Let op dat ons ook in die voorbeeld die boekwaarde aan die einde van elke jaar kan skryf as:

Deur van die formule vir enkelvoudige verval en die waargenome patroon in die berekening hierbo gebruik te maak, verkry ons die formule vir saamgestelde verval:

waar

Weereens, let op die ooreenkoms met die saamgestelde rente formule .

Uitgewerkte voorbeeld 7: Verminderende-balans depresiasie

Die aantal pelikane by die Bergriviermond verminder teen 'n saamgestelde tempo % p.j. As daar op die oomblik pelikane in die vleiland van die Bergriviermond is, wat sal die bevolking oor jaar wees?

Skryf die bekende veranderlikes en die saamgestelde vervalformule neer

Vervang die waardes in en los op vir

Skryf die finale antwoord

Oor jaar sal die pelikaanbevolking ongeveer wees.

Uitgewerkte voorbeeld 8: Saamgestelde verval

'n Skool koop 'n minibus vir , en dit depresiëer teen % per jaar. Bepaal die waarde van die minibus na jaar as die depresiasie bereken word:

met die reguitlynmetode

met die verminderde-balans metode

Watter een is die beter opsie?

Skryf die bekende veranderlikes neer

Gebruik die enkelvoudige vervalformule en los op vir

Gebruik die saamgestelde vervalformule en los op vir

Interpreteer die antwoorde

Na 'n periode van jaar, is die waarde van 'n minibus, soos met die reguitlyn metode bepaal, minder as die waarde van die minibus, soos met die saamgestelde metode bepaal. Die waarde van die minibus het minder gedepresiëer met die verminderde-balans metode omdat die hoeveelheid waardevermindering elke jaar op 'n kleiner bedrag bereken word, terwyl die reguitlynmetode elke jaar gebaseer is op die volle oorspronklike waarde van die minibus.

Uitgewerkte voorbeeld 9: Saamgestelde depresiasie

Boer Jack het 'n trekker gekoop en dit het gedepresiëer met % p.j. op 'n verminderde-balans beginsel. As die huidige waarde van die trekker is, bereken hoeveel Boer Jack vir sy trekker betaal het as hy dit jaar gelede gekoop het.

Skryf die bekende veranderlikes en die saamgestelde vervalformule neer

Vervang die waardes in en los op vir

Skryf die finale antwoord

jaar gelede het Boer Jack vir sy trekker betaal.

Oefening 9.3

Jwayelani koop 'n vragmotor vir en depresiëer dit teen % p.j. deur die saamgestelde waardeverminderingsmetode te gebruik. Wat is die waarde van die vragmotor na jaar?

Die aantal rietduikers by die Amanzimtoti-riviermond neem af met 'n saamgestelde koers van % p.j. As daar nou rietduikers is, hoeveel sal daar jaar van nou af wees?

Op Januarie is die waarde van my Kia Sorento . Elke jaar daarna sal die motor se waarde verminder met % van die vorige jaar se waarde. Wat is die waarde van die motor op Januarie ?

Die bevolking van Bonduel verminder teen 'n verminderde-balans koers van % per jaar, soos mense na die stede migreer. Bereken die afname in bevolking oor 'n periode van jaar as die oorspronklike bevolking was.

'n waatlemoen bestaan uit % water. As dit buite in die son gelaat word verloor dit elke dag % van hierdie water. Hoeveel weeg dit na 'n maand van dae?

Richard het jaar gelede 'n motor gekoop en dit het met % p.j. op 'n saamgestelde basis gedepresiëer. Hoeveel het hy vir die motor betaal as dit nou werd is?

Om te bepaal

Uitgewerkte voorbeeld 10: Vind vir enkelvoudige verval

Na jaar is die waarde van 'n rekenaar gehalveer. Onder die aanname van enkelvoudige verval, wat is die jaarlikse koers waarteen dit gedepresiëer is? Gee jou antwoord korrek tot twee desimale plekke.

Skryf die bekende veranderlikes en die enkelvoudige vervalformule neer

Laat die waarde van die rekenaar wees, dus:

Vervang die waardes in en los op vir

Skryf die finale antwoord

Die rekenaar het gedepresiëer teen 'n koers van % p.j.

Uitgewerkte voorbeeld 11: Vind vir saamgestelde verval

Cristina het 'n yskas aan die begin van vir gekoop, en dit aan die einde van verkoop vir . Teen watter koers het die waarde van haar yskas verminder, as ons aanneem dat 'n verminderde-balans metode gebruik word? Gee jou antwoord korrek tot twee desimale plekke.

Skryf die bekende veranderlikes en die saamgestelde vervalformule neer

Vervang die waardes in en los op vir

Skryf die finale antwoord

Cristina se yskas het teen 'n koers van % p.j. gedepresiëer.

Oefening 9.4

'n masjien kos en het 'n afskryfwaarde van na jaar. Bepaal die jaarlikse depresiasiekoers bereken op die verminderde-balans metode.

Na jaar is 'n vliegtuig van sy oorspronklike waarde werd. Teen watter jaarlikse koers is waardevermindering saamgestel?

Mnr. Mabula koop meubels teen . Na jaar verkoop hy die meubels vir . Bereken die jaarlikse saamgestelde waardeverminderingskoers van die meubels.

Ayanda het jaar gelede 'n nuwe motor gekoop teen dubbel wat dit vandag werd is. Teen watter jaarlikse saamgestelde koers het haar motor gedepresiëer?

9.3 Tydlyne

Rente kan meer as een keer per jaar saamgestel word. 'n Belegging kan byvoorbeeld maandeliks of kwartaalliks saamgestel word. Hieronder is 'n tabel van saamstellingstydperke en hul ooreenkomstige numeriese waardes (). Wanneer bedrae meer as een keer per jaar saamgestel word, vermenigvuldig ons die aantal jare met , en deel die rentekoers deur .

Tydperk |
jaarliks |
halfjaarliks |
kwartaalliks |
maandeliks |
weekliks |
daagliks |

Uitgewerkte voorbeeld 12: Tydlyne

is vir 'n tydperk van jaar in 'n spaarrekening belê. Gedurende die eerste jaar groei die belegging teen 'n enkelvoudige rentekoers van % p.j. en dan word 'n koers van % p.j. kwartaalliks saamgestel vir die res van die tydperk. Bepaal die waarde van die belegging teen die einde van die jaar.

Teken 'n tydlyn en skryf die bekende veranderlikes neer

In die tydlyn hierbo dui elke interval 'n jaar aan. Byvoorbeeld, is die begin van die belegging, is die einde van die eerste jaar en is die einde van die vierde jaar.

Gebruik die formule vir enkelvoudige rente om teen te bereken

Gebruik die formule vir saamgestelde rente om teen te bereken

Die belegging word kwartaalliks saamgestel, dus:

Let ook op dat die opgeloopte hoeveelheid teen die einde van die eerste jaar die hoofsom aan die begin van die tweede jaar word

Skryf die finale antwoord

Die waarde van die belegging teen die einde van die fourth jaar is .

Uitgewerkte voorbeeld 13: Tydlyne

is gedeponeer in 'n beleggingsrekening vir 'n periode van jaar, teen 'n rentekoers van % p.j. wat halfjaarliks saamgestel word vir die eerste jaar, en dan % p.j. wat jaarliks saamgestel word vir die res van die periode. 'n Deposito van is in die rekening inbetaal na die eerste jaar en toe is nog 'n deposito van gemaak, jaar na die oorspronklike belegging. Bereken die waarde van die belegging teen die einde van die jaar.

Teken 'n tydlyn en skryf die bekende veranderlikes neer

Onthou om te wys wanneer die addisionele deposito's van en in die rekening inbetaal is. Dit is baie belangrik om op te let dat die rentekoers by verander.

Ons verdeel hierdie vraag in dele en hanteer elke bedrag apart.

Die oorspronklike deposito by

Tussen en :

Ons let op dat die rente vir die eerste jaar halfjaarliks saamgestel word, dus:

Tussen en :

Dus is die totale groei van die oorspronklike deposito oor die jaar:

Die deposito by

Tussen en :

Rente op hierdie deposito word halfjaarliks saamgestel vir jaar, dus:

Tussen en :

Dus is die totale groei van die deposito oor die jaar:

Die deposito by

Verdien slegs vir jaar rente:

Bepaal die totaal

Om 'n antwoord te kry wat so akkuraat as moontlik is, doen ons die berekening op die sakrekenaar in een stap. Deur die geheuefunksie op die sakrekenaar te gebruik, vermy ons afronding totdat ons die finale antwoord kry.

Skryf die finale antwoord

Die waarde van die belegging teen die einde van die jaar is .

Uitgewerkte voorbeeld 14: Tydlyne

is belê in 'n rekening wat rente verdien teen % p.j. kwartaalliks saamgestel vir die eerste maande. Daarna verander die rentekoers na % p.j. maandeliks saamgestel. Drie jaar na die oorspronklike belegging, is vanuit die rekening onttrek. Hoeveel sal in die rekening wees teen die einde van jaar?

Teken 'n tydlyn en skryf die bekende veranderlikes neer

Onthou om te wys wanneer die onttrekking van uit die rekening gehaal is. Dit is ook belangrik om op te let dat die rentekoers na maande verander ().

Ons verdeel hierdie vraag in dele en hanteer elke bedrag apart.

Die oorspronklike deposito by

Rente vir die eerste jaar is kwartaalliks saamgestel, dus:

Rente vir die oorblywende jaar is maandeliks saamgestel, dus:

Dus is die totale groei van die oorspronklike deposito oor die jaar:

Die onttrekking by

Ons bereken die rente wat die sou verdien as dit in die rekening sou bly:

Dus het ons dat:

Bepaal die totaal

Ons trek die onttrekking, en die rente wat dit sou verdien het, af van die opgeloopte bedrag aan die einde van die jaar:

Skryf die finale antwoord

Die waarde van die belegging teen die einde van die jaar is .

Oefening 9.5

Na 'n -jaar periode word Josh se enkelbedragbelegging uitbetaalbaar tot 'n bedrag van . Hoeveel het hy belê as sy geld rente teen 'n koers van % p.j. verdien het, halfjaarliks saamgestel vir die eerste jaar, dan % p.j. kwartaalliks saamgestel vir die volgende vyf jaar, en dan % p.j. maandeliks saamgestel vir die oorblywende tydperk?

Sindisiwe wil 'n motorfiets koop. Die koste van die motorfiets is . In het Sindisiwe 'n rekening by Sutherland Bank met oopgemaak. Toe het sy in nog in die rekening inbetaal. In het Sinidisiwe nog 'n verandering gemaak: sy het onttrek vanuit die rekening. As die rekening % betaal, halfjaarliks saamgestel, sal Sinidisiwe teen die einde van genoeg geld hê om die motorfiets te koop?

'n Lening moet terugbetaal word in twee gelyke halfjaarlikse paaiemente. As die rentekoers % per jaar is, halfjaarliks saamgestel, en elke paaiement is , bereken die bedrag wat geleen is.

'n Man met die naam van Phillip belê in 'n rekening by North Bank teen 'n rentekoers van % p.j. maandeliks saamgestel. Na jaar verander die bank die rentekoers na % p.j. kwartaalliks saamgestel. Hoeveel geld sal Phillip in sy rekening hê jaar na die oorspronklike deposito?

is belê in 'n rekening wat rente bied teen % p.j. maandeliks saamgestel vir die eerste maande. Dan verander die rentekoers na % p.j. halfjaarliks saamgestel. As vanuit die rekening onttrek word na een jaar, en 'n addisionele deposito van drie jaar na die oorspronklike belegging gemaak word, hoeveel geld sal in die rekening wees teen die einde van jaar?

Christopher wil 'n rekenaar koop, maar op die oomblik het hy nie genoeg geld nie. 'n Vriend het vir hom gesê dat die rekenaar oor jaar sal kos. Christopher besluit om vandag geld te begin spaar by Durban United Bank. Hy deponeer in 'n spaarrekening met 'n rentekoers van % p.j. maandeliks saamgestel. Dan, na maande, verander die bank die rentekoers na % p.j. weekliks samgestel. Na nog maande verander die rentekoers weer na % p.j. wat twee keer per jaar saamgestel word. Hoeveel geld sal Christopher in die rekening hê na jaar, en sal hy dan genoeg geld hê om die rekenaar te koop?

9.4 Nominale en effektiewe rentekoerse

Alhoewel rente as 'n persentasie per jaar genoteer word, het ons gesien dat dit meer as een keer per jaar saamgestel kan word. Daarom het ons 'n manier nodig om rentekoerse te vergelyk. Byvoorbeeld, is 'n jaarlikse rentekoers van % kwartaalliks saamgestel hoër of laer as 'n rentekoers van % p.j. jaarliks saamgestel?

Nominale en effektiewe rentekoerse

Bereken die opgeloopte hoeveelheid aan die einde van een jaar as belê word teen % p.j. saamgestelde rente.

Bereken die waarde van as dit vir een jaar belê word teen % p.j. saamgestelde rente:

Frekwensie | Berekening | Opgeloopte bedrag | Bedrag van rente
halfjaarliks |  |  |
kwartaalliks |  |  |
maandeliks |  |  |
weekliks |  |  |
daagliks |  |  |

Gebruik jou resultate van die tabel hierbo om die effektiewe koers wat die belegging van in een jaar verdien, te bereken.

Frekwensie
Opgeloopte bedrag
Berekening
Effektiewe rentekoers

halfjaarliks

kwartaalliks

maandeliks

weekliks

daagliks

As jy by die bank wou leen, sou dit beter wees om dit teen 'n rentekoers van % p.j. kwartaalliks saamgestel of % maandeliks saamgestel terug te betaal? Wys jou berekeninge.

'n Rentekoers wat meer as een keer per jaar saamgestel word, word die nominale rentekoers genoem. In die ondersoek hierbo het ons bepaal dat 'n nominale rentekoers van % p.j. halfjaarliks saamgestel, eintlik 'n effektiewe koers van % p.j.

Gegewe 'n nominale rentekoers van wat teen 'n frekwensie van keer per jaar saamgestel word, en die effektiewe rentekoers van , sal die opgeloopte hoeveelheid wat bereken word deur beide rentekoerse gelyk wees, so ons kan skryf:

Uitgewerkte voorbeeld 15: Nominale en effektiewe rentekoerse

Rente op 'n kredietkaart word genoteer as % p.j. maandeliks saamgestel. Wat is die effektiewe jaarlikse rentekoers? Gee jou antwoord korrek tot twee desimale plekke.

Skryf die bekende veranderlikes neer

Rente word maandeliks bygevoeg, dus:

Stel die waardes in en los op vir

Skryf die finale antwoord

Die effektiewe koers is % per jaar.

Uitgewerkte voorbeeld 16: Nominale en effektiewe rentekoerse

Bepaal die nominale rentekoers, kwartaalliks saamgestel, as die effektiewe rentekoers % per jaar is (korrek tot twee desimale plekke).

Skryf die bekende veranderlikes neer

Rente word kwartaalliks bygevoeg, dus:

Stel die waardes in en los op vir

Skryf die finale antwoord

Die nominale rentekoers is % p.j. kwartaalliks saamgestel.

Oefening 9.6

Bepaal die effektiewe jaarlikse rentekoers as hierdie die nominale rentekoers is:

% p.j. kwartaalliks saamgestel.

% p.j. weekliks saamgestel.

% p.j. daagliks saamgestel.

Beskou die volgende:

% p.j. jaarliks saamgestel.

% p.j. maandeliks saamgestel.

% p.j. kwartaalliks saamgestel.

Bepaal die effektiewe jaarlikse rentekoers van elk van die nominale koerse wat hierbo gelys word.

Watter rentekoers is die beste vir 'n belegging?

Watter rentekoers is die beste vir 'n lening?

Bereken die effektiewe jaarlikse rentekoers wat gelyk is aan 'n nominale rentekoers van % p.j. maandeliks saamgestel.

Cebela ontvang 'n nominale rentekoers van % per jaar, wat elke vier maande op haar belegging van saamgestel word. Bereken die effektiewe koers per jaar.

Bepaal watter van die volgende 'n beter ooreenkoms sal wees om 'n studentelening terug te betaal:

% p.j. kwartaalliks saamgestel.

% p.j. maandeliks saamgestel.

% p.j. halfjaarliks saamgestel.

Miranda belê vir jaar vir haar seun se studiefonds. Bepaal hoeveel geld sy aan die einde van die periode sal hê, en die effektiewe jaarlikse rentekoers as die nominale rentekoers van % as volg saamgestel word:

| Berekening | Opgeloopte bedrag | Effektiewe jaarlikse rentekoers
jaarliks |  |  |
halfjaarliks |  |  |
kwartaalliks |  |  |
maandeliks |  |  |

| Berekening | Opgeloopte bedrag | Effektiewe jaarlikse rentekoers
jaarliks |  |  | %
halfjaarliks |  |  |
kwartaalliks |  |  |
maandeliks |  |  |

9.5 Opsomming

Enkelvoudige rente:

Saamgestelde rente:

Enkelvoudige waardevermindering:

Saamgestelde waardevermindering:

Nominale en effektiewe jaarlikse rentekoerse:

Oefening 9.7

Thabang koop 'n Mercedes wat in werd is. Wat sal die waarde van die Mercedes teen die einde van wees as:

die motor teen % p.j. reglynige waardevermindering depresiëer.

die motor teen % p.j. verminderde-saldo waardevermindering depresiëer.

Greg gaan 'n -jaar huurkoop ooreenkoms aan om 'n rekenaar vir te koop. Die rentekoers word genoteer as % per jaar gebaseer op enkelvoudige rente. Bereken die maandelikse betaling vir hierdie kontrak.

'n Rekenaar word aangekoop teen . Dit depresiëer teen % per jaar.

Bepaal die boekwaarde van die rekenaar na jaar as waardevermindering met die reglynige metode bereken word.

Vind die koers volgens die verminderde-saldo metode wat na jaar dieselfde boekwaarde sou oplewer as wat bereken is in die vorige vraag.

Maggie belê vir jaar teen % per jaar, maandeliks saamgestel vir die eerste jaar, en dan % per jaar, halfjaarliks saamgestel vir die volgende jaar. Hoeveel sal Maggie na jaar ontvang, in totaal?

Tintin belê . Hy ontvang 'n nominale rentekoers van % per jaar, maandeliks saamgestel.

Bereken die effektiewe koers per jaar (korrek tot twee desimale plekke).

Gebruik die effektiewe koers om die waarde van Tintin se belegging te bereken as hy die geld vir jaar belê het.

Veronderstel dat Tintin sy geld vir 'n totale periode van jaar belê, maar na maande 'n onttrekking van maak. Hoeveel sal hy ontvang aan die einde van die jaar?

Ntombi maak rekeninge by 'n aantal klerewinkels oop en bestee kwistig. Sy maak groot skuld en kan nie haar rekeninge afbetaal nie. Sy skuld aan Fashion World en die winkel stem in dat sy die rekening teen 'n nominale rentekoers van %, maandeliks saamgestel, kan afbetaal.

Hoeveel geld sal sy aan Fahion World verskuldig wees na twee jaar?

Wat is die effektiewe rentekoers wat Fashion World haar laat betaal?

John belê in die bank vir 'n periode van maande. Bereken hoeveel geld hy teen die einde van die periode sal hê en bereken die effektiewe jaarlikse rentekoers as die nominale rente van % as volg saamgestel word:

| Berekening | Opgeloopte bedrag | Effektiewe jaarlikse rentekoers
jaarliks |  |  |
halfjaarliks |  |  |
kwartaalliks |  |  |
maandeliks |  |  |
daagliks |  |  |

| Berekening | Opgeloopte bedrag | Effektiewe jaarlikse rentekoers
jaarliks |  |  |
halfjaarliks |  |  |
kwartaalliks |  |  |
maandeliks |  |  |
daagliks |  |  |

Skakel 'n effektiewe jaarlikse rentekoers van % p.j. oor na 'n nominale rentekoers wat as volg bereken word:

halfjaarliks

kwartaalliks

maandeliks

Joseph moet sy erf in die Weskus verkoop en hy moet inkry uit die verkoop van die grond. As die eiendomsagent % kommissie neem op die verkoopsprys, hoeveel moet die koper vir die erf betaal?

Mev. Brown het afgetree en 'n enkelbedrag van ontvang. Sy het die geld in 'n vaste spaarrekening gedeponeer vir jaar. Aan die einde van die jaar was die waarde van die belegging . As die rente op haar belegging maandeliks saamgestel is, bepaal:

die nominale rentekoers per jaar

die effektiewe jaarlikse rentekoers

is belê in 'n rekening wat rente bied teen % p.j. halfjaarliks saamgestel vir die eerste jaar. Dan verander die rentekoers na % p.j. kwartaalliks saamgestel. Vier jaar na die oorspronklike belegging word onttrek. jaar na die oorspronklike belegging word 'n deposito van gemaak. Bepaal die balans van die rekening aan die einde van jaar.

Hoofstuk 10: Waarskynlikheid

Bespreek terminologie. Hierdie hoorstuk bevat baie woorde wat verwarrend vir leerders kan wees.

Hierdie hoofstuk bied goeie geleentheid vir eksperimente en aktiwiteite in die klaskamer.

Vereniging- en snydingsimbole is ingesluit, maar “en” en “of”, is die voorkeur notasie.

Die komplementsimbool is ingesluit, maar “nie” is die voorkeurnotasie.

Dit is baie belangrik om die gebeurtenisse - ewekansige dobbelstene, volle stel kaarte ens. - te definieer.

10.1 Hersiening

Terminologie

Uitkoms: 'n enkele waarneming van 'n onsekere of toevallige proses (genoem 'n eksperiment). Byvoorbeeld, as jy per ongeluk 'n boek laat val, kan dit op die voorkant of op die agterkant land. Elkeen van hierdie gevalle is 'n moontlike uitkoms.

Steekproefruimte van 'n eksperiment: die versameling van alle moontlike uitkomste van die eksperiment. Byvoorbeeld, die steekproefruimte wanneer jy 'n enkele -kantige dobbbelsteen rol, is die versameling . Vir 'n gegewe eksperiment is daar presies een steekproefruimte. Die steekproefruimte word aangedui deur die letter .

Gebeurtenis: 'n versameling uitkomste van 'n proefneming. Byvoorbeeld, tydens die radioaktiewe verval van gram van uranium-, is een moontlike gebeurtenis dat die hoeveelheid alfadeeltjies wat uitgestraal word in mikrosekonde tussen en is.

Waarskynlikheid van 'n gebeurtenis: 'n reële getal tussen en wat beskryf hoe groot die kans is dat die gebeurtenis sal plaasvind. 'n Waarskynlikheid van beteken die uitkoms van die eksperiment sal nooit in die gebeurtenisversameling wees nie. 'n Waarskynlikheid van beteken die uitkoms van die eksperiment sal nooit nie in die gebeurtenisversameling wees nie dus, dit sal altyd daar wees. Wanneer al die moontlike uitkomste van 'n eksperiment 'n gelyke kans het om voor te kom, dan is die waarskynlikheid van die gebeurtenis die hoeveelheid uitkomste in die gebeurtenisversameling gedeel deur die hoeveelheid uitkomste in die steekproefruimte.

Relatiewe frekwensie van 'n gebeurtenis: die aantal kere wat die gebeurtenis voorkom tydens proefnemings, gedeel deur die totale aantal proefnemings wat uitgevoer word. Byvoorbeeld, as ons 'n muntstuk keer opskiet en dit land keer op kop, dan is die relatiewe frekwensie van die kopgebeurtenis .

Vereniging van gebeurtenisse: die versameling van al die uitkomste wat in ten minste een van die gebeurtenisse voorkom. Vir gebeurtenisse voorgestel deur en , skryf ons die verening as “”. 'n Ander manier om die versameling voor te stel is deur middel van versamelingnotasie: .

Snyding van gebeurtenisse: die versameling van alle moontlike uitkomste wat in al die gebeurtenisse voorkom. Vir gebeurtenisse, voorgestel deur en , skryf ons die snyding as “”. 'n Ander manier om die versameling voor te stel is deur middel van versamelingnotasie: .

Onderling uitsluitende gebeurtenisse: gebeurtenisse wat geen uitkomste in gemeen het nie, dit is: . Onderling uitsluitende gebeurtenisse kan nooit gelyktydig voorkom nie. Byvoorbeeld, die gebeurtenis dat 'n getal ewe is en die gebeurtenis dat 'n getal onewe is, is onderling uitsluitend, want 'n getal kan nooit beide ewe en onewe wees nie.

Komplementêre gebeurtenisse: twee onderling uitsluitende gebeurtenisse wat saam al die uitkomste in die steekproefruimte bevat. Vir 'n gebeurtenis , skryf ons die komplement as “”. 'n Ander manier om die komplement voor te stel is as .

Video: 26KN

Identiteite

Die somreël vir enige gebeurtenisse, en is Hierdie reël verbind die waarskynlikhede van gebeurtenisse met die waarskynlikhede van hulle vereniging en snyding.

Die somreël vir onderling uitsluitende gebeurtenisse is Hierdie reël is 'n spesiale geval van die vorige reël, want die gebeurtenisse is onderling uitsluitend, .

Die komplementreël is Hierdie reël is 'n spesiale geval van die vorige die vorige reël. Want en is onderling uitsluitend en, .

Video: 26KP

Uitgewerkte voorbeeld 1: Gebeurtenisse

Jy neem al die harte uit 'n pak kaarte. Jy kies dan 'n kaart ewekansig uit die versameling van harte. Wat is die steekproefruimte? Wat is die waarskynlikheid van elkeen van die volgende gebeurtenisse?

Die kaart is die aas, of A, van harte.

Die kaart het 'n priemgetal op.

Die kaart het 'n letter van die alfabet op.

Skryf die steekproefruimte neer

Aangesien ons slegs een stel uit die pak kaarte (die hartens) oorweeg, hoef ons slegs die letters en nommers van die kaarte neer te skryf. Dus die steekproefruimte is:

Skryf die gebeurtenisversamelings neer

A van harte:

priemgetal:

letter van die alfabet:

Bereken die waarskynlikhede

Die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis is gedefiniëer as die aantal elemente in die gebeurtenisversameling gedeel deur die aantal gebeurtenisse in die steekproefruimte. Daar is elemente in die steekproefruimte. Die waarskynlikheid van elke gebeurtenis is dus

A van harte:

priemgetal:

letter van die alfabet:

Uitgewerkte voorbeeld 2: Gebeurtenisse

Jy rol twee -kantige dobbelstene. Laat die gebeurtenis voorstel dat die totale getal kolletjies op die twee dobbelstene is. Laat die gebeurtenis voorstel dat ten minste een dobbelsteen 'n wys.

Skryf die gebeurtenisversamelings vir en .

Bepaal die waarskynlikhede vir en .

Is en onderling uitsluitend? Hoekom of hoekom nie?

Skryf die steekproefruimte neer

Die steekproefruimte van 'n enkele -kantige dobbelsteen is . Om die steekproefruimte van twee -kantige dobbelstene te bepaal, moet ons kyk na elke moontlike paar nommers van tot .

Skryf die gebeurtenisse neer

Vir moet die dobbelstene saam gelyk wees aan .

Vir moet ten minste een dobbelsteen vertoon.

Bereken die waarskynlikhede

Die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis is gedefiniëer as die aantal elemente in die gebeurtenisversameling gedeel deur die aantal gebeurtenisse in die steekproefruimte. Daar is:

uitkomste in die steekproefruimte,

uitkomste in die gebeurtenis

uitkomste in die gebeurtenis

Dus en

Is hulle onderling uitsluitend

Om te toets of twee gebeurtenisse onderling uitsluitend is, moet ons toets of hulle snyding leeg is. Aangesien geen uitkomste het wat 'n op 'n dobbelsteen bevat nie, is die snyding van en is leeg, . Dit beteken die gebeurtenisse is onderling uitsluitend.

Video: 26KQ

Oefening 10.1

'n Sak bevat rooi balle, blou balle en geel balle. Wat is die waarskynlikheid dat 'n bal, wat ewekansig uit die sak gehaal word, geel is?

Om die waarskynlikheid dat 'n geel bal getrek word te bereken moet ons die aantal uitkomste wat daartoe lei dat 'n geel bal getrek word deel deur die totale aantal uitkomste. Die aantal geel balle is en die totale aantal balle is . Dus is die waarskynlikheid dat 'n geel bal getrek word

'n Pakkie bevat geel en pienk lekkers. Die waarskynlikheid dat 'n pienk lekker uitgehaal word is . Wat is die waarskynlikheid dat 'n geel lekker uitgehaal word?

Aangesien daar net geel en pienk lekkers in die pakkie is, is die gebeurtenis om 'n geel lekker te kry die komplement van die gebeurtenis om 'n pienk lekker te kry. Dus,

Jy skiet 'n muntstuk keer op. Wat is die waarskynlikheid dat uitkomste kruis sal wees en uitkomste munt sal wees? Skryf die steekproefruimte en die gebeurtenisversameling neer om die waarskynlikheid van hierdie gebeurtenis te bepaal.

Die steekproefruimte is die saamestelling van al die maniere waarop 'n muntstuk kan land wanneer dit keer geloot word. Ons gebruik om kruis voor te stel en om munt voor te stel. Die steekproefruimte is

Ons wil die waarskynlikheid van die gebeurtenis om keer kruis en munt te kry bereken. Vanaf die steekproefruimte vind ons al die uitkomste waarvoor dit die geval is:

Aangesien daar uitkomste in die gebeurtenis is en in die steekproefruimte is, is die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis

In 'n klas van kinders, is daar kinders wat skool toe stap, wat troeteldiere by die huis het en wat 'n troeteldier by die huis het en ook skool toe stap. Hoeveel van die kinders wat skool toe stap het nie 'n troeteldier by die huis nie?

Laat die gebeurtenis wees dat 'n kind skool toe stap en laat die gebeurtenis wees dat 'n kind 'n troeteldier by die huis het. Dan kry ons vanaf die probleemstelling dat

Ons word gevra om te bereken.

Jy rol twee -kantige dobbelstene en stel belang in die volgende twee gebeurtenisse:

: die som van die dobbelstene is gelyk aan

: ten minste een van die dobbelstene vertoon 'n

Toon aan dat hierdie gebeurtenisse onderling uitsluitend is.

Die gebeurtenis het die volgende elemente: Siende dat geen uitkomste bevat waar die dobbelsteen 'n wys nie en vereis dat 'n dobbelsteen ten minste een wys, het die twee gebeurtenisse geen gemene uitkomste nie: . Dus is die twee gebeurtenisse, volgens die definisie, onderling uitsluitend.

Vra vir jou vriendin om te dink aan 'n getal van tot . Jy vra dan vir haar die volgende vrae:

Is die getal ewe?

Is die getal deelbaar deur ?

Hoeveel moontlike getalle is kleiner as as sy “ja” antwoord opbeide hierdie vrae?

Die eerste vraag vereis dat die getal deur deelbaar moet wees. Die tweede vraag vereis dat die getal deur deelbaar moet wees. Dus moet ons die veelvoude van tel wat kleiner is as . Hulle is , wat 'n totaal van getalle gee.

In 'n groep van leerlinge het almal behalwe , 'n pakkie skyfies of 'n Fanta of altwee. As 'n pakkie skyfies het en van hierdie ook 'n Fanta het, wat is die waarskynlikheid dat 'n leerling wat ewekansig gekies word die volgende het:

skyfies sowel as 'n Fanta

net Fanta

Siende dat ten minste 'n pakkie skyfies en 'n Fanta gehad het en 'n pakkie skyfies gehad het, het dus net 'n Fanta gehad.

Tamara het sokkies in 'n laai. Agt van hierdie is oranje en twee is pienk. 'n Sokkie word ewekansig uit die laai uitgehaal. Bereken die waarskynlikheid dat die sokkie beskryf kan word as:

oranje

nie oranje nie

pienk

nie pienk nie

oranje of pienk

nie oranje of pienk nie

'n Boks het gekleurde blokkies. Die aantal blokkies van elke kleur word gegee in die volgende tabel:

Kleur | Pers | Oranje | Wit | Pienk
Aantal blokkies |  |  |  |

'n Blokkie word willekeurig gekies. Wat is die waarskynlikheid dat die blokkie die volgende kleur sal hê?

pers

Voordat ons die vrae beantwoord gaan ons eers die totale hoeveelheid blokkies uitwerk. Dit sal vir ons die grootte van die steekproefruimte gee as

Die waarskynlikheid dat die blokkie pers is:

pers of wit

Die waarskynlikheid dat die blokkie pers of wit is:

pienk en oranje

Aangesien een blokkie nie twee kleure kan wees nie word die waarskynlikheid van die gebeurtenis gegee as .

nie oranje nie?

Ons werk eers die waarskynlikheid uit, dat 'n blokkie oranje is uit:

Die waarskynlikheid dat die blokkie nie oranje is nie:

Die oppervlak van 'n sokkerbal is saamgestel uit vlakke. vlakke is reëlmatige vyfhoeke, waarvan elkeen se oppervlakte ongeveer is. Die ander vlakke is reëlmatige seshoeke, elkeen met 'n oppervlakte van ongeveer .

Jy rol die sokkerbal. Wat is die waarskynlikheid dat dit stop sodat een van die vyfhoekige kante die grond raak?

Siende dat 'n sokkerbal rond is, is die waarskynlikheid dat dit op 'n vyfhoekige kant sal stop eweredig aan die oppervlakte van die kant. Daar is vyfhoeke, elk met 'n oppervlakte van , wat 'n totale oppervlakte van het. Daar is seshoeke, elk met 'n oppervlakte van , wat 'n totale oppervlakte van het. Dus is die waarskynlikheid dat dit op 'n vyfhoek sal stop: tot desimale.

Venndiagram

'n Venndiagram word gebruik om die verwantskap tussen gebeurtenisse te verduidelik. 'n Venndiagramme kan baie behulpsaam wees wanneer waarskynlikhede bereken word. In die Venndiagram word elke gebeurtenis deur 'n vorm voorgestel, dikwels deur 'n sirkel of 'n reghoek.

'n Venndiagram verteenwoordig die steekproefruimte, , as 'n vierkant; die twee gebeurtenisse en , as sirkels. Die snyding van die twee sirkels bevat die uitkomste wat in beide én voorkom.

Venndiagramme kan op effe verskillende maniere bebruik word en dit is belangrik om die verskille tussen hulle op te let. Die volgende voorbeelde toon hoe 'n Venndiagram gebruik word in die voorstelling van:

die uitkomste ingesluit in elke gebeurtenis;

die aantal uitkomste in elke gebeurtenis; en

die waarskynlikheid van elke gebeurtenis.

Uitgewerkte voorbeeld 3: Venndiagram met uitkomste

Kies 'n getal tussen en . Teken 'n Venndiagram om die volgende vrae te beantwoord.

Wat is die waarskynlikheid dat die getal 'n veelvoud is van ?

Wat is die waarskynlikheid dat die getal 'n veelvoud is van ?

Wat is die waarskynlikheid dat die getal 'n veelvoud is van of ?

Wat is die waarskynlikheid dat die getal 'n veelvoud is van en ?

Skets 'n Venndiagram

Die Venndiagram moet die steekproefruimte van alle getalle van tot aandui. Dit moet ook 'n gebeurtenisversameling aandui wat alle veelvoude van insluit, voorgestel deur , en nog 'n gebeurtenisversameling wat alle veelvoude van voorstel deur . Let daarop dat daar slegs een gedeelde uitkoms tussen die twee gebeurtenisse is, naamliks .

Bereken die waarskynlikhede

Die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis is die aantal uitkomste in die gebeurtenisversameling gedeel deur aantal uitkomste in die steekproefruimte. Daar is uitkomste in die steekproefruimte.

Aangesien daar uitkomste in die veelvoud van gebeurtenisversameling is, is die waarskynlikheid dat 'n veelvoud van sal voorkom is .

Aangesien daar uitkomste is in die veelvoud van gebeurtenisvesameling, is die waarskynlikheid dat 'n veelvoud van voorkom .

Die gebeurtenis waar die getal 'n veelvoud is van of is die vereniging van die twee bogenoemde gebeurtenisversamelings. Daar is elemente in die vereniging van die gebeurtenisversameling, so die waarskynlikheid is .

Die gebeurtenis waar die getal 'n veelvoud is van en is die snyding van die twee gebeurtenisversamelings. Daar is element in die snyding van die gebeurtenisversameling, so die waarskynlikheid is .

Uitgewerkte voorbeeld 4: Venndiagram met hoeveelhede

In 'n groep van leerlinge, neem Wiskunde en Geskiedenis, terwyl nie een van die vakke neem nie. Skets 'n Venndiagram wat die inligting voorstel. As 'n leerling lukraak uit die groep gekies word, wat is die waarskynlikheid dat hy beide Wiskunde en Geskiedenis neem?

Skets die buitelyne van die Venndiagram

Daar is gebeurtenisse in die vraag, naamlik

: dat 'n leerling Wiskunde neem; en

: dat 'n leerling Geskiedenis neem.

Ons moet eers 'n paar berekeninge doen voordat ons die volledige Venndiagram kan teken, maar met die bogenoemde inligting kan ons alreeds die buitelyne skets.

Skryf die groottes van die gebeurtenisversamelings neer, asook hul vereniging en snyding

Ons weet dat leerlinge nie een van die twee vakke neem nie. Ons kan dit grafies voorstel as:

Aangesien daar elemente in die steekproefruimte is, kan ons van hierdie figuur sien dat daar is elemente in . So ver weet ons

Van die somreël,

Skets die finale Venndiagram

Uitgewerkte voorbeeld 5: Venndiagram met waarskynlikhede

Skets 'n Venndiagram wat dieselfde inligting voorstel as die vorige voorbeeld, behalwe dat in plaas van die hoeveelhede, moet die waarskynlikhede van die verkillende gebeurtenisse voorgestel word.

As 'n leerling willekeurig uit die groep gekies word, wat is die waarskynlikheid dat hy beide Wiskunde en Geskiedenis neem?

Gebruik hoeveelhede om die waarskynlikhede te bereken

Aangesien daar elemente (leerlinge) in die steekproefruimte is, kan ons die waarkynlikhede van enige gebeurtenis bereken deur om die grootte van die gebeurtenisversameling te deel deur . Dit gee die volgende waarskynlikhede:

Skets die Venndiagram

Volgende vervang ons elke hoeveelheid in die Venndiagram in die vorige voorbeeld met 'n waarskynlikheid.

Vind die antwoord

Die waarskynlikheid dat 'n willekeurig gekose leerling beide Wiskunde en Geskiedenis neem is .

Video: 26M4

Oefening 10.2

Gegewe die volgende inligting:

Skets eers 'n Venndiagram wat die inligting voorstel. Bereken dan die waarde van .

is met blou gemerk in die Venn-diagram.

Jy word die volgende inligting gegee:

Skets 'n Venndiagram wat hierdie inligting voorstel en bepaal .

is met blou gemerk in die Venn-diagram.

'n Studie is onderneem om te bepaal hoeveel mense in Port Elizabeth besit of 'n Volkswagen of 'n Toyota. % besit beide, % besit 'n Toyota en % besit 'n Volkswagen. Watter persentasie van mense besit nie een van die twee nie?

Laat die gebeurtenis dat 'n persoon 'n Toyota besit, verteenwoordig en die gebeurtenis dat 'n persoon 'n Volkswagen besit, verteenwoordig. Volgende die informasie gaande die probleem: Ons is gevra om te bereken.

Laat die versameling telgetalle van tot voorstel, die versameling ewe getalle van tot en die versameling van priemgetalle van tot . Skets 'n Venndiagram wat , en uitbeeld.

10.2 Afhanklike en onafhanklike gebeurtenisse

Soms vertel die teenwoordigheid of afwesigheid van een gebeurtenis vir ons iets oor ander gebeurtenisse.

Onafhanklike gebeurtenisse

Twee gebeurtenisse, en is onafhanklik as en slegs as

Dit mag dalk nie onmiddellik duidelik wees hoekom ons gebeurtenisse wat bogenoemde vergelyking bevredig onafhanklik sou noem nie.

Onafhanklikheid

Rol 'n enkele -kantige dobbelsteen en oorweeg die volgende twee gebeurtenisse:

: jy kry 'n ewe getal

: jy kry 'n getal wat deur drie gedeel kan word

Beantwoord nou die volgende vrae:

Wat is die waarskynlikheid van ?

Wat is die waarskynlikheid om 'n ewe getal te kry as jy vertel word dat die getal ook deur drie deelbaar is?

As 'n mens weet dat die getal deelbaar is deur , verander dit die waarskynlikheid dat dit 'n ewe getal is?

Is die gebeurtenisse en afhanklik of onafhanklik volgens die definisie? (Wenk: oorweeg die definisie van onafhanklikheid.)

Video: 26M9

So, hoekom noem ons dit onafhanklikheid wanneer ? Vir twee gebeurtenisse, en , beteken onafhanklikheid dat as 'n mens die uitkoms van weet, dit nie die waarskynlikheid van die gebeurtenis beïnvloed nie.

Oorweeg die volgende Venndiagram:

Die waarskynlikheid van is die verhouding tussen die aantal uitkomste in en die aantal uitkomste in die steekproefruimte, .

Sê nou ons weet dat gebeurtenis plaasgevind het. Hoe beïnvloed dit die waarskynlikheid van ? Hier is hoe die Venndiagram verander:

'n Aantal van die moontlike uitkomste (al die uitkomste buite ) is nou uit die prentjie, omdat ons weet dat hulle nie gebeur het nie. Die waarskynlikheid dat plaasvind, gegewe dat ons weet dat plaasgevind het, is die verhouding tussen die grootte van die gebied waar teenwoordig is () en die grootte van alle moontlike gebeurtenisse(). As noem ons hulle onafhanklik, want om te weet wat is, verander nie die waarskynlikheid van nie.

Met behulp van 'n bietjie algebra, kan ons bewys dat hierdie stelling van onhafhanklikheid dieselde is as die definisie van onafhanklikheid wat ons aan die begin van hierdie afdeling gesien het. Vir onafhanklike gebeurtenisse Dit is gelykstaande aan Dit is hoekom ons gebeurtenisse onafhanklik noem!

(Slegs vir verryking):

Die verhouding word 'n voorwaardelikke waarskynlikheid genoem en word geskryf in die notasie . Hierdie notasie lees “die waarskynlikheid van gegewe .”

As (en slegs as) en onafhanklik is: en . Probeer om dit te bewys deur gebruik te maak van die definisie van onafhanklikheid.

Uitgewerkte voorbeeld 6: Onafhanklike en afhanklike gebeurtenisse

'n Sak bevat rooi en blou balle. Ons trek dan ewekansige 'n bal uit die sak, maak 'n aantekening van die kleur en sit dit terug in die sak. Ons onttrek dan nog 'n bal ewekansig uit die sak en teken die kleur aan.

Wat is die waarskynlikheid dat die eerste bal rooi is?

Wat is die waarskynlikheid dat die tweede bal blou is?

Wat is die waarskynlikheid dat die eerste bal rooi en die tweede bal blou is?

Is die eerste bal wat rooi is en die tweede bal wat blou is onafhanklike gebeurtenisse?

Waarskynlikheid van 'n rooi bal eerste

Aangesien daar 'n totaal van balle is, waarvan rooi is, is die waarskynlikheid om 'n rooi bal tekry is

Waarskynlikheid van 'n blou bal tweede

Die vraag sê dat die eerste bal weer terug in die sak gesit word voordat die tweede bal uitgehaal word. Dit beteken dat wanneer ons die tweede bal onttrek, is daar steeds 'n totaal van balle in die sak is, waarvan blou is. Dus is die waarskynlikheid om 'n blou bal te trek

Waarskynlikheid van rooi eerste en blou tweede

Wanneer twee balle uit sak gehaal word is daar moontlilkhede. Ons kan kry

'n rooi bal en dan nog 'n rooi bal;

'n rooi bal en dan 'n blou bal

'n blou bal en dan 'n rooi bal

'n blou bal en dan nog 'n blou bal

Ons wil die waarskynlikheid weet van die tweede trekking as ons eerste 'n rooi bal moet hê. Aangesien daar rooi balle is en balle in totaal, is daar maniere om rooi bal te trek. Nou plaas ons die eerste bal terug, sodat daar weer rooi balle en blou balle in die sak is. Dus is daar maniere om 'n blou bal tweede te trek as eerste bal rooi was. Dit beteken dat daar maniere is om 'n rooi bal eerste en blou bal tweede te trek. Dus, die waarskynlikheid om eers 'n rooi bal en dan 'n blou bal te trek is .

Afhanklik of onafhanklik?

Volgens die definisie, is gebeurtenisse onahanklik as en slegs as

In die probleem:

Aangesien , is die gebeurtenisse onafhanklik.

Video: 26MB

Uitgewerkte voorbeeld 7: Onafhanklike en afhanklike gebeurtenisse

In die vorige voorbeeld, het ons willekeurig 'n bal getrek en teruggeplaas in die sak voor die volgende trekking. Dit word trekking met terugplasing genoem. In die voorbeeld, volg ons dieselfde prosedure, behalwe ons plaas nie die eerste bal terug in die sak nie. Dit word trekking sonder terugplasing genoem.

Dus, vir 'n sak met rooi en blou balle, verwyder ons willekeurig 'n bal en teken die kleur aan. Dan, sonder om die eerste bal terug te plaas, trek ons nog 'n bal uit die sak en teken die bal se kleur aan.

Wat is die waarskynlikheid dat die eerste bal rooi is?

Wat is die waarskynlikheid dat die tweede bal blou is?

Wat is die waarskynlikheid dat die eerste bal rooi en die tweede bal blou is?

Is die eerste bal wat rooi is en die tweede bal wat blou is onafhanklike gebeurtenisse?

Tel die hoeveelheid uitkomste

Ons kyk vir die aantal moontlike kombinasies wat bestaan vir die moontlike uitkomste wanneer daar balle verwyder word. In die vorige voorbeeld, het ons gesien dat daar moontlike uitkomste is

'n rooi bal en dan nog 'n rooi bal

'n rooi bal en dan 'n blou bal

'n blou bal en dan 'n rooi bal

'n blou bal en dan nog 'n blou bal

Vir die eerste uitkoms moet ons 'n rooi bal eerste trek. Omdat daar in totaal rooi balle en balle is, is daar maniere om eerste 'n rooi bal te trek. Nadat ons die rooi bal verwyder het, is daar nou rooi balle oor en blou balle. Gevolglik is daar maniere om 'n rooi bal tweede te trek, na die eerste ook rooi was. Dit beteken dat daar maniere is om 'n rooi bal eerste en 'n rooi bal tweede te trek. Die waarskynlikheid vir die eerste uitkoms is .

Vir die tweede uitkoms, moet ons eerste 'n rooi bal trek. Soos in die eerste uitkoms, is daar maniere om rooi bal eerste te trek; en daar is nou rooi balle oor en blou balle oor. Gevolglik is daar maniere om 'n blou bal tweede te trek as die eerste 'n rooi bal was. Dit beteken dat daar maniere is om 'n rooi bal eerste en 'n blou bal tweede te trek. Die waarskynlikheid van die tweede uitkoms is .

Ons kan die waarskynlikheid van die derde en vierde uitkomste op dieselfde manier bepaal as die eerste twee, maar daar is 'n makliker manier. Let op dat daar slegs tipes balle is en dat daar presies eweveel is van elk aan die begin van trekking. Dit beteken dat die probleem geheel en al simmetries is tussen rooi en blou. Ons kan die simmetrie gebruik om die waarskynlikheid te bereken van die ander twee uitkomste.

Vir die derde uitkoms is die eerste bal blou en die tweede bal rooi. As gevolg van simmetrie het die uitkoms dieselfde waarskynlikheid as die tweede uitkoms (wanneer die eerste bal rooi is en tweede 'n blou bal is). Gevolglik is die waarskynlikheid vir die derde uitkoms .

Met die vierde uitkoms is die eerste en tweede balle altwee blou. Vanuit simmetrie moet die uitkoms dieselfde waarskynlikheid as die eerste uitkoms hê (toe beide balle rooi moes wees). Gevolglik is die waarskynlikheid vir die vierde uitkoms .

Opsommend, daar is moontlike uitkomste en hul waarskynlikheid:

eerste bal rooi en tweede bal rooi: ;

eerste bal rooi en tweede bal blou: ;

eerste bal blou en tweede bal rooi: ;

eerste bal blou en tweede bal blou: .

Waarskynlikheid van 'n rooi bal eerste

Om die waarskynlikheid te bepaal van 'n rooi bal op die eerste trekking, moet ons kyk na al die uitkomste wat rooi bal eerste bevat. Hulle is

'n rooi bal en dan weer 'n rooi bal;

'n rooi bal en dan 'n blou bal.

Die waarskynlikheid van die eerste uitkoms is en die waarskynlikheid van die tweede uitkoms is . Deur die twee waarskynlikhede by mekaar te tel, sien ons dat die waarskynlikheid om 'n rooi bal te trek, is

Dit is dieselfde as in die vorige oefening, wat nie te verrassend is nie, aangesien die waarskynlikheid dat die eerste bal 'n rooi is, nie geaffekteer word deur dit terug te plaas voor die trekking van die tweede bal of nie.

Waarskynlikheid van 'n blou bal tweede

Om die waarskynlikheid, van 'n blou bal met tweede trekking te bepaal, kyk ons na al die uitkomste wat blou balle bevat met die tweede trekking. Hulle is

'n rooi bal en dan 'n blou bal

'n blou bal en dan nog 'n blou bal

Die waarskynlikheid vir die eerste uitkoms is en die waarskynlikheid van die tweede uitkoms is . Deur die twee waarskynlikhede by mekaar te tel, sien ons dat die waarskynlikheid om 'n blou bal te trek, is

Dit is ook dieselfde as in die vorige oefening! Jy mag dit dalk ook verrassend vind dat die waarskynlikheid van 'n tweede bal trekking nie geaffekteer word deur of die eerste bal teruggeplaas word of nie. Die rede hoekom die waarskynlikheid steeds is, is omdat ons die waarskynlikheid bereken dat die tweede bal 'n blou is, sonder dat kleur van die eerste bal bekend is. Aangesien daar slegs twee gelyke moontlikhede vir 'n tweede bal trekking is (rooi of blou) en omdat ons nie weet of die eerste bal rooi of blou was nie, is daar dus 'n gelyke kans dat die tweede bal een van die kleure is.

Waarskynlikheid van rooi eerste en blou tweede

Ons het reeds die waarskynlikheid dat die eerste bal rooi is en die tweede bal blou is, bepaal. Dit is dus .

Afhanklik of onafhanklik?

Volgens die definisie, is gebeurtenisse onahanklik as en slegs as

In die probleem:

Aangesien , is die toestande onafhanklik.

Net omdat twee toestande onderling uitsluitend is, beteken nie noodwendig dat hul onafhanklik is nie. Om te toets of toestande onderling uitsluitend, bevestig altyd dat . Om te bepaal of die toestande onafhanklik is, bevestig dat . Sien die onderstaande oefeninge vir voorbeelde van toestande wat onderling uitsluitend en onafhanklik is in verskillende kombinasies.

Oefening 10.3

Gebruik die volgende Venndiagram om te bepaal of toestande en

onderling uitsluitende of nie-wedersyds eksklusief is;

Die toestande is onderling uitsluitend as . Vanaf die Venndiagram sien ons dat elemente bevat. Dus is en nie-wedersyds eksklusief nie.

afhanklik of onafhanklik is

Die toestande is onafhanklik as . In hierdie geval, Dus . Daarom is en afhanklik.

Van die leerders in 'n klas het swart hare, het bruin hare en het rooi hare. 'n Leerder word gekies uit die klas.

Wat is die waarskylikheid dat die leerder swart hare het?

Wat is die waarskylikheid dat die leerder bruin hare het?

Is die twee toestande onderling uitsluitend?

Ja, aangesien elke leerder net een haarkleur het, dus .

Is die twee toestande onafhanklik?

Nee, aangesien .

; en . Is die toestande in en onderling uitsluitend, onafhanklik of nie-onderling uitsluitend of nie-onafhanklik?

Vanaf die somreël, , dus is die gebeurtenisse nie onderling uitsluitend nie.

Die gebeurtenisse is onafhanklik, siende dat

(Vir verryking)

Bewys dat as toestand en toestand onderling uitsluitend is met en , dan is en is altyd afhanklik.

Bewys deur teenstelling.

Neem aan dat en onafhanklike gebeurtenisse is. Vanaf die definisie vir onafhanklikheid het ons . Siende dat en wedersyds onafhanklik is, weet ons dat . Dus .

Vir die produk van twee getalle om nul te kan wees, moet een van die twee getalle nul wees, maar ons is in die probleemstelling gesê dat en . Dus het ons 'n teenstelling en moet ons aanvanklike aanname, dat en onafhanklike gebeurtenisse is, vals wees.

Gevolgtrekking: en is afhanklik.

10.3 Meer Venndiagramme

In die oorblywende deel van die hoofstuk gaan ons kyk na gereedskap en tegnieke om waarskynlikheidproblemme op te los.

Wanneer daar met komplekse probleme gewerk word, waar ons drie of meer toestande het, kan kruisings verskillende vorms hê. Om hierdie probleme op te los, tel ons normaalweg die hoeveelheid (of persentasie) uitkomste van 'n toestand, of kombinasies van toestande. Venndiagramme is 'n hulpmiddel van opname en visualisering van tellings.

Venndiagram vir gebeurtenisse

Die diagram hieronder wys 'n algemene Venndiagram vir gebeurtenisse.

Skryf die versameling neer wat ooreenstem met elk van die drie gekleurde gebiede en ook die arseringsgebied. Onthou dat die kruisings tussen sirkels verteenwoordig die kruising van verskillende gebeurtenisse.

Wat is die gebeurtenis vir

die rooi gebied;

die groen gebied;

die blou gebied; en

die arseringsgebied?

Uitgewerkte voorbeeld 8: Venndiagram vir events

Skets 'n Venndiagram wat die steekproefruimte en gebeurtenisse toon:

: al die heelgetalle van tot

: priemgetalle

: veelvoude van

: faktore van

Skryf die steekproefruimte en gebeurtenis versamelings

Die steekproefruimte bestaan uit alle positiewe heelgetalle tot by .

Die priemgetalle tussen en is

Die veelvoude van tussen en is

Die faktore van is

Teken die buitelyn van die Venndiagram

Daar is gebeurtenisse, naamlik , en , en die steekproefruimte, . Toon die inligting in 'n Venndiagram:

Toon die uitkomste in die toepaslike gebeurtenisse versamelings

Uitgewerkte voorbeeld 9: Venndiagram vir gebeurtenisse

By Hoër Skool Dawnview is daar Graad leerders. neem Rekenaarwetenskap, neem Engels en neem Besigheidstudies. Almal wat Rekenaarwetenskap neem, neem ook Engels, neem Rekenaarwetenskap en Besigheidstudies en neem Engels en Besigheidstudies. Gebruik 'n Venndiagram en bereken die waarskynlikheid dat 'n leerder wat willekeurig getrek word die volgende vak(ke) neem:

Engels, maar nie Besigheidstudies of Rekenaarwetenskap nie

Engels, maar nie Besigheidstudies nie

Engels of Besigheidstudies, maar nie Rekenaarwetenskap nie

Engels of Besigheidstudies

Teken die buitelyn van die Venndiagram

Ons moet versigtig wees met die probleem. Uit die vraagstelling word gesê dat al die leerders wat Rekenaarweteskap neem, ook Engels neem. Dit beteken dat die sirkel vir Rekenaarwetenskap, op die Venndiagram, binne die sirkel van Engels moet wees.

Vul die tellings in op Venndiagram

Bereken die waarskynlikhede

Om die hoeveelheid leerders aan te toon wat Engels neem, maar nie Besigheidstudies of Rekenaarwetenskap nie, moet ons in die gebied van die Venndiagram kyk:

Die telling in die gebied is en daar is 'n totaal van leerders in die graad. Gevolglik is die waarskynlikheid dat 'n leerder Engels neem, maar nie Besigheidstudies of Rekenaarwetenskap nie, .

Om die aantal leerders te toon wat Engels neem, maar nie Besigheidstudies nie, moet ons in die gebied van die Venndiagram kyk:

Die hoeveelheid in hierdie gebied is . Gevolglik is die waarskynlikheid dat 'n leerder Engels neem, maar nie Besigheidstudies nie, .

Om die getal leerders te vind wat Engels of Besigheidstudies neem, maar nie Rekenaarwetenskap nie, moet ons na hierdie gebied op die Venndiagram kyk:

Die telling in hierdie gebied is . Dus die waarskynlikheid dat 'n leerder Engels of Besigheidstudies sal vat maar nie Rekenaarwetenskap nie is .

Om die hoeveelheid leerders te bepaal wat Engels of Besigheidstudies neem, moet ons in die gebied van die Venndiagram kyk:

Die hoeveelheid in die gebied is . Gevolglik is die waarskynlikheid dat 'n leerder Engels of Besigheidstudies neem .

Daar is sekere sleutel woorde wat vir jou sê watter deel van die Venndiagram voltooi moet word. Die volgende tabel lys die belangriker terme:

Woorde | Simbole | Venndiagram
"alle" | / |
"geen" |  |
"minstens een" | / |
"beide A en B" | / |
"A of B" | / |

Oefening 10.4

Gebruik die Venndiagram hieronder en beantwoord die volgende vrae. Ook gegee: .

Bereken .

Bereken .

Bereken .

Is en afhanklik of onafhanklik?

en Dus is en is die twee gebeurtenisse afhanklik.

Die onderstaande Venndiagram dui die waarskynlikhede van gevalle aan. Voltooi die Venndiagram deur gebruik te maak van die addisionele inligting wat gegee is.

Na die voltooiing van die Venndiagram, bereken die volgende:

Die volledige Venn-diagram is hieronder.

is die boonste deel van , wat die hele en uitsluit. Dus .

Daar is Graad leerders by die skool. Al die leerders neem een of ander kombinasie van Wiskunde, Aardrykskunde en Geskiedenis. Die aantal leerders wat Aardrykskunde neem is ; wat Geskiedenis neem, en neem Wiskunde. Die aantal leerders wat Wiskunde en Geskiedenis neem is ; die aantal leerders wat Aardrykskunde en Geskiedenis neem is , en daar is leerders wat slegs Wiskunde neem en wat slegs Geskiedenis neem.

Teken 'n Venndiagram om al hierdie inligting te illustreer.

Hoeveel leerders neem Wiskunde en Aardrykskunde, maar nie Geskiedenis nie?

Elke student moet presies een van die volgende doen:

neem slegs Aardrykskunde

neem slegs Wiskunde en/of Geskiedenis

Daar is leerders wat Wiskunde en/of Geskiedenis neem, dus met daar leerders wees wat slegs Aardrykskunde neem.

Elke leerder moet presies een van die volgende doen:

neem slegs Aardrykskunde ( leerders);

neem slegs Wiskunde ( leerders);

neem Geskiedenis ( leerders);

neem Aardrykskunde en Wiskunde, maar nie Geskiedenis nie.

Gegee die lys met die getalle leerders vir elk van die eerste drie items hierbo, is die finale antwoord dat leerders Aardrykskunde en Wiskunde neem, maar nie Geskiedenis nie.

Hoeveel leerders neem slegs Aardrykskunde?

Alreeds bereken: leerders.

Hoeveel leerders neem al drie vakke?

Elke leerder moet presies een van die volgende vakke/vakkombinasies neem:

Aardrykskunde

slegs Wiskunde

slegs Geskiedenis

Wiskunde en Geskiedenis, maar nie Aardrykskunde nie.

Ons gebruik dieselfde metode as van tevore. Die aantal leerders in die laaste groep is . Maar, leerders neem Wiskunde en Geskiedenis, dus moet daar leerders wees wat al drie neem.

Teken 'n Venndiagram met wedersyds uitsluitende gevalle. Gebruik die diagram om te wys dat vir wedersyds uitsluitende gevalle, , en , die volgende waar is:

Hierdie is die somreël vir wedersydse uitsluitende gevalle.

Onthou dat vir gebeurtenisse om onderling uitsluitend te wees moet hulle geen gemene elemente hê nie. Dit bedoel dat in die Venn-diagram moet , en nie oorvleuel nie.

Vanaf die Venn-diagram kan ons sien dat die waarskynlikheid van die drie gebeurtenisse saam is eenvoudig die som van hul onderskeie waarskynlikhede. So . Dit sal waar wees vir enige onderling uitsluitende gebeurtenisse omdat hulle nooit in die Venn-diagram oorvleuel nie.

10.4 Boomdiagramme

Boomdiagramme is nuttig vir die organisering visualisering van die verskillende moontlike uitkomste van 'n reeks van gebeurtenisse. Vir elke moontlike uitkoms van die eerste gebeurtenis, trek ons 'n lyn waarop ons die waarskynlikheid van die uitkoms skryf, en die situasie as daardie uitkoms gebeur. Dan, vir elke moontlike uitkoms van die tweede gebeurtenis, sal ons dieselfde doen.

Hieronder is 'n voorbeeld van 'n boomdiagram wat die moontlike uitkomste wys om 'n -kantige dobbelsteen te rol.

Let op dat elke uitkoms (die getalle tot ) aan die einde van elke lyn aangedui word; en die waarskynlikheid van elke uitkoms (almal in die geval) word op elke lyn aangedui. Die waarskynlikhede moet optel na ten einde al die moontlike uitkomste te dek. In die onderstaande voorbeelde, sal ons sien hoe om die boomdiagramme met veelvoudige gebeurtenisse te teken en hoe om die waarskynlikhede te bereken deur die diagramme te gebruik.

Vroeër in die hoofstuk het jy geleer van afhanklike en onafhanklike gevalle. Boomdiagramme is baie nuttig om afhanklike gebeurtenisse te analiseer. 'n Boomdiagram laat jou toe om te wys hoe elke moontlike uitkoms van een gebeurtenis die waarskynlikheid van die die ander gebeurtenisse beïnvloed.

Boomdiagramme is minder nuttig vir onafhanklike gebeurtenisse omdat ons net die waarskynlikhede van die afsonderlike gevalle met mekaar kan vermenigvuldig om die gesamentlike waarskynlikheid te kry. Onthou dat vir onafhanklike gevalle: So, as jy reeds weet dat die gevalle onafhanklik is, is dit gewoonlik makliker om die probleem op te los sonder die gebruik van boomdiagramme. Maar, as jy onseker is of die gevalle onafhanklik is of as jy weet dit is nie, moet jy die boomdiagram teken.

Uitgewerkte voorbeeld 10: Teken 'n boomdiagram

As dit reën op 'n gegewe dag, is die waarskynlikheid dat dit die volgende dag reën . As dit nie die gegewe dag reën nie, is die waarskynlikheid dat dit die volgende dag gaan reën . Die waarskynlikheid dat dit môre sal reën is . Wat is die waarskynlikheid dat dit sal reën die dag na môre? Teken 'n boomdiagram van al die moontlikhede om die antwoord te bepaal.

Teken die eerste vlak van die boomdiagram

Voordat ons kan bepaal wat die dag na môre gebeur, moet ons eers bepaal wat môre moontlik gaan gebeur. Ons weet dat daar 'n kans is dat dit môre sal reën. Hier is hoe om die inligting op 'n boomdiagram voor te stel.

Teken die tweede vlak van die boomdiagram

Daar word ook gesê dat as dit wel reën op dag een, is daar 'n kans dat dit ook die volgende dag gaan reën. Aan die anderkant, as dit nie reën op daardie dag nie, is daar slegs 'n kans dat dit ook die volgende dag sal reën. Deur die inligting te gebruik gaan ons die boomdiagram voltooi:

Bereken die waarskynlikheid

Ons word gevra wat is die waarskynlikheid dat die dag na môre dit sal reën. Op die boomdiagram hierbo kan ons sien dat daar gevalle is waar dit reën die dag na môre. Dit is in rooi gemerk hieronder.

Om die waarskynlikheid te kry vir die eerste geval (dat dit môre reën en die dag na môre) moet ons die waarskynlikhede vermenigvuldig langs die eerste rooi lyn af.

Om die waarskynlikheid te kry vir die tweede geval (dat dit nie môre reën nie, maar wel die dag na môre reën) moet ons die waarskynlikhede vermenigvuldig langs die tweede rooi lyn af.

Dus is die totale waarskynlikheid dat dit sal reën die dag na môre, die som van die waarskynlikhede langs die twee rooi lyne, naamlik

Uitgewerkte voorbeeld 11: Teken 'n boomdiagram

Jy speel die volgende speletjie: jy gooi 'n muntstuk. As die stert bo is, kry jy punte en jou beurt eindig. As die kop bo is, kry jy slegs punt, maar jy kan die muntstuk weer skiet as jy wil. As jy die muntstuk verskeie kere gooi tydens een beurt, moet jy die punte bymkaartel. Jy kan die muntstuk op die meeste keer skiet in een beurt. Wat is die waarskynlikheid dat jy presies punte kry tydens een beurt? Teken 'n boomdiagram om die verskillende moontlikhede te illustreer.

Skryf die gevalle en hul simbole neer

Elke gooi van die munstuk in die eksperiment het een van twee uitkomste, naamlik kop () en stert (). Elke uitkoms het 'n waarskynlikheid van . Daar word van ons gevra om die aantal punte te tel, so ons sal ook aandui hoeveel punte ons het vir elke uitkoms in die eksperiment.

Teken die eerste vlak van die boomdiagram

Die boomdiagram wys die moontlike uitkomste na gooi van die muntstuk. Onthou ons kan tot en met gooie hê, so die diagram is nog nie voltooi nie. As die muntstuk met die kop bo land, gooi ons dit weer. As die muntstuk met die stert bo land, dan stop ons.

Teken die derde en vierde vlakke van die boomdiagram

In die boomdiagram kan jy sien dat ons die punte wat ons kry na elke gooi bymekaartel. Na drie gooie is die speletjie verby.

Vind die toepaslike uitkomste en bereken die waarskynlikheid

Ons stel belang daarin om presies punte te kry gedurende die spel. Om hierdie uitkomste te kry, kyk ons slegs na die eindpunte van die boomtakke. Ons eindig met presies punte waneer die puntegooie as volg is:

met waarskynlikheid ;

met waarskynlikheid .

Let daarop dat ons die waarskynlikheid van 'n uitkoms bereken deur al die waarskynlikhede langs 'n tak van die boom, vanaf die beginpunt tot by die einduitkoms, te vermenigvuldig. Ons tel die twee waarskynlikhede bymekaar om die finale waarskynlikheid van presies punte te kry as .

Uitgewerkte voorbeeld 12: Teken 'n boomdiagram

'n Persoon neem deel aan 'n mediese proef wat die effek van medisyne op 'n siekte toets. Helfte van die mense word die medisyne gegee en die ander helfte kry 'n suikerpil, wat geen effek op die siekte het nie. Die medisyne het 'n % kans om iemand te genees. Maar, mense wat nie die medisyne gekry het nie, het nog steeds 'n kans van % om genees te word. Daar is mense deel van die proef en almal het die siekte. Talwar neem ook deel aan die proef, maar ons weet nie of hy die medisyne gebruik of die suikerpil nie. Teken 'n boomdiagram van al die moontlike gevalle. Wat is die waarskynlikheid dat Talwar genees word?

Som die inligting van die probeem op

Daar is twee gevalle in die probleem wat onseker is. Elke persoon ontvang medisyne (waarskynlikheid ) of 'n suikerpil (waarskynlikheid ). Elke persoon word ook genees (waarskynlikheid met medisyne en sonder medisyne) of sal siek bly (waarkskynlikheid met medisyne en sonder).

Teken die boomdiagram

In die eerste vlak van die boomdiagram wys ons Talwar kry óf die medisyne óf die suikerpil. In die tweede vlak van die boomdiagram wys ons of Talwar genees is of nie, afhangend van watter een van die pille hy ontvang het.

Bereken die verlangde waarskynlikheid

Ons vermenigvuldig die waarskynlikhede langs die takke van die boomdiagram wat lei tot die genesing van Talwar: Ons tel dan die waarskynlikhede bymekaar om die finale antwoord te kry. Die waarskynlikheid dat Talwar genees word, is:.

Oefening 10.5

Jy rol die dobbelsteen twee keer en tel die kolletjies bymekaar om 'n telling te kry. Teken die boomdiagram om die eksperiment voor te stel. Wat is die waarskynlikheid dat jou telling 'n veelvoud is van ?

Die boomdiagram vir die eksperiment word hierbo gegee. Om spasie te spaar word die waarskynlikhede nie op die takke van die boom aangedui nie, maar elke tak het 'n waarskynlikheid van . Die veelvoude van is onderstreep. Siende dat die waarskynlikheid van elk van die onderstreepte uitkomste is en daar uitkomste is wat veelvoude van is, is die waarkskynlikheid dat 'n veelvoud van gekry sal word .

Wat is die waarskynlikheid om ten minste een vyf te gooi in vier gooie van 'n gewone -kantige dobbelsteen? Wenk: moenie al die moontlike uitkomste van elke gooi van die dobbelsteen wys nie. Ons stel slegs belang of die uitkomste is of nie--nie.

Die uitkomste wat tot ten minste een lei in vier rolle van die dobbelsteen is in die diagram hierbo gemerk. Die som van die waarskynlikhede met al die takke langs is:

Jy gooi die muntstuk keer.

Wat is die waarskynlikheid om presies keer kop te kry?

Daar is moontlike uitkomste as 'n mens 'n muntstuk keer gooi. Daar is uitkomste met presies koppe, naamlik , , en . Dus is die waarskynlikheid van presies koppe

Wat is die waarskynlikheid om ten minste koppe te kry?

Ten minste koppe is dieselfde as presies of presies koppe. Ons het reeds gesien dat daar maniere is om presies koppe te kry. Daar is manier om presies koppe te kry, naamlik die uitkoms . Daar is dus maniere om ten minste koppe te kry en die waarskynlikheid van hierdie gebeurtenis is .

Jy gooi verskillende muntstukke tegelykertyd.

Wat is die waarskynlikheid om presies keer kop te kry?

Die wiskunde van hierdie probleem is presies dieselfe as dié van die vorige probleem, aangesien dit nie saak maak of ons verskillende munte gelyktydig gooi of een munt verskillende kere gooi nie. Die korrekte antwoord is .

Wat is die waarskynlikheid om ten minste koppe te kry?

10.5 Gebeurlikheidstabelle

'n Gebeurlikheidstabel is nog 'n manier om rekord te hou van tellings of persentasies in 'n waarskynlikheidsprobleem. Gebeurliksheidstabelle is veral nuttig om te bepaal of 'n gebeurtenis afhanklik of onafhanklik is.

Ons gaan die tweerigting gebeurlikheidstabelle bestudeer, waar ons die aantal uitkomste vir gevalle tel en hulle komplemente, wat 'n totaal van gevalle aandui. 'n Tweerigting gebeurlikheidstabel wys altyd die telling vir die moontlike kombinasies van gebeure, asook die totale vir elke geval en sy komplement. Ons kan die gebeurliksheidstabel gebruik om die waarskynlikhede te bereken van die verskeie gebeurtenisse deur die verhoudings tussen tellings te bereken, en om te bepaal of die gevalle afhanklik of onafhanklik is. Die onderstaande voorbeeld wys 'n tweerigting gebeurlikheidstabel, wat die uitkomste van 'n mediese studie verteenwoordig.

Uitgewerkte voorbeeld 13: Gebeurlikheidstabelle

'n Mediese proef vir die effektiwiteit van nuwe medikasie is uitgevoer. vrouens en mans het deelgeneem aan die studie. Uit die mense het vrouens en mans positief gereageer op die medikasie. Hieronder word die gebeurlikheidstabel gegee met die inligting ingevul.

| Vroulik | Manlik | Totale
Positief |  |  |
Negatief |  |  |
Totale |  |  |

Wat is die waarskynlikheid dat die medisyne 'n positiewe resultaat gee vir vrouens?

Wat is die waarskynlikheid dat die medisyne 'n negatiewe resultaat gee vir mans?

Was die sukses van die medisyne afhanklik van geslag? Verduidelik.

Voltooi die gebeurlikheidstabel

Die beste plek om te begin is om die gebeurlikheidstabel te voltooi. Omdat elke kolom moet optel na sy totaal, kan ons uitwerk hoeveel vrouens en mans het negatief gereageer op die medikasie. Dan kan ons elke ry optel om die totale aan die regterkant van die tabel te kry.

| Vroulik | Manlik | Totale
Positief |  |  |
Negatief |  |  |
Totale |  |  |

Bereken die verlangde waarskynlikhede

Die manier waarop die eerste vraag geformuleer is, moet ons laat bepaal wat is die waarskynlikheid dat 'n persoon positief reageer as sy vroulik is. Dit beteken dat ons nie die mans insluit in die berekening nie. So, die waarskynlikheid dat die medikasie 'n positiewe resultaat gee vir vrouens, is die verhouding tussen die aantal vrouens wat positief gereageer het en die totale aantal vrouens.

Soortgelyk, die waarskynlikheid dat die medisyne 'n negatiewe resultaat vir mans sal gee is:

Onafhanklikheid

Ons moet bepaal of die effek van die medikasie en die geslag van die deelnemer afhanklik of onafhanklik is. Volgens die definisie is twee gebeurtenisse onafhanklik as en slegs as Ons gaan na die gevalle kyk waar deelnemers vroulik is en die deelnemer reageer positief op die proefstudie.

Vanaf die waarskynlikhede kan ons sien dat en daarom is die geslag van die deelnemer en die uitkomste van die studie afhanklike gebeurtenisse.

Uitgewerkte voorbeeld 14: Gebeurlikheidstabelle

Gebruik die onderstaande gebeurlikheidstabel om die volgende vrae te beantwoord.

| Graad | Graad | Totale
Het selfoon |  |  |
Geen selfoon |  |  |
Totale |  |  |

Wat is die waarskynlikheid dat 'n Graad leerder 'n selfoon het?

Wat is die waarskynlikheid dat 'n leerder wat nie 'n selfoon het nie, in Graad is?

Is die graad van 'n leerder en of hy 'n selfoon het onafhanklike gevalle? Verduidelik jou antwoord.

Daar is leerders in Graad en van hulle het 'n selfoon. Dus die waarskynlikheid dat 'n Graad leerder 'n selfoon het .

Daar is leerders wat nie 'n selfoon het nie en van hulle is in Graad . Dus die waarskynlikheid dat 'n leerder wat nie 'n selfoon het nie, in Graad is, is .

Om te toets vir onafhanklikheid, sal ons moet kyk of 'n leerder in Graad is en of die leerder 'n selfoon het. Die waarskynlikheid dat 'n leerder in Graad is, is . Die waarskynlikheid dat 'n leerder 'n selfoon het is . Die waarskynlikheid dat 'n leerder in Graad is en 'n selfoon het is . Aangesien , beteken dit die graad van 'n leerder en of hy/sy 'n selfoon het is afhanklik gebeurtenisse.

Oefening 10.6

Gebruik die onderstaande gebeurlikheidstabel om die volgende vrae te beantwoord.

| Bruin oë | Nie bruin oë | Totale
Swart hare |  |  |
Rooi hare |  |  |
Totale |  |  |

Wat is die waarskynlikheid dat iemand met swart hare, bruin oë sal hê?

mense het swart hare en van van hulle het ook bruin oë. Dus is die waarskynlikheid dat iemand met swart hare ook bruin oë het .

Let wel: Dit is anders as om te vra wat is die waarskynlikheid dat iemand swart hare en bruin oë het. (Hierdie waarskynlikheid word in deel (d) hieronder bereken.) Die vraag is so gestel om te vra wat is die waarskynlikheid om bruin oë te hê gegee dat die persoon swart hare het.

Wat is die waarskynlikheid dat iemand swart hare het?

Uit 'n totaal van , het swart hare. Dus is die waarskynlikheid dat iemand swart hare het .

Wat is die waarskynlikheid dat iemand bruin oë het?

Uit 'n totaal van , het bruin oë. Dus is die waarskynlikheid dat ieman bruin oë het .

Is om swart hare en bruin oë te hê afhanklike of onafhanklike gebeurtenisse?

Ons het alreeds bereken dat die waarskynlikheid om

swart hare te hê is en

bruin oë te hê is .

Siende dat uit swart hare en bruin oë het, is die waarskynlikheid om swart hare en bruin oë te hê .

Ons kan aflei dat om swart hare te hê en bruin oë te hê is afhanklike gebeurtenisse omdat .

Gegee die volgende gebeurlikheidstabel, identifiseer die gebeurtenisse en bepaal of hulle afhanklik of onafhanklik is.

| Plek A | Plek B | Totale
Busse vertrek laat |  |  |
Busse vertrek betyds |  |  |
Totale |  |  |

Die gebeurtenisse is of 'n bus vanaf Plek A vertrek het of nie en of die bus laat vertrek het of nie.

Ons toets of Plek A gebeurtenis en die die laat vertrek gebeurtenis onafhanklik is. Die totale aantal busse op die gebeurlikheidstabel is . Ons bepaal die waarskynlikhede van die verskillende gebeurtenisse vanaf die waardes in die tabel —

vertrek van Plek A: ;

vertrek laat: ;

vertrek van Plek A en vertrek laat: .

Siende dat is die gebeurtenisse afhanklik.

Jy word die volgende inligting gegee.

Gebeurtenisse en is onafhanklik.

Voltooi die gebeurlikheidstabel hieronder.

|  | nie | Totale
nie |  |  |
Totale |  |  |

Vanaf die gegewe tabel sien ons dat die totale aantal uitkomste is . Siende dat het ons en . Siende dat het ons en . Ons kan hiervan die table gedeelteliks voltooi:

|  | nie | Totale
nie |  |  |
Totale |  |  |

Volgende gebruik ons die feit dat en onafhanklik is. Vanaf die definisie vir onafhanklikheid het ons: Dus . Ons vind die res van die waardes in die tabel deur seker te maak dat die som in elke ry en kolom die korrekte totale gee.

|  | nie | Totale
nie |  |  |
Totale |  |  |

10.5 Opsomming

Terminologie:

Uitkoms: 'n enkele waarneming van 'n proefneming.

Steekproefruimte van 'n proefneming: die versameling van alle moontlike uitkomste van die proefneming.

Gebeurtenis: 'n versameling uitkomste van 'n proefneming.

Waarskynlikheid van 'n gebeurtenis: 'n reële getal tussen en wat beskryf hoe groot die kans is dat 'n gebeurtenis sal plaasvind.

Relatiewe frekwensie van 'n gebeurtenis: die aantal kere wat die gebeurtenis voorkom tydens proefnemings, gedeel deur die totale aantal proefnemings wat uitgevoer word.

Vereniging van gebeurtenisse: die versameling van alle uitkomste wat voorkom in ten minste een van die gebeurtenisse, geskryf as “”.

Snyding van gebeurtenisse: die versameling van alle uitkomste wat voorkom in al die gebeurtenisse, geskryf as “”.

Onderling uitsluitende gebeurtenisse: gebeurtenisse met geen gemeenskaplike uitkomste, dit is .

Komplementêre gebeurtenisse: twee wedersyds uitsluitende gebeurtenisse wat saam al die uitkomste in die steekproefruimte bevat. Ons skryf die komplement as “”.

Onafhanklike gebeurtenisse: twee gebeurtenisse, waar die uitkoms van die een nie die waarskynlikheid van die ander een beïnvloed nie. Gebeurtenisse is onafhanklik as en slegs as .

Identiteite:

Die somreël:

Die somreël vir wedersyds uitsluitende gebeurtenisse:

Die komplementreël :

'n Venndiagram is 'n visuele hulpmiddel om te wys hoe twee gebeurtenisse oorvleuel. Elke area in 'n Venndiagram verteenwoordig 'n gebeurtenis en kan die uitkomste in die gebeurtenis bevat, of die aantal uitkomste in die gebeurtenis of die waarskynlikheid van die gebeurtenis.

'n Boomdiagram is 'n visuele instrument wat help met die berekening van die waarskynlikhede vir afhanklike gebeurtenisse. Die uitkomste van elke gebeurtenis word getoon saam met die waarskynlikheid van elke uitkoms. Vir elke gebeurtenis wat afhanklik is van die vorige gebeurtenis, gaan ons een vlak dieper in die boom. Om die waarskynlikheid van 'n sekere kombinasie van uitkomste te bereken,

vind al die vertakkings wat die betrokke uitkoms bevat;

vermenigvuldig die waarskynlikhede langs elke vertakking;

tel die waarskynlikhede tussen die verskillende vertakkings op.

'n Tweerigting gebeurlikheidstabel is 'n hulpmiddel vir die organisering van data, veral wanneer ons wil bepaal of gebeurtenisse, elk met slegs met twee uitkomste, afhanklik of onafhanklik is van mekaar. Die tellings vir elke moontlike kombinasie van uitkomste word ingevul op die tabel, besame met die totale vir elke ry of kolom.

Oefening 10.7

Jane het belê op die aandelemark. Die waarskynlikheid dat sy nie al haar geld sal verloor nie is . Wat is die waarskynlikheid dat sy al haar geld sal verloor? Verduidelik.

Siende dat die gebeurtenisse “Jane verloor al haar geld” en “Jane sal nie al haar geld verloor nie” komplementêre gebeurtenisse is, is die som van hul waarskynlikhede . Dus is die waarskynlikheid dat Jane al haar geld sal verloor .

As en wedersyds uitsluitende gebeurtenisse is, met en , vind .

Siende dat en onderling uitsluitend is, kan ons die somreël vir onderling uitsluitende gebeurtenisse toepas: Ons word gegee dat , dus . Vanaf die somreël het ons dat

'n Motorhandelaar het pienk, lemmetjiegroen en pers modelle van motor en pers, oranje en veelkleurige modelle van motor . Een donker nag steel 'n dief 'n motor.

Wat is die steekproef en die steekproefruimte?

Die steekproef is die uitkoms wanneer 'n spesifieke model en kleur motor vanuit die steekproefruimte gekies word.

Die steekproefruimte is \{pienk model ; lemmetjiegroen model ; pers model ; pers model ; oranje model ; veelkleurig model \}.

Wat is die waarskynlikheid dat 'n model van of 'n model van gesteel is?

Siende dat daar slegs twee modelle is, naamlik en , is die waarskynlikheid dat een van die twee modelle gesteel is .

Wat is die waarskynlikheid dat beide 'n model van en 'n model van gesteel word?

Siende dat die twee modelle nie oorvleuel nie en siende dat die dief slegs een kar steel, is die waarskynlikheid dat albei modelle gesteel word .

Die waarskynlikheid van gebeurtenis is en die waarskynlikheid van gebeurtenis is . Die waarskynlikheid dat beide gelyktydig gebeur, is . Wat is die waarskynlikheid dat of sal gebeur?

Vanaf die somreël

; en . Bereken:

Vanaf die somreël:

Teken eers 'n Venndiagram om te sien hoe die gebeurtenis lyk.

Vanaf die derde diagram sien ons dat

Teken eers 'n Venndiagram om te sien hoe die gebeurtenis lyk.

Vanaf die derde diagram sien ons dat

Teken eers 'n Venndiagram om te sien hoe die gebeurtenis lyk.

Vanaf die derde diagram sien ons dat

Die laaste tien letters van die alfabet word in 'n hoed gesit en mense word gevra om een van hulle te trek. Gebeurtenis is om 'n klinker te kies, gebeurtenis 'n medeklinker en gebeurtenis om een van die laaste vier letters te trek. Trek 'n Venndiagram om die die uitkomste in die steekproefruimte en die verskillende gebeurtenisse te toon. Bereken dan die volgende waarskynlikhede:

Die Venndiagram is hieronder. (Let op dat Y nie 'n klinker is nie.)

Ons kan die gevraagde waarskynlikhede vanaf die Venndiagram lees.

nie

Dit laat slegs die uitkomste in , dus .

siende dat en onderling uitsluitend is.

Siende dat en komplementêr is ('n letter is óf 'n klinker óf 'n medeklinker), , dus .

Thobeka vergelyk drie woonbuurte (ons noem hulle , en ) om te sien waar die beste plek is om te woon. Sy ondervra mense en vra hulle of hulle van elk van die woonbuurte hou of nie.

mense hou van woonbuurt .

mense hou van woonbuurt .

mense hou van woonbuurt .

mense hou van beide woonbuurte en .

mense hou van beide woonbuurte en .

mense hou van ten minste een woonbuurt.

mense hou van al drie woonbuurte.

Gebruik die inligting om 'n Venndiagram te trek.

Ons trek eers die buitelyn van die Venndiagram.

Vervolgens bepaal ons die tellings van die verskillende areas in die diagram deur die inligting te gebruik wat verskaf is.

Daar is mense wat van al drie woonbuurte hou, dus .

Daar is mense wat hou van en , dus .

Daar is mense wat hou van en , dus .

Daar is mense wat hou van , dus .

Aangesien mense van ten minste een buurt hou en aangesien daar mense altesaam is, hou mense van geen van die buurte nie.

Deur van die bostaande informasie gebruik te maak kan ons die Venn-diagram gedeelteliks voltooi.

Siende dat , kan ons van die diagram hierbo sien dat . Vanaf die somreël Dit laat ons toe om die diagram te voltooi:

Hoeveel mense hou van geeneen van die woonbuurte nie?

Hoeveel mense hou van woonbuurte en , maar nie van nie?

Wat is die waarskynlikheid dat 'n willekeurig gekose persoon van die proefneming van ten minste een van die woonbuurte sal hou?

Laat en twee gebeurtenisse wees in 'n steekproefruimte. Veronderstel dat ; ; en .

Vir watter waarde van is en wedersyds uitsluitend?

en is wedersyds uitsluitend as .

Vanaf die somreël weet ons dat Deur die gegewe waardes en in die vergelyking te vervang, verkry ons Dus .

Vir watter waarde van is en onafhanklik?

en is onafhanklik as .

Vanaf die somreël weet ons dat Deur die gegewe waardes en in die vergelyking te vervang, verkry ons Dus .

Die volgende boomdiagram verteenwoordig punte aangeteken deur twee spanne in 'n sokkerwedstryd. By elke vlak in die boom word die punte getoon (punte vir Span ; punte vir Span ).

Gebruik die diagram om die waarskynlikheid te bepaal dat:

Span sal wen

Die uitkomste waar Span 1 wen (wanneer die eerste telling groter is as die tweede), is onderstreep in die boomdiagram hieronder.

Bereken die waarskynlikheid dat Span 1 wen deur die waarskynlikhede langs elke pad te vermenigvuldig en dan bymekaar te tel.

Die wedstryd gelykop sal wees

Die uitkomste waar die wedstryd gelykop eindig (wanneer die twee tellings gelyk is), is onderstreep in die boomdiagram hieronder.

Daar is slegs een so 'n uitkoms en die waarskynlikheid van 'n gelykoptelling is die produk van die waarskynlikhede langs dié uitkoms se pad.

Die wedstryd sal eindig met 'n ewe getal totale punte

Die uitkomste waar die som van die tellings ewe is, is onderstreep in die boomdiagram hieronder.

'n Sak bevat oranje balle en blou balle. Jy trek balle uit die sak sonder terugplasing. Wat is die waarskynlikheid dat jy sal eindig met presies oranje balle? Stel hierdie proefneming voor met 'n boomdiagram.

Voltooi die volgende gebeurlikheidstabel en bepaal of die gebeurtenisse afhanklik of onafhanklik is.

| Durban | Bloemfontein | Totale
Bly lekker daar |  |  |
Bly nie lekker daar nie |  |  |
Totale |  |  |

Ons voltooi die gebeurlikheidstabel deur seker te maak dat al die rye en kolomme sommeer tot die korrekte totale.

| Durban | Bloemfontein | Totale
Bly lekker daar |  |  |
Bly nie lekker daar nie |  |  |
Totale |  |  |

Aangesien

;

;

;

en aangesien is die gebeurtenisse afhanklik.

Som die volgende inligting oor 'n mediese proefneming met tipes multivitamine op in 'n gebeurlikheidstabel en bepaal of die gebeurtenisse afhanklik of onafhanklik is.

mense het deelgeneem aan die mediese proefneming.

mense het Multivitamine A gebruik vir 'n maand en van daardie mense het 'n verbetering in hulle gesondheid getoon.

mense het 'n verbetering in gesondheid getoon tow hulle Multivitamine B gebruik het vir 'n maand.

As die gebeurtenisse onafhanklik is, beteken dit dat die twee multivitamines dieselfde uitwerking het op mense. As die gebeurtenisse afhanklik is, beteken dit dat een multivatimine beter is as die ander een. Watter multivitamine is die beste, of is hulle beide ewe effektief?

Vanuit die inligting in die problemmstelling kan ons die volgende, onvolledige gebeurlikheidstabel optrek.

| Multivitamine A | Multivitamine B | Totale
Verbetering in gesondheid |  |  |
Geen verbetering in gesondheid |  |  |
Totale |  |  |

Voltooi die tabel deur seker te maak dat elke ry en elke kolom sommeer tot die korrekte totaal.

| Multivitamine A | Multivitamine B | Totale
Verbetering in gesondheid |  |  |
Geen verbetering in gesondheid |  |  |
Totale |  |  |

Aangesien

;

;

;

en aangesien is die gebeurtenisse afhanklik.

Met Multivitamine A het van die mense 'n verbetering in gesondheid getoon. Met Multivitamine B het van die mense 'n verbetering in gesondheid getoon. Dus is Multivitamine A meer effektief as Multivitamine B.

Hoofstuk 11: Statistiek

Ogiewe is nie altyd gegrond by nie.

Die balke van histogramme moet ewe breed/wyd wees.

Die formule vir bevolkingsvariansie word gebruik en nie steekproefvariansie nie.

Moedig leerlinge aan om die STATS-funksie van hulle sakrekenaars te gebruik.

Leerders hoef nie spreigrafieke te kan teken nie, hulle moet net uitskieters kan identifiseer.

Bespreek die misbruik van statistiek in die regte wêreld en bevorder bewusmaking.

11.1 Hersiening

Maatstawe van sentrale neiging

Die gemiddelde en die mediaan van die data, gee albei 'n aanduiding van die middelpunt van die data verspreiding. Die gemiddelde, of die rekenkundige gemiddelde, word bereken met waar die datapunt is en die hoeveelheid datapunte. Ons lees as “x streep”.

Die mediaan is die middelste getal van die geordende datastel. Om die mediaan te bepaal, moet ons eers die data sorteer en dan die middelste getal van hierdie gesorteerde lys kies. In die geval waar die middelpunt van die datastel tussen twee getalle lê, is die mediaan die gemiddelde van daardie twee getalle.

Video: 26NC

Uitgewerkte voorbeeld 1: Bereken die maatstawe van sentrale neiging

Bereken die gemiddelde en die mediaan van die van die volgende datastel:

Bereken die gemiddelde

Deur die formule vir die gemiddelde te gebruik, bereken ons eers die som van die getalle en dan deel ons dit deur die aantal getalle.

Bereken die mediaan

Om die mediaan te vind, sorteer ons eers die data:

Omdat daar 'n ewe aantal getalle is, lê die mediaan in die middel van twee getalle. In hierdie geval, is die twee getalle in die middel van en . Dus is die mediaan .

Maatstawe van verspreiding (dispersie)

Maatstawe van verspreiding sê vir ons hoe verspreid die data is. Wanneer die maatstaaf van verspreiding klein is, is die data gegroepeer in 'n klein gebied. Wanneer die maatstaaf van verspreiding groot is, is die data versprei oor 'n groot area.

Die variasiewydte (of reikwydte of omvang) is die verskil tussen die maksimum- en minimumwaardes van die datastel.

Die inter-kwartielwydte is die verskil tusssen die eerste en derde kwartiele van die datastel. Die kwartiele word op dieselfde wyse as die mediaan bereken. Die mediaan is halfpad in die geordende datastel en word soms die tweede kwartiel genoem. Die eerste kwartiel is een kwart binne die geordende datastel; die derde kwartiel is driekwart binne die die geordende datastel.

Video: 26ND

Uitgewerkte voorbeeld 2: Variasiewydte en inter-kwartielwydte

Bepaal die reikwydte en die inter-kwartielwydte van die volgende datastel.

Orden die getalle in die datastel

Om die variasiewydte te bepaal moet ons die maksimum en minimum getalle in die datastel vind. Om die inter-kwartielwydte te bepaal, moet ons die eerste en derde kwartiele kry. Vir albei die vereistes, is dit makliker om eers die data te orden.

Die geordende datastel is

Vind die minimum, maksimum en die variasiewydte

Die minimum getal is die eerste getal van die geordende datastel, naamlik . Die maksimum is die laaste getal in die geordende datastel, naamlik . Die reikwydte is die verskil tussen die maksimum en die minimum: .

Vind die kwartiele en die inter-kwartielwydte

Die diagram wys ons hoe om kwartiele te vind 'n kwart, 'n helfte en 'n driekwart van die gebied binne die geordende lys.

Van hierdie diagram kan ons sien die eerste kwartiel is by , die tweede kwartiel (mediaan) is by waarde en die derde kwartiel is by waarde .

Die inter-kwartielwydte is die verskil tussen die eerste en derde kwartiele. Die eerste kwartiel is en die derde kwartiel is . Dus is die inter-kwartielwydte .

Vyf-getal opsomming

Die vyf getal opsomming kombineer die maatstaaf van sentrale neiging, naamlik die mediaan, met die maatstawe van dispersie, naamlik die reikwydte en die inter-kwartielwydte. Dit gee 'n goeie oorsig van die algehele vesrpreiding van die data. Meer presies, die vyf-getal opsomming word in die volgende volgorde geskryf:

minimum

eerste kwartiel

mediaan

derde kwartiel

maksimum

Die vyf getal opsomming word gewoonlik visueel voorgestel deur gebruik te maak van 'n mond en snor diagram (of houerstipping). 'n Mond-en-snor diagram word getoon hieronder, met die posisies van die vyf relevante getalle aangedui. Let daarop dat die diagram vertikaal geteken is, maar dat dit ook horisontaal geteken kan word.

Video: 26NF

Uitgewerkte voorbeeld 3: Vyf getal opsomming

Teken die mond-en-snor diagram vir die volgende datastel:

Bepaal die minimum en maksimum

Aangesien die datastel alreeds georder is, lees ons die minimum waarde af as die eerste waarde () en die maksimum as die laaste waarde ().

Bepaal die kwartiele

Daar is getalle in die datastel.

Deur gebruik te maak van bostaande figuur, kan ons sien dat die mediaan tussen die sixth en seventh waardes lê, wat dit dan die volgende maak.

Die eerste kwartiel lê tussen die third en fourth getalle, wat dit dan die volgende maak

Die derde kwartiel lê tussen die ninth en tenth getalle, wat dit dan die volgende maak

Teken die mond-en-snor diagram

Ons het nou die vyf getal opsomming as (; ; ; ; ). Die mond-en-snor diagram verteenwoordig die vyf getal opsomming hieronder getoon.

Oefening 11.1

Vir elk van die volgende datastelle, bereken die gemiddelde en al die kwartiele. Rond jou antwoorde af tot een desimale plek.

; ; ; ; ; ; ;

Gemiddelde:

gemiddeld = ; first kwartiel = ; second kwartiel = ; third kwartiel = .

; ; ; ; ; ; ; ;

gemiddeld = ; first kwartiel = ; second kwartiel = ; third kwartiel = .

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Die gemiddelde is .

Sorteer die data om die kwartiele te bereken:

Ons gebruik die onderstaande diagram om te vind by of tussen watter getalle die kwartiele lê.

Die eerste kwartiel is tussen die third en fourth getalle. Omdat albei die getalle gelyk is aan , is die eerste kwartiel .

Die mediaan (tweede kwartiel) is tussen die sixth en seventh getalle. Die sixth getal is en die seventh getal is , wat beteken dat die mediaan is .

Die derde kwartiel is tussen die ninth en tenth getalle. Dus is die derde kwartiel .

Gebruik die onderstaande mond-en-snor diagram om die reikwydte en die inter-kwartielwydte van die datastel te bepaal.

Die reikwydte is die verskil tussen die minimum- en maksimumwaardes. Vanaf die mond-en-snor diagram kry ons dat die minimum is en die maksimum is . Dus is die reikwydte .

Die inter-kwartielwydte is die verskil tussen die eerste en derde kwartiele. Vanaf die mond-en-snor diagram het ons dat die eerste kwartiel is en die derde kwartiel is . Dus is die inter-kwartielwydte .

Teken die mond-en-snor diagram van die volgende data.

11.2 Histogramme

'n Histogram is 'n grafiese voorstelling van hoeveel verskillende, onderling uitsluitende gebeurtenisse waargeneem word in 'n eksperiment. Om 'n histogram te interpreteer, vind ons die saamgegroepeerde gebeurtenisse op die -as en die hoeveelheid op die -as. By elke gebeurtenis is 'n reghoek wat die hoeveelheid (frekwensie) aandui.

Video: 26NN

Uitgewerkte voorbeeld 4: Die lees van histogramme

Gebruik onderstaande histogram om die gebeurtenisse en die relatiewe frekwensie te bepaal. Som jou antwoord in tabelvorm op.

Bepaal die gebeurtenisse

Die gebeurtenisse getoon op die -as.

Lees die aantal van elke gebeurtenis

Die aantal word getoon op die -as en die hoogte van elke reghoek toon die frekwensie van elke gebeurtenis aan.

nog nie in die skool nie:

in laerskool:

in hoërskool:

Bereken die relatiewe frekwensie

Die relatiewe frekwensie van 'n gebeurtenis tydens 'n eksperiment is die aantal kere wat die gebeurtenis plaasgevind het, met betrekking tot die aantal kere wat die eksperiment uitgevoer was. In hierdie voorbeeld tel ons al die frekwensies van al die gebeurtenisse bymekaar om 'n totale aantal gebeurtenisse van te verkry. Daarom is die relatiewe frekwensies:

nog nie in die skool nie:

in die laerskool:

in die hoërskool:

Maak opsomming

Gebeurtenis | Frekwensie | Relatiewe frekwensie
nog nie in die skool nie |  |
in die laerskool |  |
in die hoërskool |  |

Om die histogram te trek van 'n datastel met getalle, moet die getalle eers gegroepeer word. Elke groep word gedefiniëer deur 'n interval. Ons kan tel hoeveel keer getalle van elke groep in die datastel voorkom en 'n histogram trek deur hierdie tellings te gebruik.

Uitgewerkte voorbeeld 5: Trek 'n histogram

Die volgende data verteenwoordig die lengtes van volwassenes in sentimeters.

Verdeel die data in gelyke intervalle tussen en en teken 'n histogram.

Bepaal die intervalle

Om intervalle van dieselfde lengte te hê tussen en , het ons intervalle van nodig. Die intervalle is dus ; ; ; ; en .

Tel die data

Die volgende tabel som die getelde data op vir elk van die intervalle.

Interval |  |  |  |  |
Aantal |  |  |  |  |

Trek die histogram

Frekwensieveelhoek

'n Frekwensieveelhoek (of frekwensiepoligon) word soms gebruik om dieselfde inligting te vertoon as 'n histogram. 'n Frekwensieveelhoek word getrek deur lynsegmente vanaf die middel van die bopunt van elke staaf in die histogram te verbind met die middelpunt van die bopunt van die volgende staaf. Dit beteken dat die frekwensieveelhoek die koördinate van die middelpunt van elke interval en die aantal gebeurtenisse per interval met mekaar verbind.

Uitgewerkte voorbeeld 6: Trek die frekwensieveelhoek

Gebruik die histogram van die vorige voorbeeld om die frekwensieveelhoek van dieselfde data te trek.

Trek die histogram

Ons weet reeds dat die histogram só lyk:

Verbind die bopunte van die reghoeke

Wanneer ons die lynsegmente tussen die bopunte van die reghoeke in die histogram trek, kry ons die volgende prentjie:

Trek die finale frekwensieveelhoek

Verwyder nou die histogram om die finale frekwensieveelhoek te toon.

Frekwensieveelhoeke is veral nuttig om twee stelle data te vergelyk. Wanneer twee histogramme vergelyk word, is dit moeilik omdat ons dan die twee reghoeke van die twee stelle data bo-oor mekaar mekaar moet teken. Omdat frekwensieveelhoeke slegs lyne is, veroorsaak hulle nie dieselfde probleem nie.

Uitgewerkte voorbeeld 7: Trek frekwensieveelhoeke

Hier is nog 'n stel data van lengtes, hierdie keer van Graad leerders.

Trek die frekwensieveelhoek van hierdie datastel deur dieselfde intervallengtes te gebruik as in die vorige voorbeeld. Vergelyk dan die twee frekwensieveelhoeke op een grafiek om die verskil tussen die verspreidings te sien.

Frekwensietabel

Ons skep eers die getalletabel vir die nuwe stel data.

Interval |  |  |  |  |
Aantal |  |  |  |  |

Trek histogram en frekwensieveelhoek

Vergelyk frekwensieveelhoeke

Ons trek die twee frekwensieveelhoeke op dieselfde assestelsel. Die rooi lyn toon die verspreiding van lengtes vir volwassenes en die blou lyn vir Graad leerders.

Van hierdie grafiek af kan ons maklik sien dat die lengtes van Graad leerders meer na links (korter) versprei is as die lengtes van volwassenes. Die leerders se lengtes is ook meer eweredig versprei tussen en , terwyl die volwassenes se lengtes hoofsaaklik tussen en lê.

Oefening 11.2

Gebruik onderstaande histogram om die volgende vrae te antwoord. Die histogram toon die aantal mense wat elke jaar wêreldwyd gebore word. Die punte op die -as toon die begin van elke jaar.

Hoeveel mense is gebore tussen die begin van en die begin van ?

miljoen

Neem die aantal mense in die wêreld toe of neem dit af?

Ongeag die feit dat die tempo waarteen mense gebore word, besig is om te verlaag, word daar steeds elke jaar nog mense gebore. Dus is die wˆereldbevolking besig om toe te neem.

Hoeveel meer mense is in gebore as in ?

miljoen

In 'n verkeersopname is 'n ewekansige steekproef van motoriste gevra watter afstand hulle elke dag na hulle werk toe ry. Die resultate van die opname word in die tabel hieronder getoon. Trek 'n histogram om die data te verteenwoordig.

afstand () |  |  |  |  |
aantal |  |  |  |  |

Hieronder is die data vir die voorkoms van MIV in Suid-Afrika. MIV-voorkoms verwys na die persentasie mense tussen die ouderdomme van en wat MIV-positief is.

jaar |  |  |  |  |  |  |  |
voorkoms | % | % | % | % | % | % | % | %

Trek 'n frekwensieveelhoek van hierdie datastel.

11.3 Ogiewe

Kumulatiewe histogramme, ook bekend as ogiewe, is grafieke wat gebruik kan word om te bepaal hoeveel datawaardes onder of bo 'n spesifieke waarde in die datastel val. Die kumulatiewe frekwensie word bereken van die frekwensietabel af deur elke frekwensiewaarde by die totaal van die voorafgaande frekwensiewaardes in die datastel te tel. Die laaste waarde van die kumulatiewe frekwensie sal altyd gelyk wees aan die totaal van al die waardes, omdat al die waardes reeds bymekaargetel was in die vorige totale.

'n Ogief word geteken deur:

die begin van die eerste interval te stip op 'n -waarde van nul;

die einde van elke interval te stip op die -waarde gelyk aan die kumulatiewe totaal vir daardie interval; en

die punte op die grafiek te verbind met reguit lyne.

Op hierdie manier sal die eindwaarde van die finale interval altyd die totaal van al die datawaardes wees aangesien ons alles opgetel het oor al die intervalle.

Uitgewerkte voorbeeld 8: Kumulatiewe frekwensies en ogiewe

Bepaal die kumulatiewe frekwensies van die volgende gegroepeerde datastel en voltooi onderstaande tabel. Gebruik die tabel om 'n ogief van die data te trek.

Interval
Frekwensie
Kumulatiewe frekwensie

Bereken die kumulatiewe frekwensie

Om die kumulatiewe frekwensie te bepaal, tel ons al die frekwensies bymekaar soos ons in die tabel afgaan. Die eerste kumulatiewe frekwensie is dieselfde as die betrokke frekwensie, want ons tel dit by nul. Die finale kumulatiewe frekwensie is altyd gelyk aan die som van al die frekwensies. Dit lewer die volgende tabel:

Interval
Frekwensie
Kumulatiewe frekwensie

Stip die ogief

Die eerste koördinaat in die stipping begin altyd by 'n -waarde van omdat ons altyd begin by nul. Dus, die eerste koördinaat is by - die begin van die eerste interval. Die tweede koördinaat is aan die einde van die eerste interval (wat ook die begin is van die tweede interval) en by die eerste kumulatiewe antwoord, dus by . Die derde koördinaat is aan die einde van die tweede interval en by die tweede kumulatiewe antwoord, naamlik by , ensovoorts.

Die berekening van al die koördinate en verbinding met reguitlyne gee die volgende ogief.

Ogiewe lyk soos frekwensiepoligone, wat ons vroeër getrek het. Die belangrikste verskil tussen hulle is dat 'n ogief kumulatiewe waardes aandui, terwyl 'n frekwensiepoligoon 'n stipping is van die datawaardes self. So, om 'n frekwensiepoligoon na 'n ogief te gaan, tel ons die tellings bymekaar soos ons van links na regs in die grafiek deurbeweeg.

Ogiewe is waardevol vir die bepaling van die mediaan, persentiele en vyf-getal opsomming van die data. 'n Kwartiel is eenvoudig kwartpad vanaf die begin van 'n geordende datastel. Met 'n ogief weet ons reeds hoeveel datawaardes bo of onder 'n sekere punt is, dus is dit maklik om die middel of kwart van die datastel te vind.

Uitgewerkte voorbeeld 9: Ogiewe en die vyf-getal opsomming

Gebruik die volgende ogief om die vyf-getal opsomming van die data te bereken. Onthou dat die vyf-getal opsomming betaan uit die minimum, al die kwartiele (insluitend die mediaan) en die maksimum.

Vind die minimum en die maksimum

Die minimumwaarde in die datastel is omdat dit is waar die ogief begin op die horisontale as. Die maksimumwaarde in die datastel is omdat dit is waar die ogief eindig op die horisontale as.

Vind die kwartiele

Die kwartiele is die waardes wat , en van die pad in die geordende datastel is. Hier gaan die tellings op na , so ons kan die kwartiele vind deur te kyk na die ooreenstemmende tellings van , en . Op die ogief sien ons 'n telling van

stem ooreen met die waarde van (eerste kwartiel);

stem ooreen met die waarde van (tweede kwartiel);

stem ooreen met die waarde van (derde kwartiel).

Skryf die vyf-getal opsomming neer

Die vyf-getal opsomming . Die mond-en-snor diagram van die datastel is hieronder gegee.

Oefening 11.3

Gebruik die ogief om onderstaande vrae te beantwoord.

Hoeveel studente het tussen % en % gekry?

Die kumulatiewe grafiek wys dat studente minder as % gekry het en studente minder as %. Dus het studente tussen % en % gekry.

Hoeveel studente het ten minste % gekry?

Die kumulatiewe grafiek wys dat studente minder as % gekry het en daar is studente in totaal. Dus het studente ten minste (groter of gelyk aan) % gekry.

Bereken die gemiddeld van die klaspunt, rond af tot die naaste heelgetal.

Om die gemiddeld te bereken, gebruik ons eers die ogief om die frekwensie van elke interval te bepaal. Die frekwensie van 'n interval is die verskil tussen die kumulatiewe waardes aan die bo- end onderkant van dié interval op die ogief. Dit mag dalk moeilik wees om die presiese kumulatiewe waardes vir sommige van die punte op die ogief af te lees, maar aangesien die finale antwoord tot die naaste heelgetal afgerond word, sal klein foute nie 'n verskil maak nie. Die tabel hieronder som die frekwensies op.

Interval |  |  |  |  |  |  |  |
Frekwensie |  |  |  |  |  |  |  |

Die gemiddeld is dan die waarde by die middel van elke interval, geweeg met die frekwensie van daardie interval. Die gemiddelde punt, afgerond tot die naaste heelgetal, is %.

Teken die histogram wat ooreenstem met die ogief.

Om die histogram te teken moet ons die telling in elke interval bepaal.

Eerstens, ons kan die intervalle vind deur te kyk waar die punte gestip is op die ogief. Aangesien die punte by -koordinate van ; ; ; ; en is, beteken dit dat die intervalle is, ens.

Om die telling in elke interval te kry, trek ons die kumulatiewe telling aan die begin van die interval af van die kumulatiewe telling aan die einde van die interval.

Interval |  |  |  |  |
Aantal |  |  |  |  |

Vanaf die tellings kan ons die volgende histogram teken:

Die volgende datastelle lys die ouderdomme van mense:

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Gebruik die data om die volgende vrae te beantwoord.

Deur 'n intervalwydte van te gebruik, konstrueer 'n kumulatiewe grafiek.

Die tabel hieronder wys die aantal mense in elke ouderdomsinterval met breedte .

Interval |  |  |  |  |
Telling |  |  |  |  |
Kumulatief |  |  |  |  |
Interval |  |  |  |  |
Telling |  |  |  |  |
Kumulatief |  |  |  |  |

Vanaf hierdie tabel kan ons die kumulatiewe frekwensie grafiek teken:

Hoeveel is jonger as ?

mense

Hoeveel is jonger as ?

mense

Gee 'n verduideliking onder watter waarde die onderste % van die ouderdomme val.

Ons word gevra om die mediaan van die datastel te bereken. Die mediaan is, volgens definisie, die waarde waaronder % van die data val. Siende dat daar waardes is, lê die mediaan tussen die twee middelste waardes, dus .

Onder watter waarde val die onderste %?

Daar is waardes. Deur 'n getallelyn te trek, soos ons maak om kwartiele te bepaal, kan ons sien dat die % punt tussen die tenth en eleventh waardes is. Die tenth waarde is en die eleventh waarde is . Dus is % van die waardes onder .

Konstrueer 'n frekwensieveelhoek.

Die tabel hierbo bevat alreeds al die waardes wat ons benodig om die frekwensieveelhoek te teken

Die gewig van sandsakke in gram word hieronder gegee (afgerond tot die naaste tiende):

; ; ; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ; ; ;

Besluit op 'n intervalwydte en verklaar wat jy waargeneem het oor jou keuse.

Leerder-afhanklike antwoord.

Gee jou laagste interval.

Leerder-afhanklike antwoord.

Gee jou hoogste interval.

Leerder-afhanklike antwoord.

Konstrueer 'n kumulatiewe frekwensie grafiek en 'n frekwensie veelhoek.

Leerder-afhanklike antwoord.

Onder watter waarde val % van die gevalle?

Onder watter waarde val % van die gevalle?

11.4 Variansie en standaardafwyking

Maatstawe van die sentrale neiging (gemiddelde, mediaan en modus) voorsien inligting oor die datawaardes by die middelpunt van die datastel. Metings van verspreiding (kwartiele, persentiele, reikwydtes) voorsien inligting oor die verspreiding van die data om die middel. In die afdeling gaan ons ook kyk na nog twee maatstawe van verspreiding naamlik variansie en standaardafwyking.

Video: 26NX

Variansie

Variansie

Laat 'n bevolking bestaan uit elemente, . Skryf die gemiddelde van die data neer as .

Die variansie van die data is die gemiddelde gekwadreerde afstand tussen die gemiddelde en elke datawaarde.

Die variansie word geskryf as . Dit lyk dalk vreemd dat dit in kwadraatvorm geskryf is, maar jy sal binnekort sien hoekom dit so is wanneer ons die standaardafwyking bespreek.

Die variansie het die volgende eienskappe.

Dit is nooit negatief nie, want elke term in die variansiesom word gekwadreer en is dus of positief of nul.

Dit het gekwadreerde eenhede. Byvoorbeeld, die variansie van 'n stel hoogtes gemeet in sentimeter sal gegee word in sentimeters kwadraat. Omdat die populasievariansie gekwadreer is, is dit nie direk vergelykbaar met die gemiddelde of die data self nie. In die volgende afdeling sal ons die verskillende maatstawe van verspreiding verduidelik en die standaardafwyking, wat dieselfde eenhede het as die data.

Uitgewerkte voorbeeld 10: Variansie

Jy gooi 'n muntstuk keer en dit land keer op kop. Jy kan dieselfe muntstuk gebruik en dit nog keer gooi. Die keer land dit keer op kop. Jy herhaal die eksperiment 'n totaal van keer en kry die volgende resultate vir aantal koppe.

Bereken die gemiddelde en variansie van die datastel.

Bereken die gemiddelde

Die formule vir die gemiddelde is

In hierdie geval, tel ons die datawaardes bymekaar en deel dit deur om te kry.

Bereken die variansie

Die formule vir die variansie is

Ons moet eers die gemiddelde aftrek van elke datawaarde en dan die resultaat kwadreer.

Die variansie is die som van die waardes in die laaste ry in die tabel gedeel deur , so .

Standaardafwyking

Omdat die variansie 'n gekwadreerde getal is, kan dit nie direk vergelyk word met die datawaarde of die gemiddelde van die datastel nie. Dit is daarom meer nuttig om 'n getal te hê wat die vierkantswortel is van die variansie. Die getal staan bekend as die standaardafwyking.

Standaardafwyking

Laat 'n populasie bestaan uit elemente, , met 'n gemiddelde van . Die standaardafwyking van die data is

In statistiek, is die standaardafwyking 'n baie algemene maatstaf van verspreiding. Die standaardafwyking meet hoe uitgesprei die waardes in die datastel om die gemiddelde is. Meer spesifiek, dit is 'n meting van die gemiddelde afstand tussen die waardes van die data in die stel en die gemiddelde. As die datawaardes almal soortgelyk is, dan is die standaardafwyking laag (nader aan nul). As die datawaardes hoogs veranderlik is, dan is die standaardafwyking hoog (verder van nul).

Die standaardafwyking is altyd 'n positiewe getal en is altyd gemeet in dieselfde eenhede as die oorspronklike data. Byvoorbeeld, as die data afstandmetings is, gemeet in kilometers, dan is die standaardafwyking ook gemeet in kilometers.

Die gemiddelde en die standaardafwyking van 'n datastel word gewoonlik saam gegee. In 'n sekere mate is die standaardafwyking 'n natuurlike maatstaf van verspreiding as die middelpunt van die data geneem word as die gemiddelde.

Video: 26NY

Tabulering van resultate

Dit is dikwels nuttig om jou data in 'n tabel voor te stel sodat jy die formulae maklik kan toepas. Voltooi die tabel hieronder om die standaardafwyking te bereken van .

Eerstens, onthou om die gemiddelde te bereken, .

Voltooi die volgende tabel.

indeks:
datum:
afwyking:
afwyking gekwadreer:

Die som van die afwykings is altyd nul. Hoekom is dit so? Vind uit.

Bereken die variansie deur gebruik te maak van die voltooide tabel.

Bereken dan die standaardafwyking.

Uitgewerkte voorbeeld 11: Variansie en standaardafwyking

Wat is die variansie en standaardafwyking van die moontlike uitkomste geassosiëer met 'n ewekansige dobbelsteen gooi?

Bepaal alle moontlike uitkomste

Waneer 'n ewekansige dobbelsteen gegooi word, bevat die steekproefruimte uitkomste. Die datastel is dus en .

Bereken die gemiddelde

Die gemiddelde is:

Bereken die variansie

Die variansie is:

Bereken die standaardafwyking

Die standaardafwyking is:

Interpretasie en toepassing

'n Groot standaardafwyking dui aan dat die data waardes ver van die gemiddeld is, en 'n klein standaardafwyking dui aan dat die data waardes naby aan die gemiddeld gegroepeer is.

Byvoorbeeld, beskou die volgende drie datastelle:

Elk van die datastelle het dieselfde gemiddelde, naamlik . Hulle het egter verskillende standaardafwykings, naamlik , en . Die volgende diagramme toon stipping van datastelle met die gemiddelde en standaardafwyking aangedui op elkeen. Jy kan sien dat die standaardafwyking groter is waneer die data meer verspreid is.

Die standaardafwyking kan ook gesien word as 'n maatstaf van onsekerheid. In fisiese wetenskappe byvoorbeeld, verteenwoordig die gegewe standaardafwyking van 'n groep van herhaalde eksperimente die akkuraatheid van daardie metings. Wanneer daar besluit word of die metings ooreenstem met 'n teoretiese voorspelling, is die standaardafwyking van daardie metings baie belangrik. Indien die gemiddeld van die metings te ver weg is van die voorspelling (met die afstand gemeet in hoeveelheid standaardafwykings), dan weerspreek die metings die voorspelling. Dit maak sin, aangesien hulle buite die strekking val van waardes wat aanvaarbaar sou wees indien die voorspelling korrek was.

Oefening 11.4

Bridget het 'n opname gemaak van die prys van petrol by vulstasies in Kaapstad en Durban. Die data, wat in rand per liter gemeet word, word hieronder gegee.

Kaapstad |  |  |  |  |  |
Durban |  |  |  |  |  |

Bepaal die gemiddelde prys in elke stad en stel dan vas watter stad die laagste gemiddeld het.

Kaapstad: . Durban: . Durban het die laagste gemiddeld.

Bepaal die standaardafwyking vir elk van die stede se prys.

Standaardafwyking:

Vir Kaapstad:

Vir Durban:

Watter stad het 'n meer konstante prys vir petrol? Gee redes vir jou antwoord.

Die standaardafwyking van Kaapstad se pryse is laer as dié in Durban. Dit beteken dat Kaapstad het meer konstante (minder veranderlike) pryse as Durban het.

Bereken die gemiddelde en variansie van die volgende stel waardes.

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Gemiddeld = . Variansie = .

Bereken die gemiddelde en variansie van die volgende stel waardes.

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Gemiddeld = . Variansie = .

Die tye vir atlete wat 'n naelloop op dieselfde baan gehardloop het, word hieronder weergegee. Al die tye is in sekondes.

; ; ; ; ; ; ;

Bereken die gemiddelde tyd.

Bereken die standaardafwyking vir die data.

Hoeveel van die atlete se tye is meer as een standaardafwyking weg vanaf die gemiddeld?

Die gemiddeld is en die standaardafwyking is . Dus is die interval, wat al die waardes binne een standaardafwyking vanaf die gemiddeld bevat, . Ons moet nou bepaal hoeveel waardes verder as een standaardafwyking vanaf die gemiddelde is, m.a.w. buite die interval. Daar is datawaardes buite die interval.

Die volgende datastel het 'n gemiddeld van en 'n variansie van .

Bereken die waardes van en .

Uit die formule vir die gemiddeld volg

Uit die formule vir die variansie volg

Vervang in hierdie vergelyking om te kry. Daarom is of .

Aangesien het ons dat of . So, die twee onbekende waardes in die datastel is en .

Ons weet nie watter van hierdie is , en watter is nie, aangesien die gemiddeld en variansie vir ons niks sê van die volgorde van die data nie.

11.5 Simmetriese en skewe data

Ons klassifiseer datastelle in kategorieë wat die vorm van die dataverspreiding beskryf: simmetries, skeef na links, skeef na regs. Ons kan hierdie klassifikasie gebruik vir enige datastel, maar hier sal ons slegs kyk na verspreidings met een piek. Meeste van die data verspreidings wat jy tot dus ver gesien het, het slegs een piek, dus sal die grafiek in hierdie afdeling bekend lyk.

Verspreidings met een piek word eentoppige verspreidings genoem. Eentoppig beteken letterlik een top of piek (onthou,'n piek is 'n maksimum in die verspreiding).

Simmetriese verspreidings

'n Simmetriese verspreiding is een waar die linkerkant en regterkant van die verspreiding rofweg gelyk gebalanseer is rondom die gemiddeld. Die histogram hieronder wys 'n tipiese simmetriese verspreiding.

Vir simmetriese verspreidings is die gemiddeld ongeveer gelyk aan die mediaan. Die sterte van die verspreiding is die dele van die linkerkant en regterkant, weg van die gemiddeld. Die stert is die deel waar die hoeveelhede in die histogram minder word. Vir 'n simmetriese verspreiding, is die linker en regtersterte ongeveer gebalanseerd, wat beteken hulle het ongeveer dieselfde lengte.

Die figuur hieronder wys die mond-en-snor diagram vir 'n tipiese simmetriese datastel.

'n Ander eienskap van 'n simmetriese verspreiding is dat die mediaan (tweede kwartiel) in die middel van die eerste en derde kwartiele lê. Let op dat die snor van die grafiek (die minimum en maksimum) nie ewe ver van die mediaan hoef te wees nie. In die volgende afdeling wat handel oor uitskieters, sal jy sien dat die minimum en maksimumwaardes nie noodwendig die res van die dataverspreiding weerspieël nie.

Skeef

'n Verspreiding wat skeef na regs is (ook bekend as positief skeef) word hier onder aangedui.

Nou is die verspreiding nie meer simmetries rondom die gemiddeld nie. Vir 'n verspreiding wat skeef na regs is, is die gemiddeld gewoonlik groter as die mediaan. Let ook op dat die stert van die verspreiding aan die regterkant (positiewe kant) langer is as die linkerkant.

Van die mond-en-snor diagramme kan ons ook sien dat die mediaan nader is aan die eerste kwartiel as aan die derde kwartiel. Die regterkantse stert is dan ook langer as die linkerkant s'n.

'n Verspreiding wat skeef na links is, het presies die teenoorgestelde eienskappe as een wat skeef na regs is:

die gemiddeld is gewoonlik minder as die mediaan.

die stert van die verspreiding is langer aan die linkerkant as aan die regterkant;

die mediaan is nader aan die derde kwartiel as aan die eerste kwartiel.

Die tabel hieronder som die verskillende kategorieë visueel op.

Simmetries
Skeef na regs (positief skeef)
Skeef na links (negatief skeef)

Oefening 11.5

Is die volgende datastel simmetries, skeef na regs, of skeef na links? Motiveer jou antwoord.

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Die statistieke van die dataversameling is

gemiddeld: ;

eerste kwartiel: ;

mediaan: ;

derde kwartiel: .

Ons kom tot die slotsom dat die dataversameling skeef na links is om twee redes.

Die gemiddeld is kleiner as die mediaan. Daar is net 'n baie klein verskil tussen die mediaan end die gemiddeld, so dít is nie 'n baie goeie rede nie.

'n Beter rede is dat die mediaan nader is aan die third kwartiel as die first kwartiel.

Stel vas of elk van die volgende datastelle simmetries, skeef na links, of skeef na regs is.

'n Datastel met 'n histogram:

skeef na regs

'n Datastel met hierdie mond-en-snor grafiek.

skeef na regs

'n Datastel met hierdie frekwensie veelhoek:

skeef na links

Die volgende datastel:

; ; ; ; ; ; ; ; ;

Die statistieke van hierdie dataversameling is

gemiddeld: ;

eerste kwartiel: ;

mediaan: ;

derde kwartiel: .

Let op dat ons teenstrydige aanwysings kry vanaf die verskillende maniere om te bepaal of die data skeef is na links of regs.

Die gemiddeld is effens groter as die mediaan, wat aandui dat die data skeef is na regs.

Die mediaan is effens nader aan die third kwartiel as die first, wat aandui dat die data skeef is na links.

Aangesien hierdie verskille so klein is en aangesien hulle teenstrydig is, kom ons tot die slotsom dat die dataversameling simmetries is.

Twee datastelle het dieselfde reikwydte en inter-kwartiel variasiewydte, maar die een is skeef na regs en die ander is skeef na links. Teken die mond-en-snor grafiek vir elk van die datastelle. Dink daarna data uit ( punte in elke datastel) wat inpas by die beskrywing van die twee datastelle.

Leerder-afhanklike antwoord.

11.6 Identifisering van uitskieters

'n Uitskieter in 'n datastel is 'n waarde wat ver weg is van die res van die waardes in die versameling. In 'n mond-en-snor diagram, is die uitskieters gewoonlik naby aan die snorpunte. Dit is omdat die middel van die diagram die data tussen die eerste en derde kwartiele voorstel. Hierdie data is waar % van die data lê. Die snorpunte verteenwoordig die uiterstes — die minimum en maksimum — van die data.

Uitgewerkte voorbeeld 12: Identifisering van uitskieters

Vind die uitskieters in die volgende datastel deur 'n mond-en-snor diagram te teken, en die datawaardes op die diagram aan te dui.

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Bepaal die vyf-getal opsomming

Die minimum van die datastel is . Die maksimum van die datastel is . Aangesien daar waardes in die datastel is, lê die mediaan tussen die sixth en seventh waardes, wat dit gelyk maak aan . Die eerste kwartiel le tussen die third en fourth waardes, wat dit gelyk maak aan . Die derde kwartiel le tussen die ninth en tenth waardes, wat dit gelyk maak aan .

Teken die mond-en-snor diagram

In die figuur hierbo word elke waarde in die datastel met 'n swart kol aangedui

Bepaal die uitskieters

Vanaf die diagram kan ons sien dat die meeste waardes tussen en lê. Die enigste getal wat baie ver van hierdie reeks is, is die maksimum by . Derhalwe is die enigste uitskieter in die datastel.

Jy moet ook die uitskieters in stippings van twee veranderlikes kan uitken. 'n Strooiingsdiagram is 'n grafiek wat die verhouding tussen twee toevalsveranderlikes wys. Ons noem hierdie data bivariaat (of tweeveranderlike data) en ons stip die data vir twee verskillende veranderlikes op 'n enkele assestelsel. Die volgende voorbeeld wys hoe 'n tipiese strooiingsdiagram lyk. In Graad hoef jy nie te leer hoe om hierdie tweedimensionele strooiingsdiagramme te teken nie, maar jy moet die uitskieters daaruit kan identifiseer. Soos voorheen is 'n uitskieter 'n waarde wat ver verwyderd is van die hoofverspreiding van data.

Uitgewerkte voorbeeld 13: Strooiingsdiagram

Ons het 'n datastel wat die verband tussen lengte en massa van 'n aantal mense weergee. Die lengte is die waarde wat langs die horisontale as gestip word. Die massa is die tweede veranderlike en sy waarde word langs die vertikale as gestip. Die waardes word gewys op die stipping hieronder. Identifiseer enige uitskieters op die strooiingsdiagram.

Wanneer ons die stipping visueel ondersoek, sien ons dat daar twee punte is wat ver weg van die hoofverspreiding lê. Hierdie twee punte word omkring in die stipping hieronder.

Oefening 11.6

Vir elk van die volgende datastelle, teken 'n mond-en-snor diagram en bepaal of daar enige uitskieters in die data is.

; ; ; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ;

Hieronder is die mond-en-snor diagram van die data en punte wat die data self aantoon. Let op dat leerders nie die datapunte hóéf te teken nie, maar dit help ons om te bepaal dat daar twee uitskieters aan die linkerkant is.

; ; ; ; ; ; ; ; ;

Daar is geen uitskieters nie.

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Daar is een uitskieter aan die linkerkant.

Die punte wat 'n klas in 'n toets verwerf het, is tesame met die hoeveelheid voorbereidingstyd aangeteken. Die resultate word hieronder weergegee. Identifiseer enige uitskieters in die data.

Daar is een uitskieter, gemerk in rooi in die figuur.

11.7 Opsomming

Histogramme gee 'n visuele voorstelling van hoeveel keer verskillende gebeure voorkom. Elke reghoekie in 'n histogram verteenwoordig een gebeurtenis en die hoogte van die reghoek is eweredig aan die aantal kere wat die gebeurtenis voorgekom het.

Frekwensieveelhoeke stel dieselfde informasie as histogramme voor, maar maak gebruik van lyne en punte eerder as reghoeke. 'n Frekwensieveelhoek verbind die middelpunte van die boonste randte van elke reghoek in 'n histogram.

Ogiewe (ook spitsboog of kumulatiewe histogram genoem) wys die totale aantal kere wat 'n waarde of enigiets minder as daardie waarde voorkom in 'n datastel. Om 'n ogief te teken moet jy al die waardes in 'n histogram van links na regs optel.

Die eerste waarde in 'n ogief is altyd nul

Die laaste waarde in 'n ogief is altyd dieselfde as die som van al die waardes in die datastel

Sê, met redes, in welke geval die datastelle simmetries of skeef is (positief of negatief)

Die standaardafwyking is die vierkantswortel van die variansie

Variansie:

Standaardafwyking:

Die standaardafwyking word in dieselfde eenhede as die gemiddeld en data gemeet, maar nie die variansie nie. Die variansie word in die kwadraat van die data-eenhede gemeet

In 'n simmetriese verspreiding

is die gemiddeld ongeveer gelyk aan die mediaan

is die sterte (eindpunte) van die verspreiding gebalanseer.

In 'n regs of positief skeef verspreiding is

die gemiddeld groter as die mediaan

die stert aan die regterkant langer as die stert aan die linkerkant

die mediaan nader aan die eerste kwartiel aan derde kwartiel

In 'n links of negatief skeef verspreiding is

die gemiddeld minder as die mediaa;

die stert aan die linkerkant langer as die stert aan die regterkant

die mediaan nader aan die derde kwartiel as die eerste kwartiel

'n Uitskieter is 'n waarde wat ver weg lê van die res van die data.

Oefening 11.7

Teken 'n histogram, frekwensiepoligoon en ogief van die volgende datastel. Om die data te tel, gebruik intervalle met 'n wydte van , beginnende by .

; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ; ; ;

Ons organiseer eers die data op 'n tabel deur 'n intervalbreedte van te gebruik en die telling in elke interval asook die kumulatiewe telling oor alle intervalle te wys.

Interval |  |  |  |  |  |  |  |
Telling |  |  |  |  |  |  |  |
Kumulatief |  |  |  |  |  |  |  |

Vanaf die table hierbo kan ons 'n histogram, frekwensieveelhoek en ogief teken.

Teken 'n mond-en-snor diagram van die volgende datastel en verduidelik hoekom dit simmetries, positief skeef of negatief skeef is.

; ; ; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ;

Die statistieke van die data is

minimum: ;

eerste kwartiel: ;

mediaan: ;

derde kwartiel: ;

maksimum: .

Vanaf hierdie inligting kan ons die mond-en-snor diagram teken.

Aangesien die mediaan nader is aan die eerste as die derde kwartiel, is die data skeef na regs.

Agt kinders se lekkergoed konsumpsie en slaapgewoontes is opgeteken. Die data word gegee in die volgende tabel en strooiingsdiagram.

Aantal lekkers per week |  |  |  |  |  |  |  |
Gemiddelde slaaptyd (ure per dag) |  |  |  |  |  |  |  |

Wat is die gemiddeld en standaardafwyking van die aantal lekkers wat per dag geëet word?

Gemiddeld = . Standaardafwyking = .

Wat is die gemiddeld en standaardafwyking van die aantal ure wat per dag geslaap word?

Gemiddeld = . Standaardafwyking = .

Maak 'n lys van al die uitskieters in die datastel.

Daar is geen uitskieters nie.

Die maandelikse inkomste van agt onderwysers is as volg:

; ; ; ; ; ; ; .

Wat is die gemiddelde en standaardafwyking van hulle inkomstes?

Gemiddeld = . Standaardafwyking = .

Hoeveel van die salarisse is minder as een standaardafwyking weg van die gemiddeld?

Alle salarisse in die interval is kleiner as een standaardafwyking vanaf die gemiddeld. Daar is salarisse binne hierdie interval.

Indien daar 'n bonus van by elke onderwyser se salaris gevoeg word, wat is die nuwe gemiddeld en standaardafwyking?

Siende dat die verhoging van elke salaris dieselfde is as die absolute hoeveelheid, verhoog die gemiddeld eenvoudig met die grootte van die bonus. Die standaardafwyking verander nie, siende dat elke waarde vermeerder word met presies dieselfde hoeveelheid. Gemiddeld = . Standaardafwyking = .

Indien elke onderwyser 'n bonus van % op hul salaris kry, wat is die nuwe gemiddeld en standaardafwyking?

Met 'n relatiewe verhoging word die gemiddeld en standaardafwyking albei met dieselfde faktor vermenigvuldig. Met 'n verhoging van % is die faktor . Gemiddeld = . Standaardafwyking = .

Bepaal vir elk van die gevalle hierbo hoeveel salarisse minder as een standaardafwyking weg van die gemiddelde af is.

Deur die waardes met 'n konstante hoeveelheid te vermeerder of 'n konstante faktor te vermenigvuldig (d.w.s. deur 'n lineêre transformasie toe te pas) verander die aantal waardes wat binne een standaardafwyking vanaf die gemiddeld val nie. Dus is die antwoord steeds .

Deur van die bostaande informasie gebruik te maak, bereken watter bonus finansieel gesproke meer voordelig vir die onderwysers is.

Siende dat die gemiddeld groter is in die tweede geval, beteken dit dat onderwysers gemiddeld beter salarisse ontvang wanneer die verhoging % is.

Die massa van 'n ewekansige steekproef van seuns in Graad is aangeteken. Die kumulatiewe frekwensiegrafiek (ogief) verteenwoordig hierdie massa.

Hoeveel seuns het tussen en kilograms geweeg?

Skat die mediaanmassa van die seuns.

Daar is seuns, dus is die mediaanmassa dié van die seun. Die massa wat ooreenstem met 'n kumulatiewe frekwensie van is ongeveer .

Nota: Aanvaar 'n variasie van tot

Gestel daar was seuns in Graad , skat die aantal seuns wat minder as kilogram weeg.

leerders in die steekproef het 'n massa van minder as . 'n Mens kan verwag dat leerders in die graad 'n massa van minder as sal hê.

Drie stelle van leerders elk se toetspunte is aangeteken. Die toets het uit getel. Gebruik die gegewe data om die volgende vrae te beantwoord.

Stel A
Stel B
Stel C

Vir elke stel, bereken die gemiddeld en die vyf-getal opsomming.

A. Gemiddeld = . Vyf-getal opsomming = [ ; ; ; ; ].

B. Gemiddeld = . Vyf-getal opsomming = [ ; ; ; ; ].

C. Gemiddeld = . Vyf-getal opsomming = [ ; ; ; ; ].

Teken mond-en-snor diagramme van die drie datastelle op dieselfde stel asse.

Sê, met redes, vir elkeen van die drie datastelle of dit simmetries, positief skeef of negatief skeef is.

Versameling A: skeef na links. Versameling B: effens skeef na links. Versameling C: skeef na regs.

Hoofstuk 12: Lineêre programering

Dit is ingesluit vir verryking/projekte.

12.1 Inleiding

In die alledaagse lewe stel mense baie daarin belang om uit te vind wat die mees doeltreffende manier is om 'n taak te doen, of 'n doel te bereik. 'n Boer wil byvoorbeeld weet hoeveel hektaar gedurende die seisoen geplant moet word om sy opbrengs (produksie) te maksimiseer, 'n aandelemakelaar wil weet hoeveel om in aandele te belê om winste te maksimiseer, en 'n entrepreneur wil weet hoeveel mense om in diens te neem om uitgawes te minimeer. Hierdie is almal optimiseringsprobleme; ons wil óf die maksimum óf die minimum in 'n spesifieke situasie bepaal.

Om hierdie probleem wiskunding te beskryf, kies ons veranderlikes om die verskillende faktore wat die situasie beïnvloed, voor te stel. Optimisering beteken om die kombinasie van veranderlikes te vind wat die beste resultaat lewer.

Uitgewerkte voorbeeld 1: Mountees en Roadees

Ondersoek die volgende situasie en gebruik jou kennis van wiskunde om die probleem op te los:

Mnr. Hunter vervaardig fietse. Hy maak twee verskillende modelle fietse; sterk bergfietse wat Mountees genoem word, en vinnige padfietse wat Roadees genoem word. Hy kan nie meer as Mountees op 'n dag vervaardig nie, en hy kan 'n maksimum van Roadees per dag vervaardig. Hy benodig tegnikus om 'n Mountee aanmekaar te sit, en tegnici om 'n Roadee aanmekaar te sit. Die maatskappy het tegnici in die monteringsafdeling. Die wins op 'n Mountee is , en dit is op 'n Roadee. Die aanvraag is sodanig dat hy al die fietse wat hy vervaardig, kan verkoop.

Bepaal die aantal van elk van die twee fietsmodelle wat vervaardig moet word ten einde die maksimum wins te maak.

Ken veranderlikes toe

In hierdie geval is daar twee veranderlikes wat ons moet oorweeg: laat die aantal Mountees wat vervaardig word wees, en laat die aantal Roadees wat vervaardig word wees.

Organiseer die gegewe inligting

Skryf 'n opsomming van die inligting wat in die probleem gegee is neer, sodat ons al die verskillende komponente van hierdie situasie kan oorweeg.

Stel 'n tabel op

Gebruik die opsomming om 'n tabel van al die moontlike kombinasies van die aantal Mountees en Roadees wat per dag vervaardig kan word, op te stel:

Let op dat daar moontlike kombinasies is.

Oorweeg die beperking op die aantal tegnici

Dit neem tegnikus om 'n Mountee aanmekaar te sit, en tegnici om 'n Roadee aanmekaar te sit. Daar is 'n totaal van tegnici in the monteringsafdeling, dus kan ons skryf dat .

Met hierdie beperking kan ons sommige van die kombinasies in die tabel elimineer waar :

Hierdie kombinasies is uitgesluit as moontlike antwoorde. Byvoorbeeld, gee tegnici.

Oorweeg die wins op die fietse

Ons kan die wins () per dag uitdruk as: . Let daarop dat 'n hoër wins op 'n Roadee gemaak word.

Deur die verskillende kombinasies in en in te vervang, kan ons die waardes wat die maksimum wins gee, vind:

Skryf die finale antwoord

Dus word die maksimum wins van verkry as Mountees en Roadees per dag vervaardig word.

Oefening 12.1

Meubelwinkel spesiale openingsaanbod:

As deel van hulle spesiale openingsaanbod, het 'n meubelwinkel belowe om ten minste pryse weg te gee, met 'n totale waarde van ten minste . Hulle is van voornemens om ketels en broodroosters weg te gee. Hulle besluit dat daar ten minste eenhede van elke prys sal wees. 'n Ketel kos die maatskappy en 'n broodrooster kos .

Bepaal hoeveel van elke prys die goedkoopste opsie vir die maatskappy sal wees. Bereken hoeveel dié kombinasie van ketels en broodroosters sal kos.

Gebruik 'n gepaste strategie om die inligting te organiseer en die probleem op te los.

In hierdie situasie is daar twee veranderlikes wat ons in aanmerking moet neem. Laat die aantal ketels wees en die aantal broodroosters .

Skryf ‘n opsomming neer van al die inligting in die probleem sodat ons al die verskillende komponente van die situasie kan oorweeg.

Gebruik die opsomming om ’n tabel op te trek van die aantal ketels en broodroosters wat benodig word. Ons sal veelvoude van oorweeg om die berekeninge te vereenvoudig:

Ons moet ten minste ketels en broodroosters altesaam hê.

Met hierdie beperking kan ons alreeds sommige kombinasies in die tabel uitskakel, naamlik waar :

Hierdie kombinasies kan uitgeskakel word as moontlik oplossings.

Ons kan die minimumkoste uitdruk as: .

Deur die verskillende kombinasies vir en , kan ons die kombinasie vind wat die minimumkoste gee.

Ons soek ‘n getallepaar wat die minimumkoste gee. Ons kan maklik die getallepare vir ketels en broodroosters, wat nie veelvoude van is nie, toets om te bevestig dat ketels en broodroosters aan die die minimumkoste sal voldoen.

Byvoorbeeld, as ketels en broodroosters weggegee word, sal die koste wees. En as ketels en weggegee word, sal die koste wees.

Die vereiste dat die koste van die geskenke nie minder nie as moet wees, word verkry as ketels en broodroosters weggegee word. Dit sal neerkom op ’n koste van .

Optimering met behulp van grafieke

'n Meer doeltreffende manier om optimeringsprobleme op te los is deur die gebruik van grafieke.

Ons skryf die beperkings in die situasie as ongelykhede neer. Sommige beperkings kan as 'n vergelyking, wat gemaksimiseer of geminimeer moet word, uitgedruk word. Ons skets die ongelykhede en dui die gebied bo of onder die lyn aan wat oorweeg moet word om die oplossing te bepaal. Hierdie metode vir die oplos van optimeringsprobleme word lineêre programering genoem.

Video: 26PV

Uitgewerkte voorbeeld 2: Optimering met behulp van grafieke

Oorweeg weer die voorbeeld van Mnr. Hunter, wat Mountees en Roadees vervaardig.

Mnr. Hunter vervaardig fietse. Hy vervaardig twee verskillende modelle fietse; sterk bergfietse wat Mountees genoem word, en vinnige padfietse wat Roadees genoem word. Hy kan nie meer as Mountees op 'n dag vervaardig nie, en hy kan 'n maksimum van Roadees per dag vervaardig. Hy benodig tegnikus om 'n Mountee aanmekaar te sit, en tegnici om 'n Roadee aanmekaar te sit. Die maatskappy het tegnici in die monteringsafdeling. Die wins op 'n Mountee is , en dit is op 'n Roadee. Die aanvraag is sodanig dat hy al die fietse wat hy vervaardig kan verkoop.

Bepaal die aantal van elke fietsmodel wat vervaardig moet word om die maksimum wins te maak.

Ken veranderlikes toe

In hierdie geval is daar twee veranderlikes wat ons moet oorweeg: laat die aantal Mountees wat vervaardig word wees, en laat die aantal Roadees wat vervaardig word wees.

Let op dat die waardes van en tot positiewe heelgetalle beperk is; Mnr. Hunter kan nie 'n negatiewe aantal fietse verkoop nie, en hy kan ook nie 'n gedeelte van 'n fiets verkoop nie.

Organiseer die inligting

Ons kan hierdie beperkings as ongelykhede skryf:

Ons weet ook dat . Hierdie word die doelfunksie (soms ook die soekfunksie) genoem, omdat die doel is om die maksimum waarde van te bepaal.

Oplossing deur grafieke te gebruik

Ons stel die aantal Mountees wat daagliks vervaardig word op die horisontale as voor, en die aantal Roadees wat daagliks vervaardig word op die vertikale as. Aangesien en positiewe heelgetalle is, gebruik ons slegs die eerste kwadrant van die Cartesiese vlak. Let op dat die grafiek slegs die heelgetalwaardes van tussen en en tussen en toon.

Vir die aantal tegnici in die monteringsafdeling . As ons (voorgestel op die -as) die onderwerp van die ongelykheid maak, kry ons .

Die pyle dui die gebied aan waarin die oplossing sal lê, waar . Hierdie gebied word die gangbare of toelaatbare gebied genoem.

Ons vervang die moontlike kombinasies in die winsvergelyking en vind die kombinasie wat die maksimum wins gee.

Skryf die finale antwoord

Dus word die maksimum wins verkry wanneer Mountees en Roadees per dag vervaardig word.

Video: 26PW

Uitgewerkte voorbeeld 3: Optimering met behulp van grafieke

Los die “meubelwinkel spesiale openingsaanbod” probleem op deur van grafieke gebruik te maak:

As deel van hulle spesiale openingsaanbod het 'n meubelwinkel belowe om ten minste pryse weg te gee. Hulle is van voornemens om ketels en broodroosters weg te gee. Hulle besluit dat daar ten minste eenhede van elkeen van die pryse sal wees. 'n Ketel kos die maatskappy en 'n broodrooster kos .

Bepaal hoeveel van elke prys die goedkoopste opsie vir die maatskappy sal wees. Bereken hoeveel dié kombinasie van ketels en broodroosters sal kos.

Ken veranderlikes toe

In hierdie situasie is daar twee veranderlikes wat ons moet oorweeg: laat die aantal ketels wees, en die aantal broodroosters wees, met .

Organiseer die inligting

Ons kan die gegewe inligting as ongelykhede skryf:

Ons maak die onderwerp van die ongelykheid:

Oplossing deur grafieke te gebruik

Stel die beperkinge voor op 'n asse-stelsel:

Ons kleur die gangbare gebied in soos in die diagram getoon. Onthou dat in hierdie situasie slegs die punte met heelgetal koördinate binne of op die grens van die gangbare gebied moontlike oplossings is. Die kombinasie wat die minimumkoste gee sal naby, of op die onderste grens van die gangbare gebied lê, wat ons baie punte gee om te oorweeg. Om die optimum waarde van te vind, gebruik ons die grafiek van die doelfunksie.

Om die lyn te teken, maak ons die onderwerp van die formule

Ons sien dat die gradiënt van die doelfunksie is, maar ons weet nie wat die presiese waarde van die -afsnit () is nie. Om die minimumwaarde van te vind, het ons nodig om die posisie van die doelfunksie te bepaal wat die gangbare gebied raak en ook die laagste -afsnit gee.

Ons dui die gradiënt van die doelfunksie op die grafiek aan (die groen soeklyn). Terwyl ons die gradiënt dieselfde hou, “skuif” ons die doelfunksie in die rigting van die onderste grens van die gangbare gebied, en vind dat dit die gangbare gebied eerste raak by punt . Hierdie optimum posisie van die doelfunksie word op die grafiek aangedui met die stippellyn wat deur punt gaan.

Ons vervang die koördinate van in die kostevergelyking :

Die minimum koste kan ook grafies bepaal word deur die koördinate van die -afsnit van die doelfunksie in die optimum posisie af te lees.

Skryf die finale antwoord

Dus is die minimum koste aan die maatskappy vir ketels en broodroosters.

Oefening 12.2

'n Toets wat uit twee afdelings bestaan word aan jou gegee. Die eerste afdeling handel oor algebra en die tweede afdeling oor meetkunde. Jy word nie toegelaat om meer as vrae in enige afdeling te beantwoord nie, maar jy moet ten minste algebra vrae beantwoord. Die tyd toegelaat is nie meer as minute nie. 'n Algebra probleem sal minute en 'n meetkunde probleem sal minute neem om op te los.

Gebruik algebra vrae en meetkunde vrae in jou antwoord.

Formuleer die vergelykings en ongelykhede wat die bostaande beperkinge bevredig.

Jy mag nie meer as vrae van enige afdelinge beantwoord nie:

Jy moet ten minste algebra vrae beantwoord:

Die toegelate tyd is nie meer as minute nie. ‘n Algebra probleem sal minute neem en ‘n meetkunde probleem sal minute neem om op te los:

Die algebra vrae tel elk en die meetkunde vrae tel punte elk. As die totale punte voorstel, skryf 'n uitdrukking neer vir .

'n Plaaslike kliniek wil 'n handleiding vir 'n gesonde leefstyl produseer. Hulle wil die gids in twee formate vervaardig: 'n kort video en 'n gedrukte boek. Die kliniek wil weet hoeveel van elke formaat hulle moet vervaardig om te verkoop. Skattings dui daarop aan dat nie meer as van albei formate gesamentlik verkoop sal kan word nie. Ten minste kopieë van die video en ten minste kopieë van die boek kan verkoop word maar daar word verwag dat nie meer as boeke verkoop sal word nie. Laat die aantal videos wees wat verkoop word en die aantal boeke.

Skryf die beperkingsongelykhede neer wat uit die gegewe inligting afgelei kan word.

Volgens skatting sal nie meer as kopieë van beide items saam verkoop word nie:

Ten minste kopieë van die video kan verkoop word:

Ten minste kopieë van die boek kan verkoop word:

Dit word nie verwag dat verkope van die boek kopieë sal oortref nie.

Stel hierdie ongelykhede grafies voor en dui die gangbare gebied duidelik aan.

Die kliniek wil die maksimum inkomste, , verdien uit die verkope van die twee produkte. Elke video word verkoop vir en elke boek vir . Skryf die doelfunksie vir die inkomste neer.

Wat is die maksimum inkomste gegenereer deur die twee gidse?

Die hoekpunte vir die gangbare gebied is die volgende:

Die koste by elke hoekpunt is die volgende:

Die maksimum wins van kan gemaak word as videos en boeke verkoop word.

'n Sekere motorfietsvervaardiger produseer twee basiese modelle, die Super X en die Super Y. Hierdie motorfietse word aan handelaars verkoop teen 'n wins van per Super X en per Super Y. 'n Super X neem ure om te monteer, ure om te verf en af te werk, en ure vir kwaliteitsbeheer en toetsing. Die Super Y neem ure om te monteer, ure om te verf en af te werk, en ure vir kwaliteitsbeheer en toetsing. Die totale aantal ure wat elke maand beskikbaar is, is in die monteringsafdeling, in die verf- en afwerkingsafdeling en in die kwaliteitsbeheer en toetsingsafdeling.

Die bostaande inligting word deur die volgende tabel opgesom:

Afdeling

Ure vir Super X

Ure vir Super Y

Ure per maand beskikbaar

Montering

Verf en afwerking

Kwaliteitsbeheer en toetsing

Laat die aantal Super X modelle en die aantal Super Y, wat per maand vervaardig word, wees.

Skryf die stel van beperkingsongelykhede neer.

Tel die monteringsure bymekaar:

Tel die verf- en afrondingstye bymekaar:

Tel die kwaliteitsbeheer- en toetsingstye bymekaar:

Gebruik grafiekpapier om die stel beperkingsongelykhede voor te stel.

Kleur die gangbare gebied op die grafiekpapier in.

Sien bo

Skryf die wins wat gemaak word neer in terme van en .

Hoeveel motorfietse van elke model moet vervaardig word ten einde die maandelikse wins te maksimiseer?

Die hoekpunte van die gangbare gebied is die volgende:

Die koste by elke hoekpunt is die volgende:

Om die maksimum van die doelfunksie te bepaal, kies dus Punt C.

Die maksimum wins kan gemaak word as Super X motorfietse en Super Y motorfietse verkoop word.

Wat is die maksimum maandelikse wins?

Die maksimum moontlike wins is .

'n Groep studente beplan om hamburgers en hoenderburgers by 'n rugbywedstryd te verkoop. Hulle het vleis vir op die meeste hamburgers en op die meeste hoenderburgers. Elke burger, van beide soorte, word in 'n sakkie verkoop. Daar is sakkies beskikbaar. Die aanvraag is waarskynlik sodanig dat daar ten minste die helfte soveel hoenderburgers as hamburgers verkoop sal word.

Skryf die beperkings-ongelykhede neer, en teken 'n grafiek van die gangbare gebied.

Hulle het vleis vir op die meeste hamburgers:

Hulle het vleis vir op die meeste hoenderburgers:

Die aanvraag sal waarskynlik sodanig wees dat die aantal hoenderburgers wat verkoop word, ten minste die helfte sal wees van die aantal hamburger wat verkoop word:

Elke burger van beide tipes, word verkoop in ‘n sakkie. Daar is 500 sakkies beskikbaar:

'n Wins van word gemaak op elke hamburger wat verkoop word en op elke hoenderburger. Skryf 'n vergelyking neer wat die totale wins in terme van en voorstel.

Die doel is om die wins te maksimiseer. Hoeveel van elke tipe hamburger moet verkoop word?

Die hoekpunte van die gangbare gebied is die volgende:

Die koste by elke hoekpunt is die volgende:

Om die maksimum van die doelfunksie te bepaal, kies dus Punt C.

Die maksimum moontlik wins van kan gemaak word as hamburgers en hoenderburgers verkoop word.

Fashion-Cards is 'n klein maatskappy wat twee tipes kaartjies maak: tipe X en tipe Y. Met die beskikbare arbeid en materiaal kan die maatskappy op die meeste kaartjies van tipe X en op die meeste kaartjies van tipe Y per week maak. Gesamentlik kan hulle nie meer as kaartjies per week maak nie.

Daar is 'n bestelling vir ten minste tipe X kaartjies en tipe Y kaartjies per week. Fashion-Cards maak 'n wins van op elke tipe X kaartjie wat verkoop word, en op elke tipe Y kaartjie.

Laat die aantal tipe X kaartjies wat per week vervaardig word wees en die aantal tipe Y kaartjies, .

Een van die beperkingsongelykhede wat die beperkings hierbo voorstel, is . Skryf die ander beperkingsongelykhede neer.

Die maatskappy kan nie meer as tipe X kaartjies per week maak nie:

Die maatskappy kan nie meer as tipe Y kaartjies per week maak nie:

Altesaam kan hulle nie meer as kaartjies per week vervaardig nie:

Daar is ‘n bestelling vir ten minste tipe X kaartjies en tipe Y kaartjies per week:

Stel die beperkings grafies voor en kleur die gangbare gebied in.

Skryf die vergelyking neer van die wins (die doelfunksie), in terme van en .

Bereken die maksimum weeklikse wins.

Die hoekpunte van die gangbare gebied is die volgende:

Die koste by elke hoekpunt is die volgende:

Om die doelfunksie te maksimeer, kies ons dus Punt D.

Die maksimum moontlike weeklikse wins van kan gemaak word as van kaartjie X en van kaartjie Y verkoop word.

Om te voldoen aan die vereistes vir 'n gespesialiseerde dieet, word 'n maaltyd berei deur twee tipes graankos, Vuka en Molo, te meng. Die mengsel bevat pakkies van Vuka graankos en pakkies van Molo. Die maaltyd vereis ten minste proteïne en koolhidrate. Elke pakkie Vuka bevat proteïne en koolhidrate. Elke pakkie Molo bevat proteïne en koolhidrate. Daar is op die meeste pakkies graankos beskikbaar. Die gangbare gebied is gearseer op die gepaardgaande grafiek.

Skryf die beperkingsongelykhede neer.

Tel die proteïne bymekaar:

Tel die koolhidate bymekaar:

Daar is op die meeste pakkies ontbytkos beskikbaar:

As Vuka ontbytgraan per pakkie kos en Molo ontbytgraan ook per pakkie kos, gebruik die grafiek om te bepaal hoeveel pakkies van elke ontbytgraan gebruik moet word sodat die totale koste van die mengsel 'n minimum is.

Die doelfunksie kan as volg geskryf word:

Die hoekpunte van die gangbare gebied is die volgende:

Die koste by elke hoekpunt is die volgende:

Om die minimum van die doelfunksie te bepaal, kies ons dus Punt A. Die minimum moontlike koste sal wees as pakkies Vuka en pakkie Molo verkoop word.

Gebruik die grafiek om te bepaal hoeveel van elke ontbytgraan gebruik moet word sodat die totale koste van die mengsel 'n maksimum is (gee alle moontlikhede).

Om die doelfunksie te maksimeer, kies ons punt C of punt D. Die maksimum koste sal wees indien of pakkies Vuka en pakkies Molo verkoop word, of pakkies Vuka en pakkies Molo.