KOPIEREG KENNISGEWING

Jou wetlike vryheid om hierdie boek te kopieer

Jy mag enige gedeelte van hierdie boek en ander Everything Maths and Science titels vrylik kopieer, trouens ons moedig jou aan om dit doen. Jy kan dit soveel keer as jy wil fotostateer, uitdruk of versprei. Jy kan dit by www.everythingmaths.co.za, aflaai en op jou selfoon, iPad, rekenaar of geheue stokkie stoor. Jy kan dit selfs op 'n kompakskyf (CD) brand, dit vir iemand per e-pos aanstuur of op jou eie webblad laai.

Die enigste voorbehoud is dat jy die boek, sy omslang en die kortkodes onveranderd laat.

Hierdie boek is gegrond op die oorsponklike Free High School Science Text wat in sy geheel deur vrywilligers van die akademici, onderwysers en industrie deskundiges geskryf is.

Die Everything Maths and Science handelsmerke is die eiendom van Siyavula Education.

Vir meer inligting oor die Creative Commons Attribution-NoDerivs 4.0 Unported (CC BY-ND 4.0) lisensie besoek http://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0/

Lys van skrywers

Siyavula Education

Siyavula Education is 'n sosiale onderneming wat in 2012 gestig is met kapitaal en ondersteuning van die PSG Group Beperk, die Shuttleworth Foundation en, vanaf 2014, die Omidyar Network. Die Everything Maths and Science reeks is deel van 'n groeiende versameling van hulpbronne geskep en vryliks beskikbaar gestel is deur Siyavula. Vir meer inligting oor die skryf en verspreiding van hierdie titels besoek:

www.siyavula.com

info@siyavula.com

021 469 4771

Siyavula Skrywers

Alison Jenkin; Marina van Zyl; Luke Kannemeyer

Siyavula en DBE span

Dr Carl Scheffler; Bridget Nash; Ewald Zietsman; William Buthane Chauke; Leonard Gumani Mudau; Sthe Khanyile; Josephine Mamaroke Phatlane

Siyavula en Free High School Science Text bydraers

Dr Mark Horner; Dr Samuel Halliday; Dr Sarah Blyth; Dr Rory Adams; Dr Spencer Wheaton

Iesrafeel Abbas; Sarah Abel; Taskeen Adam; Ross Adams; Tracey Adams; Dr Rory Adams; Andrea Africa; Wiehan Agenbag; Ismail Akhalwaya; Matthew Amundsen; Ben Anhalt; Prashant Arora; Amos Baloyi; Bongani Baloyi; Raymond Barbour; Caro-Joy Barendse; Katie Barry; Dr Ilsa Basson; Richard Baxter; Tara Beckerling; Tim van Beek; Lisette de Beer; Jessie Bester; Mariaan Bester; Jennifer de Beyer; Dr Sarah Blyth; Sebastian Bodenstein; Bianca Bôhmer; Martin Bongers; Dr Thinus Booysen; Ena Bosman; Janita Botha; Pieter Botha; Gareth Boxall; Stephan Brandt; Hannes Breytenbach; Alexander Briell; Wilbur Britz; Graeme Broster; Craig Brown; Michail Brynard; Richard Burge; Jan Buys; George Calder-Potts; Biddy Cameron; Eleanor Cameron; Mark Carolissen; Shane Carollisson; Richard Case; Sithembile Cele; Alice Chang; William Buthane Chauke; Faith Chaza; Richard Cheng; Fanny Cherblanc; Lizzy Chivaka; Dr Christine Chung; Dr Mareli Claasens; Brett Cocks; Zelmari Coetzee; Roché Compaan; Willem Conradie; Stefaan Conradie; Deanne Coppejans; Rocco Coppejans; Tim Craib; Dr Andrew Craig; Tim Crombie; Dan Crytser; Jock Currie; Dr Anne Dabrowski; Laura Daniels; Gareth Davies; Mia de; Tariq Desai; Sandra Dickson; Sean Dobbs; Buhle Donga; William Donkin; Esmi Dreyer; Matthew Duddy; Christel Durie; Fernando Durrell; Dr Dan Dwyer; Frans van Eeden; Kobus Ehlers; Alexander Ellis; Tom Ellis; Charl Esterhuysen; Andrew Fisher; Dr Philip Fourie; Giovanni Franzoni; Sanette Gildenhuys; Olivia Gillett; Ingrid von Glehn; Tamara von Glehn; Nicola Glenday; Lindsay Glesener; Kevin Godby; Dr Vanessa Godfrey; Terence Goldberg; Dr Johan Gonzalez; Saaligha Gool; Hemant Gopal; Dr Stephanie Gould; Umeshree Govender; Dr Ilse le Grange; Heather Gray; Lynn Greeff; Jaco Greyling; Martli Greyvenstein; Carine Grobbelaar; Suzanne Grové; Dr Tom Gutierrez; Brooke Haag; Kate Hadley; Alex Hall; Dr Sam Halliday; Asheena Hanuman; Dr Melanie Dymond Harper; Ebrahim Harris; Dr Nicholas Harrison; Neil Hart; Nicholas Hatcher; Jason Hayden; Laura Hayward; Dr William P. Heal; Pierre van Heerden; Dr Fritha Hennessy; Dr Colleen Henning; Anna Herrington; Shaun Hewitson; Millie Hilgart; Grant Hillebrand; Gregory Hingle; Nick Hobbs; Chris Holdsworth; Dr Benne Holwerda; Dr Mark Horner; Robert Hovden; Mfandaidza Hove; Jennifer Hsieh; George Hugo; Dr Belinda Huntley; Laura Huss; Prof Ed Jacobs; Hester Jacobs; Stefan Jacobs; Rowan Jelley; Grant Jelley; Alison Jenkin; Clare Johnson; Francois Jooste; Dominic Jordan; Luke Jordan; Cassiem Joseph; Tana Joseph; Corli Joubert; Dr Fabian Jutz; Brian Kamanzi; Clare Kampel; Herman Kamper; Dr Lutz Kampmann; Luke Kannemeyer; Simon Katende; Natalia Kavalenia; Rabia Khan; Dr Setshaba D Khanye; Sthe Khanyile; Nothando Khumalo; Paul Kim; Lizl King; Mariola Kirova; Jannie Kirsten; Melissa Kistner; James Klatzow; Dr Jennifer Klay; Andrea Koch; Grove Koch; Paul van Koersveld; Bishop Komolafe; Dr Timo Kriel; Lara Kruger; Sihle Kubheka; Andrew Kubik; Luca Lategan; Dr Jannie Leach; Nkoana Lebaka; Dr Marco van Leeuwen; Dr Tom Leinster; Ingrid Lezar; Annatjie Linnenkamp; Henry Liu; Pamela Lloyd; Dr Kevin Lobb; Christopher Loetscher; Linda Loots; Michael Loseby; Bets Lourens; Chris Louw; Amandla Mabona; Malothe Mabutho; Stuart Macdonald; Dr Anton Machacek; Tshepo Madisha; Batsirai Magunje; Dr Komal Maheshwari; Dr Erica Makings; Michael Malahe; Dr Peter Malatji; Kosma von Maltitz; Masoabi Malunga; Shanaaz Manie; Masilo Mapaila; Adriana Marais; Paul Maree; Bryony Martin; Nicole Masureik; Jacques Masuret; John Mathew; Dr Will Matthews; Chiedza Matuso; Thulani Mazolo; Stephen McBride; JoEllen McBride; Abigail McDougall; Kate McGrath; Ralf Melis; Nikolai Meures; Margaretha Meyer; Riana Meyer; Dr Duncan Mhakure; Filippo Miatto; Jenny Miller; Rossouw Minnaar; Abdul Mirza; Colin Mkhize; Mapholo Modise; Carla Moerdyk; Tshwarelo Mohlala; Relebohile Molaoa; Marasi Monyau; Asogan Moodaly; Jothi Moodley; Robert Moon; Calvin Moore; Bhavani Morarjee; Talitha Mostert; Gabriel Mougoue; Kholofelo Moyaba; Nina Gitau Muchunu; Leonard Gumani Mudau; Christopher Muller; Helgard Muller; Johan Muller; Caroline Munyonga; Alban Murewi; Kate Murphy; Emmanuel Musonza; Tom Mutabazi; David Myburgh; Johann Myburgh; Kamie Naidu; Nolene Naidu; Gokul Nair; Vafa Naraghi; Bridget Nash; Eduan Naudé; Polite Nduru; Tyrone Negus; Theresa Nel; Annemarie Nelmapius; Huw Newton-Hill; Buntu Ngcebetsha; Towan Nothling; Tony Nzundu; Jacquin October; Thomas O’Donnell; Dr Markus Oldenburg; Marieta Oliver; Riaz Omar; Helena Otto; Adekunle Oyewo; Dr Jaynie Padayachee; Poveshen Padayachee; Dr Daniel Palm; Masimba Paradza; Clare Patrick; Quinton Paulse; Dave Pawson; Justin Pead; Nicolette Pekeur; Carli Pengilly; Roseinnes Phahle; Josephine Mamaroke Phatlane; Seth Phatoli; Joan Pienaar; Petrus Pieterse; Sirika Pillay; Jacques Plaut; Johan du Plessis; Tabitha du Plessis; Jaco du Plessis; Barry Povey; Andrea Prinsloo; David Prinsloo; Joseph Raimondo; Sanya Rajani; Prof. Sergey Rakityansky; Alastair Ramlakan; Thinus Ras; Dr Matina J. Rassias; Ona Rautenbach; Dr Jocelyn Read; Jonathan Reader; Jane Reddick; Robert Reddick; Dr Matthew Reece; Chris Reeders; Brice Reignier; Razvan Remsing; Dr Liezel Retief; Adam Reynolds; Laura Richter; Max Richter; Sean Riddle; Dr David Roberts; Christopher Roberts; Helen Robertson; William Robinson; Evan Robinson; Christian Roelofse; Raoul Rontsch; Dr Andrew Rose; Katie Ross; Karen Roux; Dr Maritha le Roux; Jeanne-Mariè Roux; Karen Roux; Mark Roux; Bianca Ruddy; Heinrich Rudman; Nitin Rughoonauth; Katie Russell; Steven Sam; Jason Avron Samuels; Rhoda van Schalkwyk; Christo van Schalkwyk; Dr Carl Scheffler; Nathaniel Schwartz; Duncan Scott; Helen Seals; Relebohile Sefako; Sandra Serumaga-Zake; Paul Shangase; Cameron Sharp; Ian Sherratt; Ryman Shoko; Dr James Short; Cho Hee Shrader; Roger Sieloff; Brandon Sim; Bonga Skozana; Bradley Smith; Greg Solomon; Zamekile Sondzaba; Nicholas Spaull; Margaret Spicer; Hester Spies; Dr Andrew Stacey; Dr Jim Stasheff; Mike Stay; Nicol Steenkamp; Nicky Stocks; Dr Fred Strassberger; Mike Stringer; Stephanie Strydom; Abdulhuck Suliman; Bianca Swart; Masixole Swartbooi; Ketan Tailor; Tshenolo Tau; Tim Teatro; Ben Thompson; Shen Tian; Xolani Timbile; Dr Francois Toerien; René Toerien; Liezel du Toit; Nicola du Toit; Dr Johan du Toit; Robert Torregrosa; Jimmy Tseng; Theresa Valente; Alida Venter; Pieter Vergeer; Rizmari Versfeld; Nina Verwey; Mfundo Vezi; Mpilonhle Vilakazi; Katie Viljoen; Adele de Villiers; Daan Visage; Wetsie Visser; Alexander Volkwyn; Dr Karen Wallace; John Walmsley; Duncan Watson; Helen Waugh; Leandra Webb; Dr Dawn Webber; Michelle Wen; Dr Rufus Wesi; Francois Wessels; Wessel Wessels; Leandi van der Westhuizen; Neels van der Westhuizen; Sabet van der Westhuizen; Dr Alexander Wetzler; Dr Spencer Wheaton; Vivian White; Mark Whitehead; Dr Gerald Wigger; Harry Wiggins; Heather Williams; Wendy Williams; Julie Wilson; Timothy Wilson; Andrew Wood; Emma Wormauld; Dr Sahal Yacoob; Jean Youssef; Ewald Zietsman; Johan Zietsman; Marina van Zyl

EVERYTHING MATHS

Ons dink oor die algemeen aan Wiskunde as 'n vak oor getalle, maar eintlik is Wiskunde 'n taal. As ons dié taal leer praat en verstaan ons baie van die natuur se geheime ontdek. Net soos ons iemand se taal moet verstaan om meer van hom/haar te leer, moet ons wiskunde gebruik om meer te leer van alle aspekte van die wêreld 'n of dit nou fisiese wetenskappe, lewenswetenskappe of selfs finansies of ekonomie is.

Die vernaamste skrywers en digters het 'n gawe om woorde só te gebruik dat hulle mooi en inspirerende stories kan vertel. Net so kan ons wiskunde gebruik om konsepte te verduidelik en nuwe dinge te skep. Baie van die moderne tegnologie wat ons lewens beter en makliker maak, is afhanklik van wiskunde. DVD's, Google soektogte en bankkaarte wat met 'n PIN werk, is maar net ën paar voorbeelde. Woorde het nit ontstaan om stories te vertel nie, maar die bestaan daarvan maak dit moontlik. Net so is die wiskunde wat gebruik is om hierdie tegnologie te ontwikkel, nie spesifiek vir hierdie doel ontwikkel nie. Die uitvinders kon egter bestaande wiskundige beginsels gebruik wanner en waar die toepassing daarvan nodig was.

Trouens is daar nie 'n enkele faset van die lewe wat nie deur wiskunde geraak word nie. Baie van die mees gesogte beroepe is afhanklik van wiskunde. Siviele ingenieurs gebruik wiskunde om te bepaal hoe om die beste, nuwe ontwerpe te maak. Ekonome gebruik wiskunde om te beskryf en voorspel hoe die ekonomie sal reageer op sekere veranderinge. Beleggers gebruik wiskunde om die prys van sekere soorte aandele te bepaal of om die risiko verbonde aan sekere beleggings te bereken. Wanneer sagteware-ontwikkelaars programme soos Google skryf, gebruik hulle baie van die wiskundige algoritmes om die programme bruikbaar maak.

Selfs in ons daaglikse lewens is wiskunde oral - in die afstand wat ons aflê, tyd en geld. Ons kan ook in kuns, ontwerp en musiek die invloed van wiskunde sien, veral in die proporsies en musikale klanke. Hoe beter ons vermoë om wiskunde te verstaan, hoe beter ons vermoë om die natuur en die skoonheid daarvan te waardeer. Wiskunde is daarom nie net 'n abstrakte dissipline nie, dit omarm logika, simmetrie, harmonie en tegnologiese vooruitgang. Meer as enige ander taal is wiskunde oral en universaal in sy toepassing.

BORG

Hierdie handboek is ontwikkel met behulp van korporatiewe sosiale beleggingsfondse van MMI Holdings.

Goedgestrukteerde, effektiewe Korporatiewe Maatskaplike Investering (KMI) het die vermoë om 'n positiewe bydrae tot nasiebou te lewer en positiewe veranderinge in gemeenskappe teweeg te bring. KMI se verbintenis tot maatskaplike investering beteken dat ons voortdurend geleenthede soek waar ons kan help om die horisonne van Suid-Afrika se meer kwesbare burgers te verbreed en om hulle meer en beter toegang tot geleenthede in die lewe te gee. Dit beteken dat ons die maatskaplike investering as 'n bonus beskou of 'n oefening in bemarking of selfs 'n borgskap nie, maar eerder as 'n kritieke deel van ons bydrae tot die samelewing.

Die samesmelting van Metropolitan en Momentum is geloof vir die komplementêre rol wat die twee maatskappy ten opsigte van mekaar speel. Hierdie samewerking is ook duidelik in die fokusareas van die KMI-programme waar Metropolitan en Momentum saam belê in meeste belangrike sektore en ook daar waar die grootste behoefte vir sosiale deelname is.

MIV/VIGS word toenemend 'n bestuurbare siekte in meeste ontwikkelde lande, maar in 'n land soos ons s'n bly dit 'n siekte waaraan mense onnodig sterf. Metropolitan maak voortdurend 'n verskil deur te verseker dat MIV/VIGS verander van 'n doodsvonnis na 'n bestuurbare siekte. Metropolitan se ander fokusarea is opvoedkunde, wat steeds die sleutel tot ekonomiese welvaart in ons land bly.

Momentum se fokus op mense met gestremdhede verseker dat hierdie persone ingesluit word in die samelewing en toegelaat word om 'n bydrae te lewer. Weeskinders en weerlose kinders is nóg 'n fokusarea vir Momentum. Van die projekte wat hulle ondersteun verseker dat kinders toegelaat word om veilig groot te word sodat hulle saam met ander kinders 'n aandeel kan hê in die erfenis van 'n voorspoedige toekoms.

EVERYTHING MATHS & SCIENCE

Die Everything Maths and Science reeks dek Wiskunde, Fisiese Wetenskappe, Lewenswetenskappe en Wiskundige Geletterdheid.

Die Siyavula Everything Science handboek

Die Siyavula Everything Maths handboeke

DIGITALE HANDBOEKE

Lees Aanlyn

Sien hoe die handboeke lewe kry op die internet. Nie net het jy toegang tot al die inhoud van die gedrukte weergawe nie, maar die aanlynweergawe bied ook videos, voorleggings en simulasies om jou 'n meer omvattende leerevaring te gee.

everythingmaths.co.za

Kontroleer jou antwoorde aanlyn of op jou foon

Op soek na die antwoorde? Jy kan die hele uitgewerkte oplossing vir enige van die vrae in die handboek vind deur sy shortcode ('n 4-syfer kombinasie van letters en syfers) in die soekboksie op die web- of mobi-tuiste in te tik.

everythingmaths.co.za or m.everythingmaths.co.za

SELFOON & TABLET

Responsiewe webwerf

As jy 'n slimfoon of tablet het, sal elke blad op ons webwerf automaties aanpas by die toestel (spesifiek die grootte, vorm en kwaliteit van die skerm) wat jy gebruik. Geniet 'n maklik leesbare teksboek terwyl jy aan die beweeg is, enige tyd, enige plek.

everythingmaths.co.za

Mobi

Moenie stres as jy nie 'n slimfoon het nie. Jy kan hierdie teksboek op jou ouer toestel ook lees. Jy sal automaties na die mobi-webwerf geneem word. Jy kan dit ook direk lees by:

m.everythingmaths.co.za

Laai af op jou tablet

Jy kan 'n digitale PDF kopie van die Everything-reeks handboeke op jou rekenaar, tablet, iPad en Kindle aflaai.

everythingmaths.co.za

Oefen Slim

Oefen aanlyn & op jou foon vir toetse en eksamens

Om goed te doen in toetse en eksamens moet jy oefen, maar dit is soms moeilik om te weet waar om te begin en hoe om ou eksamenvraestelle in die hande te kry.

Intelligent Practice is 'n aanlyn Wiskunde- en Wetenskapoefendiens wat jou toelaat om vrae op die regte moeilikheidsgraad vir jou te oefen en dan die antwoorde dadelik na te gaan!

Oefen vrae soos hierdie deur te registreer by everythingmaths.co.za

Jou paneelbord

Jou persoonlik paneelbord op Intelligent Practice help jou om rekord te hou van jou werk. Jy kan jou vordering en bemeestering van elke onderwerp in die boek dophou en dit gebruik om jou leerwerk te bestuur en jou swakpunte uit te lig. Jy kan ook jou paneelbord gebruik om jou onderwysers, ouers, universiteite of beursinstansies te wys wat jy die afgelope jaar gedoen het.

Intelligent Practice is net in Engels beskibaar.

Hoofstuk 1: Rye en Reekse

Bespreek en verduidelik belangrike terminologie.

Wees konsekwent met die gebruik van 'gemene', of gemeenskaplike, verskil en 'konstante' verhouding sodat leerders nie verwar word nie.

Leerders moet die verskil tussen rekenkundige en meetkundige rye verstaan.

Verduidelik sigmanotasie baie goed aangesien heelwat leerders probleme het met hierdie konsep.

Moedig leerders aan om die korrekte notasie (byvoorbeeld ens.) te gebruik wanneer hulle probleme oplos.

Gebruik die ondersoek vir die som van 'n oneindige reeks om die konsepte van konvergensie en divergensie in te lei.

In vorige grade het ons geleer van getalpatrone, wat lineêre rye met 'n gemeenskaplike verskil en kwadratiese rye met 'n gemeenskaplike tweede verskil ingesluit het. Ons het ook gekyk na die voltooiing van 'n ry en hoe om die algemene term van 'n ry te bepaal.

In hierdie hoofstuk kyk ons ook na meetkundige rye wat 'n konstante verhouding tussen twee opeenvolgende terme het. Ons gaan leer van rekenkundige en meetkundige reekse, wat die som van die terme van 'n ry behels.

1.1 Rekenkundige rye (EMFCK7)

'n Rekenkundige ry is 'n ry waarin die opeenvolgende terme bereken word deur 'n konstante waarde (positief of negatief) by die vorige term te tel. Ons noem hierdie konstante waarde die gemeenskaplike verskil ().

Byvoorbeeld,

Hierdie is 'n rekenkundige ry omdat ons bytel by elke term om die volgende term te verkry:

Eerste term

Tweede term

Derde term

Vierde term

Vyfde term

Video: 29K4

Oefening 1.1 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Vind die gemene verskil en skryf die volgende terme van die ry neer.

Hierdie is 'n voorbeeld van 'n nie-numeriese rekenkundige ry.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Die algemene term vir 'n rekenkundige ry (EMFCK8)

Vir 'n algemene rekenkundige ry met eerste term en 'n gemene verskil , kan ons die volgende terme verkry:

Dus, die algemene formule vir die term van die rekenkundige ry is:

Rekenkundige ry

'n Rekenkundige (of lineêre) ry is 'n geordende versameling getalle (genoem terme) waarin elke nuwe term bereken word deur 'n konstante waarde by die vorige term te tel:

waar

die term is;

die posisie van die term in die ry aandui;

die eerste term is;

die gemene verskil is.

Toets vir 'n rekenkundige ry

Om te toets of 'n ry 'n rekenkundige ry is of nie, kontroleer of die verskil tussen enige twee opeenvolgende terme konstant is:

As dit nie waar is nie, is die ry nie 'n rekenkundige ry nie.

Uitgewerkte voorbeeld 1: Rekenkundige ry

Gegee die ry .

Is dit 'n rekenkundige ry?

Vind die formule van die algemene term.

Bepaal die aantal terme in die ry.

Kontroleer of daar 'n gemene verskil is tussen opeenvolgende terme

Bepaal die formule vir die algemene term

Skryf die formule en die bekende waardes neer:

Vir hierdie vraag was 'n grafiek nie gevra nie, maar dit is ingesluit om te wys dat die punte van die rekenkundige ry, (posisie van term : waarde van term), op 'n reguitlyn lê.

Let op: Die getalle in die ry is natuurlike getalle en daarom behoort ons nie die gestipte punte te verbind nie. In die diagram hierbo is 'n stippellyn gebruik om te toon dat die grafiek van die ry 'n reguitlyn vorm.

Bepaal die aantal terme in die ry

Skryf die finale antwoord

Dus, daar is terme in die ry.

Rekenkundige gemiddelde

Die rekenkundige gemiddelde tussen twee getalle is die getal halfpad tussen die twee getalle. Met ander woorde, dit is die gemiddelde van die twee getalle. Die rekenkundige gemiddelde en die twee terme vorm 'n rekenkundige ry.

Byvoorbeeld, die rekenkundige gemiddelde tussen en word bereken:

Soms help dit om die grafiek van die terme van 'n ry te stip ten einde te bepaal watter soort ry betrokke is. Byvoorbeeld, vir 'n rekenkundige ry gee die stipping van die terme van vs. die volgende grafiek:

As die ry rekenkundig is, sal die gestipte punte in 'n reguitlyn lê.

Rekenkundige rye word ook lineêre rye genoem, waar die gemene verskil() die gradiënt van die reguitlyn is.

Oefening 1.2 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Gegee die ry

Vind die volgende term in die ry.

Bepaal die algemene term van die ry.

Watter term het 'n waarde van ?

Gegee die ry

Is dit 'n rekenkundige ry? Bevestig jou antwoord deur berekeninge.

Ja, dit is 'n rekenkundige ry aangesien daar 'n gemene verskil van tussen opeenvolgende terme is.

Bereken .

Watter term het 'n waarde van ?

Bepaal deur berekening of 'n term van die ry is of nie.

Die waarde van is nie 'n positiewe heelgetal nie, dus is nie 'n term van hierdie ry nie.

'n Rekenkundige ry het die algemene term .

Bereken die tweede, derde en tiende terme van die ry.

Trek 'n grafiek van die ry as .

Die eerste term van 'n rekenkundige ry is en . Vind .

Bereken die gemene verskil :

Bepaal nou die algemene term vir die ry:

Wat is die belangrike eienskappe van 'n rekenkundige ry?

Daar is 'n gemene verskil tussen enige twee opeenvolgende terme in die ry.

Die grafiek van vs. is 'n reguitlyn.

Die eerste vier terme van 'n rekenkundige ry word gegee. Beskryf die metode wat jy sal gebruik om die formule te vind vir die term van die ry.

Gebruik die gegewe terme om die gemene verskil te bereken in.

Van die gegewe terme weet ons dat .

Stel die waardes vir en in die vergelyking .

Vereenvoudig en groepeer soortgelyke terme.

'n Enkele vierkant word gevorm deur vuurhoutjies. Om twee vierkante in 'n ry te maak, neem vuurhoutjies, terwyl drie vierkante in 'n ry vuurhoutjies benodig.

Skryf die eerste vier terme in die ry neer.

Wat is die gemene verskil?

Bepaal die formule vir die algemene term.

Hoeveel vuurhoutjies is daar in 'n ry van vierkante?

As daar vuurhoutjies is, bereken die aantal vierkante in die ry.

'n Patroon van gelyksydige driehoeke versier die rand van 'n meisie se romp. Elke driehoek word gevorm deur drie steke, elk met 'n lengte van .

Voltooi die tabel:

Figuurno. |  |  |  |  |  |
Aantal steke |  |  |  |  |  |

Die rand van die romp is lank. As die totale lengte van die rand versier word met die driehoekige patroon, hoeveel steke sal daar wees?

Die terme vorm 'n rekenkundige ry. Vind en die term van die ry.

[IEB, Nov 2011]

Die rekenkundige gemiddelde van en is . Bepaal die waarde van in terme van .

Voeg sewe rekenkundige gemiddeldes tussen die terme en in.

Laat die rekenkundige gemiddeldes wees:

Die ry is dus:

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Kwadratiese ry

'n Kwadratiese ry is 'n ry getalle waarin die tweede verskil tussen enige twee opeenvolgende terme konstant is.

Die algemene formule vir die term van 'n kwadratiese ry is:

Dit is belangrik om daarop te let dat die eerste verskille van 'n kwadratiese ry 'n rekenkundige ry vorm. Hierdie ry het 'n gemene verskil van tussen opeenvolgende terme. Met ander woorde, 'n lineêre ry ontstaan uit die eerste verskille van 'n kwadratiese ry.

Uitgewerkte voorbeeld 2: Kwadratiese ry

Beskou die patroon van die wit en die blou blokkies in die diagram hieronder.

Bepaal die ry gevorm deur die wit blokkies .

Vind die ry gevorm deur die blou blokkies .

Patroonnommer |  |  |  |  |  |  |
Aantal wit blokkies |  |  |  |  |  |  |
Gemene verskil |  |  |  |  |  |  |

Patroonnommer |  |  |  |  |  |  |
Aantal blou blokkies |  |  |  |  |  |  |
Gemene verskil |  |  |  |  |  |  |

Gebruik die diagram om die tabel vir die wit blokkies te voltooi

Patroonnommer |  |  |  |  |  |  |
Aantal wit blokkies |  |  |  |  |  |  |
Gemene verskil |  |  |  |  |  |  |

Ons sien die volgende term in die ry word verkry deur die getal by te tel by die vorige term; dus is die ry lineêr en die gemeenskaplike verkil is .

Die algemene term is:

Gebruik die diagram om die tabel vir blou blokkies te voltooi

Patroonnommer |  |  |  |  |  |
Aantal blou blokkies |  |  |  |  |  |
Verskil |  |  |  |  |  |

Ons sien dat daar geen gemeenskaplike verskil tussen opeenvolgende terme is nie. Daar is egter 'n patroon en by verdere ondersoek sien ons dat hierdie in der waarheid 'n kwadratiese ry is:

Patroonnommer |  |  |  |  |  |  |
Aantal blou blokkies |  |  |  |  |  |  |
Eerste verskil |  |  |  |  |  |  |
Tweede verskil |  |  |  |  |  |  |
Patroon |  |  |  |  |  |  |

Trek 'n grafiek van vs. vir elke ry

Aangesien die getalle in die rye natuurlike getalle is, behoort ons nie die punte te verbind nie. In die diagram hierbo word 'n stippellyn gebruik om te wys dat die grafiek van die ry wat gevorm word deur die wit blokkies 'n reguitlyn is en die grafiek van die ry wat gevorm word deur die blou blokkies 'n parabool is.

Oefening 1.3 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal die tipe van elk van die volgende rye

'n lineêre ry;

'n kwadratiese ry;

of geeneen van die twee nie.

Kwadratiese ry

Lineêre ry

Kwadratiese ry

Lineêre ry

Kwadratiese ry

Nie een van die twee nie

Kwadratiese ry

Kwadratiese ry

'n Kwadratiese patroon word gegee deur . Vind die waardes van en as die ry begin met die volgende terme:

Beginnende met die eerste term, het ons en :

Vir die tweede term gebruik ons en :

Nou moet ons hierdie vergelykings gelyktydig oplos. Ons kan dit doen deur vervanging, maar hier vind ons die oplossing deur die 'eliminasie' metode (wat beteken dat ons die een vergelyking van die ander aftrek ten einde die 's te elimineer).

Ten slotte, bereken ons die waarde van . Soos gewoonlik vir gelyktydige vergelykings, beteken dit dat ons die vervang in enige van die twee vergelykings wat ons hierbo gebruik het. Laat ons die vergelyking gebruik.

Die finale antwoorde is en .

NOTA: Ons weet die algemene term vir die ry is . Ons kan dit gebruik om ons antwoorde te kontroleer. Ons weet . Vervang in die algemene formule om te kontroleer:

is die eerste terme van 'n ry.

Is die ry lineêr of kwadraties? Motiveer you antwoord.

Dit is 'n rekenkundige ry omdat daar 'n gemene verskil van tussen opeenvolgende terme is.

Wat is die volgende term in die ry?

Bereken .

Gegee , bepaal die waardes van en as die ry begin met die terme:

Beginnende met die eerste term, het ons en :

Vir die tweede term, gebruik ons en :

Nou moet ons hierdie vergelykings gelyktydig oplos. Ons kan dit doen deur substitusie, maar hier sal ons die oplossing vind deur die 'eliminasie' metode te gebruik (wat beteken dat ons die een vergelyking van die ander aftrek ten einde die 's te elimineer).

Laastens, bereken die waarde van . Soos gewoonlik vir gelyktydige vergelykings, beteken dit dat ons die vervang in enige van die vergelykings wat ons hierbo gebruik het. Laat ons die vergelyking gebruik. Die finale antwoorde is en .

NOTA: Ons weet die algemene term vir die ry is . Ons kan dit gebruik om ons antwoorde te kontroleer. Ons weet . Vervang in die algemene formule om te kontroleer:

Die eerste term van 'n kwadratiese ry is , die derde term is en die gemene tweede verskil is . Bepaal die eerste ses terme in die ry.

'n Kwadratiese ry het 'n tweede term van , 'n derde term gelyk aan en 'n vierde term gelyk aan .

Bepaal die tweede verskil vir die ry.

Vervolgens, bereken die eerste term van die patroon.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

1.2 Meetkundige rye (EMFCK9)

Meetkundige ry

'n Meetkundige ry is 'n ry getalle waarin elke nuwe term (behalwe die eerste term) bereken word deur die vorige term te vermenigvuldig met die sogenaamde konstante verhouding ().

Video: 29M7

Dit beteken dat die verhouding tussen opeenvolgende terme in 'n meetkundige ry konstant (positief of negatief) is. Ons sal verduidelik wat ons bedoel met verhouding nadat ons na die volgende voorbeeld gekyk het.

Voorbeeld: griep-epidemie (EMFCKB)

Influenza (algemeen bekend as 'griep'), word veroorsaak deur die influenza-virus, wat die asemhalingsorgane (neus, keel, longe) aantas. Dit kan matige of ernstige siekte veroorsaak wat die meeste van ons gedurende die wintermaande opdoen. Die griepvirus word van persoon tot persoon versprei in asemhalingsdruppels van hoese of niese. Dit word 'druppelverspreiding' genoem. Dit vind plaas wanneer druppeltjies van 'n hoes of nies van een geïnfekteerde persoon deur die lug beweeg en in kontak kom in die mond of neus van mense naby. Dit is dus 'n goeie gewoonte om jou mond te bedek wanneer jy hoes of nies sodat jy nie ander mense rondom jou aansteek wanneer jy griep het nie. Deur gereeld jou hande te was, kan jy effektief die verspreiding van infeksie en siekte voorkom.

Veronderstel jy het die griepvirus en jy vergeet om jou mond te bedek wanneer twee vriende jou kom besoek terwyl jy siek in die bed is. Hulle gaan huis toe en die volgende dag het hulle ook griep. Laat ons aanvaar dat elke vriend op sy beurt weer die virus oordra aan twee ander vriende deur dieselfde druppelverspreiding op die daaropvolgende dag. Veronderstel dat hierdie patroon voortgesit word en elke siek persoon steek 2 ander vriende aan, dan kan ons hierdie proses op die volgende manier voorstel:

Elke persoon infekteer twee meer mense met die griepvirus.

Ons kan die gebeure tabelleer en 'n vergelyking formuleer vir die algemene geval:

Dag (n)

Aantal nuut-aangesteekte mense

Bostaande tabel verteenwoordig die getal nuut-aangesteekte mense dae sedert jy jou eerste vriende aangesteek het.

Jy nies en die virus word oorgedra na mense wat die ketting begin (). Die volgende dag steek elkeen van hulle weer van hulle vriende aan. Nou is mense nuut-geïnfekteer. Elkeen van hulle steek weer mense aan op die derde dag, en nuwe mense is geïnfekteer, en so verder. Hierdie gebeure kan beskryf word met 'n meetkundige ry:

Let op die konstante verhouding of ratio () tussen die gebeure. Herroep hoe die gemene verskil tussen die terme van 'n lineêre rekenkundige ry verkry was. In die meetkundige ry kan ons die konstante verhouding () bepaal:

Meer algemeen,

Oefening 1.4Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal die konstante verhouding vir elk van die volgende meetkundige rye en skryf die volgende drie terme in die ry neer:

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Die algemene term vir 'n meetkundige ry (EMFCKC)

Van die griep voorbeeld hierbo weet ons dat en , en ons het vanaf die tabel gesien dat die term gegee word deur .

Die algemene meetkundige ry kan uitgedruk word as:

Dus die algemene term/formule vir 'n meetkundige ry is:

waar

is die eerste term in die ry;

is die konstante verhouding.

Toets vir 'n meetkundige ry

Om te toets of 'n ry 'n meetkundige ry is of nie, stel vas of die verhouding tussen enige twee opeenvolgende terme konstant is:

As hierdie voorwaarde nie geld nie, is die ry nie meetkundig nie.

Oefening 1.5Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal die algemene formule vir die term van die volgende meetkundige ry:

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Uitgewerkte voorbeeld 3: Griep-epidemie

Ons gaan verder met die vorige griep-epidemie voorbeeld, waar die aantal nuut-geïnfekteerde mense na dae is:

Bereken hoeveel nuut-geïnfekteerde persone daar op die tiende dag sal wees.

Op watter dag sal daar nuut-geïnfekteerde persone wees?

Skryf die bekende waardes en die algemene formule neer

Gebruik die algemene formule om te bereken

Vervang in die algemene formule:

Op die tiende dag, is daar nuut-geïnfekteerde persone.

Gebruik die algemene formule om te bereken

Ons weet dat en ons kan die algemene formule gebruik om die ooreenstemmende waarde van te bereken:

Daar is nuut-geïnfekteerde persone op die dag.

Vir hierdie meetkundige ry, sal die grafiek van die aantal nuut-geïnfekteerde persone () vs. die aantal dae () as volg lyk:

Dag (n)

Aantal nuut-aangesteekte mense

In hierdie voorbeeld werk ons net met positiewe heelgetalle , dus sal die grafiek nie kontinu wees nie en verbind ons nie die punte met 'n kurwe nie (die stippellyn is getrek om die vorm van 'n eksponsiële grafiek aan te dui).

Meetkundige gemiddelde

Die meetkundige gemiddelde tussen twee getalle is die waarde wat 'n meetkundige ry vorm saam met die twee getalle.

Byvoorbeeld, die meetkundige gemiddelde tussen en is die getal wat tussen die twee getalle en ingevoeg moet word om die meetkundige ry: te vorm.

Belangrik: onthou om beide die positiewe en negatiewe vierkantswortel in te sluit. Die meetkundige gemiddelde gee aanleiding tot twee moontlike meetkundige rye:

In die algemeen, vorm die meetkundige gemiddelde () tussen twee getalle en 'n meetkundige ry met en :

Oefening 1.6Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Die term in 'n ry word gegee deur die formule .

Skryf die eerste drie terme van die ry neer.

Watter tipe ry is dit?

Dus is dit 'n meetkundige ry met konstante verhouding .

Beskou die volgende terme:

Die eerste drie terme vorm 'n rekenkundige ry en die laaste drie terme vorm 'n meetkundige ry. Bepaal die waardes van en as beide positiewe heelgetalle is.

[IEB, Nov 2006]

Beskou eers die rekenkundige ry:

Beskou nou die meetkundige ry:

Dus en gee die terme

Gegee: 'n meetkundige ry met tweede term en negende term .

Bepaal die waarde van .

Vind die waarde van .

Bepaal die algemene formule van die ry.

Die diagram toon vier stelle waardes van opeenvolgende terme van 'n meetkundige ry met algmene formule .

Bepaal en .

Vind en .

Bepaal :

Bepaal :

Vind die vyfde term van die ry.

Skryf die volgende twee terme neer vir die gegewe ry:

Kontroleer of hierdie 'n meetkundige ry is:

Hierdie is 'n meetkundige ry met . Dus, en .

is 'n rekenkundige ry en is 'n meetkundige ry. Alle terme in die rye is heelgetalle. Bereken die waarde van en .

Vir die rekenkundige ry:

Vir die meetkundige ry:

Die twee getalle en word gegee.

Skryf die meetkundige gemiddelde tussen die twee getalle neer in terme van en .

Let op: in hierdie geval is slegs die positiewe vierkantswortel geldig.

Bepaal die konstante verhouding van die ry wat ontstaan.

Voeg drie meetkundige gemiddeldes in, tussen en . Gee alle moontlik antwoorde.

Gestel die meetkundige ry is

Dus is moontlike meetkundige rye:

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

1.3 Reekse (EMFCKD)

Dit is dikwels belangrik en waardevol om die som van die terme van 'n rekenkundige of 'n meetkundige ry te bepaal. Die som van enige ry getalle word 'n reeks genoem.

Eindige reekse

Ons gebruik die simbool vir die som van die eerste terme van 'n ry :

As ons slegs 'n eindige aantal terme optel, kry ons 'n eindige reeks.

Byvoorbeeld, beskou die volgende ry getalle

Ons kan die som van die eerste vier terme bereken:

Dit is 'n voorbeeld van 'n eindige reeks en ons tel slegs vier terme bymekaar.

Oneindige reeks

As ons die som van oneindig baie terme van 'n ry bepaal, kry ons 'n oneindige reeks:

Sigmanotasie (EMFCKF)

Sigmanotasie is 'n baie handige en kompakte notasie of skryfwyse waarmee die som van 'n aantal terme van 'n ry geskryf kan word.

'n Som kan uitgeskryf word deur die som- (Sigma-) simbool , wat die hoofletter “S” in die Griekse alfabet is, te gebruik. Dit dui aan dat jy die som bepaal van uitdrukking regs van die somsimbool:

Byvoorbeeld,

In die algemeen:

waar

is die indeks van die som;

is die onderste grens (of aanvangsindeks), wat getoon word onder die sigmasimbool;

is die boonste grens (of eindindeks), wat getoon word bo die sigmasimbool;

is 'n term van die ry;

die aantal terme in die reeks .

Die indeks neem toe van tot in inkremente van .

Let daarop dat dit ook somtyds geskryf word as:

Wanneer ons al die terme in 'n som neerskryf, word daarna verwys as die uitgebreide vorm.

As ons die som bepaal vanaf (wat impliseer dat ons optel vanaf die eerste term in 'n reeks), dan gebruik ons of notasie:

Uitgewerkte voorbeeld 4: Sigmanotasie

Brei die reeks uit en vind die waarde van die reeks:

Brei die formule uit en skryf die eerste ses terme van die ry neer

Hierdie is 'n meetkundige ry met 'n konstante verhouding van tussen opeenvolgende terme.

Bepaal die som van die eerste ses terme van die ry

Uitgewerkte voorbeeld 5: Sigmanotasie

Vind die waarde van die reeks:

Brei die ry uit en skryf vyf terme neer

Bepaal die som van hierdie vyf terme van die ry

Uitgewerkte voorbeeld 6: Sigmanotasie

Skryf die volgende reeks in sigmanotasie:

Beskou die volgende reeks en bepaal of dit 'n rekenkundige of 'n meetkundige reeks is

Toets eerste vir 'n rekenkundige reeks: is daar 'n gemeenskaplike verskil?

Ons laat:

Ons bereken:

Daar is 'n gemene verskil van , dus is dit 'n rekenkundige reeks.

Bepaal die algemene formule van die reeks

Wees versigtig: hakies moet gebruik word wanneer ons vervang in die algemene term. Anders sal die vergelyking wees, wat verkeerd sal wees.

Bepaal die som van die reeks en skryf in sigmanotasie

Reëls vir sigmanotasie

Gegee twee rye, en :

Vir enige konstante wat nie afhanklik is van die indeks nie:

Wees noukeurig met die gebruik van hakies:

Voorbeeld 1:

Voorbeeld 2:

Let op: die reeks in die tweede voorbeeld het die algemene term en die word bygetel by die som van die drie terme. Dit is baie belangrik om hakies korrek te gebruik in sigmanotasie.

Die waardes van :

begin by ( is nie altyd nie);

vermeerder in stappe van ;

en eindig by .

Oefening 1.7Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal die waarde van die volgende:

Brei die reeks uit:

Bereken die waarde van

Skryf die volgende in sigmanotasie:

Meetkundige reeks met , konstante verhouding en algemene formule .

Skryf die som neer van die eerste terme van die onderstaande reeks in sigmanotasie:

Rekenkundige reeks met , gemeenskakplike verskil en algemene formule .

Skryf die som neer van die eerste natuurlike, onewe getalle in sigmanotasie.

Rekenkundige reeks met , gemeenskakplike verskil en algemene formule .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

1.4 Eindige rekenkundige reeks (EMFCKG)

'n Rekenkundige ry is 'n ry getalle wat so is dat die verskil tussen enige term en die voorafgaande term 'n konstante getal is wat genoem word die gemene verskil ():

waar

die term van die ry is;

die eerste term is;

die gemene verskil is.

Wanneer ons 'n eindige aantal terme van 'n rekenkundige ry bymekaar tel, kry ons 'n eindige rekenkundige reeks.

Die som van die eerste honderd heelgetalle

'n Eenvoudige rekenkundige ry is wanneer en , wat die ry van opeenvolgende heelgetalle is:

As ons die som van hierdie ry wil bepaal vanaf tot by enige positiewe heelgetal, byvoorbeeld , kan ons skryf

Dit gee die antwoord van die som van die eerste positiewe heelgetalle.

Die wiskundige, Karl Friedrich Gauss, het die volgende bewys ontdek toe hy slegs 8 jaar oud was. Sy onderwyser het vir die klas 'n probleem gegee om hulle vir 'n hele dag lank besig te hou deur vir hulle te vra om al die heelgetalle van tot bymekaar te tel. Jong Karl het gou besef hoe om dit te doen en het die onderwyser verstom met die korrekte antwoord, . Hier is die metode wat hy gebruik het:

Skryf die heelgetalle in toenemende volgorde:

Skryf die heelgetalle in afnemende volgorde:

Tel die ooreenstemmende pare terme bymekaar.

Vereenvoudig die vergelykig deur die onderwerp van die vergelyking te maak.

Algemene formule vir 'n eindige rekenkundige reeks (EMFCKH)

As ons die som bepaal van 'n rekenkundige reeks, neem dit baie lank om dit term-vir-term te bereken. Daarom lei ons 'n algemene formule af vir die evaluering van 'n eindige rekenkundige reeks. Ons begin met die algemene formule vir 'n rekenkundige ry van terme en tel dit op vanaf die eerste term () tot by die laaste term in die ry ():

Hierdie algemene formule is handig as die laaste term in die reeks bekend is.

Ons vervang in die formule hierbo en vereenvoudig:

Die algemene formule vir die bepaling van die som van 'n rekenkundige reeks word gegee deur:

of

Byvoorbeeld, ons kan die som vir die rekenkundige reeks bepaal deur al die individuele terme bymekaar te tel:

of, ons kan eerder die algemene formule vir die bepaling van die waarde van 'n rekenkundige reeks gebruik deur te substitueer , en :

Hierdie voorbeeld toon hoe nuttig die algemene formule vir die bepaling van die waarde van 'n rekenkundige reeks kan wees, veral wanneer die reeks 'n groot aantal terme het.

Video: 29N9

Uitgewerkte voorbeeld 7: Algemene formule vir die som van 'n rekenkundige reeks

Vind die som van die eerste terme van 'n rekenkundige reeks met deur die formule te gebruik.

Gebruik die algemene formule om terme van die ry te vind en skryf die waardes van die bekende veranderlikes neer

Dit gee die ry:

Skryf die algemene formule neer en vervang die bekende waardes

Skryf die finale antwoord

Uitgewerkte voorbeeld 8: Som van 'n rekenkundige ry as die eerste en die laaste terme bekend is

Vind die som van die reeks

Identifiseer die soort reeks en skryf die waardes van die bekende veranderlikes neer

Bepaal die waarde van

Gebruik die algemene formule om die som van die reeks te vind

Skryf die finale antwoord

Uitgewerkte voorbeeld 9: Vind as die som van die rekenkundige ry gegee word

As 'n rekenkundige ry met en gegee word, bepaal hoeveel terme bymekaar getel moet word om 'n som van te gee.

Skryf die bekende veranderlikes neer

Gebruik die algemene formule om die waarde van te bepaal

maar moet 'n positiewe heelgetal wees, dus .

Ons kon vir opgelos het deur die kwadratiese formule te gebruik, maar faktorisering deur inspeksie is gewoonlik die vinnigste metode.

Skryf die finale antwoord

Uitgewerkte voorbeeld 10: Vind as die som van die rekenkundige ry gegee word

Die som van die tweede en derde terme van 'n rekenkundige reeks is gelyk aan nul en die som van die eerste terme van die reeks is gelyk aan . Vind die eerste drie terme in die reeks.

Skryf nou die gegewe inligting neer

Los die vergelykings gelyktydig op

Skryf die finale antwoord

Die eerste drie terme van die reeks is:

Berekening van die waarde van 'n term as die som van terme gegee word:

As die eerste term in 'n reeks is, dan is .

Ons weet ook die som van die eerste twee terme , wat ons herrangskik om die onderwerp van die vergelyking te maak:

Op soortgelyke wyse kan ons ook die derde en vierde terme in 'n reeks bepaal:

and

Oefening 1.8Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal die waarde van :

Hierdie is 'n rekenkundige reeks met en :

Die som van terme van 'n rekenkundige reeks is .

Hoeveel terme van die reeks moet bymekaargetel word om 'n som van te gee?

maar moet 'n positiewe heelgetal wees, dus .

Bepaal die sesde term van die reeks.

Die gemene verskil van 'n rekenkundige reeks is . Bereken die waardes van waarvoor die term van die reeks is en die som van die eerste terme is.

Verduidelik waarom daar twee moontlike antwoorde is.

Daar is twee reekse wat die gegewe parameters bevredig.

Die derde term van 'n rekenkundige ry is en die sewende term is . Bepaal die som van die eerste terme van die ry.

Bereken die som van die rekenkundige reeks .

Sonder om 'n sakrekenaar te gebruik, bereken die waarde van:

Beskou die teller:

Beskou die noemer:

Beskou nou die kwosiënt van die twee reekse:

Die tweede term van die rekenkundige reeks is en die som van die eerste ses terme van die reeks is .

Vind die eerste term en die gemene verskil.

Bepaal vervolgens .

[IEB, Nov 2004]

Bepaal die waarde van die volgende:

Rekenkundige reeks:

Rekenkundige reeks:

Bepaal die waarde van .

Reeks:

maar moet 'n positiewe heelgetal wees, dus .

Alternatiewe metode:

maar moet 'n positiewe heelgetal wees, dus .

Die som van terme van 'n rekenkundige reeks is vir alle waardes van . Bepaal die gemene verskil.

Die som van 'n rekenkundige reeks is maal die waarde van sy eerste term, terwyl die waarde van die laaste term maal die waarde van die eerste term is. Bereken die aantal terme in die reeks as die eerste term nie gelyk is aan nul nie.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

1.5 Eindige meetkundige reeks (EMFCKJ)

Wanneer ons die som bepaal van 'n bekende aantal terme van 'n meetkundige ry, kry ons 'n eindige meetkundige reeks. Ons kry 'n meetkundige reeks deur die gebruik van die algemene formule:

waar

die posisie van die term in die ry aandui;

is die term van die ry;

is die eerste term;

is die konstante verhouding.

Algemene formule vir 'n eindige meetkundige reeks (EMFCKK)

Die algemene formule vir die bepaling van die som van 'n meetkundige reeks word gegee deur:

Hierdie formule is makliker om te gebruik wanneer .

Alternatiewe formule:

Die algemene formule vir die bepaling van die som van 'n meetkundige reeks word gegee deur:

Hierdie formule is makliker om te gebruik wanneer .

Video: 29NS

Uitgewerkte voorbeeld 11: Som van 'n meetkundige reeks

Bereken:

Skryf die eerste drie terme van die reeks neer

Ons het die reeks gevorm.

Bepaal die waardes van en

Gebruik die algemene formule om die som van die reeks te vind

Skryf die finale antwoord

Uitgewerkte voorbeeld 12: Som van 'n meetkundige reeks

Gegee 'n meetkundige reeks met en . Bepaal die waardes van en as .

Bepaal die waardes van en

Die meetkundige reeks is dus Let daarop dat die tekens van die terme wissel omdat .

Ons skryf die algemene term vir hierdie reeks as .

Gebruik die algemene formule vir die som van 'n meetkundige reeks om die waarde van te bepaal

Skryf die finale antwoord

Uitgewerkte voorbeeld 13: Som van 'n meetkundige reeks

Gebruik die algemene formule vir die som van 'n meetkundige reeks om te bepaal as

Skryf die eerste drie terme van die reeks neer

Ons het die reeks gevorm

Ons kan die gemene faktor uithaal en skryf die reeks dan as:

Bepaal die waardes van en

Bereken die som van die eerste agt terme van die meetkundige reeks

Dus kan ons skryf:

Skryf die finale antwoord

Oefening 1.9Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bewys dat en noem enige beperkings.

waar .

Gegee die meetkundige reeks bepaal:

Die agtste term van die reeks.

Die som van die eerste agt terme van die reeks.

Bepaal:

Vind die som van die eerste terme van die meetkundige reeks

Toon aan dat die som van die eerste terme van die meetkundige reeks gegee word deur .

Die agste term van 'n meetkundige reeks is . Die derde term is . Vind die som van die eerste terme.

Gegee:

Bepaal die eerste drie terme in die reeks.

Bereken die aantal terme in die reeks as .

Die verhouding tussen die som van die eerste drie terme van 'n meetkundige reeks en die som van die , en terme van dieselfde reeks is . Bepaal die konstante verhouding en die eerste terme as die derde term is.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

1.6 Oneindige reeks (EMFCKM)

Tot dusver het ons net met 'n eindige som gewerk, wat beteken dat wanneer ons die som van 'n reeks bepaal, het ons slegs die som van die eerste terme bepaal. Ons gaan nou kyk wat gebeur wanneer ons 'n oneindige aantal terme bymekaartel. Ons mag dink dat as ons oneindig baie getalle bymekaartel, ongeag van hoe klein hulle is, moet die antwoord neig na oneindig. In sommige gevalle is die antwoord inderdaad oneindig (soos wanneer ons die som van alle positiewe heelgetalle bereken), maar verrassend genoeg is daar gevalle is waar die antwoord 'n eindige reële getal is.

Som van 'n oneindige reeks

Sny 'n stuk tou af, in lengte.

Sny nou die stuk tou in die helfte en plaas die een helfte op die tafel.

Sny die oorblywende helfte weer in die helfte en sit een van hierdie stukke op die tafel neer.

Herhaal hierdie proses totdat die stuk tou wat oorbly te kort is om maklik te sny.

Trek 'n diagram om die ry van die lengtes tou wat gevorm word, voor te stel.

Kan hierdie ry wiskundig uitgedruk word? Wenk: druk die korter lengtes tou uit as breuke van die oorspronklike lengte tou.

Wat is die som van die lengtes van die al die stukkies tou?

Voorspel wat sou gebeur as hierdie ry 'n oneindige aantal kere herhaal sou kon word.

Sal die som van die lengtes tou ooit groter wees as ?

Tot watter gevolgtrekking kom jy?

Uitgewerkte voorbeeld 14: Som tot oneindig

Voltooi die tabel hieronder vir die meetkundige reeks en beantwoord die vrae wat volg:

Terme

As meer en meer terme bymekaargetel word, wat gebeur met die waarde van ?

As meer en meer terme bymekaargetel word, wat gebeur met die waarde van ?

Voorspel die maksimumwaarde van vir die som van 'n oneindige aantal terme in die reeks.

Voltooi die tabel

Terme

Beskou die waarde van en

As meer terme in die reeks bymekaargetel word, neem die waarde van toe:

Nietemin, deur te beskou, let ons op dat die getal waarmee toeneem, al kleiner en kleiner word soos meer terme bymekaargetel word:

Ons kan dus tot die gevolgtrekking kom dat die waarde van al nader kom aan 'n maksimumwaarde van ; dit konvergeer na .

Beskryf die gevolgtrekking wiskundig

Ons kan tot die gevolgtrekking kom dat die som van die reeks

al nader kom aan 1 () soos die aantal terme nader kom aan oneindig (), dus die reeks konvergeer.

Ons druk die som van 'n oneindige aantal terme van 'n reeks uit as

Konvergensie en divergensie

As die som van 'n reeks nader en nader kom aan 'n sekere waarde, soos ons die aantal terme in die som laat toeneem, sê ons dat die reeks konvergeer. Met ander woorde, daar is 'n limiet of grenswaarde aan die som van 'n konvergerende reeks. As 'n reeks nie konvergeer nie, sê ons dit divergeer. Die som van 'n oneindige reeks neig gewoonlik na oneindig, maar daar is sekere spesiale gevalle waar dit nie so is nie.

Oefening 1.10Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Vir elk van die algemene terme hieronder:

Bepaal of dit 'n rekenkundige of meetkundige reeks vorm.

Bereken .

Bepaal of die reeks konvergeer of divergeer.

Dus, dit is 'n divergente reeks.

Dit is 'n divergente reeks.

Hierdie reeks is konvergent (aangesien die ) en konvergeer na .

Dit is 'n divergente reeks.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Let op die volgende:

'n Rekenkundige reeks konvergeer nooit: as neig na oneindig, sal die reeks altyd neig na positief of negatief oneindig.

Sekere meetkundige reekse konvergeer (het 'n limiet) en sommige divergeer (as neig na oneindig, neig die reeks nie na enige limiet nie of dit neig na oneindig).

Oneindige meetkundige reeks (EMFCKN)

Daar is 'n eenvoudige toets om te bepaal of 'n meetkundige reeks konvergeer of divergeer; as , dan sal die oneindige reeks konvergeer. As buite hierdie interval lê, dan sal die oneindige reeks divergeer.

Toets vir konvergensie:

As , dan sal die oneindige meetkundige reeks konvergeer.

As , dan divergeer die oneindige meetkundige reeks.

Ons kan die formule vir die berekening van die waarde waartoe 'n meetkundige reeks konvergeer, as volg aflei:

Beskou nou die gedrag van vir as groter word.

Laat :

Aangesien binne die grense van lê, sien ons dat nader kom aan as groter word. Dus kom nader aan .

Dus,

Die som van 'n oneindige meetkundige reeks word gegee deur die formule

waar

die eerste term van die reeks is;

die konstante verhouding is.

Alternatiewe notasie:

In woorde: as die aantal terme neig na oneindig, neig die som van 'n konvergerende meetkundige reeks na die waarde .

Video: 29PB

Uitgewerkte voorbeeld 15: Som tot oneindig van 'n meetkundige reeks

Gegee die reeks . Vind die som tot oneindig as dit bestaan.

Bepaal die waarde van

Ons moet die waarde van weet om te bepaal of die reeks konvergeer of divergeer.

Aangesien , kan ons tot die gevolgtrekking kom dat dit 'n konvergerende meetkundige reeks is.

Bepaal die som tot oneindig

Skryf die formule neer vir die som tot oneindig en stel die bekende waardes in:

Soos neig na oneindig, neig die som van hierdie reeks na ; ongeag hoeveel terme bymekaargetel word, die waarde van die som sal nooit groter as wees nie.

Uitgewerkte voorbeeld 16: Gebruik die som tot oneindig om repeterende desimale breuke om te skakel na gewone breuke

Gebruik twee verskillende metodes om 'n repeterende desimaal om te skakel na 'n gewone breuk.

Skakel die repeterende desimaal om na 'n breuk deur van vergelykings gebruik te maak

Skakel die repeterende desimaal om na 'n breuk deur die som tot oneindig te gebruik

Hierdie is 'n meetkundige reeks met . Aangesien , kan ons die gevolgtrekking maak dat die reeks konvergeer.

Uitgewerkte voorbeeld 17: Som tot oneindig

Bepaal die moontlike waardes van en as

Skryf die formule neer vir die som tot oneindig en stel die bekende waardes in

Pas die voorwaarde vir konvergensie toe om die moontlike waardes van te bepaal

Vir 'n reeks om te konvergeer:

Skryf die finale antwoord

Vir die reeks om te konvergeer, en .

Oefening 1.11Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Na watter waarde neig as neig na ?

Vind die som tot oneindig van die meetkundige reeks

Bepaal vir watter waardes van , sal die meetkundige reeks konvergeer.

Vir die reeks om te konvergeer, , dus:

Die som tot oneindig van 'n meetkundige reeks met positiewe terme is en die som van die eerste twee terme is . Vind , die eerste term, en , die konstante verhouding tussen opeenvolgende terme.

Gebruik die som tot oneindig om te wys dat .

Herskryf die repeterende desimaal:

Hierdie is 'n meetkundige reeks met en .

'n Struik wat hoog is, word in 'n tuin geplant. Aan die einde van die eerste jaar, is die struik hoog. Daarna groei die struik elke jaar met die helfte van sy groei in die vorige jaar. Toon aan dat die struik nooit hoër as sal groei nie. Trek 'n grafiek van die verband tussen tyd en groei.

[IEB, Nov 2003]

Skryf die jaarlikse groei van die struik as 'n reeks:

Hierdie is 'n meetkundige reeks met en .

Dus is die groei van die struik beperk tot , en die maksimum hoogte van die struik is dus + = .

Let op: ons mag die punte op die grafiek verbind omdat die groei kontinu is.

Vind :

Skryf die linkerkantste reek uit:

Hierdie is 'n rekenkundige reeks met en .

Skryf die linkerkantste reek uit:

Hierdie is 'n meetkundige reeks met en \quad ( vir die reeks om te konvergeer).

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

1.7 Opsomming (EMFCKP)

Rekenkundige ry

gemene verskil tussen enige twee opeenvolgende terme:

algemene vorm:

algemene formule:

grafiek van die reeks lê op 'n reguitlyn

Kwadratiese ry

gemeenskaplike tweede verskil tussen twee opeenvolgende terme

algemene formule:

grafiek van die reeks lê op 'n parabool

Meetkundige ry

konstante verhouding tussen enige twee opeenvolgende terme:

algemene vorm:

algemene formule:

grafiek van die reeks lê op 'n eksponensiële kromme

Sigmanotasie

Sigmanotasie word gebruik om die som van die terme gegee deur aan te dui, beginnende by en eindigende by .

Reekse

die som van 'n sekere aantal terme in 'n reeks

rekenkundige reeks:

meetkundige reeks:

as

as

Som tot oneindig

'n Konvergerende meetkundige reeks, met , neig na 'n sekere vasgestelde waarde as die aantal terme in die som neig na oneindig.

Oefening 1.12Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Is 'n voorbeeld van 'n Eindige reeks of 'n Oneindige reeks?

Oneindige rekenkundige reeks

'n Nuwe sokkerkompetisie vereis dat elk van die spanne eenmaal teen elke ander span speel.

Bereken die totale aantal wedstryde wat in die kompetisie gespeel sal word.

As elk van spanne eenmaal teen elke ander span speel, bepaal 'n formule vir die totale aantal wedstryde in terme van .

Bereken:

Aantal terme = eind-indeks - begin-indeks

Die eerste drie terme van 'n konvergerende meetkundige reeks is: ; ; .

Bereken die waarde van , ().

Som tot oneindig van die reeks.

Skryf die som van die eerste twintig terme van die volgende reeks neer in notasie

Hierdie is 'n meetkundige reeks:

Bepaal:

'n Man is beseer in 'n ongeluk by die werk. Hy kry 'n ongeskiktheidstoelaag van in die eerste jaar. Hierdie toelaag neem toe met 'n vaste bedrag elke jaar.

Wat is die jaarlikse toename as hy in totaal oor jaar ontvang?

Dit is 'n rekenkundige reeks.

Sy aanvanklike jaarlikse uitgawes is , en dit neem toe teen 'n tempo van per jaar. Na hoeveel jaar sal sy uitgawes sy inkomste oorskrei?

Dit is 'n rekenkundige reeks.

Dus, sy uitgawes sal sy inkomste oorskrei na jaar.

Die sylengte van 'n vierkant is eenhede. Hierdie vierkant word in gelyke kleiner vierkante verdeel. Een van hierdie kleiner vierkante word verder in nog vier gelyke vierkante verdeel. Een van hierdie selfs kleiner vierkante word ook in vier kleiner gelyke vierkante verdeel. Hierdie proses word 'n onbeperkte aantal kere herhaal. Bereken die som van die oppervlaktes van al die vierkante.

Dit gee die meetkundige reeks:

Thembi werk deeltyds om 'n Wiskundeboek te koop wat kos. Op 1 Februarie spaar sy , en elke dag spaar sy meer as wat sy die vorige dag gespaar het. So, op die tweede dag spaar sy , ensovoorts. Na hoeveel dae sal sy genoeg geld gespaar het om die boek te koop?

Dit is 'n rekenkundige reeks.

aangesien 'n positiewe heelgetal moet wees.

'n Plant bereik 'n hoogte van na een jaar, onder ideale omstandighede in 'n kweekhuis. Gedurende die volgende jaar, vermeerder die hoogte met . In elke opeenvolgende jaar, neem die hoogte toe met van die vorige jaar se groei. Toon aan dat die plant nooit 'n hoogte van meer as sal bereik nie.

Dis is 'n meetkundige reeks.

Dus die hoogte van die plant is beperk tot + =

Bereken die waarde van as:

Dit is 'n rekenkundige reeks.

aangesien 'n positiewe heelgetal moet wees.

Michael spaar gedurende die eerste maand van sy werksloopbaan. In elke opeenvolgende maand spaar hy % meer as wat hy in die vorige maand gespaar het.

Hoeveel het hy gespaar in die sewende maand wat hy gewerk het?

Dis is 'n meetkundige reeks.

Dus het hy gespaar in die sewende maand.

Hoeveel het hy altesaam gespaar in sy eerste werkende maande?

Dus het hy gespaar in die eerste maande.

Kaapstad Hoërskool wil 'n skoolsaal bou en hulle is besig met fondsinsameling. Mnr. Manuel, 'n oudleerder van die skool en 'n suksesvolle politikus, bied aan om geld te skenk vir die skool. Omdat hy Wiskunde op skool geniet het, besluit hy om 'n bedrag geld te skenk op die volgende basis. Hy stel 'n wiskunde vasvra op met vrae. Vir die korrekte antwoord op die eerste vraag (enige leerder mag antwoord), kry die skool , vir 'n korrekte antwoord op die tweede vraag, kry die skool , ensovoorts. Die donasies vorm 'n meetkundige reeks. Bereken, tot die naaste Rand:

Die bedrag geld wat die skool sal ontvang vir die korrekte antwoord op die vraag.

Dis is 'n meetkundige reeks.

Hulle ontvang vir vraag .

Die totale bedrag geld wat die skool sal ontvang as al die vrae korrek beantwoord word.

Hulle ontvang !

Die eerste term van 'n meetkundige reeks is , en die verhouding van die som van die eerste agt terme tot die som van die eerste vier terme is . Vind die eerste drie terme van die reeks, as dit gegee word dat al die terme positief is.

Gegee die meetkundige reeks:

Bepaal , ().

Toon aan dat die konstante verhouding is.

Bepaal die tiende term van die reeks korrek tot een desimale plek.

Die tweede en vierde terme van 'n konvergerende meetkundige reeks is en , onderskeidelik. Vind die som tot oneindig van hierdie reeks, as al die terme positief is.

Evalueer:

verteenwoordig die som van die eerste terme van 'n spesifieke reeks. Vind die tweede term.

Bepaal of die volgende reeks konvergeer vir die gegewe waardes van . As dit konvergeer, bereken die som tot oneindig.

Dit is 'n meetkundige reeks.

Dit is 'n meetkundige reeks.

Bereken:

Dit is 'n meetkundige reeks.

Die som van die eerste terme van 'n reeks is . Vind die tiende term.

Alternatiewe metode:

Dit is 'n rekenkundige reeks.

Die magte van word verwyder uit die versameling positiewe heelgetalle

Vind die som van die oorblywende heelgetalle.

Verwyder die magte van om 'n aparte reeks te vorm:

Dis is 'n meetkundige reeks.

Beskou die patroon hieronder:

As die patroon voortgesit word, vind die aantal letters in die kolom wat die M's bevat.

Dit is 'n rekenkundige reeks.

As die totale aantal letters in die patroon is, watter letter sal in die laaste kolom wees?

dus die letter "s" sal in die laaste kolom wees.

Skryf as 'n gewone breuk.

Herskryf die repeterende desimaal:

Die deel in vierkantige hakies is 'n meetkundige reeks met en .

Gegee:

Vir watter waardes van sal konvergeer?

Dit is 'n meetkundige reeks met en . Vir die reeks om te konvergeer:

Bepaal die waarde van .

Vanaf die definisie van 'n meetkundige reeks, lei 'n formule af vir die berekening van die som van terme van die reeks

Bereken die tiende term van die reeks as, .

Alternatiewe metode:

'n Teater word vol teen 'n tempo van mense in die eerste minuut, mense in die tweede minuut, en mense in die derde minuut ensovoorts. Na minute is die teater half vol. Na hoeveel minute sal die teater vol wees?

[IEB, Nov 2001]

Dit neem minute vir die teater om vol te word.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Hoofstuk 2: Funksies

Leerders moet aangemoedig word om seker te maak of die inverse 'n funsie is of nie.

Dit is baie belangrik dat leerders sal verstaan dat die notasie slegs gebruik kan word as die inverse 'n funksie is.

Leerders moenie die inverse funksie en die resiprook met mekaar verwar nie.

Moedig leerders aan om beperkings te noem, veral as dit kwadratiese funksies is.

Leerders moet verstaan dat reële wortels het vir .

Oefeninge oor paraboliese funksies met horisontale en vertikale verskuiwings is ingesluit vir verryking en is duidelik so gemerk.

Die logaritmiese funksie word voorgestel as die inverse van die eksponensiële funksie. Leerders moet verstaan dat die logaritmiese funksie ons toelaat om die eksponensiële funksie oor te skryf met die eksponent as die onderwerp van die formule.

Dit is baie belangrik dat leerders moet kan verander van eksponensiële vorm na logaritmiese vorm en omgekeerd. Die vaardigheid is ook belangrik om die periode van 'n belegging of lening in Finansiële Wiskunde te bepaal.

Leerders moet aangemoedig word om die definisie en die verandering van die grondtal te gebruik om probleme op te los. Manipulasie met die logaritmiese wette word nie gevra in die eksamen nie.

Leerders moet aangemoedig word om die LOG funksie op hul sakrekenaars te leer gebruik en dan ook die sakrekenaar te gebruik om hul antwoorde te toets.

Inhoud vir verryking is nie eksamineerbaar nie en word duidelik so gemerk.

2.1 Hersiening (EMFCKQ)

In vorige grade het ons die eienskappe van lineêre, kwadratiese, hiperboliese en eksponensiële funksies geleer. In hierdie hoofstuk konsentreer ons op die vermoë om met verskillende tipes funksies en relasies, insluitend inverses, te werk. In die besonder sal ons kyk na die grafieke van die inverses van:

Lineêre funksies: of

Kwadratiese funksies:

Eksponensiële funksies:

Uitgewerkte voorbeeld 1: Lineêre funksie

Teken 'n grafiek van en noem die beduidende eienskappe van hierdie lineêre funksie.

Skryf die vergelyking in standaardvorm

Trek 'n grafiek van die reguitlyn

Om 'n grafiek van die reguitlyn te trek, kan ons die gradiënt-afsnit metode gebruik:

Alternatiewe metode: ons kan die - en -afsnitte bepaal en dit soos volg plot:

Vir die -afsnit, laat :

Dit gee die punt .

Vir die -afsnit, laat :

Dit gee die punt .

Bepaal die eienskappe

Gradiënt:

Afsnitte:

Definisieversameling:

Waardeversameling:

Dalende funksie: as toeneem, sal afneem.

Nota:

Gebied/definisieversameling/invoerversameling: waar die definisieversameling die toegelate -waardes in versamelingnotasie uitdruk.

Terrein/waardeversameling/uitvoerversameling: waar die waardeversameling die toegelate -waardes in versamelingnotasie uitdruk.

Uitgewerkte voorbeeld 2: Kwadratiese funksie

Skryf die kwadratiese funksie in standaardvorm. Skets die grafiek van die funksie en noem die belangrikste eienskappe.

Skryf die vergelyking in standaardvorm

Ons sien dus, dat:

Skets die grafiek van die parabool

Vir die -afsnit, laat :

Dit gee die punt .

Vir die -afsnit, laat :

Dit gee die punte en .

Noem die beduidende kenmerke

Vorm: , dus is die grafiek 'n “glimlag”.

Afsnitte:

Draaipunt:

Simmetrie-asse:

Gebied:

Terrein:

Die funksie neem af vir en neem toe vir .

Uitgewerkte voorbeeld 3: Eksponensiële funksie

Skets die grafieke van en op dieselfde assestelsel en vergelyk die twee funksies.

Bestudeer die funksies en bepaal die inligting wat nodig is om die grafieke te trek

Beskou die funksie:

Asimptote: het 'n horisontale asimptoot, die lyn , wat die -as is.

Beskou die funksie:

Asimptote: het ook 'n horisontale asimptoot by .

Skets die grafieke van die eksponensiële funksies

Noem die beduidende kenmerke

Simmetrie: en is simmetries om die -as.

Gebied van en :

Terrein van en :

Die funksie neem af as toeneem en die funksie neem toe as toeneem. Die twee grafieke sny mekaar by die punt .

Oefening 2.1Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Skets die grafieke op dieselfde assestelsel en bepaal die volgende vir elke funksie:

Afsnitte

Draaipunt

Simmetrie-as

Gebied en terrein

Maksimum en minimum waardes

en

Vir :

Vir :

en

Vir :

Vir :

en

Vir :

Vir :

Gegee en . Bepaal die waardes van en as en deur die punt gaan. Skets die grafieke van beide funksies op dieselfde assestelsel.

Gegee en . Bepaal die - en -afsnitte en skets beide grafieke op dieselfde assestelsel.

Vir :

Vir :

Skryf die lineêre funksie in standaardvorm:

Gegee en .

Skets op dieselfde assestelsel.

Bepaal die afsnitte, asimptote, gebied en terrein vir elk van die funksies.

Vir :

Vir :

Vir :

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

2.2 Funksies en relasies (EMFCKR)

Relasie

'n Reël wat elke element van versameling met ten minste een element van versameling assosieer.

Funksie

'n Reël wat die elemente van een versameling op 'n unieke manier assosieer met die elemente van 'n ander versameling ; elke element in versameling word afgebeeld op een element van .

Funksies kan een-tot-een relasies of meer-tot-een relasies wees. 'n Baie-tot-een relasie assosieer twee of meer waardes van die onafhanklike (invoer) veranderlike met 'n enkele waarde van die afhanklike (uitvoer) veranderlike. Die gebied is die waardes waarop die reël toegepas word en die terrein is die waardes (ook afbeeldings of funksiewaardes genoem) wat deur die reël bepaal word .

Voorbeeld van 'n een-tot-een funksie:

Voorbeeld van 'n meer-tot-een funksie:

Tog is daar baie algemene wiskundige konstruksies wat nie funksies is nie. Byvoorbeeld, beskou die relasie . Hierdie relasie beskryf 'n sirkel met radius en met middelpunt by die oorsprong. As ons maak, sien ons dat en dus is of . Dit is dus 'n een-tot-meer relasie omdat 'n enkele -waarde verbind met twee verskillende -waardes. Dus is nie 'n funksie nie.

Vertikale lyn toets

As die grafiek van 'n relasie gegee word, is daar 'n eenvoudige toets om te bepaal of die relasie 'n funksie is of nie. Dit word die vertikale lyn toets genoem. As dit moontlik is om 'n vertikale lyn ('n lyn van 'n konstante ) te trek en dit sny die grafiek van die relasie meer as een keer is die relasie nie 'n funksie nie. As meer as een snypunt voorkom, sal die snypunte ooreenkom met meer as een waarde van vir elke enkele waarde van (een-tot-meer).

As enige vertikale lyn die grafiek net een keer sny, is die relasie 'n funksie (een-tot-een of meer-tot-een).

Die rooi vertikale lyn sny die sirkel twee keer en daarom is die sirkel nie 'n funksie nie.

Die rooi vertikale lyn sny die parabool net een keer en daarom is die parabool 'n funksie.

Oefening 2.2Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Beskou die grafieke hieronder en bepaal of hulle funksies is of nie:

Ja

Ja

Ja

Nee

Ja

Nee

Ja

Nee

Skets die volgende en bepaal of hulle funksies is of nie:

Die tabel hieronder gee die gemiddelde inkomste per kop, , in 'n sekere streek van die land as 'n funksie van , die persentasie werklose mense. Skryf 'n vergelyking neer wat toon dat die gemiddelde inkomste 'n funksie van die persentasie werklose mense is.

1

2

3

4

Die inkomste per kop is 'n maatstaf van die gemiddelde inkomste wat 'n persoon in 'n sekere streek verdien.

Ons sien dat daar 'n konstante verskil van tussen die opeenvolgende waardes van is, dus is die relasie 'n lineêre funksie in die vorm :

is die onafhanklike veranderlike en is die afhanklike veranderlike.

Stel enige van die gegewe stel waardes in om vir op te los:

Die funksie is:

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Funksie notasie

Vir die funksie , is die afhanklike veranderlike, omdat die waarde van (uitvoer) van die waarde van (invoer) afhang. Ons sê is die onafhanklike veranderlike, omdat ons as enige getal kan kies. Net so, as , dan is die onafhanklike veranderlike en is die funksie se naam.

As en ons moet bepaal waar , dan los ons vir op uit:

As en ons moet bepaal, dan bereken ons die waarde van wanneer :

2.3 Inverse funksies (EMFCKS)

'n Inverse funksie is 'n funksie wat die “omgekeerde” doen van 'n gegewe funksie. Meer formeel gestel, as 'n funksie met gebied is, dan is die inverse funksie as en slegs as vir elke .

'n Funksie moet 'n een-tot-een relasie wees as die inverse ook 'n funksie moet wees. As 'n funksie 'n inverse funksie het, dan is omkeerbaar.

As die funksie gegee word, bepaal ons die inverse deur:

omruiling van en in die vergelyking;

maak die onderwerp van die vergelyking;

druk die nuwe vergelyking uit in funksie notasie.

Neem kennis: as die inverse nie 'n funksie is nie kan dit nie in funksie notasie geskryf word nie. Byvoorbeeld, die inverse van kan nie as geskryf word nie omdat dit nie 'n funksie is nie. Ons skryf die inverse as en kom tot die gevolg dat nie omkeerbaar is nie.

As ons die funksie en die inverse funksie grafies voorstel, dan word die twee grafieke om die lyn reflekteer. Enige punt op die lyn het - en -koördinate met dieselfde numeriese waarde, byvoorbeeld en . Dus maak omruiling van - en -waardes geen verskil nie.

Die diagram toon die eksponensiële funksie (swart grafiek) en sy inverse (blou grafiek) wat om die lyn (grys lyn) gereflekteer word.

Belangrik: vir , is die boskrif nie 'n eksponent nie. Die notasie dui die inverse van 'n funksie aan. Moenie dit met eksponente soos byvoorbeeld of verwar nie.

Wees versigtig om nie die inverse van 'n funksie en die resiprook van 'n funksie met mekaar te verwar nie:

Inverse | Resiprook
en is simmetries t.o.v. |
Voorbeeld: | Voorbeeld:

Video: 29RP

2.4 Lineêre funksies (EMFCKT)

Inverse van die funksie (EMFCKV)

Uitgewerkte voorbeeld 4: Inverse van die funksie

Bepaal die inverse funksie van en skets die grafieke van en op dieselfde assestelsel.

Bepaal die inverse van die gegewe funksie

Ruil en in die vergelyking om.

Maak die onderwerp van die nuwe vergelyking.

Druk die vergelyking in funksie notasie uit.

Dus, .

Skets die grafieke op dieselfde assestelsel

Die grafiek van is die refleksie van in die lyn . Dit beteken dat elke punt op die grafiek van 'n spieëlbeeld op die grafiek van het.

Om die inverse funksie van te bepaal:

Dus is die inverse van , . As 'n lineêre funksie omkeerbaar is, dan is sy inverse ook lineêr.

Uitgewerkte voorbeeld 5: Inverses - gebied, terrein en afsnitte

Bepaal en skets die inverse funksie van . Gee die gebied, terrein en afsnitte.

Bepaal die inverse van die gegewe funksie

Ruil en in die vergelyking om.

Maak die onderwerp van die nuwe vergelyking.

Druk die vergelyking in funksie notasie uit.

Dus, .

Skets die grafieke op dieselfde assestelsel

Die grafiek van is die refleksie van om die lyn .

Bepaal die gebied, terrein en afsnitte

Let op dat die afsnitte van en spieëlbeelde is van mekaar. Met ander woorde, die - en -waardes het plekke omgeruil. Dit is waar vir elke punt op die twee grafieke.

Gebied en terrein

Vir 'n funksie in die vorm , is die gebied en die terrein. As 'n funksie se inverse bepaal word, ruil die gebied en terrein om. Dus sal die gebied en terrein van die inverse van 'n lineêre funksie en onderskeidelik wees.

Afsnitte

Die algemene vorm van 'n lineêre funksie is en van sy inverse .

Die -afsnit word verkry deur :

Dit gee die punt .

Die -afsnit word verkry deur :

Dit gee die punt .

Dit is interessant om daarop te let dat as , sal en die -afsnit van is die -afsnit van en die -afsnit van is die -afsnit van .

Video: 29RQ

Oefening 2.3Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Gegee , bepaal .

Beskou die relasie .

Is die relasie 'n funksie? Gee 'n rede vir jou antwoord.

Ja dit is 'n funksie. Elke -waarde word verbind met slegs een -waarde, dit is dus 'n een-tot-een relasie.

Identifiseer die gebied en terrein.

Bepaal .

Skets die grafiek van die funksie en sy inverse op dieselfde assestelsel. Dui die afsnitte en simmetrie-as van die twee grafieke aan.

Die afsnitte is:

is 'n punt op en is 'n punt op . Bepaal die koördinate van as en simmetries is.

Verduidelik waarom die lyn 'n simmetrie-as is vir die funksie en sy inverse.

Om 'n funksie te reflekteer om die -as, vervang ons elke met . Net so, om 'n funksie te reflekteer om -as, vervang ons elke met . Om 'n funksie te reflekteer om 'n lyn , vervang ons met en met , wat eintlik is hoe ons 'n inverse bepaal.

Sal die lyn 'n simmetrie-as vir die funksie en sy inverse wees?

Nee dit sal nie.

Gegee , bepaal .

Bereken die afsnitte van en .

Beskou :

Beskou :

Daarom is die afsnitte van , en en die afsnitte van is en .

Bereken die koördinate van , die snypunt van en .

Om die snypunt te bepaal, laat ons :

Dit gee die punt .

Skets die grafieke van en op dieselfde assestelsel. Toon die afsnitte en die punt op die grafiek aan.

Is 'n stygende of dalende funksie?

Dalende funksie. Die funksie se waardes neem af as toeneem.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

2.5 Kwadratiese funksies (EMFCKW)

Inverse van die funksie (EMFCKX)

Uitgewerkte voorbeeld 6: Inverse van die funksie

Bepaal die inverse van die kwadratiese funksie en skets beide die grafieke op dieselfde assestelsel.

Bepaal die inverse van die funksie

Ruil en om in die vergelyking.

Maak die onderwerp van die nuwe vergelyking.

Skets die grafieke op dieselfde assestelsel

Let op dat die inverse nie die vertikale lyn toets slaag nie en dus nie 'n funksie is nie.

Om die inverse funksie van te bepaal:

Die vertikale lyn toets wys dat die inverse van 'n parabool nie 'n funksie is nie. Ons kan egter die gebied beperk sodat die inverse van die parabool 'n funksie is.

Gebied en terrein

Beskou die vorige uitgewerkte voorbeeld en sy inverse :

As ons die gebied van beperk sodat , dan slaag die vertikale lyn toets en is dit 'n funksie.

As die beperking op die gebied van is, dan sal ook 'n funksie wees.

Die gebied van die funksie is gelyk aan die terrein van die inverse. Die terrein van die funksie is gelyk aan die gebied van die inverse.

Net so, het 'n beperking op die gebied van die funksie tot gevolg dat daar 'n beperking op die terrein van die inverse is en omgekeerd.

Uitgewerkte voorbeeld 7: Inverses - gebied, terrein en beperkings

Bepaal die inverse van en skets beide grafieke op dieselfde assestelsel. Beperk die gebied van sodat die inverse 'n funksie is.

Beskou die funksie en bepaal die inverse

Bepaal die inverse van die funksie:

Skets beide grafieke op dieselfde assestelsel

Bepaal die beperking op die gebied

Opsie : Beperk die gebied van tot sodat die inverse ook 'n funksie is. Die beperking op die gebied van sal die terrein van beperk sodat .

of

Opsie : Beperk die gebied van tot sodat die inverse ook 'n funksie is. Die beperking op die gebied van sal die terrein van beperk sodat .

Uitgewerkte voorbeeld 8: Inverses - gebied, terrein en beperkings

Bepaal die inverse van .

Skets beide grafieke op dieselfde assestelsel.

Beperk die gebied van sodat die inverse 'n funksie is.

Bepaal die inverse van die funksie

Neem kennis: is slegs gedefinieerd as .

Skets beide grafieke op dieselfde assestelsel

Die inverse slaag nie die vertikale lyn toets nie en is dus nie 'n funksie nie.

Bepaal die beperking op die gebied

As :

As :

Oefening 2.4Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal die inverse van elk van die volgende funksies:

Die funksie vir word gegee.

Bepaal die inverse van

Skets en op dieselfde assestelsel.

Is 'n funksie? Verduidelik jou antwoord.

Ja. Dit slaag die vertikale lyn toets en is 'n een-tot-een relasie.

Gee die definisieversameling en waardeversameling van en .

Bepaal die koördinate van die snypunt(e) van die funksie en sy inverse.

Om die snypunte te bepaal, stel ons en gelyk aan mekaar:

Dus kry ons die punte of .

Die grafiek van die parabool word gegee met en dit gaan deur die punt .

Bepaal die vergelyking van die parabool.

Bepaal die gebied en terrein van .

Gee die koördinate van die punt op wat simmetries is met die punt om die lyn .

Bepaal die vergelyking van .

Bepaal die definisieversameling en waardeversameling van .

Skets die grafiek van .

Bepaal die inverse van .

Skets beide grafieke op dieselfde assestelsel:

Beperk die definisieversameling van sodat die inverse 'n funksie is.

Opsie : Beperk die definisieversameling van tot sodat die inverse ook 'n funksie is. Die beperking op die definisieversameling van sal die waardeversameling van beperk sodat .

of

Opsie : Beperk die definisieversameling van tot sodat die inverse ook 'n funksie is. Die beperking op die definisieversameling van sal die waardeversameling van beperk sodat .

Die diagram toon die grafieke van en . Beide die grafieke gaan deur die punt .

Bepaal die waardes van , en .

Op die grafiek sien ons dat die reguitlyn deur die oorsprong gaan, dus is .

Gee die definisieversameling en waardeversameling van en .

Vir watter waardes van is ?

Bepaal .

Bepaal die koördinate van die snypunt(e) van en .

Om die koördinat(e) van die snypunte te bepaal, stel ons gelyk aan :

Dus sny die twee grafieke by en .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Uitgewerkte voorbeeld 9: Inverses - gemiddelde gradiënt

Gegee:

Bepaal die inverse, .

Bepaal die punt waar en mekaar sny.

Skets en op dieselfde assestelsel.

Gebruik die skets en bepaal of en stygende of dalende funksies is.

Bereken die gemiddelde gradiënt van tussen die twee snypunte.

Bepaal die inverse van die funksie

Bepaal die snypunt

Dus gee dit die punte A en .

Skets beide grafieke op dieselfde assestelsel

Beskou die grafieke

Vanaf die grafieke sien ons dat beide en die vertikale lyn toets slaag en dus funksies is.

Bereken die gemiddelde gradiënt

Bereken die gemiddelde gradiënt van tussen die punte A en .

Neem kennis: dit is ook die gemiddelde gradiënt van tussen die punte en .

Oefening 2.5Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Skets die grafiek van en gee die koördinate van enige punt behalwe die oorsprong op die grafiek.

Bepaal die vergelyking van die inverse van .

Skets die grafiek en die inverse op dieselfde assestelsel.

Is die inverse 'n funksie? Verduidelik jou antwoord.

Nee. Vir sekere waardes van , sny die inverse die vertikale lyn op twee plekke. Dus is dit nie 'n funksie nie.

is 'n punt op . Bepaal die koördinate van , die punt op die grafiek van die inverse wat simmetries is tot om die lyn .

Bereken die gemiddelde gradiënt tussen:

die oorsprong en ;

die oorsprong en .

Interpreteer die antwoorde.

en .

Beide gradiënte is positief en hulle is ook resiproke van mekaar.

Die funksie , word gegee en dit gaan deur die punt .

Bepaal die waarde van .

Bepaal die gebied en terrein van .

Bepaal die vergelyking van .

Bepaal die gebied en terrein van .

Skets die grafieke van en op dieselfde assestelsel.

Is 'n stygende of dalende funksie?

Dalende funksie: as die waarde van toeneem, neem die funksiewaarde af .

Gegee: .

Bepaal .

Bereken die punt(e) waar en mekaar sny.

Dus die snypunte is en .

Skets en op dieselfde assestelsel.

Gebruik die skets en bepaal of en stygende of dalende funksies is.

Bereken die gemiddelde gradiënt van tussen die twee snypunte.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

2.6 Eksponensiële funksies (EMFCKY)

Hersiening van eksponente

Die eksponent dui op die aantal kere wat 'n sekere getal (die basis of grontal) met homself vermenigvuldig word. Die eksponent, wat ook indeks of mag genoem word, dui op die aantal kere wat die vermenigvuldiging herhaal word. Byvoorbeeld, .

Grafieke van die eksponensiële funksie

Die waarde van bepaal die rigting van die grafiek:

As , is 'n stygende funksie.

As , is 'n dalende funksie.

As , is nie gedefinieerd nie.

Nie gedefinieerd nie

Inverse van die funksie (EMFCKZ)

Bepaal die inverse

Funksie | Tipe funksie | Inverse: | Inverse:
|  | ruil en om | maak die onderwerp

Beskou die eksponensiële funksie

Om die inverse van die eksponensiële funksie te bepaal, ruil ons die - en -veranderlikes om:

Vir reguitlyn funksies en paraboliese funksies kon ons die inverse maklik manipuleer om die onderwerp van die formule te maak. Vir die inverse van die eksponensiële funksie egter is die indeks en ons ken nie 'n metode om dit die onderwerp van die formule te maak nie.

Om hierdie probleem op te los, het wiskundiges die logaritmiese funksie gedefinieer. Die logaritmiese funksie laat ons toe om die uitdrukking oor te skryf met as die onderwerp van die formule:

Dit beteken dat dieselfde is as en beide is die inverse van die eksponensiële funksie .

Logaritmes (EMFCM2)

Logaritme

As , dan is , waar , en .

Let op dat die hakies om die getal nie verpligtend is nie, ons gebruik dit net om verwarring te voorkom.

Die logaritme van 'n getal met 'n sekere grondtal , is gelyk aan die eksponent waartoe die grondtal verhef moet word om die getal te gee.

Byvoorbeeld, beteken die mag van wat sal gee. Omdat , sien ons dat . Dus is die eksponensiële vorm en die logaritmiese vorm is .

Beperkings op die definisie van logaritmes

Eksponensiële en logaritmiese vorm

Bespreek die volgende stellings en bepaal of hulle waar of onwaar is:

is die inverse van .

is 'n een-tot-een funksie, daarom is ook 'n een-tot-een funksie.

is die inverse van .

is dieselfde as .

Om die inverse funksie van te bepaal:

Daarom, as ons die eksponensiële funksie het, is die inverse die logaritmiese funksie .

Die “algemene logaritme” het 'n grondtal van en kan geskryf word as . Met ander woorde, die uitdrukking wat geskryf word sonder 'n grondtal word gesien as die logaritme met grondtal . Byvoorbeeld, .

Video: 29SD

Uitgewerkte voorbeeld 10: Eksponensiële vorm na logaritmiese vorm

Skryf die volgende eksponensiële uitdrukkings in logaritmiese vorm en druk elk in woorde uit:

Bepaal die inverse van elk van die gegewe eksponensiële uitdrukkings

Onthou: is dieselfde as .

Druk in woorde uit

is die mag waartoe verhef moet word om die getal te gee.

is die mag waartoe verhef moet word om die desimale getal te gee.

is die mag waartoe verhef moet word om die getal te gee.

Uitgewerkte voorbeeld 11: Logaritmiese vorm na eksponensiële vorm

Skryf die volgende logaritmiese uitdrukkings in eksponensiële vorm:

Bepaal die inverse van die gegewe logaritmiese uitdrukking

Vir , kan ons skryf.

Oefening 2.6 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Skryf die volgende in logaritmiese vorm:

.

.

.

.

Druk elk van die volgende logaritmes in woorde uit en skryf dit dan in eksponensiële vorm:

Die logaritme van met grondtal is gelyk aan .

Die logaritme van met grondtal is gelyk aan .

Die logaritme van met grondtal is gelyk aan .

Die logaritme van met grondtal is gelyk aan .

Die logaritme van met grondtal is gelyk aan .

Die logaritme van met grondtal is gelyk aan .

Die logaritme van tot grondtal is .

Die logaritme van met grondtal is .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Logaritmiese grondtalle (EMFCM3)

Van die definisie van 'n logaritme weet ons dat die grondtal van 'n logaritme 'n positiewe getal moet wees en dit kan nie gelyk wees aan nie. Die waarde van die grondtal beïnvloed die waarde van die logaritme. Byvoorbeeld, is nie dieselfde as en is nie dieselfde as , ().

Ons bereken dikwels die “algemene logaritme”, wat 'n grondtal van het en dit kan geskryf word as . By boorbeeld, .

Die “natuurlike logaritme”, wat 'n grondtal van het ('n irrasionale getal met 'n waarde tussen en ), kan geskryf word as . Byvoorbeeld, .

Spesiale logaritmiese waardes

Logaritmiese wette (EMFCM4)

In vorige grade het ons die volgende eksponensiële wette gebruik vir bewerkings met eksponente:

as , en .

Die logaritmiese wette is gebaseer op die eksponensiële wette en maak die werk met logaritmes baie makliker.

Logaritmiese wette:

Die laaste twee logaritmiese wette in die lys hierbo word nie behandel in hierdie afdeling nie. Hulle sal bespreek word aan die einde van die hoofstuk en is slegs ingesluit vir verryking.

BELANGRIK: DIE BEWYSE WORD NIE GEVRA IN DIE EKSAMEN NIE

Logaritmiese wet:

In woorde: die logaritme van 'n getal wat tot 'n mag verhef is, is gelyk aan die waarde van die mag vermenigvuldig met logaritme van die getal.

Uitgewerkte voorbeeld 12: Toepassing van die logaritmiese wet

Bepaal die waarde van .

Gebruik die logaritmiese wet om die uitdrukking te vereenvoudig

Skryf die finale antwoord neer

Spesiale geval:

Die volgende is 'n spesiale geval van die logaritmiese wet :

Video: 29SZ

Oefening 2.7 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Vereenvoudig die volgende

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Logaritmiese wet:

Dit is dikwels nodig of gerieflik om die grondtal van 'n logaritme te verander na 'n ander getal. Hierna word verwys as die verandering van die grondtal.

Spesiale toepassings:

Video: 29TG

Uitgewerkte voorbeeld 13: Toepassing van die logaritmiese wet

Toon:

Vereenvoudig die regterkant van die vergelyking

Vereenvoudig die linkerkant van die vergelyking

Skryf die finale antwoord neer

Ons het aangetoon dat .

Uitgewerkte voorbeeld 14: Toepassing van die logaritmiese wet

As en , druk die volgende uit in terme van en :

Gebruik die verandering van die grondtal om die uitdrukking te vereenvoudig

Oefening 2.8 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Skakel die volgende om:

na grondtal

na grondtal

na grondtal

na grondtal

na grondtal

'n logaritme is gelyk aan die resiprook van die inverse.

na grondtal

Vereenvoudig die volgende deur die grondtal te verander:

As en , bepaal (korrek tot desimale plekke):

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Logaritmes en die gebruik van die sakrekenaar (EMFCM5)

Berekening van 'n logaritmiese waarde

Daar is verskeie tipes en modelle van wetenskaplike sakrekenaars. Dit is baie belangrik om vertroud te wees met jou eie sakrekenaar se funksiesleutels. Sommige sakrekenaars het slegs twee funksiesleutels vir logaritmes: een vir die berekening van die algemene logaritme (grondtal gelyk aan ) en 'n tweede een vir die berekening van 'n natuurlike log (grondtal is gelyk aan ). Nuwer modelle het 'n derde sleutel wat die gebruiker toelaat om die logaritme van 'n getal met 'n sekere grondtal te bepaal.

Uitgewerkte voorbeeld 15: Gebruik van sakrekenaar: logaritmiese funksie

Gebruik 'n sakrekenaar om die volgende waarde te bereken (korrek tot desimale plekke):

Gebruik die algemene logaritmiese funksie op jou sakrekenaar

Maak seker dat jy bekend is met die “LOG” funksie op jou sakrekenaar. Let op dat die grondtal vir elk van die logaritmes hierbo is.

Skryf die finale antwoord neer

ongedefinieerd

Uitgewerkte voorbeeld 16: Gebruik die sakrekenaar: inverse van logaritmiese funksie

Gebruik 'n sakrekenaar om die volgende waarde te bereken (korrek tot desimale plekke):

Gebruik die tweede funksie en algemene logaritmiese funksie op jou sakrekenaar

Vir elk van die logarimes wat hierbo gegee is, moet ons die inverse van die logaritme (word somtyds die antilog genoem) bereken. Maak seker dat jy bekend is met die “nd F” sleutel op jou sakrekenaar.

Let op dat deur die druk van “nd F” sleutel en dan die “LOG” sleutel, gebruik ons die “” funksie op die sakrekenaar, en dit is reg omdat eksponensiale die inverse is van logaritmes.

Skryf die finale antwoord neer

Uitgewerkte voorbeeld 17: Gebruik die sakrekenaar: verandering van grondtal

Gebruik die sakrekenaar en bepaal korrek tot twee desimale plekke.

Gebruik die verandering van die grondtal om gegewe logaritmes om te skakel na grondtal

Gebruik die algemene logaritmiese funksie op jou sakrekenaar

Skryf die finale antwoord neer

Belangrik:

Moenie 'n tussenstap neerskryf wanneer hierdie tipe berekening gedoen word nie.

Doen die berekening in een stap op jou sakrekenaar:

Moenie afrond voordat jy by die finale antwoord gekom het nie omdat jou antwoord dan nie akkuraat is nie.

Maak seker dat jy die korrekte volgorde van stappe op jou sakrekenaar volg as jy dit gebruik.

Oefening 2.9 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bereken die volgende (korrek tot drie desimale plekke)

geen waarde

Gebruik 'n sakrekenaar om die volgende te bereken (korrek tot twee desimale plekke). Toets jou antwoord deur na eksponensiële vorm oor te skakel.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Eksponensiële en logarimiese grafieke (EMFCM6)

Uitgewerkte voorbeeld 18: Grafieke van die inverse van

Op dieselfde assestelsel, teken die grafieke van en sy inverse . Ondersoek die eienskappe van en .

Bepaal die eienskappe van

Funksie:

Vorm: stygende grafiek

Afsnit(te):

Asimptoot: horisontale asimptoot by -as, lyn

Gebied:

Terrein:

Trek die grafieke

Die grafiek van die inverse is die refleksie van om die lyn .

Bepaal die eienskappe van

Funksie:

Vorm: stygende grafiek

Afsnit(te):

Asimptoot: vertikale asimptoot by -as, lyn

Gebied:

Terrein:

Let op dat die inverse 'n funksie is: is 'n een-tot-een funksie omdat elke invoerwaarde met slegs een uitvoerwaarde geassosieer word.

Die eksponensiële funksie en die logaritmiese funksie is inverses van mekaar:

die gebied van die funksie is gelyk aan die terrein van die inverse

die terrein van die funksie is gelyk aan die gebied van die inverse

die -afsnit van die funksie is gelyk aan die -afsnit van die inverse

die -afsnit van die funksie is gelyk aan die -afsnit van die inverse

die asimptoot van die funksie is en die asimptoot van die inverse is

die grafieke word gereflekteer om die lyn

Uitgewerkte voorbeeld 19: Grafieke van

Teken 'n sketsgrafiek van .

Reflekteer die grafiek van om die -as om sodoende die grafiek van te kry.

Ondersoek die eienskappe van .

Gebruik en om 'n algemene gevolgtrekking voor te stel.

Skets die grafiek van

Reflekteer om die -as

'n Maklike manier om 'n grafiek om 'n sekere lyn te reflekteer is om jou voor te stel jy vou die Cartesiese vlak op daardie lyn en die grafiek word gedruk op die vlak.

Ondersoek die eienskappe van

Funksie: slaag die vertikale lyn toets

Vorm: dalende grafiek

Afsnit(te):

Asimptoot: vertikale asimptoot by -as, lyn

Gebied:

Terrein:

Omdat simmetries is met betrekking tot om die -as, beteken dit dat elke -waarde van ooreenstem met 'n -waarde met die teenoorgestelde teken van .

Algemene gevolgtrekking

Vanaf die voorbeeld van en sien ons dat:

Uitgewerkte voorbeeld 20: Grafiek van

Teken 'n sketsgrafiek van .

Trek die grafiek van , die refleksie van om die lyn .

Ondersoek die eienskappe van .

Skryf die nuwe vergelyking neer as eenheid opwaarts en eenhede regs geskuif word.

Skets die grafiek van

Reflekteer om die lyn

Ondersoek die eienskappe van

Funksie: slaag die vertikale lyn toets

Vorm: dalende grafiek

Afsnit(te):

Asimptoot: horisontale asimptoot by -as, lyn

Gebied:

Terrein:

Omdat simmetries is met om die lyn , beteken dit dat die inverse van is.

Daarom is 'n eksponensiële funksie in die vorm met . Met ander woorde, die grondtal is 'n positiewe breuk met waarde tussen en .

Vertikale en horisontale verskuiwings

As eenheid opwaarts en eenhede na regs geskuif word, dan sal die nuwe vergelyking wees:

Die vertikale asimptoot is en die horisontale asimptoot is .

Opsomming van die grafieke: en

| Eksponensiële funksie | Logaritmiese funksie | Simmetrie-as
Simmetrie-as | -as, | -as, |

Video: 29VQ

Oefening 2.10 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Gegee .

Skets die grafieke van en op dieselfde assestelsel. Benoem elke grafiek duidelik.

Gee die afsnit(te) van beide grafieke.

en

Dui , die snypunt van en , duidelik aan.

Let op dat die snypunt van die funksie en sy inverse op die lyn lê.

Gee die gebied, terrein en vergelykings van asimptote van elke funksie.

Funksie | Gebied | Terrein | Asimptote
|  |  | -as,
|  |  | -as,

Gegee met 'n punt op die grafiek van .

Bepaal die waarde van

Bepaal die inverse van

Gebruik simmetrie met betrekking tot die lyn om die grafieke van en op dieselfde assestelsel te skets.

Punt lê op die grafiek van en is simmetries tot die punt om die lyn . Bepaal die koördinate van .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Toepassings van logaritmes (EMFCM7)

Logaritmes het baie verskillende toepassings:

seismoloë gebruik logaritmes om die sterkte van aardbewings te bepaal

finansiële instellings gebruik logaritmes om die tydperke van terugbetalings van lenings uit te werk

wetenskaplikes gebruik logaritmes om die koers van radioaktiewe verval te bepaal

bioloë gebruik logaritmes om die koers van bevolkingsgroei te bepaal

wetenskaplikes gebruik logaritmes om die pH-vlakke van te bepaal

Video: 29VT

Uitgewerkte voorbeeld 21: Bevolkingsgroei

Die bevolking van 'n stad groei met % elke twee jaar . Hoe lank sal dit neem vir die stad se bevolking om te verdriedubbel?

Skryf 'n geskikte formule en die bekende waardes neer

Laat wees

Die bevolkingsgrootte verdriedubbel, dus

Groeikoers

Groeikoers word gegee vir 'n -jaar periode, dus gebruik ons

Stel die bekende waardes in en los op vir

Metode : neem die logaritme aan beide kante van die vergelyking

Metode : verander van eksponensiële vorm na logaritmiese vorm

Skryf die finale antwoord neer

Dit sal ongeveer jare neem vir die stad se bevolking om te verdriedubbel.

Oefening 2.11 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Die bevolking van Upington groei met % elke jare. Hoe lank sal dit neem om te verdriedubbel?

Gee jou antwoord in jare en rond dit af tot die naaste heelgetal.

Dit is 'n saamgestelde groei probleem. Jy moet eers die oorspronklike grootte van die bevolking, die finale grootte van die bevolking en die koers waarteen die bevolking groei, neerskryf. Let op dat elke periode is jaar lank.

Laat die bevolking aan die begin wees. Ons wil weet hoeveel tydperke dit vir die bevolking sal neem om te verdriedubbel. Dit beteken dat die finale bevolking sal wees.

Laat die getal periodes wees om te groei tot . Let op dat elke periode jaar lank is, dus moet ons gebruik.

Die groeikoers is

Ons gebruik die formule vir saamgestelde groei/rente:

Ons gebruik nou die definisie van logaritmes om die vergelyking in terme van te skryf en dan doen ons die berekening met 'n sakrekenaar:

Dit sal omtrent jare neem vir die bevolking om te verdriedubbel.

'n Mierbevolking van miere verdubbel elke maand.

Bepaal 'n formule om die groei in hierdie bevolking te bereken.

Stel die getal maande gelyk aan

as die getal maande is.

Bereken nou hoe lank dit sal neem vir die mierbevolking om te groei tot 'n kwartmiljoen miere.

Daar sal 'n kwartmiljoen miere na omtrent maande wees.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

2.7 Opsomming (EMFCM8)

Funksie: 'n reël wat eenduidig die elemente van een versameling met die elemente van 'n ander versameling assosieer; elke element in versameling verbind met slegs een element van versameling .

Funksies kan een-tot-een of meer-tot-een relasies wees. 'n Meer-tot-een relasie verbind twee of meer waardes van die onafhanklike (invoer) veranderlike met 'n enkele waarde van die afhanklike (uitvoer) veranderlike.

Vertikale lyn toets: as dit moontlik is om enige vertikale lyn te trek wat die funksie op meer as een plek sny, is die relasie nie 'n funksie nie.

As 'n funksie waarvan die inverse bepaal kan word, bepaal ons die inverse as volg:

vervang elke met en met ;

maak die onderwerp van die vergelyking;

druk die nuwe vergelyking uit in funksie notasie.

As ons die funksie en die inverse funksie grafies voorstel, word die twee grafieke gereflekteer om die lyn .

Die gebied van die funksie is gelyk aan die terrein van die inverse. Die terrein van die funksie is gelyk aan die gebied van die inverse.

Die inverse funksie van 'n reguitlyn is ook 'n reguitlyn. Vertikale en horisontale lyne is egter uitsonderings.

Die inverse van 'n parabool is nie 'n funksie nie. Ons kan egter die gebied van die parabool beperk sodat die inverse 'n funksie is.

Die inverse van die eksponensiële funksie is die logaritmiese funksie .

Die “algemene logaritme” het 'n grondtal en kan geskryf word as . Die uitdrukking wat sonder 'n grondtal geskryf word, beteken grondtal .

Logaritmiese wette:

| Reguitlyn funksie | Kwadratiese funksie | Eksponensiële funksie
Formule |  |  |
Inverse |  |  |
Inverse 'n funksie? | ja | nee | ja
Grafieke |  |  |

Oefening 2.12Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Die reguitlyn word gegee met die afsnitte en .

Bepaal die vergelyking van .

Bepaal .

Trek beide grafieke op dieselfde assestelsel.

Bereken die koördinate van , die snypunt van en .

Dit gee die punt .

Noem die eienskap wat altyd waar sal wees vir die funksie en sy inverse met betrekking tot hulle snypunt.

Die waarde van die -koördinate en die -koördinate sal altyd dieselfde wees omdat die punt op die lyn lê.

Die inverse funksie is .

Bepaal .

Trek en op dieselfde assestelsel. Merk elke grafiek duidelik.

Is 'n stygende of dalende funksie? Verduidelik jou antwoord.

Stygend. As toeneem, sal die funksiewaarde toeneem. Alternatiewe rede: gradiënt is positief, dus is die funksie stygend.

.

Trek die grafiek van en gee die gebied en terrein.

Die gebied is: en die terrein is: .

Bepaal die inverse en gee die gebied en terrein.

Gebied: , Terrein: .

Die funksie word gegee.

Skets die grafieke van en op dieselfde assestelsel.

Bepaal of die punt op die grafiek van lê.

Ja, die punt lê op .

Skryf in die vorm

of

As die grafieke van en mekaar sny by , bepaal die waarde van .

, omdat die punt op die lyn lê.

Gee die vergelyking van die nuwe grafiek, , as die grafiek van eenhede na links geskuif word.

Gee die asimptoot van .

Vertikale asimptoot:

Beskou die funksie .

Skryf die inverse in die vorm

Bepaal die gebied en terrein van .

Gebied: en terrein: .

Skets die grafieke van en op dieselfde assestelsel, dui alle afsnitte duidelik aan.

Vir watter waardes van sal ?

Beskou die funksies en .

Skets die grafieke van en op dieselfde assestelsel.

Bepaal of en mekaar sny of nie by die punt waar .

Die grafieke sny mekaar nie by nie.

Hoeveel oplossings het die vergelyking ?

Twee

Hieronder is drie grafieke en ses vergelykings. Skryf die vergelyking neer wat die beste pas by elk van die grafieke.

Grafiek :

Grafiek : of

Grafiek :

Die grafiek van die funksie word gegee en dit gaan deur die punt .

Toon aan dat .

Bepaal die waarde van as op lê.

Skryf die nuwe vergelyking neer as opwaarts geskuif word met eenhede.

Skryf die nuwe vergelyking neer as na regs geskuif word met eenheid.

As die renoster bevolking in Suid-Afrika begin om te verminder teen 'n koers van % per jaar, bereken hoe lank dit sal neem vir die huidige renoster bevolking om te halveer. Gee jou antwoord tot die naaste heelgetal.

Dit sal minder as jaar neem vir die huidige renoster bevolking om te halveer.

Watter een van die volgende grafieke sal die vermindering van die renoster bevolking die beste illustreer? Motiveer jou antwoord.

Belangrike nota: die grafieke hierbo is as aaneenlopende kurwes geteken om 'n tendens te illustreer. Getalle wat die renoster bevolking aandui is diskreet en moes net as punte op grafiek gestip word.

Grafiek C

Tans is die renoster bevolking . Na jare, sal dit halveer, .

Teen 8 vm. het 'n plaaslike beroemde persoon getweet oor sy nuwe musiek album aan van sy aanhangers. Vyf minute later, het elkeen van die aanhangers na twee van sy vriende getweet. Vyf mintute later het hulle ook elk na twee vriende getweet. Aanvaar dat hierdie proses voorduur.

Bepaal 'n formule wat hierdie hele tweeting proses sal voorstel.

Dit is 'n meetkundige ry: en .

Daarom .

Bereken hoeveel tweets van die beroemde persoon se boodskap word gestuur een uur na die oorspronklike een gestuur is.

uur minute , dus

.

retweets.

Hoe lank sal dit neem vir die totale aantal tweets om miljoen te oorskrei?

Dus, ure.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Oefening 2.13Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Gegee: , bepaal die inverse van in die vorm

Trek die grafiek van .

Gebruik simmetrie om die grafiek van op dieselfde assestelsel te trek.

Is 'n funksie?

Ja. Dit slaag die vertikale lyn toets.

Gee die gebied en terrein van .

Gebied: , Terrein: .

Die grafiek van die inverse van word hieronder getoon:

Bepaal die vergelyking van , gegee dat 'n parabool is in die vorm .

Gebruik eers die inligting wat gegee word op die grafiek van die inverse:

Om die draaipunt en afsnitte van die funksie te bepaal, ruil ons die gegewe koördinate om. Nou kan ons hierdie koördinate gebruik om die vergelyking van die inverse funksie te bepaal.

Bepaal nou die vergelyking van die funksie:

Sal 'n maksimum of minimum waarde hê?

Maksimum waarde by

Gee die gebied, terrein, en simmetrie-as van .

Gebied: en terrein: , simmetrie-as: .

Gegee:

As op lê, bepaal die waarde(s) van .

Dit gee die punte en .

Skets die grafiek van , dui die volgende punt(e) op die grafiek aan.

Bepaal die vergelyking van die inverse van in die vorm

Skets en op dieselfde assestelsel.

Bepaal die koördinate van die punt op die grafiek van die inverse wat simmetries is met om die lyn .

Die skets toon die grafiek van 'n parabool wat deur die punt gaan.

Bepaal die vergelyking van .

Bepaal en ondersoek die inverse.

Skets die inverse en bespreek die eienskappe van die grafiek.

Die inverse is nie 'n funksie nie. Die draaipunt van die inverse is en -afsnit is .

Die funksie word gegee.

Bepaal die algebraïese formule vir die inverse van .

Trek die grafieke van en sy inverse op dieselfde assestelsel. Dui die afsnitte en draaipunt duidelik aan.

Bepaal die afsnitte

Die afsnitte is en .

Is die inverse 'n funksie? Gee 'n rede.

Nee. Die inverse slaag nie die vertikale lyn toets nie. Dit is 'n een-tot-meer relasie.

Toon algebraïes en grafies aan wat die effek is van 'n beperking op die definisieversameling van na .

As die definisieversameling van beperk word na , dan is die inverse .

Die grafiek van sny die vertikale lyn slegs een keer op enige tydstip en dus word die vertikale lyn toets geslaag.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

2.8 Nog logaritmes vir verryking (EMFCM9)

LET OP:HIERDIE AFDELING IS NIE DEEL VAN DIE LEERPLAN NIE

Logaritmiese wette (EMFCMB)

Logaritmiese wet:

Nou verander ons van eksponensiële vorm terug na logaritmiese vorm:

In woorde: die logaritme van 'n produk is gelyk aan die som van die logaritmes van die faktore.

Uitgewerkte voorbeeld 22: Toepassing van die logaritmiese wet

Vereenvoudig:

Gebruik die logaritmiese wet om die uitdrukking te vereenvoudig

Ons voeg die eerste twee terme saam omdat die produk van en gelyk is aan , want dit is altyd nuttig as logaritmes vereenvoudig moet word.

Ons brei die laaste term uit om die uitdrukking verder te vereenvoudig:

Skryf die finale antwoord neer

Oefening 2.14Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Indien moontlik, vereenvoudig die volgende:

kan nie as aparte logaritmes geskryf word nie.

Let op: . Moenie dit verwar met die toepassing van die distributiewe wet nie: .

Indien moontlik, skryf die volgende as 'n een term:

Dit kan nie as een term geskryf word nie omdat die grondtalle verskil.

Dit is alreeds een term:

Vereenvoudig die volgende

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Logaritmiese wet:

Nou verander ons van eksponensiële vorm terug na logaritmiese vorm:

In woorde: die logaritme van 'n kwosiënt is gelyk aan die verskil tussen die logaritmes van die teller en die noemer.

Uitgewerkte voorbeeld 23: Toepassing van die logaritmiese wet

Vereenvoudig:

Gebruik die logaritmiese wet om die uitdrukking te vereenvoudig

Ons kombineer die eerste twee terme omdat hulle dieselfde grondtal het en die kwosiënt van en is gelyk aan :

Ons brei die laaste term uit om die uitdrukking verder te vereenvoudig:

Skryf die finale antwoord neer

Oefening 2.15Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Brei die volgende uit en vereenvoudig indien moontlik:

Dit kan nie vereenvoudig word nie.

Skryf die volgende as een term:

Dit kan nie vereenvoudig word nie.

Dit kan nie vereenvoudig word nie want die grondtalle verskil.

Vereenvoudig die volgende

Vini en Dirk het hul wiskunde huiswerk voltooi en mekaar se antwoorde getoets. Vergelyk die twee metodes hieronder en besluit of hulle reg of verkeerd is:

Vraag:

Vereenvoudig die volgende

Vini se antwoord:

Dirk se antwoord:

Beide se metodes is reg.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Nuttige opsomming:

Vereenvoudiging van logaritmes (EMFCMC)

Uitgewerkte voorbeeld 24: Vereenvoudiging van logaritmes

Vereenvoudig (sonder die gebruik van 'n sakrekenaar):

Pas die regte logaritmiese wet toe en vereenvoudig die uitdrukking

Skryf die finale antwoord neer

Ons kan dit nie verder vereenvoudig nie, dus .

Belangrik: al die algebraïese manipulasie tegnieke , faktorisering ens.) geld ook vir logaritmiese uitdrukkings. Jy moet altyd bewus wees van die aantal terme in 'n uitdrukking want dit sal jou help met die vereenvoudiging.

Oefening 2.16Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Vereenvoudig die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Oplossing van logaritmiese vergelykings (EMFCMD)

Uitgewerkte voorbeeld 25: Oplossing van logaritmiese vergelykings

Los vir op:

Maak die onderwerp van die vergelyking

Verander van logaritmiese vorm na eksponensiële vorm

Skryf die finale antwoord neer

Uitgewerkte voorbeeld 26: Oplossing van logaritmiese vergelykings

Los vir op (korrek tot die naaste heelgetal):

Verander van eksponensiële vorm na logaritmiese vorm

Gebruik die verandering van grondtal om op te los

Skryf die finale antwoord neer

Oefening 2.17Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal die waarde van (korrek tot desimale plekke):

Alternatiewe (langer) metode:

Alternatiewe (langer) metode:

Alternatiewe (langer) metode:

Gegee .

Skryf die vergelyking van die inverse van in die vorm neer

As , bepaal die waarde van (korrek tot een desimale plek).

Trek die grafiek van en sy inverse. Stip die punte en .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Opsomming (EMFCMF)

Die logaritme van 'n getal met 'n sekere grondtal is gelyk aan die eksponent , waartoe die grondtal moet verhef word om die getal te gee.

As , dan , waar , en .

Logaritmes en eksponensiale is inverses van mekaar.

en

Algemene logaritme: beteken

die “LOG” funksie op jou sakrekenaar gebruik as grondtal.

Natuurlike logaritme: gebruik 'n grondtal van .

Spesiale waardes:

Logaritmiese wette:

Spesiale toepassings van resiproke:

Oefening 2.18Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Sê of die volgende waar of onwaar is. Indien onwaar, verander die stelling sodat dit waar is.

Onwaar:

As , dan sal

Onwaar:

Waar

Onwaar: kan nie verder vereenvoudig word nie.

Waar

Onwaar:

Waar

Waar

Onwaar: grondtalle is verskillend

Waar

Onwaar: kan nie vereenvoudig word na 'n enkele logaritme nie

Onwaar: moenie dit verwar met of met die distributiewe wet nie.

Onwaar:

Onwaar: moenie dit verwar met nie. LK kan nie vereenvoudig word nie.

Vereenvoudig die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

Gegee . Bepaal die waarde van die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

As , sal .

Gegee .

Sonder die gebruik van 'n sakrekenaar, toon aan dat .

Los nou vir op as .

Laat . Trek die grafiek van en . Dui die punt op die grafiek aan.

Los vir op as . Gee die antwoord korrek tot twee desimale plekke.

Gegee en .

Vir watter heeltallige waardes van sal ?

Dus sal, .

Vir watter waardes van sal . Gee antwoord tot die naaste heelgetal.

Belangrik: let op dat die ongelykheidsteken van rigting verander as ons beide kante met deel, omdat dit 'n negatiewe waarde het.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Hoofstuk 3: Finansies

Bespreek terminologie

Baie belangrik om te beklemtoon dat leerders nie moet afrond voor die finale antwoord nie, aangesien dit akkuraatheid beïnvloed.

Leerders behoort die berekening in in een stap te doen deur die geheuefunksie op hulle sakrekenaars te gebruik.

Trek tydlyne wat die onderskeie tydperke, rentekoerse en enige deposito's of onttrekkings aandui.

Verduidelik en bespreek die verskil tussen toekomstige en huidige waarde annuïteite.

Leerders moet altyd let op hoe dikwels 'n gegewe rentekoers saamgestel word.

Leerders moet versigtig wees om die regte aantal betalings vir die tydperk van die belegging te bereken.

In vroeër grade het ons enkelvoudige en saamgestelde rente bestudeer, asook die konsep van waardevermindering. Nominale en effektiewe rentekoerse is ook beskryf.

Enkelvoudige rente:

Saamgestelde rente:

Enkelvoudige waardevermindering:

Saamgestelde waardevermindering:

Nominale en effektiewe jaarlikse rentekoerse:

In hierdie hoofstuk bestudeer ons verskillende tipes annuïteite, delgingsfondse en piramiedeskemas. Ons kyk ook na hoe om beleggings- en leningsopsies krities te analiseer, en hoe om ingeligte finansiële besluite te neem.

Finansiële beplanning is baie belangrik aangesien dit mense in staat stel om bepaalde doelwitte te bereik. Hierdie doelwitte sluit in om 'n gesin te ondersteun, universiteit toe te gaan, 'n huis te koop, en genoeg geld te spaar vir aftrede. Verstandige finansiële beplanning behels om 'n begroting op te stel, 'n spaarrekening oop te maak, spaargeld verstandig te belê en vir aftrede te beplan.

3.1 Berekening van die beleggingstydperk (EMFCMG)

Om berekeninge te doen wat die enkelvoudige renteformule gebruik, los ons op vir , die tydperk van 'n belegging of lening, deur bloot die formule vir enkelvoudige rente te herrangskik om die onderwerp te maak. Om saamgestelde rente te bereken, waar 'n eksponent in die formule is, moet ons ons kennis van logaritmes gebruik om die waarde van te bepaal.

Om op te los:

Uitgewerkte voorbeeld 1: Bepaal die waarde van

Thembile belê in 'n spaarrekening wat 'n rentekoers van % per jaar betaal, jaarliks saamgestel. Na 'n onbekende tydperk is sy belegging werd. Hoe lank het Thembile sy geld belê?

Skryf die formule vir saamgestelde rente asook die bekende waardes neer

Vervang die waardes en los op vir

Skryf die finale antwoord

Die is vir jaar belê.

Uitgewerkte voorbeeld 2: Belegggingstydperk

Margo het om te belê en vereis dat die geld tot minstens moet groei om vir haar dogter se studies te betaal. As dit belê word teen 'n saamgestelde rentekoers van % per jaar, bepaal hoe lank (in volle jare) sy haar geld moet belê.

Skryf die formule vir saamgestelde rente asook die bekende waardes neer

Vervang die waardes en los op vir

Skryf die finale antwoord

In hierdie geval rond ons op, omdat die vereiste nog nie na jaar beskikbaar sal wees nie. Dus moet die geld vir ten minste jaar belê word.

Oefening 3.1Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Nzuzo belê teen 'n rentekoers van % per jaar, jaarliks saamgestel. Hoe lank sal dit vir sy belegging neem om tot te groei?

Dit sal net meer as jaar neem.

Sally belê teen 'n rentekoers van % per jaar, kwartaalliks saamgestel. Hoe lank sal dit vir haar belegging neem om te verdubbel?

Dit sal net meer as jaar en maande neem.

Toe Banele nog op hoërskool was het hy belê in 'n spaarrekening met 'n rentekoers van % per jaar, jaarliks saamgestel. Hoe lank gelede het Banele 'n rekening oopgemaak as die balans nou is? Skryf die antwoord in jare en maande.

Hierdie is 'n saamgestelde rente probleem:

Vervang nou die bekende waardes en los op vir :

Verander na die logaritmiese vorm:

Banele het die geld vir ongeveer jaar in die rekening gelos.

Ons moet egter ons antwoord gee in terme van jare en maande, nie as 'n desimale aantal jare nie. jaar beteken jaar en 'n aantal maande; om te bepaal hoeveel maande moet ons jaar omskakel na maande toe.

Ons weet dat daar maande in 'n jaar is.

Om jaar om te skakel na maande toe, doen die volgende:

Banele het die geld in die rekening jaar en maande gelede gedeponeer.

Die jaarlikse waardeverminderingskoers van 'n voertuig is %. 'n Nuwe voertuig kos . Na hoeveel jaar sal die voertuig minder as werd wees?

Die voertuig sal minder as werd wees na omtrent jaar.

'n Ruk gelede het 'n man 'n spaarrekening by KMT Suid Bank oopgemaak en 'n bedrag van daar belê. Die balans van sy rekening is nou . As die rekening % saamgestelde rente p.j. kry, bepaal hoeveel jaar gelede die man die deposito gemaak het.

Ons skryf die saamgestelde renteformule neer, asook die gegewe inligting:

Ons weet alles, behalwe die waarde van . Vervang en los op vir .

Gebruik die definisie van 'n logaritme om op te los:

Gebruik 'n sakrekenaar om die te bereken:

Die man het die deposito jaar gelede gemaak.

Mr. en Mev. Dlamini wil geld spaar vir hul seun se universiteitsgelde. Hulle deponeer in 'n spaarrekening met 'n vasgestelde rentekoers van % per jaar, jaarliks saamgestel. Hoe lank sal dit vat vir die deposito se waarde om te verdubbel?

Dit sal jaar neem vir hulle deposito se waarde om te verdubbel.

'n Universiteitsdosent tree af op die ouderdom van . Sy het oor die jare gespaar.

Sy besluit om nie haar spaargeld te laat verminder teen vinniger as % per jaar nie. Hoe oud sal sy wees wanneer die waarde van haar spaargeld minder as is?

As sy haar geld versigtig bestuur, sal sy jaar of ouer wees.

As sy nie haar spaargeld gebruik nie en al haar geld belê in 'n beleggingsrekening met 'n vasgestelde rentekoers van % per jaar, hoe lank sal dit vir haar belegging neem om tot te groei?

Dit sal minder as jaar neem.

Simosethu deponeer in 'n bankrekening in die Bank van Upington. Simosethu se rekening gee rente teen 'n koers van % p.j., maandeliks saamgestel. Na hoeveel jaar sal die bankrekening 'n balans van hê?

Gebruik die saamgestelde renteformule om die waarde van te bepaal.

In hierdie vraag is die rente elke maand betaalbaar. Daarom en . In hierdie geval verteenwoordig die aantal jare; die produk stel die aantal kere voor wat die bank rente in die rekening inbetaal.

Nou moet ons die vergelyking verander na die logaritmiese vorm toe:

Om die aantal jare te kry, los ons op vir :

Die geld was vir jaar in Simosethu se rekening.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

3.2 Annuïteite(EMFCMH)

Annuïteit

'n Aantal gelyke betalings gemaak teen reëlmatige intervalle vir 'n bepaalde tydperk.

Toekomstige waarde annuïteit - reëlmatige gelyke deposito's/betalings word gemaak in 'n spaarrekening of beleggingsfonds om 'n opgeloopte bedrag aan die einde van die tydperk te verskaf. Die bedrag opgeloop in die fonds verdien saamgestelde rente teen 'n bepaalde koers.

Huidige waarde annuïteit - reëlmatige gelyke betalings/paaiemente word gemaak om 'n lening of effekte oor 'n gegewe tydperk terug te betaal. Saamgestelde rente teen 'n bepaalde koers word gewoonlik op die verminderende balans van die lening gehef.

Vir beleggingsfondse, pensioenfondse, leningterugbetalings, verbande (huislenings) en ander soort annuïteite word betalings gewoonlik elke maand gemaak. Om 'n betaling te versuim beteken dat 'n betaling vir 'n sekere maand nie gemaak is nie. Daar word ook verwys na die beleggingstydperk as die beleggingstermyn.

2.3 Toekomstige waarde annuïteite (EMFCMJ)

Vir toekomstige waarde annuïteite spaar ons gereeld dieselfde bedrag in 'n rekening wat saamgestelde rente teen 'n bepaalde koers verdien, sodat ons geld het vir die toekoms.

Uitgewerkte voorbeeld 3: Toekomstige waarde annuïteite

Aan die einde van elke jaar, vir jaar, deponeer Kobus in 'n beleggingsrekening. As die rentekoers op die rekening % per jaar is, jaarliks saamgestel, bepaal die waarde van sy belegging aan die einde van die jare.

Skryf die gegewe inligting neer, asook die saamgestelde renteformule

Teken 'n tydlyn

Die eerste deposito in die rekening verdien die meeste rente (drie rentebetalings) en die laaste deposito verdien die minste rente (geen rentebetalings).

Ons kan hierdie inligting opsom in die tabel hieronder:

| Deposito | Aantal rentebetalings | Berekening | Opgeloopte bedrag
Jaar 1 |  |  |  |
Jaar 2 |  |  |  |
Jaar 3 |  |  |  |
Jaar 4 |  |  |  |
Totaal |  |  |  |

Lei die formule af (EMFCMK)

Let op: dit is belangrik om vir hierdie afdeling bekend te wees met die formules vir die som van 'n meetkundige reeks (Hoofstuk 1):

In die bostaande voorbeeld word die totale waarde van Kobus se belegging aan die einde van die vier jaar tydperk uitgewerk deur die opgeloopte bedrag vir elke deposito bymekaar te tel:

Ons sien dat dit 'n meetkundige reeks is met 'n konstante verhouding .

Deur die formule te gebruik vir die som van 'n meetkundige reeks:

Ons kan dus die formule vir die som van 'n meetkundige reeks gebruik om 'n formule af te lei vir die toekomswaarde () van 'n reeks met () gereelde betalings van 'n bedrag () wat onderhewig is aan 'n rentekoers van ():

Toekomswaarde van betalings:

As ons die toekomswaarde van 'n reeks betalings gegee word, kan ons die waarde van die betalings uitwerk deur die onderwerp van bostaande formule te maak.

Betalingsbedrag:

Uitgewerkte voorbeeld 4: Toekomstige waarde annuïteite

Ciza besluit om geld vir die toekoms te begin spaar. Aan die einde van elke maand betaal sy oor na haar rekening by Harringstone Gemeenskaplike Bank wat % rente per jaar verdien wat maandeliks saamgestel word.

Bereken die saldo van Ciza se rekening na jaar.

Hoeveel geld het Ciza in haar rekening inbetaal tydens die -jaar tydperk?

Bereken hoeveel rente sy verdien het tydens die -jaar tydperk.

Skryf die gegewe inligting en die toekomswaarde formule neer

Vervang die bekende waardes en gebruik 'n sakrekenaar om uit te werk

Onthou: moenie enige getalle afrond tydens die tussenstappe van die berekening nie, omdat dit die akkuraatheid van die finale antwoord sal beïnvloed.

Bereken die totale bedrag wat in die rekening inbetaal is

Ciza het elke maand inbetaal vir jaar:

Bereken die totale hoeveelheid rente wat verdien is

Nuttige wenke om probleme op te los:

Tydlyne kan baie nuttig wees om die gegewe inligting visueel op te som.

Wanneer betalings meer as een keer per jaar gemaak word, werk ons die aantal betalings () uit deur die aantal jare te vermenigvuldig met :

Tydperk |
jaarliks |
halfjaarliks |
kwartaalliks |
maandeliks |
weekliks |
daagliks |

As 'n nominale rentekoers gegee word, gebruik die volgende formule om dit na 'n effektiewe rentekoers om te skakel:

Uitgewerkte voorbeeld 5: Berekening van maandelikse betalings

Kosma beplan om oor twee jaar Kanada toe te gaan om by haar vriend te gaan kuier. Sy stel 'n reisplan op vir haar vakansie en sy verwag dat dit haar sal kos. Hoeveel moet sy aan die einde van die maand spaar as haar spaarrekening 'n rentekoers van % per jaar verdien wat maandeliks saamgestel word?

Skryf die gegewe inligting en die toekomswaarde formule neer

Om die maandelikse betaling te bereken, maak ons die onderwerp van die formule:

Vervang die bekende waardes en bereken

Skryf die finale antwoord

Kosma moet elke maand spaar sodat sy haar vakansie kan bekostig.

Uitgewerkte voorbeeld 6: Berekening van die waarde van 'n belegging

Simon begin om vir sy aftrede te spaar. Hy maak 'n beleggingsrekening oop en betaal dadelik in die rekening in, wat % rente per jaar verdien en maandeliks saamgestel word. Daarna deponeer hy aan die einde van elke maand vir jaar. Hoeveel is sy belegging werd aan die einde van die -jaar tydperk?

Skryf die gegewe inligting en die toekomswaarde formule neer

Let daarop dat ons 'n ekstra maand by die jaar gevoeg het, want Simon onmiddellik gedeponeer.

Vervang die bekende waardes en bereken

Skryf die finale antwoord

Simon sal spaargeld hê vir sy aftrede.

Oefening 3.2Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Shelly besluit om geld vir haar seun se toekoms te begin spaar. Aan die einde van elke maand betaal sy in 'n rekening by Durban Trust Bank, wat 'n jaarlikse rentekoers van % verdien wat kwartaalliks saamgestel word.

Bereken die balans in Shelly se rekening na jaar.

Skryf die gegewe inligting en die toekomswaarde formule neer:

Vervang die bekende waardes en gebruik 'n sakrekenaar om te bereken:

Hoeveel geld het Shelly in haar rekening inbetaal gedurende die -jaar tydperk?

Bereken die totale bedrag wat in die rekening inbetaal is:

Shelly het elke maand inbetaal vir jaar:

Bereken hoeveel rente sy verdien het tydens die -jaar tydperk.

Bereken die totale rente wat verdien is:

Gerald wil oor 'n jaar 'n nuwe kitaar van koop. Hoeveel geld moet hy aan die einde van die maand in sy spaarrekening inbetaal, wat 'n jaarlikse rentekoers van % verdien wat maandeliks saamgestel word?

Skryf die gegewe inligting en die toekomswaarde formule neer:

Om die maandelikse betaling te bereken, maak ons die onderwerp van die formule:

Vervang die bekende waardes en bereken :

Skryf die finale antwoord neer:

Gerald moet elke maand inbetaal sodat hy sy kitaar kan bekostig.

Grace, 'n jong dame wat pas met 'n nuwe werk begin het, wil geld spaar vir haar toekoms. Sy besluit om elke maand in 'n spaarrekening in te betaal. Haar geld gaan na 'n rekening by Eerste Gemeenskaplike Bank wat % rente per jaar verdien wat maandeliks saamgestel word.

Hoeveel geld sal Grace in haar rekening hê na jaar?

Grace sal in haar rekening hê na jaar.

Hoeveel geld het Grace in rekening inbetaal teen die einde van die jaar-tydperk?

Die totale bedrag wat Grace elke jaar spaar is . So kan ons die totale bedrag wat sy spaar uitwerk deur te vermenigvuldig met die aantal jare: .

Na jaar het Grace 'n totaal van in haar rekening gespaar.

Ruth besluit om vir haar aftrede te spaar, so sy maak 'n spaarrekening oop en maak dadelik 'n deposito van . Haar rentekoers is % per jaar wat maandeliks saamgestel word. Daarna betaal sy elke maand in die rekening in vir jaar. Hoeveel is haar spaarrekening werd teen die einde van die -jaar tydperk?

Skryf die gegewe inligting en die toekomswaarde formule neer:

Vervang die bekende waardes en bereken :

Skryf die finale antwoord neer:

Ruth sal hê vir haar aftrede.

Musina Kredietverskaffers bied 'n spaarrekening aan met 'n rentekoers van % per jaar wat maandeliks saamgestel word. Monique wil geld spaar sodat sy 'n huis kan koop wanneer sy aftree. Sy besluit om 'n rekening oop te maak en maak gereelde maandelikse deposito's. Haar doelwit is om te hê na jaar.

Hoeveel geld moet Monique elke maand inbetaal om haar doelwit te bereik?

Om te spaar in jaar, sal Monique elke maand moet spaar.

Hoeveel geld, tot die naaste rand, het Monique in haar rekening inbetaal teen die einde van die -jaar tydperk?

Die finale bedrag wat in die vraag hier bo bereken is, sluit die geld wat Monique in die rekening inbetaal het, sowel as die rente wat deur die bank betaal is, in. Die totale hoeveelheid geld wat Monique inbetaal het gedurende die jaar is die produk van paaiemente per jaar, vir jaar, en die bedrag self:

Na jaar het Monique 'n bedrag van in haar rekening inbetaal.

Lerato wil oor vyf en 'n half jaar 'n motor koop. Sy het gespaar in 'n aparte beleggingsrekening wat % saamgestelde rente per jaar verdien. As sy nie meer as wil spandeer op 'n motor nie en haar spaarrekening verdien % rente per jaar wat maandeliks saamgestel word, hoeveel geld moet sy elke maand in haar spaarrekening inbetaal?

Bereken eers die opgeloopte bedrag vir die in Lerato se beleggingsrekening:

Oor vyf en 'n half jaar moet Lerato 'n bedrag van hê.

Vervang die bekende waardes en bereken :

Skryf die finale antwoord neer:

Lerato moet elke maand in haar spaarrekening inbetaal.

Harold deponeer elke Maandag in sy spaarrekening by Koning Bank, wat 'n rentekoers van % per jaar verdien en wat weekliks saamgestel word. Hoe lank sal dit Harold se rekening neem om 'n balans van te bereik? Gee die antwoord as 'n aantal jare en dae tot die naaste heelgetal.

Om die finale antwoord vir hierdie vraag te kry, skakel jare om na jare en dae.

dae

Harold se belegging neem jaar en dae om 'n finale waarde van te bereik.

Hoeveel rente sal Harold van die bank af ontvang gedurende die tydperk van sy belegging?

Die totale hoeveelheid wat Harold belê, is:

Dus sal die rente wat deur die bank betaal word wees.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Delgingsfondse (EMFCMM)

Voertuie, toerusting, masjinerie en ander soortgelyke bates se waarde verminder as gevolg van gebruik en ouderdom. Besighede sal baie keer geld opsy sit om verouderde toerusting of ou voertuie te vervang in rekeninge wat delgingsfondse genoem word.

Uitgewerkte voorbeeld 7: Delgingsfondse

Wellington Koeriers koop 'n afleweringsvragmotor vir . Die waarde van die vragmotor verminder op 'n verminderende saldo basis teen % per jaar. Die maatskappy beplan om hierdie vragmotor oor sewe jaar te vervang en hulle verwag dat die koste van 'n nuwe vragmotor jaarliks met % sal toeneem.

Bereken die boekwaarde van die vragmotor oor sewe jaar.

Bepaal die minimum saldo van die delgingsfonds sodat die maatskappy oor sewe jaar 'n nuwe vragmotor kan bekostig.

Bereken die bedrag van die maandelikse deposito's as die delgingsfonds 'n rentekoers van % per jaar verdien wat maandeliks saamgestel word.

Bereken die boekwaarde van die vragmotor oor sewe jaar

Bereken die minimum saldo van die delgingsfonds

Bereken die koste van 'n nuwe vragmotor oor sewe jaar:

Dus moet die saldo van die delgingsfonds () groter wees as die berekende koste van 'n nuwe vragmotor oor sewe jaar minus die bedrag wat gekry word wanneer die ou vragmotor verkoop word.

Bereken die verlangde maandelikse betalings in die delgingsfonds

Vervang die waardes en bereken

Dus moet die maatskappy elke maand 'n deposito van maak.

Oefening 3.3Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Mfethu besit sy eie afleweringsbesigheid en sal sy bakkie oor jaar moet vervang. Mfethu deponeer elke maand in 'n delgingsfonds in, wat % rente verdien, maandeliks saamgestel.

Watter bedrag sal in die fonds wees oor jaar, wanneer Mfendu 'n nuwe bakkie wil koop?

Rente word maandeliks saamgestel: en .

Na jaar, sal Mfethu in sy delgingsfonds hê.

Sal Mfethu genoeg geld hê om 'n nuwe bakkie te koop as dit oor jaar gaan kos?

Nee, Mfethu het nie genoeg geld in sy rekening nie.

Atlantic Vervoermaatskappy koop 'n paneelwa vir . Die paneelwa neem af in waarde op 'n verminderende saldo basis teen % per jaar. Die maatskappy beplan om hierdie paneelwa oor vyf jaar te vervang, en hulle verwag dat die prys van 'n nuwe paneelwa jaarliks teen % sal styg.

Bereken die boekwaarde van die paneelwa oor vyf jaar.

Bepaal die hoeveelheid geld benodig in die delgingsfonds sodat die maatskappy 'n nuwe paneelwa oor vyf jaar sal kan bekostig.

Dus die balans van die delgingsfonds () moet meer wees as die prys van 'n nuwe paneelwa oor vyf jaar, minus die bedrag verkry deur die verkoop van die ou paneelwa:

Bereken die bedrag van die maandelikse deposito's as die delgingsfonds 'n rentekoers van % per jaar verdien wat maandeliks saamgestel word.

Bereken die maandelikse paaiement benodig in die delgingsfonds:

Vervang die waardes en bereken

Dus, die maatskappy moet elke maand deponeer.

Tonya besit Freeman Reisagentskap en sy sal haar rekenaar oor jaar moet vervang. Tonya skep 'n delgingsfonds sodat sy 'n nuwe rekenaar, wat gaan kos, sal kan bekostig. Die delgingsfonds verdien rente teen 'n koers van % kwartaalliks saamgestel.

Hoeveel geld moet Tonya kwartaalliks spaar sodat daar genoeg geld in die rekening sal wees om 'n nuwe rekenaar te koop?

Rente word kwartaalliks saamgestel, dus en

Tonya moet kwartaalliks in die delgingsfonds deponeer.

Hoeveel rente (tot die naaste rand) betaal die bank in die fonds in teen die einde van die jaar periode?

Totale spaargeld:

Rente verdien:

Tot die naaste rand, het die bank in die rekening inbetaal.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

2.4 Huidige waarde annuïteite (EMFCMN)

Vir huidige waarde annuïteite, reëlmatige gelyke betalings/paaiemente word gemaak om 'n lening of effekte oor 'n gegewe tydperk terug te betaal. Saamgestelde rente teen 'n bepaalde koers word gewoonlik op die verminderende balans van die lening gehef. In hierdie afdeling leer ons hoe om die huidige waarde van 'n reeks belalings te bepaal.

Beskou die volgende voorbeeld:

Kate noet elke jaar vir die volgende drie jaar uit haar bankrekening onttrek. Hoeveel moet sy in haar rekening, wat % per jaar verdien deponeer sodat sy hierdie onttrekkings in die toekoms sal kan maak? Ons neem aan dat hierdie die enigste onttrekkings is, en dat daar geen bankfooie op haar rekening is nie.

Om Kate se deposito te bereken, maak ons die onderwerp van die saamgestelde rente formule:

Ons bepaal hoeveel Kate moet deponeer vir haar eerste onttrekking:

Ons herhaal hierdie berekening om te bepaal hoeveel gedeponeer moet word vir die tweede en derde onttrekkings:

Neem kennis dat die deposito wat benodig word vir elke jaar se onttrekking kleiner en kleiner raak, omdat dit vir langer in die rekening sal wees en dus meer rente sal verdien. Dus, die totale bedrag is:

Ons kan hierdie berekening nagaan deur die opgeloopte bedrag in Kate se bankrekening te bepaal na elke onttrekking:

Berekening

Opgeloopte bedrag

Oorspronklike deposito

Bedrag na een jaar

=

=

Bedrag na eerste onttrekking

=

=

Bedrag na twee jaar

=

=

Bedrag na tweede onttrekking

=

=

Bedrag na drie jaar

=

=

Bedrag na derde onttrekking

=

=

Om hierdie tabel vir 'n driejaarperiode in te vul, vat nie baie lank nie. Maar, as Kate vir jaar jaarlikse paaiemente moes maak, word die berekening baie herhalend en tydrowend. Dus benodig ons 'n meer effektiewe manier om hierdie berekeninge te doen.

Lei die formule af (EMFCMP)

In die bogenoemde voorbeeld, moet Kate deponeer:

Ons sien dat dit 'n meetkundige reeks is met 'n konstante verhouding .

Deur die formule te gebruik vir die som van 'n meetkundige reeks:

Ons kan dus die formule vir die som van 'n meetkundige reeks gebruik om die formule af te lei vir die huidige waarde () van 'n reeks van () gereelde paaiemente van die bedrag () wat onderworpe is aan die rentekoers ():

Huidige waarde van 'n reeks van betalings:

As ons die huidige waarde van die reeks van betalings gegee word, kan ons die waarde van die betalings bereken deur die onderwerp van die formule hierbo te maak.

Betalingsbedrag:

Uitgewerkte voorbeeld 8: Huidige waarde annuïteite

Andre neem 'n studielening uit vir sy eerste jaar van siviele ingenieurswese. Die leningsooreenkoms lui dat die terugbetalingsperiode gelyk is aan jaar vir elke jaar van finansiële hulp en dat die lening onderworpe is aan 'n rentekoers van % p.a maandeliks saamgestel.

As Andre 'n maandelikse bedrag van terugbetaal, bereken die bedrag van die lening.

Bepaal hoeveel rente Andre teen die einde van sou terugbetaal.

Skryf die gegewe inligting en die huidige waarde formule neer

Vervang die bekende waardes en bepaal :

Dus het Andre 'n studielening van uitgeneem.

Bereken die totale bedrag rente

Aan die einde van die maande periode:

Uitgewerkte voorbeeld 9: Berekening van maandelikse betalings

Hristo wil 'n klein wynplaas koop wat werd is. Hy beplan om sy huidige woning vir te verkoop, wat hy gaan gebruik as deposito vir die koop van die plaas. Hy verkry 'n lening by HBP Bank met 'n terugbetalingsperiode van jaar en 'n rentekoers van % maandeliks saamgestel.

Bereken sy maandelikse terugbetalings.

Bepaal hoeveel rente Hristo teen die einde van jaar sou betaal het.

Skryf die gegewe inligting en die huidige waarde formule neer

Om die maandelikse terugbetaling te bepaal, maak ons die onderwerp van die formule:

Vervang die bekende waardes en bereken

Dus moet Hristo per maand betaal om sy lening oor die jaar periode terug te betaal.

Bereken die totale bedrag rente

Aan die einde van die jaar tydperk:

Prima uitleenkoers

Die prima uitleenkoers is 'n toonaangewende koers waarteen privaatbanke geld aan die publiek uitleen. Dit word as 'n verwysingskoers gebruik om rentekoerse te bepaal op baie verskillende tipe lenings, soos kleinbesigheidslenings, huislenings en persoonlike lenings. Soms word 'n rentekoers uitgedruk as 'n persentasie bo of onder die prima koers. Vir berekenings in hierdie hoofstuk, gaan ons aanneem die prima koers is % per jaar.

Uitgewerkte voorbeeld 10: Uitstaande balans van 'n lening

'n Skool verkoop sy ou bus en gebruik die opbrengs as 'n % deposito vir die aankoop van 'n nuwe bus, wat kos. Om die balans van die aankoop te finansier, neem die skool 'n lening uit met 'n rentekoers van maandeliks saamgestel. Die terugbetalingsperiode van die lening is jaar.

Bereken die maandelikse terugbetalings.

Bepaal die balans van die lening teen die einde van die eerste jaar, onmiddellik na die betaling.

Skryf die gegewe inligting en die huidige waarde formule neer

Om die maandelikse terugbetaling te bepaal, maak ons die onderwerp van die formule:

Vervang die bekende waardes en bereken

Dus moet die skool per maand betaal om die lening oor 'n jaar periode terug te betaal.

Bereken die balans van die lening aan die einde van die eerste jaar

Ons kan die balans van die lening aan die einde van die eerste jaar bereken deur die huidige waarde te bepaal van die oorblywende betalings:

Dus moet die skool nog van die lening betaal.

Alternatiewe metode: ons kan ook die balans van die lening aan die einde van die eerste jaar bereken deur die opgeloopte bedrag van die lening vir die eerste jaar minus die toekomswaarde van die eerste betalings.

Dus moet die skool nog van die lening betaal.

(Neem kennis van die verskil van sent as gevolg van afronding).

Oefening 3.4Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

'n Eiendom kos . Bereken die maandelikse betalings as die rentekoers % p.j. is, maandeliks saamgestel, en die lening oor jaar afbetaal moet wees.

Skryf die gegewe inligting en die huidige waarde formule neer:

Om die maandelikse terugbetaling te bepaal, maak ons die onderwerp van die formule:

Vervang die bekende waardes en bereken :

'n Lening van moet in twee gelyke jaarlikse betalings terugbetaal word. Bereken die bedrag van elke betaling as die rentekoers van % jaarliks saamgestel is.

Skryf die gegewe inligting en die huidige waarde formule neer:

Om die maandelikse terugbetaling te bepaal, maak ons die onderwerp van die formule:

Vervang die bekende waardes en bereken :

Stefan en Marna wil 'n woonstel koop wat R miljoen kos. Hulle ouers bied aan om 'n % betaling as deposito op die huis te betaal. Hulle moet 'n verband uitneem vir die balans. Wat is die maandelikse terugbetaling as die tydperk van die huislening jaar is en die rentekoers is % p.j. maandeliks saamgestel?

Skryf die gegewe inligting en die huidige waarde formule neer:

Om die maandelikse terugbetaling te bepaal, maak ons die onderwerp van die formule:

Vervang die bekende waardes en bereken :

Ziyanda reël 'n verband vir van Langa Bank. As die bank rente teen % p.j. maandeliks saamgestel hef, bepaal Ziyanda se maandelikse terugbetaling as sy die verband wil terugbetaal oor jaar.

Ziyanda moet elke maand betaal.

Wat is die totale koste van die verband?

Totale koste:

Ziyanda het die bank 'n totaal van betaal.

Dullstroom Bank bied persoonlike lenings aan teen 'n rentekoers van % p.j. halfjaarliks saamgestel. Lubabale leen en moet elke ses maande terugbetaal totdat die lening ten volle terugbetaal is.

Hoe lank gaan dit vir Lubabale vat om die lening terug te betaal?

Dit sal jaar neem.

Hoeveel rente gaan Lubabale betaal?

Totale koste van die lening: .

Die totale bedrag wat Lubabale aan rente betaal, is

Likengkeng het nou net by 'n nuwe werk begin en wil 'n motor koop wat kos. Sy besoek Soweto SpaarBank, waar sy 'n lening kan kry met 'n rentekoers van % p.j. maandeliks saamgestel. Likengkeng het genoeg geld gespaar om 'n deposito van te betaal. Sy kry 'n lening vir die balans van die betaling, wat oor 'n tydperk van jaar terugbetaal word.

Wat is Likengkeng se maandelikse terugbetaling op haar lening?

Die balans van die betaling:

Dus neem Likengkeng 'n lening uit vir .

Likengkeng moet elke maand betaal.

Hoeveel gaan die motor vir Likengkeng kos?

Die totale bedrag betaal:

Dus het Likengkeng 'n totaal van betaal.

Anathi is 'n koringboer en benodig 'n stoortenk wat kos. Sy het haar vorige tenk jaar gelede vir gekoop. Die waarde van die ou stoortenk verswak teen % per jaar teen 'n verminderde saldo, en sy beplan om dit teen die huidige waarde te verhandel. Anathi sal dan 'n lening moet uitneem om die balans van die aankoopprys aan te vul.

Orsmond Bank bied lenings met 'n saamgestelde rentekoers van % per jaar vir lenings tot en met en % per jaar vir enige groter lenings. Die leningsooreenkoms laat Anathi 'n grasieperiode van ses maande toe (geen betalings word dus gemaak nie) en verwag dat die lening oor 'n tydperk van jaar terugbetaal word.

Bepaal die maandelikse paaiement.

Anathi besluit om die ou stoortenk in te ruil om die die koste van die nuwe een te verreken.

Die ou stoortenk se waarde is .

Dus is die lenigsbedrag vir die nuwe tenk:

Bepaal watter rentekoers gebruik word: die lening is meer as , dus kry Anathi die laer rentekoers van %.

Bereken die waarde van die lening teen die einde van die grasieperiode.

Na die eerste ses maande van die leningstydperk, verhoog die bedrag wat sy skuld na .

Ons kan nou die huidige waarde formule gebruik om die waarde van op te los. Onthou dat die termyn vir hierdie berekening jaar is.

Dus moet Anathi elke maand betaal.

Wat is die totale hoeveelheid rente wat Anathi op die lening betaal?

Die totale koste van die lening is:

Dus is die rentebedrag:

Die totale hoeveelheid rente wat Anathi betaal is .

Hoeveel geld sou Anathi gespaar het indien sy nie die ses maande grasieperiode geneem het nie.

Vir hierdie berekening is die lening en die leningstydperk jaar:

Dus moet Anathi elke maand betaal.

Die totale koste van die lening sal dan wees:

Die hoeveelheid rente:

Anathi sou gespaar het.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

3.5 Analise van beleggings- en leningsopsies (EMFCMQ)

In die volgende uitgewerkde voorbeeld oorweeg ons die effek van die tydperk van die terugbetalingsperiode op die totale bedrag terugbetaal (die bedrag geleen plus die opgeloopte rente) vir 'n lening.

Uitgewerkte voorbeeld 11: Terugbetalingstydperk

David en Julie neem 'n lening van R miljoen uit met 'n rentekoers van % per jaar, maandeliks saamgestel.

Bereken die maandelikse paaiement vir 'n terugbetalingstydperk van jaar.

Bereken die rente op die lening teen die einde van die jaar tydperk.

Bepaal die maandelikse paaiement vir 'n terugbetalingstydperk van jaar.

Bepaal die rente op die lening teen die einde van die jaar tydperk.

Wat is die verskil tussen die maandelikse paaiemente?

Lewer kommentaar op die verskil in rente betaal tussen die twee verskillende tydperke.

Oorweeg 'n jaar terugbetalingstydperk vir die lening

Dus is die maandelikse paaiement vir 'n jaar tydperk.

Teen die einde van die jaar, sal David en Julie die volgende bedrag betaal het :

Die totale hoeveelheid rente op die lening:

Ons let op dat die rente meer as dubbel die leningsbedrag is.

Oorweeg 'n jaar terugbetalingstydperk vir die lening

Dus is die maandelikse paaiement vir 'n jaar tydperk.

Teen die einde van die jaar, sal David en Julie die volgende bedrag betaal het :

Die totale hoeveelheid rente op die lening:

Ons let op dat die rente op die lening omtrent keer meer as die geleende bedrag is.

Oorweeg die verskil in waarde tussen die paaiement en die rente

Dit is ook interessant om na die verskil in totale rente betaal te kyk:

Dus, deur 'n ekstra per maand oor 'n korter tydperk te betaal, kan David en Julie meer as miljoen op die terugbetaling van hul lening bespaar.

Wanneer die uitneem van 'n lening oorweeg word, is dit raadsaam om 'n paar opsies deur finansiële instellings te ondersoek en vergelyk. Dit is baie belangrik om ingeligde besluite aangaande persoonlike finansies te maak en om seker te maak dat die maandelikse paaiement diensbaar (betaalbaar) is. 'n Kredietgradering is 'n beraming van 'n persoon se vermoë om finansiële verpligtinge na te kom, gebaseer op hul vorige terugbetalingsgeskiedenis. Versuim om by terugbetalingsverpligtinge te hou, kan 'n persoon se kredietgradering en kanse om in die toekoms 'n lening uit te neem affekteer.

Uitgewerkte voorbeeld 12: Analise van beleggingsgeleenthede

Marlene wil begin spaar vir 'n deposito op 'n huis. Sy kan bekostig om tussen en elke maand te belê en ontvang inligting van vier verskillende beleggingsfirmas. Elke firma kwoteer 'n verskillende rentekoers en voorgeskrewe maandelikse paaiement. Sy beplan om binne jaar 'n huis te koop. Bereken watter firma die beste beleggingsgeleentheid vir Marlene bied.

| Rentekoers (maandeliks saamgestel) | Maandelikse paaiement
TBS Beleggings | % per jaar |
Taylor Anderson | % per jaar |
PHK | % per jaar |
Simfords Konsult | % per jaar |

Oorweeg die verskillende beleggings opsies

Om die verskillende beleggingsopsies te vergelyk, moet ons die volgende vir elke opsie aan die einde van die sewe jaar tydperk bereken:

Die toekomstige waarde van die maandelikse paaiement.

Die totale bedrag aan die beleggingsfonds betaal.

Die totale rente verdien.

TBS Beleggings:

Taylor Anderson:

PHK:

Simfords Konsult:

Trek 'n tabel van die resultate op om die antwoorde te vergelyk

TBS Beleggings |  |  |
Taylor Anderson |  |  |
PHK |  |  |
Simfords Konsult |  |  |

Kom tot 'n gevolgtrekking

'n Belegging met PHK sal vir Marlene met die hoogste deposito () vir haar huis teen die einde van die jaar tydperk laat. Ons sien egter dat 'n belegging met Taylor Anderson die hoogste rente bedrag sal verdien () en is dus die beter opsie vir belegging.

Uitgewerkte voorbeeld 13: Analise van leningsopsies

William wil 'n lening van uitneem, dus nader hy drie verskillende banke. Hy beplan om dadellik die lening te begin terugbetaal en bepaal dat hy 'n maandelikse paaiement van en kan bekostig.

Bereken watter van die drie opsies die beste vir William sal wees.

West Bank bied 'n terugbetalingstydperk van jaar en 'n rentekoers van prima, maandeliks saamgestel.

AcuBank bied 'n terugbetalingstydperk van jaar en 'n rentekoers van prima , maandeliks saamgestel.

FinTrust Bank bied 'n terugbetalingstydperk van jaar en 'n rentekoers van prima , maandeliks saamgestel.

Oorweeg die verskillende leningsopsies

Om die verskillende leningsopsies te vergelyk, moet ons die volgende vir elke opsie bereken:

Die maandelikse paaiement.

Die totale bedrag om die lening af te betaal.

Die hoeveelheid rente op die lening.

West Bank:

AcuBank:

FinTrust Bank:

Trek 'n tabel van die resultate op om die antwoorde te vergelyk

West Bank |  |  |
AcuBank |  |  |
FinTrust Bank |  |  |

Kom tot 'n gevolgtrekking

'n Lening by FinTrust Bank akkumuleer die laagste rente, maar die maandelikse paaiement val buite William se begroting. Alhoewel West Bank die laagste rentekoers en maandelikse paaiement bied, is die rente op die lening baie hoog omdat die terugbetalingstydperk langer is. Indien mens sou aanneem dat William die lening teen die gegewe terugbetalingstydperk moet afhandel, lewer AcuBank die beste opsie.

Ons weet egter dat William dit kan bekostig om nie meer as per maand te betaal nie en indien die bank hom toelaat om die lening oor 'n korter tydperk terug te betaal, moet hy dalk dit oorweeg om sy lening met West Bank uit te neem om sodoende van die voordeel van 'n laer rentekoers te kan benut.

Oefening 3.5Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Cokisa is jaar oud en begin vir haar toekoms beplan. Sy het oor haar aftrede begin dink en wil 'n annuïteit uitneem om seker te maak dat sy geld het wanneer sy aftree. Haar voorneme is om op 65 jarige ouderdom af te tree. Cokisa besoek die Trader's Bank van Tembisa en vind uit dat daar twee beleggingsopsies is om van te kies:

Opsie A: % per jaar, elke vier maande saamgestel

Opsie B: % per jaar, half-jaarliks saamgestel

Watter is die beste beleggingsopsie vir Cokisa indien haar deposito bedrag altyd konstant bly?

Daar is twee verskillende rekeningsopsies vir Cokisa om te oorweeg; om te bepaal watter opsie die beste is, moet ons die effektiewe rente van elke opsie vergelyk. Hoe hoër die effektiewe rentekoers, hoe vinniger sal haar rekening groei. Die formule vir effektiewe rente is:

Bereken die effektiewe rentekoers vir opsie A:

Die berekening toon dat opsie A 'n effektiewe rentekoers van omtrent % lewer.

Bereken nou die effektiewe rentekoers vir opsie B:

Vir opsie B is die effektiewe rentekoers ongeveer %.

Deur die bostaande berekening te vergelyk, kan ons sien dat opsie A die beste is.

NOTA: Dit sou voorkom asof ons die vraag kan beantwoord deur 'n bedrag vir die normale paaiement te kies en dan gebruik te maak van die toekomswaarde formule vir elk van die twee opsies te bepaal watter een die meeste geld tot gevolg het. Dit sal egter nie werk nie, omdat die saamstellingstydperke verskil. Indien ons dit op hierdie manier wil bereken, MOET ons die waarde van die paaiement aanpas om die saamstellingstydperke in ag te neem. Neem bv. 'n normale paaiement van elke vier maande vir opsie A, dan sal ons half-jaarliks vir opsie B moet gebruik (omdat dieselfde totale bedrag per jaar as is).

Cokisa maak 'n rekening oop en begin om elke vier maande te spaar. Hoeveel geld (tot die naaste rand) sal sy gespaar hê wanneer sy aftree?

Cokisa sal hê vir haar aftrede.

Phoebe wil 'n huislening uitneem vir R miljoen. Sy nader drie verskillende banke oor hulle leningsopsies:

Bank A bied 'n terugbetaling oor jaar en 'n rentekoers van % per jaar met maandelikse saamgestelde rente aan.

Bank B bied 'n terugbetaling oor jaar en 'n rentekoers van % per jaar met maandelikse saamgestelde rente aan.

Bank C bied 'n terugbetaling oor jaar en 'n rentekoers van % per jaar met maandelikse saamgestelde rente aan.

As Phoebe beplan om haar maandelikse terugbetalings onmiddellik te begin doen, bereken watter een van die drie opsies sal die beste vir haar wees.

Bank A:

Bank B:

Bank C:

Bank A |  |  |
Bank B |  |  |
Bank C |  |  |

'n Lening van Bank A sal die laagste maandelikse terugbetalings hê, maar die rente is hoog as gevolg van die langer terugbetalingsperiode. Daarom moet Phoebe dit oorweeg om 'n lening uit te neem met Bank B, want dit het die laagste totale terugbetalingsbedrag.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Piramideskemas (EMFCMR)

'n Piramideskema is 'n geldmaakskema wat beleggers 'n ongewone hoë opbrengs op hulle belegging beloof. Die konsep van 'n piramideskema is heel eenvoudig en behoort maklik identifiseerbaar te wees, maar dit word dikwels fyn vermom as 'n wettige besigheid. Partykeer sal 'n produk aangebied word en in ander gevalle word die skema bemark as 'n hoogs winsgewende beleggingsgeleentheid. Ongelukkig het baie van hierdie skemas al miljoene mense hulle spaargeld gekos. Piramideskema is onwettig in Suid Afrika.

"Ponzi skemas" is vernoem na Charles Ponzi, 'n Italiaanse besigheidsman wat in die V.S.A. en Kanada geleef het. Een van sy beleggingskemas het die koop van gefrankeerde poskoepons in ander lande behels wat dan vir 'n hoër waarde in die V.S.A. teruggeëis is. Hy het beleggers % profyt binne dae van hulle belegging beloof. Soos die skema gegroei het, het Ponzi vroeë beleggers afbetaal met die geld van beleggers wat later by die skema aangesluit het. Ponzi se oneerlike skema is ontbloot en beleggers het miljoene dollars verloor. Hy is vir 'n paar jaar tronk toe gestuur.

Die Suid-Afrikaner Adriaan Niewoudt het 'n piramideskema begin wat gewoonlik verwys word na as die "Kubus" skema. Deelnemers het 'n biologiese substans, wat 'n aktiveerder genoem was, gekoop wat veronderstel was om gebruik te word in skoonheidsprodukte. Die aktiveerder is gebruik om kulture in melk te groei wat dan gedroog, gemaal en verkoop is aan nuwe deelnemers. Die skema het duisende beleggers gehad en ongeveer miljoen is daarin belê voordat dit 'n onwettige lotery verklaar is.

'n Piramideskema begin met een persoon wat ander mense vind om hulle geld in die skema te belê. Hierdie mense werf dan meer mense om aan die skema te behoort en dit laat die piramiedbasis groei. Die geld wat deur nuwe beleggers belê word, gaan na deelnemers nader aan die bopunt van die piramide. Dit is onvolhoubaar, want dit vereis dat meer en meer mense by die skema aansluit en die groei moet een of ander tyd eindig, want daar is 'n beperkte aantal mense. Daarom verloor meeste beleggers hulle geld wanneer die skema ineenstort.

Die Suid-Afrikaanse Reserwebank het 'n publieke bewusmakingsveldtog, “Pasop vir oMashayana (skelms)” van stapel laat loop, om mense op te voed oor piramideskema en hoe om dit te identifiseer.

Pasop vir oMashayana

So, jy dink jy het die perfekte belegging gevind? Gereelde hoë opbrengste met geen risiko? Wees versigtig. Moenie al jou geld verloor nie. As dit te goed klink om waar te wees, is dit waarskynlik 'n piramideskema of 'n Ponzi skema.

Wat is 'n Ponzi skema?

'n Ponzi swendelaar sal jou net vra vir geld om te belê in 'n skema of projek, soos sogenaamde eiendomsontwikkelings; oorbruggingsfinansiering; buitelandse valuta transaksies; waagkapitaal vir ander maatskappye of aandele. Die skema operateur beloof om jou baie meer geld terug te betaal as wat jy aanvanklik belê het, oor 'n baie kort tydsperiode.

Wat is 'n piramideskema?

'n Piramideskema swendelaar sal jou die kans bied om vinnig geld te maak, dikwels deur iets te verkoop. Jy sal 'n aansluitingsfooi betaal, die produk koop en dit dan verkoop. Hulle sal sê dat hoe meer mense jy kry om die produk vir jou te verkoop, hoe meer geld sal jy maak. Dit is maklik vir die eerste mense om nuwe lede bekend te stel aan die skema, maar binnekort is omtrent almal deel van die skema en word dit moeiliker om nuwe mense te kry om aan te sluit. Byvoorbeeld, die swendelaar werf mense wat elk 'n aansluitingsfooi van betaal. Elkeen van die mense moet mense werf. Daar is nou tot mense. Nou moet die mense elk mense werf – dit is gelyk aan , en teen die tyd wat jy gelykbreek op die tenth vlak, moet jy miljoen mense hê om die skema aan die gang te hou. Dit sal nooit kan werk nie.

Wat is die verskil tussen 'n piramied- en 'n Ponzi skema?

Die hoof verskil is dat met 'n piramideskema moet jy werk of verkoop om beleggers te werf, terwyl met 'n Ponzi skema sal die swendelaar jou net vra om in iets te belê (byvoorbeeld, eiendomsontwikkelling). Beide skemas is onwettig.

Wat kan ek doen om myself te beskerm?

Jy is jou eie beste beskerming. Dit is jou verantwoordelikheid om seker te maak dat jy nooit jou geld aan enige maatskappy of persoon gee wat nie geregistreer is as 'n depositonemende instelling in terme van die Bankwet nie.

Hoekom is dit so riskant om my geld te oorhandig?

Wanneer jy jou geld oorhandig (note en muntstukke) aan 'n ander persoon wat dan die geld verloor, dit steel of bankrot verklaar word, het jy net 'n ongedekte eis teen daardie persoon of sy boedel en jy mag dalk nie al jou geld terugkry nie.

Hoekom is dit veiliger om my geld aan 'n bank te oorhandig?

Banke en beleggingsmaatskappye moet geregistreerd wees sodat hulle gereguleer en gemonitor kan word, om seker te maak dat jou geld veilig is. Ongereguleerde en ongemoniteerde persone en groepe volg nie hierdie reëls nie en jou geld word teen groot risiko by hulle belê.

3.6 Opsomming (EMFCMS)

Hou altyd die rentekoers per tydseenheid en die tydsperiode in dieselfde eenhede.

Enkelvoudige rente:

Saamgestelde rente:

Enkelvoudige waardevermindering:

Saamgestelde waardevermindering:

Nominale en effektiewe jaarlikse rentekoerse:

Toekomswaarde van betalings:

Betalingsbedrag:

Huidige waarde van 'n reeks van betalings:

Betalingsbedrag:

Oefening 3.6Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Mpumelelo maak 'n deposito van in 'n spaarrekening, wat kwartaalliks saamgestelde rente verdien teen % p.j. Hoe lank sal dit neem vir die spaarrekening om 'n balans van te hê?

In hierdie vraag is die rente kwartaalliks betaalbaar, so en . In hierdie geval, verteenwoordig die aantal jare; die produk verteenwoordig die aantal kere wat die bank rente in die rekening inbetaal.

Nou moet ons die vergelyking verander na die logaritmiese vorm toe:

Om die aantal jare te kry, los ons op vir :

Daarom sal dit jaar neem.

Hoeveel rente sal Gavin op 'n lening van vir jaar teen % per jaar, maandeliks saamgestel, betaal?

Maandelikse paaiemente is .

Totale lening:

Rente:

Wingfield Skool sal in jaar 'n aantal ou klaskamer lessenaars moet vervang. Die skoolhoof het bereken dat die nuwe lessenaars gaan kos. Die skool het 'n delgingsfonds gevestig om vir die nuwe lessenaars te betaal en maak onmiddellik 'n deposito van wat maandeliks saamgestelde rente verdien teen 'n koers van % p.j.

Hoeveel geld moet die skool elke maand spaar sodat daar genoeg geld in die delgingsfonds sal wees om die koste van die lessenaars te dek?

word onmiddellik in die delgingsfonds gedeponeer en sal rente verdien tot aan die einde van die jaar:

Na jaar sal die deposito werd wees.

Balans benodig in die delgingsfonds:

Ons bereken die maandelikse paaiemente wat 'n toekomstige waarde van sal gee:

Daarom moet Wingfield skool elke maand in die delgingsfonds deponeer sodat daar genoeg geld in die rekening sal wees om die nuwe lessenaars aan te koop.

Hoeveel rente verdien die fonds oor 'n periode van jaar?

Die total bedrag geld wat die skool in die rekening deponeer is .

Daarom is die rente wat deur die bank betaal word:

Bereken hoeveel jaar (tot die naaste heelgetal) dit sal neem vir die waarde van 'n voertuig om te verminder na % van die oorspronklike waarde as die waardeverminderingskoers, gebaseer op die verminderde balans metode, % is per jaar.

Laat die waarde van die voertuig wees.

Daarom sal dit omtrent jaar neem.

Angela het nou net by 'n nuwe werk begin en wil geld spaar vir haar aftrede. Sy besluit om elke maand in 'n spaarrekening te deponeer. Haar geld word in 'n rekening by Pinelands Mutual Bank gespaar en die rekening ontvang % maandeliks saamgestelde rente per jaar.

Hoeveel geld sal Angela in haar rekening hê na jaar?

Na jaar sal Angela in haar rekening hê.

Hoeveel geld het Angela in haar rekening gedeponeer na jaar?

Die totale hoeveelheid geld wat Angela elke jaar spaar is . Ons kan bereken hoeveel geld sy in totaal spaar deur dit met die getal jare te vermenigvuldig: .

Na jaar het Angela in totaal in haar rekening gedeponeer.

Nicky werk al vir jaar by Meyer en Vennote en kry 'n salarisverhoging. Sy maak 'n spaarrekening by Langebaan Bank oop en begin om elke maand te deponeer. Die rekening verdien % maandeliks saamgestelde rente per jaar. Sy beplan om maandeliks aan te hou spaar totdat sy aftree. Na jaar stop sy egter met die maandelikse deposito's en los die rekening om te groei.

Hoeveel geld sal Nicky in haar rekening hê jaar nadat sy dit oopgemaak het?

Hierdie berekening wys dat die rekening 'n balans van na jaar sal hê, wanneer Nicky ophou om die maandelikse deposito te maak.

Van hierdie punt af groei die rekening van met saamgestelde rente alleenlik (geen maandelikse deposito's). Dit hou so aan vir jaar.

Die totale hoeveelheid geld in die rekening jaar nadat Nicky die rekening oopgemaak het, is .

Bereken die verskil tussen die totale bedrag van deposito's wat gemaak is in die rekening en die rente betaal deur die bank.

Die totale deposito's is:

Aan die einde van die periode is die rente verdien:

Verskil:

Elke drie maande plaas Louis in 'n annuïteit. Sy rekening verdien 'n kwartaalliks saamgestelde rentekoers van % p.j. Hoe lank sal dit sy rekening neem om 'n balans van te bereik?

Nou dat die vierkantige hakie alleen staan, werk daar binne-in en tel een weerskante by, en verander dan die vergelyking na log-vorm om die eksponent te kry.

Dit sal omtrent jaar neem.

Hoeveel rente sal Louis uit sy belegging verdien?

Die totale bedrag deposito's:

Die totale bedrag rente:

'n Suiwelboer genaamd Kayla moet nuwe toerusting wat kos vir haar suiwelplaas koop. Sy het die ou toerusting jaar gelede gekoop vir . Die waarde van die ou toerusting verminder teen 'n koers van % per jaar op 'n verminderde saldo metode. Kayla sal 'n nuwe verband vir die oorblywende hoeveelheid van die nuwe toerusting moet uitneem.

'n Agentskap wat boere ondersteun bied verbande teen 'n spesiale maandelikse saamgestelde rentekoers van % p.j. aan vir enige lening tot en % vir 'n lening meer as daardie bedrag. Kayla reël die verband dat sy nie enige paaiemente op die lening hoef te maak in die eerste ses maande nie (dit word 'n 'grasieperiode' genoem) en sy moet die lening oor jaar terug betaal.

Bereken die maandelikse paaiement.

Ou toerusting:

Die waarde van die ou toerusting is .

Verband bedrag:

Na die eerste ses maande van die leningsperiode, waartydens sy geen paaiemente maak nie, verhoog die bedrag wat sy skuld tot .

Nou kan ons die huidige waarde formule gebruik vir die waarde van om dit op te los. Onthou dat die terugbetalingstydperk jaar is.

Katya moet elke maand betaal.

Wat is die totale bedrag rente wat Kayla moet betaal vir die verband?

Totale koste van die lening:

Rente:

Die totale bedrag rente wat Katya betaal het, is .

Met watter faktor is die rente wat sy betaal groter as die waarde van die lening? Gee die antwoord korrek tot een desimale plek.

Die rente is groter as die leningsbedrag met 'n faktor van .

Thabo belê in 'n spesiale bankproduk wat % per jaar sal betaal vir 1 maand, dan % per jaar vir die volgende maande, dan % per jaar vir die volgende 3 maande, % per jaar vir die volgende maande, en % vir die res van die jaar. As die bank hom bankkoste hef om die rekening oop te maak, hoeveel kan hy verwag om teen die einde van die jaar te verdien?

Trek die rekeningfooi van die beleggingsbedrag af: - =

Thabani en Lungelo gebruik altwee Harper Bank om te spaar. Lungelo deponeer teen 'n rentekoers van vir ses jaar. Drie jaar nadat Lungelo sy eerste deposito gemaak het, deponeer Thabani teen 'n rentekoers van % per jaar. As hulle beleggings na jaar ewe groot is, bereken die waarde van (korrek tot drie desimale plekke). As die som van hulle belegging is, bepaal hoeveel Thabani in jaar verdien het.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Hoofstuk 4: Trigonometrie

Beklemtoon die waarde en belangrikheid daarvan om sketse maak, waar van toepassing.

Dit is baie belangrik vir leerders om te verstaan dat dit verkeerd is om die distributiewe eienskap van getalle toe te pas op trigonometriese verhoudings en dat .

Beklemtoon dat die oppervlakte-, sinus- en cosinusreëls nie reghoekige driehoeke vereis nie.

Herinner leerders daaraan dat hoeke in die Cartesiese vlak altyd gemeet word vanaf die positiewe -as.

Dit is belangrik om daarop te let dat nie ingesluit is in CAPS nie.

Let daarop dat die ko-funksie vir tangens ook nie ingesluit is in CAPS nie.

Herinner leerders daaraan om seker te maak dat hulle antwoorde binne die gevraagde interval lê.

Vir die algemene oplossing, bepaal die oplossing in die regte kwadrante en binne die gevraagde interval.

Om te bewys dat 'n identiteit waar is, herinner leerders dat hulle slegs toegelaat word om een kant op 'n slag te manipuleer.

Om identiteite te bewys, manipuleer ons gewoonlik die meer komplekse uitdrukking totdat dit dieselfde lyk as die meer eenvoudige uitdrukking.

4.1 Hersiening (EMFCMT)

Trigonometriese verhoudings

Ons het die basiese trigonometriese verhoudings gedefinieer deur die lengtes van die sye van 'n reghoekige driehoek te gebruik.

Trigonometriese verhoudings in die Cartesiese vlak

Ons het ook die trigonometriese verhoudings gedefinieer met betrekking tot enige punt in die Cartesiese vlak in terme van , en . Deur die gebruik van die stelling van Pythagoras, .

CAST diagram

Die teken van 'n trigonometriese verhouding hang af van die tekens van en :

Reduksieformules en ko-funksies:

Die reduksieformules geld vir enige hoek . Gerieflikheidshalwe, aanvaar ons is 'n skerphoek ().

Wanneer ons die funksiewaardes van (), () en () bepaal, verander die funksie nie.

Wanneer ons die funksiewaardes van () en () bepaal, verander die funksie na die ko-funksie.

Negatiewe hoeke

Spesiale hoek driehoeke

Hierdie waardes is gerieflik wanneer ons 'n probleem wat trigonometriese funksies bevat sonder 'n sakrekenaar moet oplos. Onthou die lengtes van die sye van 'n reghoekige driehoek gehoorsaam die stelling van Pythagoras.

8

ongedef

Trigonometriese identiteite

Kwosiëntidentiteit:

Vierkantsidentiteit

Dit volg ook dat:

Al hierdie verbande en identiteite is baie handig om trigonometriese uitdrukkings mee te vereenvoudig.

Uitgewerkte voorbeeld 1: Hersiening

Bepaal die waarde van die uitdrukking, sonder om 'n sakrekenaar te gebruik:

Gebruik reduksieformules om elke trigonometriese verhouding uit te druk in terme van 'n skerphoek

Gebruik nou spesiale hoeke om die waarde van die vereenvoudigde uitdrukking te bepaal:

Uitgewerkte voorbeeld 2: Hersiening

Bewys:

Meld beperkings waar van toepassing.

Gebruik trigonometriese identiteite om elke kant apart te vereenvoudig

Vereenvoudig die linkerkant van die identiteit:

Vereenvoudig die regterkant van die identiteit totdat dit gelyk is aan die linkerkant:

Alternatiewe metode: ons kon ook met die linkerkant begin het en vervang het en dan vereenvoudig om die regterkant te kry.

Beperkings

Ons moet die waardes van bepaal waarvoor enige van die terme in die identiteit ongedefinieer sal wees:

Ons moet ook die waardes van oorweeg waarvoor ongedefinieer is. Dus die identiteit is ongedefinieer vir .

Nuttige wenke:

Dit is soms nuttig om te skryf in terme van en .

Moet nooit 'n trigonometriese verhouding skryf sonder 'n hoek nie. Byvoorbeeld, het geen betekenis.

Vereenvoudig slegs een kant op 'n slag in die bewys van identiteite.

Soos gesien kan word in die uitgewerkte voorbeeld hierbo, is dit somtyds nodig om beide kante van die identiteit te vereenvoudig.

Onthou om beperkings neer te skryf:

die waardes waarvoor enige van die trigonometriese verhoudings nie gedefinieer is nie;

die waardes van die veranderlike wat enige van die noemers in die identiteit gelyk maak aan nul.

Oefening 4.1 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Gegee:

Skryf elk van die volgende uitdrukkings in terme van :

Vereenvoudig tot 'n enkele trigonometriese verhouding:

Vereenvoudig tot 'n enkele trigonometriese verhouding:

Bepaal vervolgens:

As , druk die volgende uit in terme van :

Evalueer die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

Reduseer die volgende tot een trigonometriese verhouding:

Gebruik reduksieformules en spesiale hoeke om te wys dat

vereenvoudig kan word tot .

Gebruik reduksieformules en ko-funksies om die uitdrukking te vereenvoudig

Sonder om die sakrekenaar te gebruik, bepaal die waarde van .

Gebruik spesiale hoeke om die waarde van die uitdrukking te bepaal

Troy se wiskunde onderwyser vra die klas om die volgende vraag te beantwoord.

Vraag:

Bewys dat .

Troy se antwoord:

Lewer kommentaar op Troy se antwoord en toon die korrekte metode vir die bewys van hierdie identiteit.

Die vraag verwag van Troy om die identiteit te bewys. Maar, deur oorkruis te vermenigvuldig en die linkerkant en regterkant te 'vermeng', het hy reeds aanvaar die twee kante is gelyk. Hy het dit hanteer soos 'n vergelyking. Die korrekte metode is om die linkerkant en die regterkant apart te hou totdat dit duidelik is dat hulle dieselfde is. Troy moes ook die beperkings genoem het.

Korrekte metode:

Beperkings: ongedefinieerd waar .

Dus, dan .

Gevolglik .

Bewys die volgende identiteite:

(Noem enige nie-toegelate waardes in die interval , waar van toepassing.)

Beperkings: ongedefinieerd waar ongedefinieerd is

Gevolglik .

Beperkings: ongedefinieerd waar en waar ongedefinieerd is.

Gevolglik .

Beperkings: ongedefinieerd waar .

Gevolglik .

Beperkings: ongedefinieerd waar en waar ongedefinieerd is.

Gevolglik .

Beperkings: ongedefinieerd waar .

Beperkings sluit ook die waardes van in waarvoor ongedefinieerd is.

Gevolglik .

Beperkings: waar en waar ongedefinieer is.

Gevolglik .

Bepaal of die volgende bewerings waar of vals is.

As die bewering vals is, kies 'n geskikte waarde tussen en om jou antwoord te bevestig.

Vals

Vals

Waar

Vals

Waar

Waar

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

4.2 Saamgestelde hoek identiteite (EMFCMV)

Afleiding van (EMFCMW)

Saamgestelde hoeke

Danny studeer vir 'n trigonometrie toets en voltooi die volgende vraag:

Vraag:

Evalueer die volgende:

Danny se oplossing:

Oorweeg Danny se oplossing en stel vas waarom dit verkeerd is.

Gebruik 'n sakrekenaar om te kontroleer dat Danny se antwoord verkeerd is.

Beskryf in woorde die fout(e) in sy oplossing.

Is die volgende bewering waar of vals?

"'n Trigonometriese verhouding kan versprei word oor die hoeke in die hakies."

Van die ondersoek hierbo weet ons dat . Dit is verkeerd om die distributiewe eienskap toe te pas op die trigonometriese verhoudings van saamgestelde hoeke.

Deur die afstandformule en die cosinusreël te gebruik, kan ons die volgende identiteit vir saamgestelde hoeke aflei:

Beskou die eenheidsirkel hieronder. Twee punte en word getoon op die sirkel.

Ons kan die koördinate van en uitdruk in terme van die hoeke en :

Ons gebruik die afstandformule om te bepaal:

Nou bepaal ons deur die cosinusreël te gebruik vir :

Deur die twee uitdrukkings vir gelyk te stel, het ons

Uitgewerkte voorbeeld 3: Afleiding van

Lei 'n uitdrukking af vir in terme van die trigonometriese verhoudings van en .

Gebruik die saamgestelde hoek formule vir

Ons gebruik die saamgestelde hoek formule vir en manipuleer die teken van in , sodat dit geskryf kan word as 'n verskil tussen twee hoeke:

Skryf die finale antwoord

Uitgewerkte voorbeeld 4: Afleiding van en

Lei die uitgebreide formules af vir en in terme van die trigonometriese verhoudings van en .

Gebruik die saamgestelde hoek formule en ko-funksies om uit te brei

Deur ko-funksies te gebruik, weet ons dat , dus kan ons skryf in terme van die cosinusfunktsie as:

Pas die saamgeselde hoek formule toe:

Om die formule af te lei vir , gebruik ons die saamgestelde hoek formule vir en manipuleer die teken van :

Skryf die finale antwoorde

Saamgestelde hoek formules

Let op: ons kan die saamgestelde hoek formules gebruik om trignometriese uitdrukkings met saamgestelde hoeke uit te brei en te vereenvoudig (van links na regs in identiteite hierbo) of ons kan die uitgebreide vorm gebruik om die trigonometriese verhouding van 'n saamgestelde hoek te vind (van regs na links).

Uitgewerkte voorbeeld 5: Saamgestelde hoek formules

Bewys dat sonder die gebruik van 'n sakrekenaar.

Oorweeg die gegewe identiteit

Ons ken die waardes van die trigonometriese funksies van die spesiale hoeke (, , , ens.) en ons kan skryf .

Gevolglik kan ons die saamgestelde hoek formule vir gebruik om uit te druk in terme van bekende trigonometriese funksiewaardes.

Bewys die linkerkant van die identiteit is gelyk aan die regterkant

Wanneer ons bewys 'n identiteit is waar, onthou om die linkerkant en die regterkant apart te hou.

Dus het ons getoon dat .

Uitgewerkte voorbeeld 6: Saamgestelde hoek formules

Bepaal die waarde van die volgende uitdrukking sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

Gebruik ko-funksies om die uitdrukking te vereenvoudig

Ons moet twee van die trigonometriese funksies verander van cosinus na sinus sodat ons die saamgestelde hoek formule kan gebruik.

Ons moet ook seker maak dat die som (of verskil) van die twee hoeke gelyk is aan 'n spesiale hoek sodat ons die waarde van die uitdrukking kan bepaal sonder 'n sakrekenaar. Let daarop dat .

Pas die saamgestelde hoek formule toe en gebruik spesiale hoeke om die uitdrukking te evalueer

Skryf die finale antwoord

Kontroleer antwoorde: Dit is altyd goed om die antwoorde te kontroleer. Die vraag stel dit dat ons nie 'n sakrekenaar moet gebruik om die antwoord te kry nie, maar ons kan 'n sakrekenaar gebruik om te kontroleer dat die antwoord korrek is:

Oefening 4.2Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Gegee:

Maak 'n skets en bepaal die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

Bereken die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar (los die antwoord in wortelvorm):

Bewys:

Vervolgens, bereken die waarde van sonder die gebruik van 'n sakrekenaar.

Ons het getoon dat:

Gebruik 'n sakrekenaar om jou antwoord te kontroleer.

Vir :

Vereenvoudig die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

Bewys:

Vervolgens, bereken die waarde van sonder die gebruik van 'n sakrekenaar.

Ons het getoon dat:

In die diagram hieronder, lê die punte en op die sirkel met radius eenhede en middelpunt by die oorsprong.

Bewys .

Ons kan die koördinate van en uitdruk in terme van die hoeke en :

Ons gebruik die afstandformule om te bepaal:

Nou bepaal ons deur die cosinusreël te gebruik vir :

Deur die twee uitdrukkings vir gelyk te stel, het ons

Let op: vroeër in hierdie hoofstuk het ons die saamgestelde hoek identiteite afgelei deur die eenheidsirkel (radius = eenheid) te gebruik omdat dit die berekeninge vereenvoudig. Van die oefening hierbo, kan ons sien dat die saamgestelde hoek identiteite in der waarheid afgelei kan word deur 'n sirkel met enige radius te gebruik.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

4.3 Dubbelhoek identiteite (EMFCMX)

Afleiding van (EMFCMY)

Ons het getoon dat . Gestel , kan ons die formule skryf as:

Afleiding van (EMFCMZ)

Soortgelyk, weet ons dat . Gestel , dan het ons:

Deur die vierkantsidentiteit te gebruik, , kan ons ook die volgende formules aflei:

en

Dubbelhoek formules

Uitgewerkte voorbeeld 7: Dubbelhoek identiteite

As 'n skerphoek is en , bepaal die waarde van sonder die gebruik van 'n sakrekenaar.

Maak 'n skets

Ons skakel om na 'n breuk sodat ons die verhouding kan gebruik om die sye van 'n reghoekige driehoek voor te stel.

Gebruik die dubbelhoek formule om die waarde te bepaal van

Skryf die finale antwoord

Kontroleer die antwoord met 'n sakrekenaar:

Uitgewerkte voorbeeld 8: Dubbelhoek identiteite

Bewys dat .

Vir watter waardes van is die identiteit nie geldig nie?

Beskou die volgende uitdrukkings

Die regterkant (RK) van die identiteit kan nie vereenvoudig word nie, dus vereenvoudig ons die linkerkant (LK). Ons let ook op dat die trigonometriese funksie aan die RK nie 'n bevat nie, dus moet ons die dubbelhoek formule gebruik om en aan die LK te vereenvoudig.

Bewys dat die linkerkant gelyk is aan die regterkant

Identifiseer beperkings op die waarde van

Ons weet dat ongedefinieer is vir .

Let daarop dat deling deur nul nie toegelaat is aan die LK nie, so die identiteit sal ongedefinieer wees vir:

vir .

Oefening 4.3Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Gegee en . Bepaal die waarde van die volgende sonder 'n sakrekenaar:

Maak 'n skets:

Gegee , bepaal (sonder 'n sakrekenaar):

Bewys die identiteit:

Beperkings:

Gevolglik, los die vergelyking op vir .

Sonder om 'n sakrekenaar te gebruik, vind die waarde van die volgende:

Konroleer die antwoord met 'n sakrekenaar.

Konroleer die antwoord met 'n sakrekenaar.

Bewys die identiteit:

Beperkings:

Verduidelik hoekom die identiteit ongedefinieer is vir

Beskou die noemer aan die LK:

Beskou die noemer aan die RK:

Dus, die identiteit sal ongedefinieer wees omdat deling deur nul nie toegelaat is nie.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

4.4 Oplos van vergelykings (EMFCN2)

Die algemene oplossing (EMFCN3)

Die periodisiteit van die trigonometriese funksies beteken daar is 'n oneindige aantal positiewe en negatiewe hoeke wat die vergelyking bevredig. As ons nie die oplossing beperk nie, dan moet ons AL die oplossings, dit wil sê die algemene oplossing, van die vergelyking bepaal. Ons weet die sinus- en cosinusfunksie het 'n periode van en die tangensfunksie het 'n periode van .

Metode vir die vind van die oplossing:

Vereenvoudig die vergelyking met die gebruik van algebraïese metodes en trigonometriese identiteite.

Bepaal die verwysingshoek (gebruik 'n positiewe waarde).

Gebruik die CAST diagram om te bepaal waar die funksie positief of negatief is (gebaseer op die gegewe vergelyking/inligting).

Ontoelaatbare waardes: vind die hoeke wat in 'n spesifieke interval lê deur veelvoude van die toepaslike periode by te tel of af te trek.

Algemene oplossing: vind die hoeke wat die vergelyking bevredig in die interval en tel veelvoude van die periode by elke antwoord.

Kontroleer die antwoorde met 'n sakrekenaar.

Algemene oplossings:

vir .

Uitgewerkte voorbeeld 9: Vind die algemene oplossing

Bepaal die algemene oplossing vir (korrek tot een desimale plek).

Gebruik 'n sakrekenaar om die verwysingshoek te vind

Gebruik die CAST diagram om te bepaal in watter kwadrante positief is

Die CAST diagram dui aan is positief in die eerste en tweede kwadrante.

Met die gebruik van reduksieformules weet ons dat .

In die eerste kwadrant:

In die tweede kwadrant:

waar .

Kontroleer dat die oplossing die oorspronklike vergelyking bevredig

Ons kan willekeurig waardes van selekteer om te kontroleer dat die antwoorde die oorspronklike vergelyking bevredig.

Laat :

Die oplossing is korrek.

Soortgelyk, laat :

Die oplossing is korrek.

Skryf die finale antwoord

of vir .

Uitgewerkte voorbeeld 10: Trigonometriese vergelykings

Los vir op, sonder om 'n sakrekenaar te gebruik:

Vereenvoudig die vergelyking

Ons vereenvoudig eers die linkerkant van die vergelyking deur die dubbelhoek formules te gebruik. Om die vergelyking op te los, moet ons die gegewe vergelyking manipuleer na die vorm:

Gebruik 'n sakrekenaar om die verwysingshoek te vind

Gebruik die CAST diagram om te bepaal in watter kwadrante negatief is

Die CAST diagram dui aan dat negatief is in die tweede en vierde kwadrante.

Let op dat vir , , wat die hoek in die vierde kwadrant gee.

Kontroleer dat die oplossing die oorspronklike vergelyking bevredig

Skryf die finale antwoord

waar .

Uitgewerkte voorbeeld 11: Trigonometriese vergelykings

Bewys en los vervolgens op (korrek tot een desimale plek).

Bewys die identiteit

Brei die regterkant van die identiteit uit en wys dat dit gelyk is aan die linkerkant:

Los die vergelyking op

Gebruik 'n sakrekenaar om die verwysingshoek te vind

Gebruik die CAST diagram om te bepaal in watter kwadrante positief is

Die CAST diagram dui aan dat positief is in die eerste en vierde kwadrante.

In die eerste kwadrant:

Belangrik onthou om ook te deel deur .

In die vierde kwadrant

waar .

Kontroleer dat die oplossing die oorspronklike vergelyking bevredig

Skryf die finale antwoord

Uitgewerkte voorbeeld 12: Trigonometriese vergelykings

Vind die algemene oplossing vir .

Vereenvoudig die gegewe vergelyking

Moenie beide kante van die vergelyking deel deur nie:

deel van die oplossing sal verlore gaan

ons sal die waardes van moet beperk tot waar (deling deur nul is nie toelaatbaar nie).

Pas die wet op nulprodukte toe en los op vir

Skryf die finale antwoord

Oefening 4.4Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Vind die algemene oplossing vir elk van die volgende vergelykings (korrek tot twee desimale plekke):

Ons kan die linkerkant, wat bevat, verander deur ko-funksies te gebruik, of die regterkant deur gebruik te maak van dubbelhoeke:

vir .

Beperkings:

Beperkings:

Gegee:

Los die vergelyking op vir , sonder om 'n sakrekenaar te gebruik.

Trek 'n grafiek en dui die oplossing daarop aan.

Die diagram hieronder toon die grafiek van (grys) en (swart).

Gegee:

Bepaal die algemene oplossing.

Hoeveel oplossings het die gegewe vergelyking in die interval ?

Dus, daar is tien oplossings binne die interval .

Sonder om 'n sakrekenaar te gebruik, los op in .

Ons vereenvoudig eers die linkerkant van die vergelyking:

Vind die algemene oplossing vir .

Gebruik 'n grafiek om die oplossing in die interval te illustreer.

Die diagram hieronder toon die grafiek van .

Verduidelik hoekom die algemene oplossing is vir die vergelyking , en die algemene oplossing is vir die vergelyking . Hoekom verskil hulle?

Die periode van die cosinusfunksie is . Dit beteken dat die funksiewaardes herhaal na .

Die periode van die tangensfunksie is . Dit beteken dat die funksiewaardes herhaal na .

Los op vir :

Kontroleer dat beide antwoorde die oorspronklike vergelyking bevredig:

Dus, .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

4.5 Toepassings van trigonometriese funksies (EMFCN4)

Area-, sinus- en cosinusreël

Areareël

Sinusreël

Cosinusreël

oppervlakte

oppervlakte

oppervlakte

Hoe om te bepaal watter reël om te gebruik:

Areareël

geen loodregte hoogte word gegee nie

Sinusreël:

geen regte hoek word gegee nie

twee sye en 'n hoek word gegee (nie die ingeslote hoek)

twee hoeke en 'n sy word gegee

Cosinusreël

geen regte hoek word gegee nie

twee sye en die ingeslote hoek word gegee

drie sye word gegee

Probleme in twee dimensies (EMFCN5)

Uitgewerkte voorbeeld 13: Area-, sinus- en cosinusreël

Gegee met en .

Bereken die volgende:

Area

Gebruik die cosinusreël om die lengte van te bepaal

Gebruik die sinusreël om te bepaal

Van die diagram sien ons dat , dus .

Bereken die area

Uitgewerkte voorbeeld 14: Probleem in twee dimensies

In die figuur hieronder is en .

Wys dat .

Oorweeg die gegewe inligting

Gebruik die gegewe inligting om soveel van die onbekende hoeke as moontlik te bepaal.

Bepaal die uitdrukking vir

Om die verwagte uitdrukking af te lei, moet ons uitdruk in terme van en .

In , kan ons die sinusreël gebruik om te bepaal:

Oefening 4.5Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

In the diagram hieronder, is die middelpunt van die semi-sirkel .

Vind in terme van .

is 'n middellyn van semi-sirkel . is die middelpunt en halveer dus .

Of

In , bepaal 'n uitdrukking vir .

In , bepaal 'n uitdrukking vir .

In , bepaal 'n uitdrukking vir .

Gebruik die resultate van die vorige vrae om te wys dat .

is 'n middellyn van die sirkel met middelpunt en radius . , en .

Wys dat .

Die figuur hieronder toon 'n koordevierhoek met .

Wys dat die area van die koordevierhoek is.

Skryf twee uitdrukkings neer vir : een in terme van en een in terme van .

Wys dat .

Veronderstel dat eenhede, eenhede, eenhede en eenhede. Bereken (korrek tot een desimale plek).

Vind die hoek . Bereken vervolgens die area van (korrek tot een desimale plek).

Twee vertikale torings en is en hoog onderskeidelik. Punt lê tussen die twee torings. Die hoogtehoeke van na is en van na is . 'n Kabel word benodig om en te verbind.

Bepaal die minimum lengte kabel wat benodig word om en te verbind (tot die naaste meter).

Hoe ver van mekaar af is die basisse van die twee torings (tot die naaste meter)?

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Probleme in drie dimensies (EMFCN6)

Trigonometriese formules is handig vir die oplos van probleme in twee dimensies. Maar, in die regte lewe is alle objekte drie-dimensioneel. Dus is dit belangrik dat ons die toepassing van die area-, sinus- en cosinusreëls uitbrei na drie-dimensionele situasies.

Om 'n drie-dimensionele diagram te skets is 'n baie belangrike stap in die oplossing van die probleem. Die interpretasie van die gegewe inligting en die skets van 'n drie-dimensionele diagram is vaardighede wat ingeoefen moet word.

Uitgewerkte voorbeeld 15: Probleme in drie dimensies - hoogte van 'n paal

is die toppunt van 'n paal en sy basis, , is in dieselfde horisontale vlak as die punte en . Die hoogtehoek gemeet vanaf na is . , .

Gebruik die gegewe inligting om , die hoogte van die paal, te bereken tot die naaste meter.

Maak 'n skets

Dit is 'n uitdaging om hierdie situasie te analiseer wanneer slegs 'n beskrywing gegee word. 'n Diagram is baie handig om drie-dimensionele probleme voor te stel.

Maak 'n skets deur die gegewe inligting te gebruik. Dui alle regte hoeke op die skets aan, selfs die wat nie lyk asof dit 'n hoek is nie (byvoorbeeld, ). Dit help ook om die horisontale vlak te arseer (), aangesien dit diepte gee aan die diagram en 'n beter visualisering van die situasie meebring.

Oorweeg die gegewe inligting

Daar is twee driehoeke om te oorweeg: en . Daar word van ons verwag om die lengte te vind van , maar die enigste inligting wat ons het vir is .

Belangrik: let daarop dat 'n kant is van en dit is ook 'n sy van - dit vorm 'n skakel of brug tussen die twee driehoeke.

Dus, om die hoogte van die paal te bepaal:

Skryf al die gegewe inligting op die skets.

Gebruik die inligting vir om te bereken.

Gebruik en die inligting vir om te bereken.

Bepaal die lengte van

Ons let op dat nie 'n regte hoek het nie, dus gebruik ons die sinusreël om te bepaal.

Bepaal die lengte van

In :

Let op: moenie antwoorde afrond in die tussenstappe nie aangesien dit die akkuraatheid van die finale antwoord sal beïnvloed. Probeer altyd om die berekening in een volledige stap te doen en rond slegs die finale antwoord af.

Skryf die finale antwoord

Die hoogte van die paal, , is .

Die berekening in bogenoemde voorbeeld is slegs van toepassing op die spesifieke getalle wat gegee is. Maar, as ons 'n algmene formule aflei vir hierdie kontekstuele situasie dan kan dit toegepas word vir enige toelaatbare stel numeriese waardes.

Uitgewerkte voorbeeld 16: Probleme in drie dimensies - hoogte van 'n gebou

is die top van 'n gebou met hoogte . Die basis van die gebou is by en lê op die grond ('n horisontale vlak). , , en .

Wys dat .

Oorweeg die gegewe inligting

Ons weet dat reghoekig is en ons moet 'n formule vind om die lengte van te bereken. In , het ons twee hoeke en 'n lengte van . Ons identifiseer sy as die skakel tussen en .

Bepaal 'n uitdrukking vir

het nie 'n regte hoek nie maar twee hoeke en 'n sy is gegee, so ons gebruik die sinusreël om te bepaal.

Bepaal 'n uitdrukking vir

In :

Oefening 4.6Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Lyn verteenwoordig 'n hoë toring met sy basis by . Die hoogtehoek vanaf na is . 'n Man staan by sodat en .

Vind die hoogte van die toring in terme van , en .

Vind as dit gegee word dat , en .

is die toppunt van 'n mas en sy basis, , is in dieselfde horisontale vlak as die punte en . Die hoogtehoek, gemeet vanaf na is . , .

Gebruik die gegewe inligting om die algemene formule af te lei vir , die hoogte van die mas.

In :

As , , en , bereken (tot die naaste meter).

is die hoogte van 'n blok woonstelle met by die basis en by die top van die gebou. is 'n punt in dieselfde horisontale vlak as punte en . en .

Toon dat die hoogte van die blok woonstelle, , uitgedruk kan word as:

is die skakel tussen en .

As en , bereken (korrek tot een desimale plek).

Aanvaar elke vlak of verdieping is hoog en skat die aantal verdiepings in die woonstelblok.

Dus, daar is ongeveer vlakke.

Twee skepe op see kan 'n vuurtoring op die kus sien. Die afstand vanaf die top van die vuurtoring () na skip en na skip is . Die hoogtehoek vanaf na is , en

Toon dat die afstand tussen die twee skepe gegee word deur .

Toon dat die area van die see ingesluit in gegee word deur .

Bereken die driehoekige area van die see as die hoogtehoek vanaf die skip na die top van die vuurtoring is en die hoek tussen die direkte lyne vanaf die basis van die vuurtoring na elke skip is.

en .

'n Driehoekige uitkykplatform () is vas aan 'n brug wat strek oor 'n diep vallei. Die vertikale diepte van die vallei, dus die afstand vanaf die rand van die uitkykplatform na die bodem van die vallei , is . Die dieptehoek vanaf na is en vanaf na is . Die hoek by die rand van die platform, is .

Bereken die area van die uitkykplatform (tot die naaste ).

As die platform so gekonstrueer is dat die twee dieptehoeke, en , beide gelyk is aan en die vertikale diepte van die vallei , en , toon dat .

As en , bereken (tot die naaste heelgetal).

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

4.6 Opsomming (EMFCN7)

Pythagoras Identiteite

Verhouding Identiteite

Spesiale hoek driehoeke

8

ongedef

CAST diagram en reduksieformules

Negatiewe hoeke

Periodisiteit Identiteite

Ko-funksie Identiteite

Areareël

Sinusreël

Cosinusreël

Saamgestelde hoek Identiteite

Dubbelhoek Identiteite

Video: 2B5F

Oefening 4.7Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar

Gegee . Gebruik 'n diagram en vind en .

Gegee vir .

Bepaal die volgende (laat die antwoorde in wortelvorm):

Teken 'n skets

As vir , bepaal, sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

Teken 'n skets

Dit word gegee dat , dus moet in die tweede kwadrant lê vir die tangensfunksie om negatief te wees.

Vereenvoudig:

Los die vergelyking op:

vir .

Vind die algemene oplossing vir die volgende vergelykings sonder 'n sakrekenaar:

Bewys:

Gevolglik, los die vergelyking op vir .

Bewys die volgende identiteite:

Beperkings: .

Bewys:

Vir watter waardes van is die identiteit ongedefinieerd?

Die identiteit is ongedefinieerd vir die waardes van sodat aangesien deling deur nul nie toelaatbaar is nie.

Ontoelaatbare waardes is:

Gegee:

Vind die algemene oplossing.

Vind die oplossing vir .

Trek 'n grafiek van vir en dui die oplossings van die vergelyking op die grafiek aan.

Gebruik die grafiek om te bepaal waar .

Wys dat:

Gebruik hierdie resultaat om op te los vir .

Op dieselfde assestelsel, trek twee grafieke om die volgende grafies op te los: vir . Dui die oplossings op die grafiek aan deur die letters ens. te gebruik.

Gegee: vir

Los algebraïes op vir .

Verifieer die oplossing grafies deur twee grafieke op dieselfde assestelsel te trek.

Die volgende grafieke word hieronder gegee:

Toon aan hoekom en .

Vanaf die grafiek kan ons sien dat die amplitude van die sinusgrafiek is, en dus .

Vir die cosinusgrafiek is die periode , dus .

Vir hoeveel -waardes in sal ?

Vir:

Die diagram toon dat die twee grafieke mekaar by drie plekke sny in die interval .

Gebruik die grafiek om op te los.

Vanaf die grafiek het ons die volgende oplossing:

Los op vir deur die trigonometriese identiteite te gebruik.

Vir watter waardes van sal vir ?

In ,

Bewys dat .

Wys dat .

Gegee die grafieke van en , bepaal die waardes van en .

en

is 'n skerphoekige driehoek met . Toon dat die area .

is 'n koordevierhoek met .

Bereken .

Bereken .

Vind .

is 'n koordevierhoek wat in 'n horisontale vlak lê. is 'n vertikale paal met basis . Die hoogtehoek vanaf na is en . is 'n gelykbenige driehoek met .

Wys dat .

In 'n koordevierhoek :

Toon dat

As , bereken die lengte van .

Die eerste diagram toon 'n reghoekige boks met en . Die deksel van die boks, , word oopgemaak na die posisie , soos getoon in die tweede diagram.

Skryf die afmetings (lengte, breedte en hoeklyn) van die deksel neer.

Bereken , die loodregte hoogte van bokant die basis van die boks.

Bereken die verhouding .

is 'n vertikale paal op 'n horisontale vlak . is meters en die hoogtehoek van na is . en .

Noem die twee regtehoeke in die diagram.

Wys dat .

As dit gegee is dat , wys dat die hoogte van die paal gegee word deur .

Bereken die hoogte van die paal as .

is 'n vlagpaal bo-op 'n regeringsgebou . eenhede, is 'n punt op die grond in dieselfde vlak as die basis van die gebou, . Die hoogtehoek vanaf tot en is en , onderskeidelik.

Toon dat

Bereken die hoogte van die vlagpaal (tot die naaste meter) as die gebou is, en .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Hoofstuk 5: Polinome

Bewyse van stellings is nie eksamineerbaar nie.

Waak daarteen om te veel tyd aan hersiening te spandeer. Leerders behoort vertroud te wees met hierdie faktoriseringsmetodes van graad 10 en 11.

Verduidelik terminologie sorgvuldig. Dit is baie belangrik dat leerders verstaan wat 'n faktor is en wat die verhouding met die grafieke van kwadratiese en kubiese funksies is (dit is reeds in die hoofstuk oor Differensiële Wiskunde behandel).

Langdeling en sintetiese deling word ingesluit as 'n inleiding tot die resstelling. Moenie te veel tyd aan hierdie tegnieke spandeer nie.

Dit is belangrik dat leerders verstaan dat 'n res van nul beteken dat 'n deler 'n faktor is.

Moedig leerders aan om faktorisering deur inspeksie te doen.

5.1 Hersiening (EMFCN8)

Identifiseer polinome (EMFCN9)

Terminologie:

Polinoom

'n Uitdrukking wat een of meer veranderlikes het met verskillende magte en koëffisiënte.

Mononoom

'n Polinoom met een term.

Byvoorbeeld, .

Binoom

'n Polinoom wat twee terme het.

Byvoorbeeld, .

Trinoom

'n Polinoom wat drie terme het.

Byvoorbeeld, .

Graad/orde

Die graad, ook die orde genoem, van 'n enkel veranderlike polinoom is die waarde van die hoogste eksponent in die polinoom.

Byvoorbeeld, het 'n graad van .

Dit is belangrik om daarop te let dat die definisie van 'n polinoom veronderstel dat alle eksponente van die veranderlikes elemente van 'n stel natuurlike getalle moet wees. As 'n uitdrukking terme bevat wat eksponente het wat nie natuurlike getallle is nie, is dit nie 'n polinoom nie.

Die volgende voorbeelde is nie polinome nie.

Meer oor polinome

Bespreek of die volgende stellings waar of onwaar is:

Die uitdrukking is 'n trinoom met graad .

is 'n binoom van orde .

is 'n konstante polinoom met graad .

is 'n kwadratiese polinoom.

Die uitdrukking is 'n mononoom omdat dit net een term het.

is 'n konstante polinoom van ongedefinieerde graad.

'n Kubiese polinoom het drie terme en al die eksponente is natuurlike getalle.

Oefening 5.1Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Gegee , bepaal of die volgende stellings waar of onwaar is. Indien onwaar moet die regte stelling verskaf word.

is 'n trinoom

Waar

Die koëffisiënt van die is nul.

Waar

is van graad .

Waar

Die konstante term is .

Onwaar: .

sal reële wortels hê.

Waar

Gegee , bepaal die volgende:

die getal terme in .

die graad van .

die koëffisiënt van die term.

die konstante term.

Bepaal watter van die volgende uitdrukkings polinome is en watter nie. Gee redes waarom van hulle nie polinome is nie.

Kubiese polinoom

Kwadratiese polinoom

Nie 'n polinoom nie; in is die eksponent nie 'n natuurlike getal nie.

Nie 'n polinoom nie; in is die eksponent nie 'n natuurlike getal nie.

Kubiese polinoom

Lineêre polinoom

Nulpolinoom

Polinoom; graad

Kubiese polinoom

Nie 'n polinoom nie; in is die eksponent nie 'n natuurlike getal nie.

Pieter se Wiskunde huiswerk is hieronder. Vind en korrigeer sy foute.

Huiswerk:

Gegee , beantwoord die volgende vrae:

Vereenvoudig die uitdrukking.

Is 'n polinoom?

Wat is die koëffisiënt van die term?

Pieter se antwoorde:

Ja, omdat dit vereenvoudig kan word tot eksponente wat almal natuurlike getalle is. Dit is 'n kwadratiese binoom omdat die hoogste eksponent twee is en daar slegs twee terme is; en .

Voor ek vereenvoudig het, was die koëffisiënt van die term nul en na ek dit vereenvoudig het, word dit .

Pieter maak die volgende foute:

Hierdie is nie 'n vergelyking nie, dus Pieter mag nie deurvermenigvuldig nie. Pieter het verkeerd gefaktoriseer, hy het 'n fout gemaak met die teken in die tweede hakie.

Die oorspronklike uitdrukking is nie 'n polinoom nie omdat die eksponent van die tweede term nie 'n natuurlike getal is nie. Pieter se vereenvoudigde uitdrukking is 'n kwadratiese trinoom omdat dit drie terme en twee faktore het.

In die oorspronklike uitdrukking is die koëffisiënt van die term . Nadat Pieter die uitdrukking verkeerdelik vereenvoudig het, was die koëffisiënt van die term en nie nie. Onthou altyd dat die koëffisiënt die teken en die getal voor die veranderlike insluit.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Kwadratiese polinome (EMFCNB)

In vorige grade het ons die volgende nuttige tegnieke en metodes vir faktorisering van 'n uitdrukking geleer:

haal die gemene faktor uit

faktoriseer die verskil tussen twee vierkante

groepeer in pare

faktoriseer die som en die verskil van twee derdemagte

Ons het ook gekyk na die verskillende metodes om kwadratiese uitdrukkings te faktoriseer:

faktoriseer deur inspeksie

voltooi die kwadraat

gebruik die kwadratiese formule

maak 'n gepaste vervanging

Dit is belangrik om die metodes te hersien; ons gebruik die kwadratiese formule om kubiese polinome te faktoriseer en ons gebruik ook kwadraatvoltooiing om in Hoofstuk 7 die vergelyking vir 'n sirkel te vind.

Terminologie: |
Veranderlike | 'n Simbool wat gebruik word om 'n onbekende numeriese waarde uit te druk. Byvoorbeeld: .
Koëffisiënt | Die getal of parameter wat met die veranderlike van 'n uitdrukking vermenigvuldig word.
Uitdrukking | 'n Term of groep terme wat uit getalle, veranderlikes en basiese bewerkingstekens () bestaan.
Enkel verandelike uitdrukkings | 'n Uitdrukking wat slegs een veranderlike het.
Vergelyking | 'n Wiskundige stelling wat aanvoer dat twee uitdrukking gelyk is.
Identiteit | 'n Wiskundige verhouding wat een uitdrukking gelyk stel aan 'n ander.
Oplossing | 'n Waarde of stel waardes wat die oorspronklike probleemstelling bevredig.
Wortel/ nulwaarde | 'n Wortel, waarna ook verwys word as die nulwaarde of zero van 'n vergelyking, is die waarde van wat bevredig.

Uitgewerkte voorbeeld 1: Los kwadratiese vergelykings deur faktorisering op

Los op vir :

Bepaal die beperkings

Die beperkings is die waardes vir wat sal veroorsaak dat die deler gelyk is aan , wat die breuk ongedefinieerd sal maak. Dus en .

Bepaal die grootste gemene noemer

Die grootste gemene deler is

Vermenigvuldig elke term in die vergelyking met die grootste gemene deler en vereenvoudig

Faktoriseer en los die vergelyking op

Toets die oplossing deur beide antwoorde in die oorspronklike vergelyking te vervang

Skryf die finale antwoord neer

Daarom, of .

Uitgewerkte voorbeeld 2: Gebruik die kwadratiese formule

Vind die wortels van die funksie .

Om die wortels te vind

Om die wortels van te bepaal, laat ons .

Kyk of die uitdrukking gefaktoriseer kan word

Die uitdrukking kan nie gefaktoriseer word nie, daarom moet die algemene kwadratiese formule gebruik word.

Identifiseer die koëffisiënte om in die formule in te vervang

Pas die kwadratiese formule toe

Skryf die finale antwoord neer

Daarom, of

Uitgewerkte voorbeeld 3: Los kwadratiese vergelykings op deur die vierkant te voltooi

Los op deur die vierkant te voltooi:

Die vergelyking is reeds in die vorm

Maak seker die koëffisiënt van die term is gelyk aan

Neem die helfte van die koëffisiënt van die term en kwadreer dit, tel dit dan by en trek dit af van die vergelyking

Die koëffisiënt van die term is . Die helfte van die koëffisiënt van die term is en die kwadraat daarvan is . Daarom .

Skryf die trinoom as 'n volkome kwadraat

Metode . Neem die vierkantswortels aan beide kante van die vergelyking

Belangrik: As ons die vierkantswortel neem, moet jy altyd onthou dat daar 'n positiewe en 'n negatiewe antwoord is, aangesien en .

Los op vir

Daarom of .

Metode : Faktoriseer die uitdrukking as die verskil van twee vierkante

Vereenvoudig en los op vir

Skryf die finale antwoord neer

Let op dat beide metodes dieselfde antwoord gee. Die wortels is rasioneel omdat 'n volkome vierkant is.

Oefening 5.2Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Los die volgende kwadratiese vergelykings op deur faktorisering. Antwoorde mag in die wortelvorm gelaat word waar toepaslik.

Los die volgende vergelykings op deur die vierkant te voltooi:

Los die volgende op met die kwadratiese formule.

Let op: dit sal makliker en vinniger wees om deur faktorisering eerder as met die kwadratiese formule op te los. As die vraag nie spesifiseer watter metode om te gebruik nie, probeer eers deur faktorisering oplos.

Faktoriseer die volgende:

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

5.2 Kubiese polinome (EMFCNC)

Eenvoudige deel

Oorweeg die volgende en antwoord die vrae hieronder:

studente is by 'n promosie geleentheid vir 'n produk en daar is gratis geskenke om weg te gee. Elke student moet dieselfde aantal geskenke kry.

Bepaal hoeveel geskenke elke student sal kry.

Hoeveel geskenke sal oorbly?

Gebruik die volgende veranderlikes om bogenoemde situasie as 'n wiskundige vergelyking uit te druk:

totale aantal geskenke

totale aantal studente

aantal geskenke vir elke student

aantal geskenke wat oorbly

'n Groep studente gaan eet saam by 'n restaurant en die totale rekening is . Elke student dra tot die rekening by. Hulle tel die geld en vind dat hulle nog steeds kort.

Ken veranderlikes aan die bekende en onbekende waardes toe.

Skryf 'n wiskundige vergelyking om die situasie te beskryf.

Gebruik die vergelyking om te bepaal hoeveel studente gaan eet het.

Ons weet dat gedeel deur 'n antwoord van gee met 'n res van .

Dit beteken dat:

Ons 'n algemene uitdrukking vir die reël van deling skryf: as 'n heelgetal deur 'n heelgetal gedeel word, is die antwoord met 'n res van .

waar en .

Hierdie reël kan uitgebrei word om die deling van polinome in te sluit; as 'n polinoom deur 'n polinoom gedeel word is die antwoord met 'n res van .

waar

In woorde: die deeltal is gelyk aan die deler vermenigvuldig met die kwosiënt, plus die res.

'n Kubiese polinoom is 'n uitdrukking met die hoogste mag gelyk aan ; ons sê dat die graad van die polinoom is.

Die algemene vorm van 'n kubiese polinoom is

waar

In graad 10 het ons geleer hoe om die som en verskil van twee derdemagte te bepaal deur eers 'n faktor (die eerste hakie) te vind en dan inspeksie (die tweede hakie) te gebruik. Byvoorbeeld,

In hierdie afdeling fokus ons op faktorisering van kubiese polinome met een veranderlike (enkel verandelike) waar en nie nul is nie.

Ons gebruik die volgende metode om kubiese polinome te faktoriseer

langdeling

sintetiese deling

inspeksie

Uitgewerkte voorbeeld 4: langdeling

Gebruik die langdeling metode om die kwosiënt en die res te bepaal as gedeel word deur . Skryf jou antwoord in die vorm .

Skryf die bekende en onbekende uitdrukkings neer

Gebruik die langdeling metode om en te bepaal

Maak seker dat en in dalende orde van eksponente geskryf is. As 'n term van 'n sekere graad nie in is nie, moet die term met 'n koëffisiënt van geskryf word.

Skryf die finale antwoord neer

Video: 2B7Q

Sintetiese deling is 'n eenvoudiger en meer effektiewe metode vir deling met polinome. Dit stel ons in staat om die kwosiënt en die res te bepaal deur die kwosiënte van die terme in elkeen van die polinome te oorweeg sonder om die veranderlike en die eksponente van elkeen oor te skryf. As 'n term van 'n sekere graad weggelaat is uit moet die term met 'n koëffisiënt van geskryf word. Byvoorbeeld, behoort as geskryf te word.

Let op dat vir sintetiese deling:

die koëffisiënt van die deeltal () is onder die horisontale lyn geskryf.

die koëffisiënt van die kwosiënt () is bo die horisontale lyn geskryf.

ons tel die koëffisiënte by eerder as om hulle af te trek soos ons met langdeling doen.

ons gebruik die teenoorgestelde teken van die deler (); die deler is en ons gebruik .

die koëffisiënte van die term in die deler is , dus .

Uitgewerkte voorbeeld 5: Sintetiese deling

Gebruik die sintetiese delingsmetode om die kwosiënt te bepaal en die res as gedeel word deur . Skryf jou antwoord in die vorm .

Skryf die bekende en onbekende uitdrukkings neer

Gebruik sintetiese deling om en te bepaal

Skryf die finale antwoord neer

Die kwosiënt sal een graad laer as die deeltal wees as ons deur 'n lineêre uitdrukking deel, daarom het ons:

Algemene metode: gegee die deeltal en die deler , dan bepaal ons die kwosiënt en die res deur die volgende te gebruik:

Ons bepaal die koëffisiënte van die kwosiënt deur te bereken:

Belangrike nota: is 'n funksie en is koëffisiënte.

Video: 2B7R

Uitgewerkte voorbeeld 6: Sintetiese deling

Gebruik die sintetiese delingsmetode om die kwosiënt en die res te bepaal as gedeel word deur .

Skryf die bekende en onbekende uitdrukkings neer

Gebruik sintetiese deling om en te bepaal

Maak die leidende koëffisiënt van die deler gelyk aan :

Skryf die finale antwoord neer

Video: 2B7S

Oefening 5.3Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Faktoriseer die volgende:

Vir elkeen van die volgende:

Gebruik langdeling om die kwosiënt en die res te bepaal.

Skryf in die vorm

Toets jou antwoord deur die hakies uit te brei om weer by die oorspronklike polinoom uit te kom.

word gedeel deur .

Toets:

en

en

Toets:

en

Die res is gelyk aan nul, daarom is 'n faktor van .

Toets:

en

Toets:

word in gedeel

Toets:

Toets:

word gedeel deur

Toets:

en

Toets:

Gebruik sintetiese deling om die kwosiënt en die res te bepaal wanneer deur gedeel word.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

5.3 Resstelling (EMFCND)

Resstelling

Die volgende funksies word gegee:

Bepaal en .

Skryf jou antwoorde in die algemene vorm: .

Bepaal en .

Wat let jy op?

Oorweeg die graad van die kwosiënt en die res - is daar 'n reël?

Watter gevolgtrekkings kan jy maak?

Skryf 'n wiskundige vergelyking om jou gevolgtrekkings te beskryf.

Voltooi die volgende sin: 'n derdegraadsefunksie gedeel deur 'n lineêre polinoom lewer 'n kwosiënt met 'n graad van en 'n res met 'n graad van , wat die konstante genoem word.

Die resstelling

'n Polinoom word gedeel deur en gee 'n res van .

In woorde: die waarde van die res word verkry deur in die polinoom te vervang.

LET OP: BEWYS NIE VIR EKSAMENDOELEINDES NIE.

Laat die kwosiënt wees en laat die res wees. Ons kan dus die volgende skryf:

Uitgewerkte voorbeeld 7: Vind die res

Gebruik die resstelling om die res te bepaal wanneer deur die volgende lineêre polinome gedeel word:

Bepaal die res vir elke lineêre deler

Die resstelling stel dit dat enige polinoom wat deur gedeel word 'n res van gee:

Uitgewerkte voorbeeld 8: Gebruik die res om die onbekende veranderlike op te los

Gegee dat gedeel deur 'n res van gee, gebruik die ressteling om die waarde van te bepaal.

Gebruik die resstelling om die onbekende veranderlike te bepaal

Ons weet van die resstelling dat en ons kan dus oplos:

Skryf die finale antwoord neer

Daarom en

Oefening 5.4Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Gebruik die resstelling om die res te bepaal wanneer gedeel word deur :

Bepaal die waarde van as gedeel deur 'n res van gee.

Bereken die waarde van as gedeel word deur en 'n res gee van .

As deur gedeel word en die res is, vind die waarde van .

Bepaal die waarde van as gedeel word deur en 'n res van gee.

As gedeel word deur en die res is, bereken die waarde van .

Bereken die waarde van as gedeel word deur en 'n res gee van .

As gedeel word deur en die res is , druk in terme van uit.

Waneer die polinoom gedeel word deur of , is die res . Bepaal die waardes van en .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

5.4 Faktorstelling (EMFCNF)

As 'n heelgetal gedeel word deur 'n heelgetal , en die antwoord met 'n res van is, weet ons dat 'n faktor van is.

Dit is ook waar van polinome: as 'n polinoom gedeel word deur 'n polinoom en die antwoord met 'n res van is, dan weet ons dat 'n faktor van is.

Die faktorstelling beskryf die verhouding tussen die wortel van 'n polinoom en die faktor van die polinoom.

Die faktorstelling

As die polinoom gedeel word deur en die res, gegee deur , is gelyk aan nul, dan is 'n faktor van .

Omgekeerde: as 'n faktor van is, dan

Uitgewerkte voorbeeld 9: Faktorstelling

Gebruik die faktorstelling en wys dat 'n faktor van is.

Bepaal hoe om die probleem te benader

Vir om 'n faktor te wees, moet gelyk wees aan .

Bereken

Gevolgtrekking

Aangesien , is 'n faktor van .

Oor die algemeen moet ons die volgende doen om 'n kubiese polinoom te faktoriseer:

Vind een faktor deur probeer-en-tref: oorweeg die koëffisiënt van die gegewe kubiese polinoom en raai 'n moontlike wortel ().

Gebruik die faktorstelling om te bevestig dat 'n wortel is; wys dat = 0.

Deel deur die faktor ( ) om 'n kwadratiese polinoom te kry (onthou om op te let na die tekens).

Pas die standaard metodes van faktorisering toe om die twee faktore van die kwadratiese polinoom te bepaal.

Uitgewerkte voorbeeld 10: Faktorstelling

Gebruik die faktorstelling om te bepaal of 'n faktor van is.

Bepaal hoe om die probleem te benader

Vir om 'n faktor te wees, moet gelyk wees aan .

Bereken

Gevolgtrekking

Aangesien , is nie 'n faktor van nie.

Uitgewerkte voorbeeld 11: Faktorisering van derdegraadse polinome

Faktoriseer volledig:

Vind 'n faktor deur probeer-en-tref

Probeer

Daarom is nie 'n faktor nie.

Ons oorweeg die koëffisiënte van die gegewe polinoom en probeer:

Daarom is 'n faktor, omdat .

Faktoriseer deur inspeksie

Deel nou deur met inspeksie:

Skryf

Die eerste term in die tweede hakie moet wees om te lewer en die polinoom 'n derdemag te maak.

Die laaste term in die tweede hakie moet wees, omdat .

Dus het ons

Ons moet nou die koëffisiënt van die middelterm vind.

gee die in die oorspronklike polinoom. Die koëffisiënt van die term moet dus wees.

Skryf die finale antwoord neer

Ons kan die laaste hakie faktoriseer as die verskil van twee kwadrate:

Uitgewerkte voorbeeld 12: Faktorisering van derdegraadse polinome

Gebruik die faktorstelling om te faktoriseer.

Vind 'n faktor deur probeer-en-tref

Probeer

Daarom is 'n faktor.

Faktoriseer deur inspeksie

Die eerste term in die tweede hakie moet wees om te lewer as ons terugwaarts werk.

Die laaste term in die tweede hakie moet wees, omdat .

Dus het ons

Ons moet nou die koëffisiënt van die middelterm vind.

gegee . Die koëffisiënt van die term in die tweede hakie moet dus wees om nog 'n te lewer sodat dit in geheel lees .

Dus .

Maak seker dat die uitdrukking reg gefaktoriseer is deur te kyk dat die koëffisiënt van die term ook uitwerk, wat reg is.

Skryf die finale antwoord neer

Ons kan die laaste hakie faktoriseer as:

Oefening 5.5Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Vind die res as gedeel word deur .

Gebruik die faktorstelling om volledig te faktoriseer.

Vind .

Faktoriseer volledig.

Gebruik die faktorstelling om al die faktore van die volgende uitdrukkings te vind:

Voltooi: As 'n polinoom is en p is 'n getal sodat dan is ...

'n faktor van

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

5.5 Los derdegraadse vergelykings op (EMFCNG)

Ons weet nou hoe om kubiese polinome te faktoriseer en dit is dus nou maklik om derdegraadse vergelykings in die vorm op te los.

Uitgewerkte voorbeeld 13: Los derdegraadse vergelykings op

Los op:

Vind een faktor deur die faktorstelling te gebruik

Laat

Probeer

Daarom is nie 'n faktor nie.

Probeer

Daarom is 'n faktor.

Faktoriseer deur inspeksie

Faktoriseer volledig

Los die vergelyking op

Soms is dit nie moontlik om 'n kwadratiese uitdrukking met inspeksie te faktoriseer nie, in sulke gevalle moet ons die kwadratiese formule gebruik om die derdegraadse vergelyking op te los.

Uitgewerkte voorbeeld 14: Los derdegraadse vergelykings op

Los op vir :

Gebruik die faktorstelling om 'n faktor te bepaal

Laat

Probeer

Daarom is nie 'n faktor nie.

Probeer

Daarom is nie 'n faktor nie.

Daarom is 'n faktor.

Faktoriseer deur inspeksie

kan nie verder gefaktoriseer word nie en ons het die volgende:

Los die vergelyking op

Pas die kwadratiese formule op die tweede hakie toe

Skryf altyd eers die formule en vervang dan die waardes van en .

Finale oplossings

of

Oefening 5.6Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Los die volgende derdegraadse vergelykings op:

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

5.6 Opsomming (EMFCNH)

Terminologie:

Uitdrukking
'n Term of groep terme wat uit getalle, veranderlikes en basiese bewerkingstekens () bestaan.

Enkel verandelike uitdrukkings
'n Uitdrukking wat slegs een veranderlike het.

Wortel/nul
'n Wortel, wat ook na verwys word as die "nulwaarde/zero", van 'n vergelyking, is die waarde van sodat bevredig word.

Polinome

'n Uitdrukking wat een of meer veranderlikes het met verskillende magte en koëffisiënte.

Mononoom

'n Polinoom met een term.

Byvoorbeeld, .

Binoom

'n Polinoom wat twee terme het.

Byvoorbeeld, .

Trinoom

'n Polinoom wat drie terme het.

Byvoorbeeld, .

Graad/orde

Die graad, ook die orde genoem, van 'n enkel veranderlike polinoom is die waarde van die hoogste eksponent in die polinoom.

Byvoorbeeld, het 'n graad van .

Kwadratiese formule:

Resstelling: 'n polinoom gedeel deur gee 'n res van .

Faktorstelling: as die polinoom gedeel word deur en die res, , gelyk is aan nul, is 'n faktor van .

Die omgekeerde van die faktorstelling: as 'n faktor van is, dan .

Sintetiese deling:

Ons bepaal die koëffisiënte van die kwosiënt deur te bereken:

Oefening 5.7Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Los op vir :

Los op vir :

Los op vir :

Los op vir :

Los op vir as .

Los op vir :

Wys dat 'n faktor van is.

Los daarna die vergelyking op deur volledig te faktoriseer:

vir alle waardes van . Wat is die waarde van ?

Gebruik die faktorstelling om die volgende vergelykings vir op te los:

Los vervolgens, of andersins, op vir :

Vind die waarde van as 'n faktor van is en gedeel deur 'n res van gee.

Bepaal die waardes van waarvoor die funksie

'n Res los van as dit deur gedeel word.

Alternatiewe (lang) metode:

Ons haal eers die faktor deur langdeling uit:

Ons neem die res en stel dit gelyk aan 9:

Bereken en as .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Hoofstuk 6: Differensiaalrekene

Verduidelik die terminologie baie goed, want daar is baie nuwe terme in hierdie hoofstuk.

Moedig leerders aan om 'n skets te teken, want dit is baie handig om probleme op te los.

Dit is baie belangrik dat leerders verstaan dat die limiet die waarde is waarheen 'n funksie neig (kom nader en nader na) en dit is nie 'n presiese antwoord nie.

Verduidelik aan die leerders dat dit nie nodig is dat 'n funksie gedefinieerd is vir 'n gegewe waarde van vir die limiet om te bestaan nie.

Leerders moet verstaan dat die afgeleide van 'n funksie gee die gradiënt van die funksie by 'n gegewe punt EN die gradiënt van die raaklyn by die punt.

Leerders moet differensiasie vanuit eerste beginsels oefen. Dit word dikwels in eksamens gevra.

Leerders moet vertroud wees met die verskillende notasies vir differensiasie.

6.1 Limiete (EMFCNJ)

Differensiaalrekene is een van die hoofvertakkings van wiskunde en dis ontwikkel uit algebra en meetkunde. Dit word gebou op die konsep van limiete, wat in hierdie hoofstuk behandel sal word. Differensiaalrekene bestaan uit twee idees wat verband hou: differensiaalrekene en integraalrekene. Ons sal slegs met differensiaalrekene in hierdie hoofstuk werk en sal ondersoek instel om te bepaal hoe ons dit kan gebruik by die optimeringsprobleme en om die koers van verandering te bepaal.

Die verhaal van Achilles en die skilpad (EMFCNK)

Zeno (gebore omtrent 490 v.C) was 'n filosoof van die suide van Italië en was bekend vir sy paradokse ('n paradoks is 'n stelling wat skynbaar teenstrydig is en tog waar kan wees).

Een van Zeno se paradokse kan as volg opgesom word:

Achilles en 'n skilpad het ingestem om resies te hardloop, maar die skilpad is ongelukkig omdat Achilles baie vinnig is. Dus het die skilpad vir Achilles gevra vir 'n groot voorsprong. Achilles het ingestem om vir skilpad 'n voorsprong te gee. Sal Achilles die skilpad verby steek?

Om hierdie probleem op te los, begin ons om te skryf:

waar

die afstand is wat deur Achilles gehardloop word

die spoed van Achilles is

die tyd is wat dit Achilles neem om die skilpad verby te steek

die afstand is wat deur die skilpad afgelê word

die spoed van die skilpad is

Achilles sal die skilpad verby steek as beide van hulle dieselfde afstand afgelê het. As ons aanvaar Achilles hardloop teen en die skilpad hardloop teen , beteken dit dat Achilles die skilpad sal verby steek na 'n tyd wat soos volg bereken word:

Maar Zeno het soos volg na die saak gekyk: Achilles neem om die voorsprong wat hy vir skilpad gegee het, af te lê. Tog, in hierdie , het skilpad 'n verdere afgelê.

Achilles neem dan nog om die afstand af te lê. In hierdie , hardloop die skilpad 'n verdere .

Zeno het gesien dat Acilles altyd nader en nader aan skilpad kom, maar hom nooit inhaal nie.

Nou wat het Zeno, Achilles en die skilpad nou eintlik te doen met differensiaalrekene? Beskou die werk wat ons vroeër oor rye en reekse gedoen het:

Ons weet die ry kan deur gedefinieer word en dat die terme nader kom aan as groter word.

Net so, die ry kan gedefinieer word deur die uitdrukking en die terme kom nader aan as groter word.

Ons het ook gesien dat 'n oneindige meetkundige reeks 'n eindige som kan hê.

waar die eerste term van die reeks is en die gemene verhouding is.

Ons sien dat daar sommige funksies is waar die waarde van die funksie nader kom aan óf 'n sekere waarde benader soos wat die getal terme toeneem.

Limiete (EMFCNM)

Beskou die funksie:

Die teller van die funksie kan soos volg gefaktoriseer word:

Dan kan ons van die teller en die noemer uitkanselleer en dit laat ons met:

Ons kan egter slegs die term uitkanselleer as . As , dan word die noemer en die funksie is dan nie gedefinieerd nie. Dit beteken dat die definisieversameling nie vir insluit nie. Ons kan ondersoek instel om te bepaal wat word van die waardes van as nader kom aan . Die lys van waardes toon dat as nader kom aan , sal nader en nader kom aan .

Die grafiek van hierdie funksie word hieronder getoon. Die grafiek is 'n reguitlyn met helling en -afsnit , maar met 'n opening by . Soos nader kom aan van die linkerkant, kom die -waarde nader aan en soos die nader kom aan van die regterkant, kom die -waarde nader aan . Omdat die funksie nader kom aan die -waarde van links en regs, sal die limiet bestaan.

Notasie (EMFCNN)

Ons kan nou nuwe notasie aan julle bekend stel. Vir die funksie , kan ons skryf:

Dit word gelees as: die limiet van is gelyk aan as neig na (van beide die linkerkant en regterkant).

Limiete

As , bepaal:

Wat let jy op omtrent die waarde van as nader en nader kom aan ?

Uitgewerkte voorbeeld 1: Notasie vir limiete

Skryf die volgende deur gebruik te maak van die notasie van limiete: soos nader kom aan , neig die waarde van die funksie na .

Dit word soos volg geskryf:

Dit word geïllustreer in die diagram hieronder:

Ons kan ook die geval hê waar 'n funksie neig na 'n ander waarde afhangende daarvan of naderkom van die linker- of regterkant.

As van die linkerkant, neig na . As van die regterkant, neig na .

Die limiet as neig na van die linkerkant af is:

en as neig na van die regterkant af:

waar beteken neig na zero vanaf die linkerkant en beteken neig na zero vanaf die regterkant.

Dus, omdat nie neig na dieselfde waarde nie, kom ons tot die gevolgtrekking dat die limiet as neig na zero nie bestaan nie.

As neig na van die linkerkant af, neig die funksie na en as neig na van die regterkant af, neig die funksie na . Aangesien die funksie neig na dieselfde waarde vanaf beide kante, bestaan die limiet as neig na en is die limiet gelyk aan .

Video: 2BB3

Uitgewerkte voorbeeld 2: Limiete

Bepaal:

Illustreer antwoorde grafies.

Vereenvoudig die uitdrukking en kanselleer alle gemene terme

Ons kan nie verder vereenvoudig nie en daar is nie gemene terme om te kanselleer nie.

Bereken die limiet

Uitgewerkte voorbeeld 3: Limiete

Bepaal die volgende en illustreer die antwoorde grafies:

Vereenvoudig die uitdrukking

Faktoriseer die teller:

As , sal die noemer , dus is die uitdrukking nie gedefinieerd vir nie omdat deling met nul nie toelaatbaar is nie.

Kanselleer alle gemene terme

Bereken die limiet

Trek 'n grafiek

Video: 2BB4

Oefening 6.1 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal die volgende limiete en trek ruwe sketse om dit te illustreer:

Bepaal die volgende limiete (as hulle bestaan):

Belangrik: let daarop dat alhoewel die funksie nie gedefinieerd is vir nie, bestaan die limiet as neig na tog en is dit gelyk aan .

Alhoewel die funksie nie gedefinieerd is by nie, sal die limiet as neig na tog bestaan en is gelyk aan .

Alhoewel die funksie nie gedefinieerd is by nie, sal die limiet as neig na tog bestaan en gelyk wees aan .

Neem kennis dat die funksie nie gedefinieerd is by nie, maar dat die limiet as neig na tog bestaan en gelyk is aan .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Gradiënt by 'n punt (EMFCNP)

Gemiddelde gradiënt

In Graad 11 het ons geleer dat die gemiddelde gradiënt tussen enige twee punte op die kurwe gegee word deur die gradiënt van die reguitlyn wat deur die twee punte gaan. Ons het ook gekyk na die gradiënt by 'n enkele punt op die kurwe en gesien dat dit die gradiënt van die raaklyn aan die kurwe by die gegewe punt is. In hierdie afdeling gaan ons leer hoe om die gradiënt van 'n raaklyn te bepaal.

Kom ons bepaal die gradiënt van 'n raaklyn aan 'n kurwe met 'n vergelyking by 'n gegewe punt .

Ons weet reeds hoe om die gemiddelde gradiënt tussen twee punte op die kurwe te bepaal, maar ons het twee punte nodig. Die probleem nou is dat ons net een punt, naamlik , het. Om by hierdie probleem verby te kom, kyk ons eers na 'n snylyn ('n reguit lyn wat die kurwe op twee of meer plekke sny) van die kurwe wat deur die punt en 'n ander punt op die kurwe gaan, waar 'n willekeurige afstand vanaf is.

Ons kan die gemiddelde gradiënt van die kurwe tussen hierdie twee punte bepaal:

Kom ons stel die -koördinaat van gelyk aan , dan sal die -koördinaat wees. Net so, as die -koördinaat van gelyk aan () is, sal die -koördinaat wees.

Ons kan nou die gemiddelde gradiënt bereken as:

Gradiënt by 'n punt

Stel jou voor beweeg langs die kurwe, en kom nader en nader aan . Die snylyn beweeg nou nader aan die raaklyn as die limiet of grensposisie. Dit beteken dat die gemiddelde gradiënt van die snylyn neig na die gradiënt van die raaklyn aan die kurwe by .

Ons sien dan as punt neig na punt , sal nader kom na . As punt op punt lê, sal en dan is die formule vir gemiddelde gradiënt ongedefinieerd. Ons gebruik ons kennis van limiete en laat neig na om die gradiënt van die raaklyn by die punt te bepaal:

Uitgewerkte voorbeeld 4: Gradiënt by 'n punt

Gegee: , bepaal die gradiënt van die kurwe by die punt .

Skryf die formule vir die gradiënt van die kurwe by 'n punt neer

Bepaal en

Ons moet die gradiënt van die kurwe by bepaal, dus laat ons :

Stel in die formule in en vereenvoudig

Let op dat ons eers die limiet bepaal as ons uit die noemer verwyder het.

Skryf die finale antwoord neer

Die gradiënt van die kurwe by is .

Uitgewerkte voorbeeld 5: Gradiënt by 'n punt

Gegee: die funksie , bepaal die gradiënt van die raaklyn aan die kurwe by die punt .

Skryf die formule vir die gradiënt van die kurwe by 'n punt neer

Bepaal en

Ons moet die gradiënt van die raaklyn aan die kurwe by bepaal, dus laat ons :

Stel in die formule in en vereenvoudig

Skryf die finale antwoord neer

Die gradiënt van die raaklyn aan die kurwe by is .

Uitgewerkte voorbeeld 6: Gradiënt by 'n punt

Bepaal die gradiënt van by die punt .

Skryf die formule vir die gradiënt van die kurwe by 'n punt neer

Bepaal en

Laat :

Stel in die formule in en vereenvoudig

Skryf die finale antwoord neer

Die gradiënt van by is .

Oefening 6.2 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Gegee:

Bepaal die gemiddelde gradiënt van die funksie , tussen en .

Illustreer dit met 'n grafiek.

Bepaal die gradiënt van by die punt en toon dit aan op jou grafiek.

Bepaal die gradiënt van die raaklyn aan as .

Om die twee breuke in die teller te vereenvoudig, kry ons 'n gemene noemer :

Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan .

Die raaklyn raak die grafiek van by .

Dus gaan die raaklyn deur .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

6.2 Differensiasie vanuit eerste beginsels (EMFCNQ)

Ons weet dat die gradiënt van die raaklyn aan die kurwe met vergelyking by deur die volgende formule bepaal kan word:

Ons kan hierdie formule gebruik om 'n uitdrukking te bepaal wat die gradiënt van die grafiek omskryf (of die gradiënt van die raaklyn aan die grafiek) by enige punt op die grafiek. Hierdie uitdrukking (of gradiënt funksie) word die afgeleide genoem.

Afgeleide

Die afgeleide van 'n funksie word geskryf as en word gedefinieer deur:

Differensiasie

Dit is die proses waarvolgens die afgeleide van 'n gegewe funksie bepaal word.

Die metode word 'differensiasie vanuit eerste beginsels' of 'gebruikmaking van die definisie genoem'.

Uitgewerkte voorbeeld 7: Differensiasie vanuit eerste beginsels

Bepaal die afgeleide van vanuit eerste beginsels.

Skryf die formule om die afgeleide vanuit eerste beginsels te bepaal, neer

Bepaal

Stel in die formule in en vereenvoudig

Skryf die finale antwoord neer

Die afgeleide .

Notasie

Daar is 'n paar verskillende notasies wat gebruik word by afgeleides. Dit is baie belangrik dat jy die verskillende notasies sal leer identifiseer en dat jy hulle deurgaans sal gebruik wanneer jy vrae beantwoord.

As ons die algemene notasie gebruik, waar die afhanklike veranderlike en die onafhanklike veranderlike is, dan is sommige van die alternatiewe notasies vir die afgeleide soos volg:

Die simbole en word differensiaal operatore genoem omdat hulle 'n aanduiding is dat differensiasie moet plaasvind.

beteken dat gedifferensieer word met betrekking tot . Net so, beteken differensieer met betrekking tot .

Belangrik is nie 'n breuk nie en beteken nie nie.

Video: 2BBN

Uitgewerkte voorbeeld 8: Differensiasie vanuit eerste beginsels

Bepaal die afgeleide van vanuit eerste beginsels.

Bepaal en verduidelik die betekenis van die antwoord.

Skryf die formule neer om die afgeleide vanuit eerste beginsels te bepaal

Stel in die formule in en vereenvoudig

Bereken en interpreteer die antwoord

Die afgeleide van by is .

Die gradiënt van die funksie by is gelyk aan .

Die gradiënt van die raaklyn aan by is gelyk aan .

Uitgewerkte voorbeeld 9: Differensiasie vanuit eerste beginsels

Bereken vanuit eerste beginsels as .

Skryf die formule neer om die afgeleide vanuit eerste beginsels te bepaal

Stel in die formule in en vereenvoudig

Dit is soms makliker om die regterkant van die vergelyking te skryf as:

Let op: alhoewel in die noemer bly, kan ons die limiet bepaal, want dit lei nie tot deling met nie.

Skryf die finale antwoord neer

Uitgewerkte voorbeeld 10: Differensiasie vanuit eerste beginsels

Differensieer vanuit eerste beginsels en verklaar jou antwoord.

Skryf die formule neer om die afgeleide vanuit eerste beginsels te bepaal

Stel in die formule in en vereenvoudig

Interpreteer jou antwoord

Die gradiënt van is gelyk aan by enige punt op die grafiek. Die afgeleide van hierdie konstante funksie is gelyk aan .

Oefening 6.3Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Gegee:

Bepaal .

Bepaal vervolgens .

Verduidelik die betekenis van jou antwoord in (b).

Die afgeleide van is . Die gradiënt van die funksie word gegee deur die uitdrukking . Die gradiënt van die grafiek hang af van die waarde van .

Bepaal die afgeleide van deur gebruik te maak van eerste beginsels.

Bepaal die afgeleide van deur gebruik te maak van eerste beginsels.

Bepaal vanuit eerste beginsels as .

Dus is:

As , bepaal deur gebruik te maak van eerste beginsels.

Bepaal die afgeleide van deur gebruik te maak van eerste beginsels.

Differensieer deur gebruik te maak van eerste beginsels.

(Wenk: Gebruik Pascal se driehoek)

Stap 1: Gebruik eerste beginsels om die afgeleide te bepaal.

Brei uit deur gebruik te maak van die patroon van koëffisiënte by Pascal se Driehoek:

Al die terme, behalwe , bevat .

Dit is 'n baie waardevolle algemene reël om die afgeleide van 'n funksie te bepaal.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

6.3 Reëls vir differensiasie (EMFCNR)

Die bepaling van die afgeleide van 'n funksie vanuit eerste beginsels vereis 'n lang berekening en dit is maklik om foute te maak. Ons kan egter hierdie metode van die bepaling van die afgeleide vanuit eerste beginsels gebruik om reëls te bepaal om afgeleides van funksies baie makliker te vind.

Reëls vir differensiasie

Differensieer die volgende vanuit eerste beginsels:

Voltooi die tabel:

Kan jy 'n patroon identifiseer om die afgeleide te bepaal?

Reëls vir differensiasie

Algemene reël vir differensiasie:

Die afgeleide van 'n konstante is gelyk aan nul.

Die afgeleide van 'n konstante vermenigvuldig met 'n funksie is gelyk aan die konstante vermenigvuldig met die afgeleide van die funksie.

Die afgeleide van 'n som is gelyk aan die som van die afgeleides.

Die afgeleide van 'n verskil is gelyk aan die verskil van die afgeleides.

Video: 2BBZ

Uitgewerkte voorbeeld 11: Reëls van differensiasie

Gebruik die reëls van differensiasie om die afgeleide van elk van die volgende te bepaal:

Gebruik die toepaslike reëls om die afgeleide te bepaal

Uitgewerkte voorbeeld 12: Reëls van differensiasie

Differensieer die volgende ten opsigte van :

Brei die uitdrukking uit en pas die reëls van differensiasie toe

Ons het nie 'n reël om die afgeleide van 'n produk te bepaal nie, dus moet ons die hakies uitbrei en dan vereenvoudig voordat ons die afgeleide kan bepaal:

Brei die uitdrukking uit en pas die reëls van differensiasie toe

Ons het nie 'n reël om die afgeleide van 'n kwosiënt te bepaal nie, dus moet ons die uitdrukking eers vereenvoudig en dan die afgeleide bepaal::

Dit is belangrik dat die antwoord altyd met positiewe eksponente geskryf moet word.

Wanneer moet die reëls vir differensiasie gebruik word?

As die vraag nie duidelik spesifiseer hoe die afgeleide bepaal moet word nie, kan ons die reëls van differensiasie gebruik.

Wanneer moet ons differensieer vanuit eerste beginsels:

As die vraag dit duidelik stel dat jy eerste beginsels moet gebruik.

As van ons verwag word om te differensieer deur gebruik te maak van die definisie van 'n afgeleide, moet ons eerste beginsels gebruik.

Oefening 6.4Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Differensieer die volgende:

Bepaal as .

Bepaal as .

Bepaal as .

Bepaal as .

Bepaal die afgeleide van .

Bepaal .

Bepaal as .

Maak die onderwerp van die formule sodat jy kan differensieer ten opsigte van .

Bepaal as .

Bepaal as .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

6.4 Vergelyking van 'n raaklyn aan 'n kurwe (EMFCNS)

By 'n gegewe punt op 'n kurwe is die gradiënt van die kurwe gelyk aan die gradiënt van die raaklyn aan die kurwe.

Die afgeleide (of gradiëntfunksie) omskryf die gradiënt van die kurwe by enige punt op die kurwe. Net so omskryf dit ook die gradiënt van die raaklyn aan die kurwe by enige punt op die kurwe.

Om die vergelyking van 'n raaklyn aan 'n kurwe te bepaal:

Bepaal die afgeleide deur differensiasiereëls.

Stel die -koördinaat van die gegewe punt in die afgeleide in om die gradiënt van die raaklyn te bepaal.

Stel hierdie gradiënt van die raaklyn en die koördinate van die gegewe punt in die toepaslike standaardvorm van die vergelyking van 'n reguitlyn in.

Maak die onderwerp van die formule.

Die normaal aan die kurwe is die lyn loodreg op die raaklyn aan die kurwe by 'n gegewe punt.

Uitgewerkte voorbeeld 13: Bepaling van die vergelyking van die raaklyn aan 'n kurwe

Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die kurwe by die punt . Skets die kurwe en die raaklyn.

Bepaal die afgeleide

Gebruik die reëls van differensiasie:

Bereken die gradiënt van die raaklyn

Om die gradiënt van die raaklyn by die punt te bepaal, stel ons die -waarde in die afgeleide in.

Bepaal die vergelyking van die raaklyn

Stel die gradiënt van die raaklyn en die koördinate van die gegewe punt in die standaardvorm van die reguitlyn se vergelyking in.

Skets die kurwe en die raaklyn

Uitgewerkte voorbeeld 14: Bepaling van die vergelyking van die raaklyn aan 'n kurwe

Gegee: , bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die kurwe by .

Bepaal die -koördinaat van die punt

Dus gaan die raaklyn aan die kurwe deur die punt .

Brei uit en vereenvoudig die gegewe funksie

Bepaal die afgeleide

Bereken die gradiënt van die raaklyn

Stel in die vergelyking van in:

Bepaal die vergelyking van die raaklyn

Stel die gradiënt van die raaklyn en die koördinate van die punt in die standaardvorm van die reguitlyn se vergelyking in.

Uitgewerkte voorbeeld 15: Bepaling van die vergelyking van die normaal aan 'n kurwe

Bepaal die vergelyking van die normaal aan die kurwe by .

Teken 'n ruwe skets.

Bepaal die afgeleide

Maak die onderwerp van die formule en differensieer ten opsigte van :

Bereken die gradiënt van die normaal by

Bereken eers die gradiënt van die raaklyn by die gegewe punt:

Gebruik die gradiënt van die raaklyn om die gradiënt van die normaal te bereken:

Bepaal die vergelyking van die normaal

Stel die gradiënt van die normaal en die koördinate van die gegewe punt in die standaardvorm van die reguitlynvergelyking in.

Teken 'n ruwe skets

Oefening 6.5Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die kurwe gedefinieer deur by .

waar die -afsnit is.

Raaklyn ontmoet by

Bepaal die punt waar die gradiënt van die raaklyn aan die kurwe.

gelyk is aan .

gelyk is aan .

Bereken die punt(e) op die kurwe waar die raaklyn

ewewydig is aan die lyn .

Dus is die raaklyn ewewydig aan die gegewe lyn by die punt .

loodreg is op die lyn .

Dus is die raaklyn loodreg op die gegewe lyn by die punt .

Die funksie : word gegee.

Trek 'n grafiek van , en toon duidelik alle afsnitte en draaipunte aan.

Voltooi die vierkant:

Bepaal die vergelykings van die raaklyne aan by:

die -afsnit van .

die draaipunt van .

die punt waar .

Trek die drie raaklyne op jou grafiek van .

Skryf al jou waarnemings omtrent hierdie drie raaklyne aan neer.

Raaklyn by (blou lyn): gradiënt is positief, die funksie is stygend by hierdie punt.

Raaklyn by draaipunt (groen lyn): gradiënt is gelyk aan nul, raaklyn is horisontaal, ewewydig aan -as.

Raaklyn by (pers lyn): gradiënt is negatief, die funksie is dalend by hierdie punt.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

6.5 Tweede afgeleide (EMFCNT)

Die tweede afgeleide van 'n funksie is die afgeleide van die eerste afgeleide en dit dui op die verandering van die gradiënt van die oorspronklike funksie. Die teken van die tweede afgeleide vertel ons of die gradiënt van die oorspronklike funksie toeneem, afneem of konstant bly.

Om die tweede afgeleide van die funksie te bepaal, differensieer ons deur gebruik te maak van die differensiasiereëls.

Ons gebruik die volgende notasies as ons die tweede afgeleide van moet bepaal:

Uitgewerkte voorbeeld 16: Bepaling van die tweede afgeleide

Bereken die tweede afgeleide vir elk van die volgende:

Oefening 6.6Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bereken die tweede afgeleide vir elk van die volgende:

Bepaal die eerste en tweede afgeleides van .

Bepaal .

Die funksie word gegee.

Bepaal en .

Watter tipe funksie is:

Bepaal die waarde van .

Wat let jy op omtrent die graad (hoogste mag) van elk van die afgeleide funksies?

Elke afgeleide funksie is een graad laer as die vorige een.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

6.6 Skets van grafieke (EMFCNV)

Funksies van die vorm (EMFCNW)

Die effek van op 'n derdegraadse funksie

Voltooi die tabel hieronder en stip die grafiek van en op dieselfde assestelsel.

Wees versigtig om 'n geskikte skaal vir die -as te kies.

Die effekte van op 'n derdegraadse grafiek

Afsnitte (EMFCNX)

Aantal afsnitte

Voltooi die tabel:

Graad van die funksie |  |  |
Tipe funksie |  |  |
Gefaktoriseerde vorm |  |  |
Aantal -afsnitte |  |  |
Aantal -afsnitte |  |  |

Uitgewerkte voorbeeld 17: Bepaling van die afsnitte

Gegee , bepaal die - en -afsnitte.

Bepaal die -afsnit

Die -afsnit word bepaal deur te stel:

Dit gee die punt .

Gebruik die faktorstelling om die uitdrukking te faktoriseer

Ons gebruik die faktorstelling om 'n faktor van te bepaal deur probeer en tref:

Faktoriseer verder deur inspeksie:

Die -afsnit word verkry deur te stel:

Dit gee die punte , en .

Oefening 6.7Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Die funksie word gegee.

Bepaal die - en -afsnitte van .

Vir die -afsnit, stel :

Dit gee die punt .

Ons gebruik die faktorstelling om 'n faktor van te bepaal deur probeer en tref:

Faktoriseer verder deur inspeksie:

Vir die -afsnit, stel :

Dit gee die punte , en .

Trek 'n ruwe skets van die grafiek.

Is die funksie stygend of dalend by ?

Stygend

Bepaal die - en -afsnitte vir elk van die volgende:

Vir die -afsnit, stel :

Dit gee die punt .

Ons gebruik die faktorstelling om 'n faktor te vind deur probeer en tref:

Faktoriseer verder deur inspeksie:

Vir die -afsnit, stel :

Dit gee die punte , en .

Vir die -afsnit, stel :

Dit gee die punt .

Ons gebruik die faktorstelling om 'n faktor te vind deur probeer en tref:

Faktoriseer verder deur inspeksie:

Vir die -afsnit, stel :

Dit gee die punte , , en .

Vir die -afsnit, stel :

Dit gee die punt .

Ons gebruik die faktorstelling om 'n faktor te vind deur probeer en tref:

Faktoriseer verder deur inspeksie:

Vir die -afsnit, stel :

Dit gee die punte , en .

Vir die -afsnit, stel :

Dit gee die punt .

Ons haal 'n gemene faktor van uit en faktoriseer dan die verskil tussen vierkante:

Vir die -afsnit, stel :

Dit gee die punte , en .

Vir die -afsnit, stel :

Dit gee die punt .

Ons gebruik die faktorstelling om 'n faktor te vind deur probeer en tref:

Faktoriseer verder deur inspeksie:

Vir die -afsnit, stel :

Dit gee die punte , en .

Bepaal alle afsnitte van en trek 'n ruwe skets van die grafiek.

Vir die -afsnit, stel :

Dit gee die punt .

Vir die -afsnit, stel :

Dit gee die punte , en .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Stasionêre punte

Voltooi die tabel hieronder vir die kwadratiese funksie :

-waarde |  |  |  |  |
Gradiënt van |  |  |  |  |
Teken van die gradiënt |  |  |  |  |

Gebruik die tabel om 'n ruwe skets van die grafiek van te trek.

Los op vir as .

Toon die oplossings van op die grafiek aan.

Voltooi die tabel hieronder vir die derdegraadse funksie van :

-waarde |  |  |  |  |
Gradiënt van |  |  |  |  |
Teken van die gradiënt |  |  |  |  |

Gebruik die tabel om 'n ruwe skets van die grafiek van te trek.

Los op vir as .

Toon die oplossings van op die grafiek aan.

Voltooi die volgende sin:

Die afgeleide omskryf die van 'n raaklyn aan 'n kurwe by 'n gegewe punt en ons het gesien dat die van 'n kurwe by sy stasionêre (of stilstaande) punte gelyk aan is. Dus kan ons gebruik as 'n instrument om die stasionêre punt(e) van grafieke van kwadratiese en derdegraadse funksies te bepaal.

Om die koördinate van die stasionêre punt(e) van te bepaal:

Bepaal die afgeleide .

Laat en los op vir -koördinaat(e) van die stasionêre punt(e).

Stel die waarde(s) van in in om die -koördinaat(e) van die stasionêre punt(e) te bepaal.

Uitgewerkte voorbeeld 18: Bepaling van stasionêre punte

Bereken die stasionêre punte van die grafiek van .

Bepaal die afgeleide van

Deur van differensiasiereëls gebruik te maak, kry ons:

Laat en los op vir

Dus, die -koördinate van die draaipunte is en .

Stel die -waardes in in

Ons gebruik die -koördinate om die ooreenstemmende -koördinate van die stasionêre punte te bereken.

Skryf die finale antwoord

Die draaipunte van die grafiek is en .

Lokale maksimum en lokale minimum

Ons het gesien dat die grafiek van 'n kwadratiese funksie kan óf 'n minimum draaipunt (“glimlag”) óf 'n maksimum draaipunt (“frons”) hê.

Vir kubiese funksies verwys ons na die draaipunte (of stilstaande punte) van die grafiek as lokale minimum of lokale maksimum draaipunte. Die diagram hieronder wys lokale minimum draaipunt en lokale maksimum draaipunt . Hierdie punte word beskryf as lokale (of relatiewe) minimum en lokale maksimum punte omdat daar ander punte op die grafiek is wat kleiner of groter funksiewaardes het.

Oefening 6.8Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Gebruik differensiasie om die stasionêre punt(e) van te bepaal.

Bereken die -waardes van die stasionêre punte van .

Bepaal die koördinate van die stasionêre punte van die volgende funksies deur differensiasiereëls te gebruik.

Dit is 'n reguitlyn met 'n konstante gradiënt, dus is daar geen stasionêre punte nie.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Skets van kubiese grafieke (EMFCNZ)

Algemene metode vir die skets van kubiese grafieke:

Kyk na die teken van en bepaal die algemene vorm van die grafiek.

Bepaal die -afsnit deur te stel.

Bepaal die -afsnitte deur te faktoriseer en op te los.

Bepaal die -koördinate van die draaipunte van die funksie deur te stel en op te los.

Bepaal die -koördinate van die draaipunte deur die -waardes in in te stel.

Stip hierdie punte en skets 'n gladde kromme.

Uitgewerkte voorbeeld 19: Skets van kubiese grafieke

Skets die grafiek van .

Bepaal die vorm van die grafiek

Die koëffisiënt van die term is groter as nul, dus sal die grafiek die volgende vorm hê:

Bepaal die afsnitte

Die -afsnit word bepaal deur te stel:

Dit gee die punt .

Die -afsnit word verkry deur te stel en vir op te los:

Dit gee die punte , en .

Bereken die stasionêre punte

Bepaal die -koördinate van die stasionêre punte deur te stel:

Stel hierdie -koördinate in in om die ooreenstemmende -koördinate te kry:

Dus, die stasionêre punte is en .

Teken 'n netjiese sketsgrafiek

Konkawiteit

Konkawiteit toon aan of die gradiënt van 'n kromme toeneem, afneem of konstant is.

Konkaaf op: die gradiënt van die kromme neem toe soos toeneem.

Konkaaf af: die gradiënt van die kromme neem af soos toeneem.

Zero konkawiteit: die gradiënt van die kromme is konstant.

Onderstaande diagram is 'n skets van die kubiese funksie . Die eerste afgeleide van is 'n kwadratiese funksie, en die tweede afgeleide is 'n lineêre funksie, .

Let op die volgende:

, die grafiek is konkaaf op.

, die grafiek is konkaaf af.

, verandering in konkawiteit (infleksiepunt).

Infleksiepunte

Dit is die punt waar die konkawiteit van 'n kromme verander, soos aangetoon in die diagram hieronder. As , verander die konkawiteit van konkaaf op (pers)na konkaaf af (grys) en as , verander die konkawiteit van konkaaf af (blou) na konkaaf op (groen). Anders as by 'n draaipunt, het die gradiënt van die kromme aan die linkerkant van die infleksiepunt ( en ) dieselfde teken as die gradiënt van die kromme aan die regterkant van die infleksiepunte.

'n Grafiek het 'n horisontale infleksiepunt waar die afgeleide nul is, maar die teken van die gradiënt van die kromme verander nie. Dit beteken die grafiek (hieronder) sal aanhou om toe te neem weerskante van die stasionêre punt.

In die voorbeeld hierbo, dui die vergelyking aan dat die gradiënt van hierdie kromme altyd positief sal wees (behalwe waar ). Dus is die stasionêre punt 'n infleksiepunt.

: kubiese funksie | : kwadratiese funksie | : lineêre funksie
(blou grafiek) | (groen grafiek) | (rooi grafiek)
draaipunte | -afsnitte |
infleksiepunt | draaipunt | -afsnit

Oefening 6.9Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Voltooi die volgende vir elke funksie:

Bepaal en bespreek die verandering in gradiënt van die funksie.

Bepaal die konkawiteit van die grafiek.

Bepaal die infleksiepunt.

Teken 'n sketsgrafiek.

Gradiënt:

vir : funksie neem af

vir : funksie stasionêr

vir : funksie neem toe

Konkawiteit:

vir : konkaaf op

vir : infleksiepunt

vir : konkaaf af

Infleksiepunt:

Gradiënt:

Gradiënt altyd (aangesien ) vir alle behalwe waar die gradiënt sal wees.

Konkawiteit:

vir : konkaaf af

vir : infleksiepunt

vir : konkaaf op

Infleksiepunt:

Afsnitte:

Gradiënt:

Gradiënt altyd vir alle behalwe waar die gradiënt sal wees.

Stasionêre punt:

Konkawiteit:

vir : konkaaf af

vir : infleksiepunt

vir : konkaaf op

Infleksiepunt:

Afsnitte:

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Interpretering van grafieke

Uitgewerkte voorbeeld 20: Interpretering van grafieke

Ondersoek die grafiek van die afgeleide van .

Vir watter waardes van neem af?

Bepaal die -koördinat(e) van die draaipunt(e) van .

Gegee dat , bereken , en .

Ondersoek die paraboliese grafiek en interpreteer die gegewe informasie

Ons weet dat die gradiënt van beskryf. Om vas te stel waar die kubiese funksie afneem, moet ons die -waardes bepaal waarvoor :

Bepaal die -koördinat(e) van die draaipunt(e)

Om die draaipunte van 'n kubiese funksie te bepaal, stel ons en los die -waardes op. Hierdie -waardes is die -afsnitte van die parabool en is op die gegewe grafiek aangedui:

Bepaal die vergelyking van

Van die grafiek sien ons dat die -afsnit van gelyk aan is.

Video: 2BDW

Oefening 6.10Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Gegee .

Toon aan dat 'n faktor is van en faktoriseer gevolglik .

Stel eers in om vas te stel of 'n faktor is:

Dus is 'n faktor van .

Bepaal die koördinate van die afsnitte en die draaipunte.

Vir die -afsnit, stel : , wat die punt gee.

Vir die -afsnit, stel :

Dus, die -afsnitte is: en .

Bepaal die draaipunte:

Om die -waardes te bepaal, stel ons hierdie twee waardes vir in die oorspronklike vergelyking in. Ons weet alreeds dat wanneer , . Deur die ander waardes in te stel kry ons:

Dus is die draaipunte: en

Skets die grafiek.

Skets die grafiek van . Toon al die draaipunte en afsnitte met die asse aan.

Ons bepaal die -afsnit deur te stel:

Die -afsnit is:

Ons bepaal die -afsnitte deur te stel.

Ons gebruik die faktorstelling om vas te stel of 'n faktor is.

Dus, is nie 'n faktor nie.

Ons gebruik nou die faktorstelling om vas te stel of 'n faktor is.

Dus, is nie 'n faktor nie.

Nou probeer ons :

Dus, is 'n faktor.

Die -afsnitte is: .

Vir die draaipunte, stel .

Die -koördinate van die draaipunte is: en .

Die -koördinate van die draaipunte word as volg bereken:

en

Dus, die draaipunte is: en .

Gegee , skets die grafiek van sonder enige verdere berekenings. Beskryf die metode wat jy gebruik om die grafiek te teken.

Dit is die spieëlbeeld van in die -as. Met ander woorde, ons reflekteer die grafiek van om die -as.

Gegee is 'n sketsgrafiek van die kubiese funksie, , met 'n draaipunt by , en wat deur en gaan.

Bepaal die vergelyking van .

-afsnitte is , en .

Van die grafiek, is .

Bereken die koördinate van draaipunt .

Die draaipunte is waar :

Stel in die vergelyking van in om die ooreenstemmende -waarde te bepaal:

Bepaal die afsnitte en stasionêre punt(e) van en skets die grafiek.

Dit gee die punt .

Dit gee die punt .

Daar is slegs een stasionêre punt by . Van , lei ons af dat die gradiënt van die funksie altyd negatief is, dus is dit 'n infleksiepunt.

Vir watter waardes van sal:

Motiveer elke antwoord.

Vir , is die funksiewaardes negatief en dit is waar vir .

Vir , is die gradiënt van negatief, dus , en dit is waar vir , .

waar konkaaf af is en dit is waar vir .

Gebruik onderstaande informasie om 'n grafiek van elke kubiese funksie te teken (moenie die vergelykings van die funksies bepaal nie).

Onderstaande diagram is 'n sketsgrafiek van met draaipunte by en . is parallel aan die -as.

Bepaal die volgende:

lengte

lengte

lengte

lengte

Bepaal deur in uitgebreide vorm te skryf:

koördinate van en

en is die draaipunte.

Om die -koördinate van en te bepaal, bepaal :

Stel in, om die -koördinate van die draaipunte te bereken:

lengte

het dieselfde -koördinaat as , . Dus is by .

Los op vir om die -koördinaat van te bepaal: .

Ons weet dat is 'n oplossing van hierdie vergelyking, dus is 'n faktor.

gemiddelde gradiënt tussen en

die vergelyking van die raaklyn aan die grafiek by

Dus, die vergelyking van die raaklyn is .

Gegee die grafiek van 'n kubiese funksie met die stasionêre punt , skets die grafiek van die afgeleide funksie as dit ook gegee is dat die gradiënt van die funksie gelyk is aan by .

Afgeleide sal van die second graad wees: parabool. Gradiënt van funksie is deurgaans negatief, behalwe by , waar gradiënt . het 'n maksimum waarde van waar . Dus .

Onderstaande diagram is 'n sketsgrafiek van met -afsnitte by en .

Teken 'n sketsgrafiek van as en .

is 'n kubiese funksie want is 'n parabool. het twee draaipunte want het twee -afsnitte.

Die -waardes van die draaipunte van is die -afsnitte van , waar .

Dus sal draaipunte hê by : minimum draaipunt (waar gradiënt van negatief na positief verander) en by : maksimum draaipunt (waar gradiënt van positief na negatief verander).

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

6.7 Toepassings van differensiële calculus (EMFCP2)

Optimeringsprobleme (EMFCP3)

Ons het gesien dat differensiële calculus gebruik kan word om die stasionêre punte van funksies te bereken, sodat die grafiek geskets kan word. Die berekening van stasionêre punte leen homself tot die oplos van probleme waar die maksimering of minimering van 'n veranderlike nodig is. Ons verwys na hierdie probleme as optimeringsprobleme.

Die petrol wat deur 'n motor verbruik word, word gedefinieer deur , waar die spoed is waarteen gery word in .

Wat is die mees ekonomiese spoed van die motor? Met ander woorde, bepaal die spoed van die motor wat die laagste petrolverbruik sal oplewer.

As ons die grafiek van hierdie funksie teken, sien ons dat die grafiek 'n minimum het. Die spoed by die minimum punt, sal dan die mees ekonomiese spoed gee.

Ons het gesien dat die koördinate van die draaipunt bereken kan word deur die funksie te differensieer en die -koördinaat (spoed in hierdie geval) te bepaal waarvoor die afgeleide is.

As ons stel, kan ons die spoed bereken wat ooreenkom met die draaipunt:

Dit beteken dat die mees ekonomiese spoed is.

Bereken die optimale punt:

Stel en los op vir om die optimum punt te bepaal.

Om vas te stel of die optimale punt by 'n lokale minimum of 'n lokale maksimum is, bepaal ons :

As , is die punt 'n lokale maksimum.

As , is die punt 'n lokale minimum.

Uitgewerkte voorbeeld 21: Optimeringsprobleme

Die som van twee positiewe getalle is . Een van die getalle word vermenigvuldig met die kwadraat van die ander. As elke getal groter is as , bepaal die getalle wat hierdie produk 'n maksimum sal maak.

Teken 'n grafiek om die antwoord te illustreer.

Ontleed die probleem en formuleer die vergelykings wat benodig word

Laat die twee getalle en wees en die produk .

Maak die onderwerp van vergelyking () en stel in vergelyking () in:

Differensieer met betreking tot

Bepaal die stasionêre punte deur te stel

Ons bepaal die waarde van wat 'n maksimum maak:

Stel in vergelyking () om op te los:

Bepaal die tweede afgeleide

Ons maak seker dat die punt 'n lokale maksimum is, deur aan te toon dat :

Skryf die finale antwoord neer

Die produk word gemaksimeer wanneer die twee getalle en is.

Teken 'n sketsgrafiek

Om 'n ruwe skets van die grafiek te teken, moet ons bereken waar die grafiek die asse sny en ook die maksimum en minimum funksiewaardes van die draaipunte bereken:

Afsnitte:

Draaipunte:

Maksimum en minimum funksiewaardes:

Let op: bostaande diagram is nie volgens skaal geteken nie.

Uitgewerkte voorbeeld 22: Optimeringsprobleme

Michael wil met 'n groentetuin begin. Hy besluit om dit te omhein in die vorm van 'n reghoek, om dit sodoende af te sper van die res van die tuin. Michael het slegs omheining en besluit om 'n muur te gebruik as een grens van die groentetuin. Bereken die lengte en breedte van die groentetuin met die grootste moontlike area wat Michael kan omhein.

Ondersoek die probleem en formuleer die vergelykings wat nodig is

Die belangrike inligting wat gegee word, het te doen met die area en omtrek van die tuin. Ons weet dat die area van die tuin gegee word deur die formule:

Omheining word slegs benodig vir sye en die drie sye se lengtes moet saam wees.

Herrangskik die formule sodat die onderwerp van die formule is:

Stel die uitdrukking vir in die formule vir die area van die tuin in. Let op dat hierdie formule nou net een veranderlike bevat.

Differensieer met betreking tot

Ons is geïnteresseerd in die maksimering van die tuin, so ons differensieer om die volgende te kry:

Bereken die stasionêre punt

Om die stasionêre punt te bereken, stel ons en los die waarde(s) van op wat die area maksimeer:

Die lengte van die tuin is dus .

Stel in om op te los en die breedte te bepaal:

Dus is die breedte van die tuin .

Bepaal die tweede afgeleide

Ons kan vasstel dat dit 'n maksimum area gee deur te wys dat :

Skryf die finale antwoord neer

'n Wydte van en 'n lengte van sal die maksimum area vir die tuin gee.

Belangrike nota:

Die hoeveelheid wat geminimeer of gemaksimeer moet word, moet uitgedruk word in terme van slegs een veranderlike. Om die geoptimeerde oplossing te vind, moet ons die afgeleide bepaal en ons weet op hierdie stadium slegs hoe om te differensieer met betrekking tot een veranderlike (meer komplekse reëls vir differensiasie word op universiteitsvlak geleer).

Oefening 6.11Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Die som van twee positiewe getalle is . Een van die twee getalle word vermenigvuldig met die kwadraat van die ander. Bepaal die twee getalle wat 'n maksimum produk gee.

Gestel die eerste getal is en die tweede getal en die produk . Ons formuleer die volgende twee vergelykings:

Herrangskikking van die eerste vergelyking en instelling in die tweede, gee:

Differensiëring en gelykstelling aan gee:

Dus, of .

As dan is en die produk is 'n minimum, nie 'n maksimum nie.

Dus, en .

Dus is die twee getalle en (afgerond tot die naaste heelgetal gee en ).

'n Houtblok word uitgesny soos aangetoon in die diagram. Die sykante is reghoekige driehoeke met sye , en . Die lengte van die blok is . Die totale buitevlak-area van die blok is .

Toon aan dat .

Ons begin deur die buitevlak-area van die prisma te bereken :

Deur op te los, verkry ons:

Bepaal die waarde van waarvoor die die blok 'n maksimum volume sal hê.

(Volume = area van basis hoogte)

Begin deur 'n uitdrukking vir die volume in terme van te kry:

Bepaal nou die afgeleide en stel dit gelyk aan :

Siende dat die lengte slegs positief kan wees,

Bepaal die kortste vertikale afstand tussen die krommes van en as dit gegee word dat:

Om die afstand tussen die krommes te minimeer, stel

Dus, die korste afstand is:

Die diagram toon 'n sketsplan vir 'n afdak wat aan die hoek van 'n kothuis aangebou moet word. 'n Reling moet opgerig word rondom die vier rante van die afdak.

As en en die lengte van die reling moet wees, bepaal die waardes van en waarvoor die afdak 'n maksimum area sal hê.

Ons moet 'n uitdrukking vir die area in terme van slegs een veranderlike bepaal.

Die omtrek is:

Die area is:

Ons gebruik die uitdrukking vir die omtrek om die veranderlike te elimineer, sodat ons 'n uitdrukking vir die area slegs in terme van het:

Om die maksimum te bepaal, moet ons die afgeleide bepaal en dit gelyk aan stel:

Dus, en deur instelling hiervan in die formule vir die omtrek, kry ons .

'n Reghoekige saphouer, gemaak van karton, het 'n vierkantige basis en hou sap. Die houer het 'n spesiaal ontwerpte bokant wat toevou om die houer te sluit. Die karton wat gebruik word om die bokant van die houer toe te vou, is tweekeer soveel as die karton wat gebruik word vir die basis, wat slegs 'n enkellaag karton benodig.

As die lengte van die basis cm is, toon aan dat die karton benodig vir die totale area van een houer, gegee word deur:

Bepaal die afmetings van die houer sodat die hoeveelheid (area) karton gebruik 'n minimum is.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Veranderingstempo (EMFCP4)

Dit is baie handig om te bepaal hoe vinnig (die tempo waarteen) dinge verander. Ons kan verandering wiskundig op verskillende maniere voorstel.

Grafieke gee 'n visuele voorstelling van die tempo waarteen funksiewaardes verander as die onafhanklike (invoer) veranderlike verander. Die veranderingstempo word beskryf deur die gradiënt van die grafiek en kan dus bepaal word deur die afgeleide te bepaal.

Ons het geleer hoe om die gemiddelde gradiënt van 'n kromme te bepaal en hoe om die gradiënt van 'n kromme by 'n gegewe punt te bepaal. Daar word ook na hierdie begrippe verwys as gemiddelde veranderingstempo en oombliklike veranderingstempo onderskeidelik.

Wanneer ons van veranderingstempo praat, impliseer dit die oombliklike veranderingstempo (die afgeleide). Wanneer gemiddelde veranderingstempo verlang word, sal daar spesifiek verwys word na gemiddelde veranderingstempo.

Snelheid is een van die mees algemene vorms van veranderingstempo:

Snelheid verwys na die verandering in afstand () vir 'n ooreenstemmende verandering in tyd ().

Versnelling is die verandering in snelheid vir die ooreenstemmende verandering in tyd. Dus, versnelling is die afgeleide van snelheid.

Dit impliseer dat versnelling die tweede afgeleide van afstand is.

Uitgewerkte voorbeeld 23: Veranderingstempo

Die hoogte (in meter) van 'n gholfbal sekondes nadat dit in die lug geslaan is, word gegee deur . Bepaal die volgende:

Die gemiddelde vertikale snelheid van die bal gedurende die eerste twee sekondes.

Die vertikale snelheid van die bal na .

Die tyd wanneer die vertikale sneldheid nul is.

Die vertikale snelheid waarteen die bal die grond tref.

Die vertikale vesnelling van die bal.

Bepaal die gemiddelde vertikale snelheid gedurende die eerste twee sekondes

Bereken die oombliklike vertikale snelheid

Snelheid na :

Bepaal die tyd wanneer die vertikale snelheid nul is

Dus, die snelheid is nul na

Bepaal die vertikale snelheid waarteen die bal die grond tref

Die bal tref die grond wanneer

Die bal tref die grond na . Die snelheid na sal die volgende wees:

Die bal tref die grond teen 'n snelheid van . Let op dat die teken van die snelheid negatief is, wat beteken dat die bal afwaarts beweeg ('n positiewe snelheid word gebruik vir opwaartse beweging).

Versnelling

Net omdat aantrekkingskrag konstant is, beteken dit nie dat ons noodwendig aan versnelling moet dink as 'n konstante nie. Ons moet dit as 'n funksie sien.

Oefening 6.12Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

'n Pomp is aan 'n waterreservoir gekoppel. Die volume van die water word gereguleer deur die pomp en word gegee deur die formule:

Bepaal die veranderingstempo van die volume van die reservoir met betrekking tot tyd na dae.

Neem die volume van die water toe of neem dit af aan die einde van dae? Verduidelik jou antwoord.

Die veranderingstempo is negatief, so die funksie neem af.

Na hoeveel dae sal die reservoir leeg wees?

Wanneer sal die hoeveelheid water 'n minimum wees?

Maksimum by draaipunt

Bereken die maksimum volume.

Maksimum by draaipunt

Teken 'n grafiek van .

'n Sokkerbal word vertikaal in die lug geskop en sy beweging word voorgestel deur die vergelyking:

Bepaal die aanvanklike hoogte van die bal op die oomblik wat dit geskop word.

Bepaal die aanvanklike hoogte van die bal.

Bepaal die snelheid van die bal na .

Bereken die maksimum hoogte van die bal.

Maksimum hoogte is by die draaipunt.

Bepaal die versnelling van die bal na sekonde en verduidelik die betekenis van die antwoord.

Interpretasie: die snelheid neem af teen meter per sekonde per sekonde.

Bereken die gemiddelde snelheid van die bal gedurende die third sekonde.

Gemiddelde snelheid gedurende die derde sekonde:

Bereken die snelheid van die bal na sekondes en interpreteer die antwoord.

Interpretasie: dit is die stasionêre punt waar die afgeleide nul is. Die bal het opgehou om op te gaan en is besig om om te draai, sodat dit kan afkom.

Hoe lank sal dit neem voordat die bal die grond tref?

Die bal tref die grond by (tyd kan nie negatief wees nie).

Bepaal die snelheid waarteen die bal die grond tref.

As die verplasing (in meter) van 'n partikel, in tyd (in sekondes,) beskryf word deur die vergelyking , bepaal sy versnelling na sekondes.

Ons weet dat snelheid die veranderingstempo van verplasing is. Dit beteken dat :

Ons weet ook dat versnelling die veranderingstempo van snelheid is. Dit beteken dat :

Instelling van gee .

Gedurende 'n eksperiment verander die temperatuur (in grade Celsius) met betrekking tot tyd (in ure), volgens die formule: .

Bepaal 'n uitdrukking vir die veranderingstempo van temperatuur met betrekking tot tyd.

Ons bepaal die veranderingstempo van temperatuur met betrekking tot tyd deur te differensieer:

Gedurende watter tydsinterval het die temperatuur gedaal?

Ons stel die afgeleide gelyk aan : Ons kyk na die koëffisiënt van die term om te besluit of dit 'n minimum of maksimum punt is. Die koëffisiënt is negatief en daarom moet die funksie 'n maksimum waarde hê. Die interval waarbinne die temperatuur styg is . Die interval waarin die temperatuur daal is . Ons kan dit kontroleer deur die grafiek te teken of deur instelling van die waardes vir in die oorspronklike vergelyking.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

6.8 Opsomming (EMFCP5)

Die limiet van 'n funksie bestaan en is gelyk aan wanneer die waardes van streef na van beide kante soos streef na .

Gemiddelde gradiënt of gemiddelde veranderingstempo:

Gradiënt by 'n punt of oombliklike veranderingstempo:

Notasies:

Differensieer vanuit grondbeginsels:

Differensiasiereëls:

Algemene reël vir differensiasie:

Die afgeleide van 'n konstante is gelyk aan nul.

Die afgeleide van 'n konstante vermenigvuldig met 'n funksie is gelyk aan die konstante vermenigvuldig met die afgeleide van die funksie.

Die afgeleide van 'n som is gelyk aan die som van die afgeleides.

Die afgeleide van 'n verskil is gelyk aan die verskil van die afgeleides.

Tweede afgeleide:

Die skets van grafieke:

Die gradiënt van die kromme en die raaklyn aan die kromme by stasionêre punte, is gelyk aan nul.

Om die stasionêre punte te bepaal: stel en los op vir .

'n Stasionêre punt kan óf 'n lokale maksimum, óf 'n lokale minimum óf 'n infleksiepunt wees.

Optimeringsprobleme:

Gebruik die gegewe informasie om 'n uitdrukking te formuleer wat slegs een veranderlike bevat.

Differensieer die uitdrukking, stel die afgeleide gelyk aan nul en los die vergelyking op.

Oefening 6.13Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal vanuit eerste beginsels as .

Gegee , bepaal deur gebruik te maak van die definisie van die afgeleide.

Bereken:

Bepaal as:

Gegee:

Gebruik die definisie van die afgeleide om te bereken.

Gevolglik, bereken die koördinate van die punt waar die gradiënt van die raaklyn aan die grafiek van gelyk is aan .

Die waarde is: Die koördinate van die punt is

As , bereken .

Gegee:

Bepaal .

Los op vir as .

Bepaal die afgeleide van elk van die volgende:

As , bepaal .

Gegee:

Bepaal .

Differensieer met betrekking tot .

Bepaal .

Om met betrekking tot te differensieer, druk in terme van uit:

Toon aan dat .

Gegee:

Bereken .

Gevolglik, los op vir .

Ons weet dat 'n faktor is van omdat . Ons faktoriseer verder deur middel van inspeksie:

Bepaal .

Skets die grafiek van , toon die koördinate van die draaipunte en die afsnitte op albei asse aan.

Die -afsnit is .

Die -afsnitte is .

Om die draaipunte te bepaal, stel ons die afgeleide gelyk aan . . Die -waardes van die draaipunte is: en .

Dus, die draaipunte is en .

Bepaal die koördinate van die punte op die grafiek van waar die gradiënt is.

Dus, by en .

Teken die grafiek van op dieselfde assestelsel.

Bepaal en gebruik dit om gevolgtrekkings te maak omtrent die konkawiteit van .

Gegee .

As , bepaal die -afsnitte van .

Die -afsnitte van is , en .

Bepaal die koördinate van die draaipunte van .

Teken 'n sketsgrafiek van . Toon die koördinate van die draaipunte en die afsnitte met die asse duidelik aan.

Vir watter waarde(s) van sal die vergelyking drie reële wortels hê, waarvan twee gelyk is?

Om die punt te bepaal wanneer die kubiese funksie twee reële wortels het, moet ons die punte vasstel waar een van die draaipunte die -as raak. Ons kyk na die -waardes van die draaipunte om dit te bepaal. Vir die maksimum draaipunt laat sak ons die grafiek en vir die minimum punt skuif ons die grafiek op. Dit gee: of .

Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die grafiek van by die punt waar .

Bereken die -waarde as : Bepaal die waarde van deur in die afgeleide te stel:

Die vergelyking van die raaklyn is:

Gegee die funksie met -afsnit , -afsnit en 'n infleksiepunt by .

Toon deur berekening aan dat , en .

Bereken die -koördinaat van die infleksiepunt.

Teken die grafiek van .

Bespreek die gradiënt van .

Gradiënt altyd positief behalwe as waar die gradiënt 'n minimum is, naamlik nul.

Bespreek die konkawiteit van .

Konkawiteit verander by die infleksiepunt :

Gegee is 'n sketsgrafiek van .

Identifiseer die stasionêre punte van die kubiese funksie, .

Draaipunte is by en :

Vir : dit is 'n lokale maksimum draaipunt (die gradiënt van verander van positief na negatief).

Vir : dit is 'n lokale minimum draaipunt (gradiënt van verander van negatief na positief).

Wat is die gradiënt van die funksie waar .

By , is die gradiënt van die funksie gelyk aan . Ons kan dit skryf as .

As dit verder gegee word dat slegs twee reële wortels het, trek 'n ruwe sketsgrafiek van . Afsnitwaardes hoef nie aangetoon te word nie.

Gegee die lineêre funksie met en . Bepaal die vergelyking van .

is 'n lineêre funksie met kenmerkende vorm . Die afgeleide van 'n lineêre funksie is , dus, van , kan ons aflei dat .

Dus, .

Die grafieke van en , met die volgende punte, word gegee:

Gebruik die grafieke en bepaal die waardes van waarvoor:

'n dalende funksie is.

.

en albei negatief is.

en

of (beide en is negatief)

waar die gradiënt van negatief is. Dus, of .

En vir of .

Dus, en vir of .

Gegee , bepaal die vergelyking van die raaklyn aan by die punt .

Vergelyking van raaklyn aan by :

Om die waardes van by te bepaal, stel in :

Stel in om te bereken:

Bepaal die koördinate van die punt(e) waar die raaklyn in die vraag hierbo, weer die grafiek van ontmoet.

Stel die vergelyking van die raaklyn gelyk aan :

Dus, die raaklyn sny die grafiek van in die draaipunt .

Sonder enige berekenings, gee die -afsnitte van die grafiek van . Verduidelik jou redenasie.

-afsnitte van is by en , die draaipunte van (punte en ). By hierdie twee punte is die gradiënt van die grafiek gelyk aan nul, waar die -as sny.

Skets die grafiek van en toon alle afsnitte met die asse en die draaipunte aan.

Ons bepaal die -afsnit deur die waarde van te bepaal.

Die -afsnit is:

Ons bepaal die -afsnitte deur die waardes te bepaal waarvoor .

Ons gebruik die faktorstelling om vas te stel of 'n faktor is.

Dus, is nie 'n faktor nie.

Ons gebruik nou die faktorstelling om vas te stel of 'n faktor is.

Dus, is nie 'n faktor nie.

Nou probeer ons :

Dus, is 'n faktor.

As ons deel met kry ons:

Dit het faktore:

Die -afsnitte is: .

Bepaal die draaipunte deur te stel.

As ons differensiasiereëls gebruik, kry ons:

Die -koördinate van die draaipunte is: en .

Die -koördinate van die draaipunte word bereken as : en

Dus die draaipunte is: en .

Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan by .

Ons weet dat by , (dit is die draaipunt van die grafiek).

Ons stel in die afgeleide van die funksie in om te bepaal:

Die instelling hiervan, asook die koördinate van die punt, in in, gee:

Die vergelyking van die raaklyn aan die grafiek by is .

Bepaal die infleksiepunt en bespreek die konkawiteit van .

Infleksiepunt:

Dit gee die punt .

Konkawiteit:

vir : konkaaf af

vir : infleksiepunt

vir : konkaaf op

Bepaal die minimum waarde van die som van 'n positiewe getal en sy resiprook.

Gestel die getal is en die resiprook is . Die som van hierdie twee getalle is . Om die minimum waarde te bepaal, moet ons die uitdrukking vir die som differensieer en dit gelyk stel aan nul : Dus, die minimum waarde van die som van 'n positiewe getal en sy resiprook is .

Op 'n tydstip minute nadat 'n ketel begin kook het, word die hoogte van die water in die ketel gegee deur , waar gemeet word in millimeters.

Bereken die hoogte van die watervlak in die ketel net voordat dit begin kook.

Die ketel begin kook as :

Soos die water kook, sak die watervlak in die ketel. Bepaal die tempo waarteen die watervlak daal wanneer .

Om die tempo te vind waarteen die watervlak daal, bepaal ons die afgeleide van die diepte van die water: Hierdie tempo is negatief, siende dat die watervlak daal.

Na hoeveel minute vandat die ketel begin kook het, sal die watervlak teen 'n tempo van per minuut daal?

Om die aantal minute te bepaal wanneer die tempo sal wees (watervlak daal), stel ons die afgeleide gelyk aan hierdie waarde en los vir op: Na minute sal die watervlak daal teen .

Die verplasing van 'n bewegende voorwerp word voorgestel deur die vergelyking:

Bereken die versnelling van die voorwerp na sekondes.

Na sekondes, is die versnelling .

In die figuur is die middellyn van die semi-sirkel . Die som van die lengtes van en is . Bereken die omtrek van as die maksimum area in die semi-sirkel beslaan. Laat die antwoord in vereenvoudigde wortelvorm.

Gestel is eenhede en is eenhede.

Om die maksimum area te bepaal, stel :

Dus, eenhede en eenhede.

Omtrek van die driehoek is eenhede.

Die kapasiteit van 'n silindirese watertenk is . Stel die hoogte gelyk aan en die radius gelyk aan . Die materiaal wat gebruik word vir die bodem van die tenk is tweekeer so dik en ook tweekeer so duur as die materiaal wat gebruik word vir die geboë deel van die tenk en die bokant van die tenk.

Onthou:

Druk uit in terme van .

Toon aan dat die koste van materiaal vir die tenk uitgedruk kan word as:

Bepaal die deursnit of middellyn van die tenk wat die minimum koste van die materiaal sal gee.

[IEB, 2006]

Gestel die koste van die materiaal is .

Die middellyn van 'n roomyshorinkie is en die vertikale hoogte is . Die som van die middellyn en die hoogte van die roomyshorinkie is .

Bepaal die volume van die roomyshorinkie in terme van en .

(Volume van 'n keël: )

Bepaal die radius en die hoogte van die roomyshorinkie as die volume 'n maksimum is.

Gestel die volume van die roomyshorinkie is .

Bereken die maksimum volume van die roomyshorinkie.

'n Waterreservoir het beide 'n inloop-pyp en 'n uitloop-pyp om die diepte van die water in die reservoir te reguleer. Die diepte word gegee deur die funksie:

Bepaal die tempo waarteen die diepte van die water verander teen 10h00.

Dus, die veranderingstempo van die diepte van die water is per uur teen 10h00.

Neem die diepte van die water toe of af?

Neem af (tempo is negatief).

Teen watter tyd sal die invloei van water dieselfde wees as die uitvloei?

[IEB, 2006]

Ons omskep dit in minute: minute. Dus, by 06h49.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Hoofstuk 7: Analitiese meetkunde

7.1 Hersiening (EMFCP6)

Integreer kennis van Euklidiese Meetkunde met Analitiese Meetkunde

Beklemtoon die waarde en belangrikeid van sketse maak.

Beklemtoon die belangrikheid van konsekwent koördinate skryf vir die afstandformule en die gradiënt.

Discuss and explain:

that ewewydige lines have equal gradients and equal angles of inclination.

that the product of the gradients of perpendicular lines is equal to .

that horizontal lines have a zero gradient.

that vertical lines have an undefined gradient.

Revise the properties of the different quadrilaterals as this knowledge is needed in many of the exercises.

Explain that the angle of inclination is never greater than .

Vergelykings vir reguitlyne (EMFCP7)

Pythagoras se stelling: |
Afstandformule: |
Gradiënt: |
Middelpunt van 'n lynsegment: |
Punte op 'n reguitlyn: |

Vergelykings vir reguitlyne: | Formule: |
Tweepuntvorm: |  |
Gradiënt-puntvorm: |  |
Gradiënt-afsnitvorm: |  |
Horisontale lyne: |  |
Vertikale lyne: |  |

Uitgewerkte voorbeeld 1: Hersiening

Gegee vierhoek met hoekpunte en .

Bepaal die vergelyking van lyn en lyn .

Wys dat .

Bereken die lengtes van en .

Bepaal die vergelyking van die diagonaal .

Watter tipe vierhoek is ?

Teken 'n skets

Gebruik die gegewe inligting om die vergelyking van lyne en te bepaal

Bepaal die vergelyking van lyn deur die twee-puntvorm van die vergelyking vir 'n reguitlyn te gebruik:

Bepaal die vergelyking van lyn deur gebruik te maak van die gradiënt-afsnitvorm van die vergelyking vir 'n reguitlyn .

Oor die algemeen is daar meer as een metode om die vergelyking van 'n lyn te bepaal. Die verskillende vorme van die vergelyking vir 'n reguitlyn word gebruik, afhangend van die inligting wat die probleem verskaf.

Wys dat lyn en lyn gelyke gradiënte het

Gebruik die afstandformule om die lengtes van en te bepaal

Bepaal die vergelyking van diagonaal

Bepaal die gradiënt van die lyn:

Gebruik die gradiënt en die punt om die vergelyking van die lyn te bepaal:

Ondersoek die kenmerke van vierhoek

Ons het gewys dat en , daarom is vierhoek 'n parallelogram (een paar teenoorstaande sye gelyk en parallel).

Oefening 7.1 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal die volgende vir die lynsegment tussen die twee gegewe punte:

lengte

middelpunt

gradiënt

vergelyking

en

en

en

en

Die lyn wat en verbind het middelpunt . Bepaal die waardes van en .

Gegee en lengte eenhede, bepaal die waarde(s) van .

Daar is twee moontlike waardes van sodat die lengte eenhede :

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn met die volgende eienskappe:

gaan deur die punte en .

gaan deur die punte en .

gaan deur die punt en met .

ewewydig aan die -as en gaan deur die punt .

gaan deur die punt en met .

loodreg op die -as en gaan deur die punt .

met ongedefinieërde gradiënt en gaan deur die punt .

met wat deur die punt gaan.

wat die -as sny by en met .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Inklinasie/helling van 'n lyn (EMFCP8)

Die diagram wys 'n reguitlyn wat 'n skerphoek vorm met die positiewe -as. Dit word die inklinasiehoek van die reguitlyn genoem.

Die gradiënt van 'n reguitlyn is gelyk aan die tangens van die hoek wat vorm tussen die lyn en die positiewe rigting van die -as.

Lyne met positiewe gradiënte

'n Lyn met 'n positiewe gradiënt () het 'n skerp inklinasiehoek ().

Byvoorbeeld, ons kan die inklinasiehoek van 'n lyn met bepaal:

Lyne met negatiewe gradiënte

As ons die inklinasiehoek van 'n lyn met 'n negatiewe gradiënt () bereken, tel ons by om die negatiewe hoek na 'n stomphoek () te verander.

Byvoorbeeld, ons kan die inklinasiehoek van 'n lyn met bepaal:

Uitgewerkte voorbeeld 2: Helling van 'n reguitlyn

Bepaal die skerphoek (korrek tot desimale plek) tussen die lyn wat deur punte en en die reguitlyn gaan.

Teken 'n skets

Trek die lyn deur die punte en en die lyn op 'n gepaste stel asse. Benoem en , die inklinasiehoeke van die twee lyne. Benoem , die skerphoek tussen die twee reguitlyne.

Let op dat en skerphoeke is en 'n stomphoek.

Gebruik die gradiënt om die inklinasiehoek van te bepaal

Vanuit die vergelyking sien ons dat , daarom is 'n stomphoek.

Bepaal die gradiënt en inklinasiehoek van die lyn deur en

Bepaal die gradiënt

Bepaal die inklinasiehoek

Skryf die finale antwoord neer

Die skerphoek tussen die twee reguitlyne is .

Ewewydige en loodregte lyne (EMFCP9)

Ewewydige lyne |  |  |
Loodregte lyne |  |  |

Uitgewerkte voorbeeld 3: Ewewydige lyne

Lyn loop deur die punt en het 'n inklinasiehoek van .

Bepaal die vergelyking van lyn wat deur die punt gaan en ewewydig is aan .

Bepaal die vergelyking van lyn wat deur die oorsprong gaan en loodreg is op beide en .

Teken lyne , en op dieselfde stel asse.

Gebruik twee verskillende metodes om die inklinasiehoek van te bepaal.

Teken 'n rowwe skets en gebruik die inklinasiehoek om die vergelyking van te bepaal

Aangesien ons gegee is,

Vervang die gegewe punt :

Bepaal die vergelyking van

is loodreg op , daarom is die produk van hulle gradiënte gelyk aan :

Ons weet dat lyn deur loop, daarom is die vergelyking van die lyn:

Bepaal die inklinasiehoek van

Laat die inklinasiehoek van wees.

Metode :

Metode :

Teken 'n skets

Oefening 7.2 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal die inklinasiehoek (korrek tot desimale plek) vir elk van die volgende:

'n lyn met

die lyn gaan deur die punte en

Horisontale lyne

'n lyn met 'n gradiënt van

Vind die hoek tussen die lyn en die lyn wat deur die punte en V gaan.

Laat die inklinasiehoek van die lyn gelyk aan wees en laat die inklinasiehoek van die ander lyn wees. Laat die hoek tussen die twee lyne wees.

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punt gaan en ewewydig is aan die lyn .

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punt gaan en ewewydig is aan die lyn met inklinasiehoek .

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punt gaan en loodreg is op die lyn .

Bepaal die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punt gaan en loodreg is op die lyn met inklinasiehoek .

, en is die hoekpunte van in die Cartesiese vlak. kruis die -as by . Teken 'n skets en bepaal die volgende:

die vergelyking van die lyn

Teken 'n skets:

die koördinate van punt

die inklinasiehoek van

die gradiënt van lyn

omdat

die vergelyking van die lyn loodreg op en wat deur die oorsprong gaan

die middelpunt van

die vergelyking van die lyn parallel aan en wat deur die punt gaan

Punte , en word gegee.

Stip die punte op die Cartesiese vlak.

Bepaal die koördinate van as 'n parallelogram is.

Bewys dat 'n ruit is.

Gegewe punte , en .

Wys dat die vergelyking van is.

Teken 'n skets:

Bepaal die grootte van .

Laat die inklinasiehoek van lyn wees.

Laat die inklinasiehoek van lyn wees.

(buite van som van teenoorstaande binne e)

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

7.2 Vergelyking van 'n sirkel (EMFCPB)

Vergelyking van 'n sirkel met die middelpunt by die oorsprong (EMFCPC)

Teken 'n stel asse met 'n skaal van eenheid op die -as en op die -as.

Teken die lyne en .

Stip die volgende punte:

Watter voorwerp vorm die punte?

Meet die volgende afstande en voltooi die tabel hieronder:

Lynsegment
Afstand

Gebruik die afstandformule om die resultate van die bogenoemde tabel te toets:

Lynsegment
Afstand

Wat het jy opgelet oor die lengte van elke lynsegment?

Wat is die algemene term wat ons gebruik vir hierdie tipe lynsegment?

As die punt op die sirkel lê, gebruik die afstandformule om 'n uitdrukking vir die lengte van te bepaal.

Kan jy 'n algemene vergelyking vir 'n sirkel met middelpunt by die oorsprong aflei?

'n Sirkel is 'n stel van alle punte wat 'n gelyke afstand (radius) van 'n gegewe punt (middelpunt) is. Met ander woorde elke punt op die omtrek van 'n sirkel is ewe ver van sy middelpunt af.

Die radius van 'n sirkel is die afstand vanaf die middelpunt van 'n sirkel tot by enige punt op die omtrek.

'n Middellyn van 'n sirkel is enige lyn wat deur die middelpunt van die sirkel loop wat twee punte op die sirkel verbind. Die middellyn verteenwoordig ook die maksimum afstand tussen twee punte op die sirkelomtrek.

Oorweeg 'n punt op die omtrek van die sirkel met 'n radius met die middelpunt by .

In :

Vergelyking van 'n sirkel met die middelpunt by die oorsprong:

As 'n punt op die sirkel met middelpunt en radius is, dan is die vergelyking van die sirkel:

Sirkelsimmetrie

'n Sirkel met middelpunt is simmetries om die oorsprong: vir elke punt op die omtrek van die sirkel is daar ook die punt .

'n Sirkel met middelpunt by die oorsprong is ook simmetries om die - en -as. Is 'n sirkel wat by die oorsprong gesentreer is, simmetries om die lyne en ? Hoeveel lyne van simmetrie het 'n sirkel?

Uitgewerkte voorbeeld 4: Vergelyking van 'n sirkel met die middelpunt by die oorsprong

Gegee: 'n sirkel met middelpunt en 'n radius van eenhede.

Skets die sirkel op die Cartesiese vlak.

Bepaal die vergelyking van die sirkel.

Wys dat die punt op die sirkel lê.

Teken 'n skets

Bepaal die vergelyking van die sirkel

Skryf die algemene vorm van die vergelyking van 'n sirkel met die middelpunt neer:

Wys dat punt op die sirkel is

Vervang die -koördinate en die -koördinate in die linkerkant van die vergelyking en wys dat dit gelyk is aan die regterkant.

Daarom, lê op die sirkel .

Uitgewerkte voorbeeld 5: Vergelyking van 'n sirkel met die middelpunt by die oorsprong

'n Sirkel met middelpunt loop deur die punte en .

Stip die punte en teken 'n rowwe skets van die sirkel.

Bepaal die vergelyking van die sirkel.

Bereken die lengte van .

Verduidelik waarom die middellyn van die sirkel is.

Teken 'n skets

Bepaal die vergelyking van die sirkel

Skryf die algemene vorm van die vergelyking vir 'n sirkel met middelpunt neer en vervang :

Daarom is die vergelyking vir die sirkel wat deur en loop .

Bereken die lengte

Gebruik die afstandformule om die afstand tussen die twee punte te bepaal.

Bepaal of 'n middellyn van die sirkel is

Aangesien twee punte op die sirkel verbind, en , en 'n lengte van eenhede het, is 'n middellyn van die sirkel.

Alternatiewe metode: Gebruik simmetrie om te wys dat 'n middellyn van die sirkel is.

Die middellyn is die naam wat gegee word aan die maksimum afstand tussen twee punte op die sirkel; dit beteken dat die twee punte regoor mekaar met betrekking tot die middelpunt moet lê.

Gebruik simmetrie om die oorsprong. Ons weet dat oorkant op die sirkel lê en vice versa:

lê oorkant wat die koördinate van is

lê oorkant wat die koördinate van is

Daarom is 'n middellyn van die sirkel.

Alternatiewe metode: Wys dat deur die middelpunt gaan.

Bepaal die vergelyking van en wys dat dit deur die oorsprong gaan.

lê op die lyn .

Daarom gaan deur die middelpunt en is 'n middellyn van die sirkel.

Uitgewerkte voorbeeld 6: Vergelyking van 'n sirkel met die middelpunt by die oorsprong

Gegee 'n sirkel met middelpunt en 'n radius van eenhede. Bepaal moontlike koördinate vir die punt(e) op die sirkel wat 'n -waarde het wat dubbel die -waarde is.

Bepaal die vergelyking van die sirkel

Bepaal die koördinate van die punte op die sirkel

Om die moontlike koördinate van die punt(e) op die sirkel met 'n -waarde wat dubbel die -waarde is te bereken, vervang ons in die vergelyking van die sirkel:

Dit gee die punte en .

Let op: ons kan toets dat albei punte op die sirkel lê deur die koördinate in die vergelyking van die sirkel te vervang:

Oefening 7.3Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Voltooi die volgende vir elke sirkel hieronder gegee:

Bepaal die radius.

Teken 'n skets.

Bereken die koördinate van twee punte op die sirkel.

Dit gee die punte en .

Dit gee die punte en .

Dit gee die punte en

Dit gee die punte en

Dit gee die punte en .

Dit gee die punte en .

Bepaal die vergelyking van die sirkel:

met middelpunt by die oorsprong en 'n radius van eenhede.

met middelpunt by en eenhede.

wat deur die punt gaan en met middelpunt .

gesentreer by die oorsprong en eenhede.

met middelpunt by die oorsprong en 'n middellyn van eenhede.

wat deur die punt gaan en met die middelpunt by die oorsprong.

Bepaal of die volgende vergelykings 'n sirkel verteenwoordig of nie:

Ja:

Nee, kan nie in die vorm geskryf word nie.

Nee, kan nie in die vorm geskryf word nie.

Ja:

Ja:

Nee, kan nie in die vorm geskryf word nie.

Ja:

Bepaal die waarde(s) van as 'n punt op die sirkel is.

Dit gee die punte en

is 'n punt op die sirkel met middelpunt by die oorsprong en 'n middellyn van .

Bepaal die moontlike koördinate van as die waarde van drie maal die waarde van is.

Daarom, of

Bepaal die moontlike koördinate van as die waarde van helfte van die waarde van is.

Daarom, of

lê op 'n sirkel met middelpunt by .

Bepaal die vergelyking van die sirkel.

Skets die sirkel en benoem punt .

As 'n middellyn van die sirkel is, bepaal die koördinate van .

As 'n middellyn van die sirkel is, dan moet punt aan die oorkant van punt op die omtrek van die sirkel lê. Deur simmetrie om die oorsprong te, gebruik bepaal ons dat die koördinate van punt is.

Bereken die lengte van .

Alternatief: gebruik die afstandformule

Bepaal die vergelyking van die lyn .

gaan deur die oorsprong, daarom .

Bepaal die vergelyking van die lyn loodreg op wat deur die punt gaan.

Vir loodregte lyne:

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Vergelyking van 'n sirkel met die middelpunt by (EMFCPD)

Skuif die middelpunt van 'n sirkel

Voltooi die volgende vir elke vergelyking in die tabelle hieronder:

Skryf die vergelyking van die sirkel na die verskuiwing neer (moenie vereenvoudig nie).

Teken 'n rowwe skets om die skuif(we) voor te stel.

Vertikale skuif: die grafiek word eenheid opgeskuif.

Horisontale skuif: die grafiek word eenhede regs geskuif.

Gekombineerde skuiwe: die grafiek word eenheid op en eenhede na regs geskuif.

Die eerste voorbeeld is reeds voltooi.

| Vergelyking | Vertikale skuif | Horisontale skuif | Gekombineerde skuif
Parabool |  |  |  |
Skets |  |  |  |
Eksponentuitdrukking |  |  |  |
Skets |  |  |  |
Sirkel |  |  |  |
Skets |  |  |  |

Gebruik die tabel om die volgende vrae te beantwoord:

Skryf die algemene vergelyking van 'n sirkel met middelpunt neer.

Skryf die algemene vergelyking van 'n sirkel met middelpunt neer.

Skryf die algemene vergelyking van 'n sirkel met middelpunt neer.

Skryf die algemene vergelyking van 'n sirkel met middelpunt neer.

Oorweeg 'n sirkel in die Cartesiese vlak met middelpunt by en met 'n radius van eenhede. As enige punt op die omtrek van die sirkel is, kan ons die afstandformule gebruik om die afstand tussen die twee punte te bereken:

Die afstand is gelyk aan die radius () van die sirkel.

As die koördinate van die middelpunt van die sirkel is, is die vergelyking van 'n sirkel wat nie by die oorsprong gesentreer is nie:

Vergelyking van 'n sirkel met die middelpunt by :

As 'n punt op die sirkel met middelpunt en radius is, dan is die vergelyking van die sirkel:

'n Sirkel met die middelpunt is 'n spesiale geval van die algemene vergelyking:

Uitgewerkte voorbeeld 7: Vergelyking van 'n sirkel met die middelpunt by

is 'n punt op die sirkel met middelpunt .

Teken 'n rowwe skets van die sirkel en benoem .

Bepaal die vergelyking van die sirkel.

Lê die punt op die sirkel?

Sny die sirkel die -as? Motiveer jou antwoord.

Teken 'n skets

Bepaal die vergelyking van die sirkel

Skryf die algemene vergelyking van 'n sirkel met middelpunt en vervang die koördinate :

Vervang die koördinate van om die waarde van te bepaal:

Bepaal of op die sirkel lê of nie

As op die sirkel lê sal dit die vergelyking van die sirkel bevredig:

Daarom lê nie op die sirkel nie.

Bepaal die -afsnit(te)

Om die -afsnit(te) te bepaal, laat ons :

Die sirkel sny die -as by .

Uitgewerkte voorbeeld 8: Vergelyking van 'n sirkel met die middelpunt by

Bepaal die koördinate van die middelpunt van die sirkel en die lengte van die radius vir .

Maak die koëffisiënt van die term en die term gelyk aan

Die koëffisiënt van die en term moet wees, daarom haal ons uit as gemene faktor:

Voltooi die kwadraat

Neem die helfte van koëffisiënt van die term in , kwadreer dit; tel dit dan by en trek dit af van die vergelyking.

Die koëffisiënt van die term is daarom .

Neem die helfte van koëffisiënt van die term in , kwadreer dit; tel dit dan by en trek dit af van die vergelyking.

Die koëffisiënt van die term is daarom is .

Die middelpunt van die sirkel is en die radius is eenhede.

Video: 2BM7

Uitgewerkte voorbeeld 9: Vergelyking van 'n sirkel met die middelpunt by

Gegee en op die Cartesiese vlak.

Die punte en is simmetries om die oorsprong tot en onderskeidelik. Bepaal die koördinate van en .

Bepaal die middelpunt van .

Skryf die vergelyking van die sirkel .

Is ? Gee redes.

Bepaal die vergelyking van die lyn loodreg op en wat deur die punt gaan.

Bepaal die koördinate van en

Vir simmetrie om die oorsprong, is elke punt simmetries tot . Dus is simmetries tot en simmetries tot .

Bepaal die middelpunt van

Die middelpunt van die lyn is die oorsprong.

Bepaal die vergelyking van die sirkel

gaan deur die middelpunt van die sirkel en is daarom 'n middellyn. Van Euklidiese meetkunde weet ons dat die middellyn van die sirkel 'n regte hoek onderspan by die omtrek daarom is (hoeke in 'n semi-sirkel).

Bepaal die vergelyking van die lyn loodreg op by punt

Bepaal die gradiënt van :

Laat die gradiënt van die lyn loodreg op wees:

Uitgewerkte voorbeeld 10: Vergelyking van 'n sirkel met die middelpunt by

Gegee: 'n sirkel met middelpunt en 'n radius van eenhede.

As die sirkel eenhede af geskuif word en eenheid na regs, skryf die vergelyking van die geskuifde sirkel.

Skets die oorspronklike sirkel en die geskuifde sirkel op dieselfde stel asse.

Die geskuifde sirkel word gereflekteer om die lyn . Skets die gereflekteerde sirkel op dieselfde stel asse as die vraag hierbo.

Skryf die vergelyking van die gereflekteerde sirkel neer.

Skryf die vergelyking van die sirkel neer

Bepaal die vergelyking van die geskuifde sirkel

Vertikale skuif: eenhede af, word vervang met

Horisontale skuif: eenheid na regs, word vervang met

Dus is die vergelyking van die geskuifde sirkel is met middelpunt .

Teken 'n skets van die sirkels

Die geskuifde sirkel is gereflekteer om die lyn . Die en veranderlikes word omgeruil om die sirkel met vergelyking te gee met middelpunt by .

Uitgewerkte voorbeeld 11: Vergelyking van 'n sirkel met die middelpunt by

'n Sirkel met die middellyn loop deur die punte en . Bepaal die vergelyking van die sirkel.

Teken 'n rowwe skets

Skryf die algemene vergelyking van 'n sirkel neer

Oorweeg die lyn . Enige punt op die lyn sal die koördinate hê. Aangesien die middelpunt van die sirkel op die lyn lê, kan ons die vergelyking van die sirkel neerskryf as

Los op vir die onbekende veranderlikes en

Ons moet twee vergelykings oplos vir die twee onbekende veranderlikes. Ons vervang die twee gegewe punte en en los en gelyktydig op:

Skryf die finale antwoord neer

Die vergelyking van die sirkel is .

Sirkels met dieselfde middelpunt.

Sirkels raak binne.

Afstand tussen middelpunte .

Sirkels raak buite.

Afstand tussen middelpunte .

Afstand tussen middelpunte .

Oefening 7.4Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal of elkeen van die volgende vergelykings 'n sirkel voorstel of nie. Indien nie, gee 'n rede.

Ja

Ja

Nee, koëffisiënte van term en is verskillend.

Nee, kan nie in die algemene vorm geskryf word nie

Ja

Nee, moet groter as nul wees.

Skryf die vergelyking vir die sirkel neer:

met middelpunt en 'n radius van eenhede.

sodat en die middelpunt die oorsprong is.

met middelpunt en wat deur die punt loop.

met middelpunt en .

met en middelpunt .

met middelpunt wat deur die oorsprong gaan.

Bepaal die middelpunt en die lengte van die radius vir die volgende sirkels:

middelpunt: , eenhede

middelpunt: , eenhede

middelpunt: , eenhede

middelpunt: , eenhede

middelpunt: , eenhede

middelpunt: , eenhede

middelpunt: , eenhede

middelpunt: , eenhede

'n Sirkel sny die -as by en . As eenhede, bepaal die moontlike vergelyking(s) van die sirkel. Teken 'n skets.

Die vergelyking van die sirkel wat deur die punte en gaan is of .

en is punte op 'n sirkel sodat 'n middellyn is. Bepaal die vergelyking van die sirkel.

Gebruik die afstandformule om die lengte van die middellyn te bepaal.

Gegee is 'n middellyn van die sirkel, dan is die middelpunt van die sirkel die middelpunt van PG:

Daarom is die middelpunt en die vergelyking van die sirkel is .

'n Sirkel met middelpunt loop deur die punte en .

Bepaal die vergelyking van die sirkel.

Die vergelyking van die sirkel is .

Bepaal die koördinate van , die middelpunt van .

Wys dat .

As 'n punt op die sirkel is sodat 'n middellyn is, bepaal die koördinate van .

Gebruik die middelpuntformule om die koördinate van te bereken:

Bepaal die vergelyking van lyn .

'n Sirkel gaan deur die punt en . As die middelpunt op die lyn lê, bepaal die vergelyking van die sirkel.

Gegee dat die middelpunt van die sirkel op die lyn lê. Ons kan die koördinate van die sirkel as skryf en die vergelyking van die sirkel word:

Die vergelyking van die sirkel is

'n Sirkel met middelpunt gaan deur punt .

Bepaal die vergelyking van die sirkel.

As die sirkel eenhede na regs en eenhede afgeskuif word, bepaal die nuwe vergelyking vir die sirkel.

Teken 'n skets van die oorspronklike sirkel en die geskuifde sirkel op dieselfde stel asse.

Op dieselfde stel asse as die vorige vraag, teken 'n skets van die geskuifde sirkel gereflekteer om die -as. Skryf die koördinate van die middelpunt van die sirkel neer.

Middelpunt van die geskuifde sirkel:

Bepaal of die sirkel die -as en die -as sny, raak of nie sny nie.

Die radius van die sirkel is eenhede. Die afstand van die middelpunt tot die -as is eenhede, daarom sal die sirkel die -as raak. Die afstand van middelpunt tot die -as is eenhede, daarom sal die sirkel nie die -as sny nie.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

7.3 Vergelyking van 'n raaklyn aan 'n sirkel (EMFCPF)

Op 'n geskikte stel asse, teken die sirkel met middelpunt by .

Stip die punt .

Stip die punt . Teken en verleng die lyn sodat dit die positiewe -as sny.

Meet .

Bepaal die gradiënt van die radius .

Bepaal die gradiënt van .

Bewys dat .

Stip die punt en verbind .

Teken 'n raaklyn aan die sirkel by .

Meet die hoek tussen en die raaklyn by .

Maak 'n afleiding oor die hoek tussen die radius en die raaklyn aan 'n sirkel by 'n punt op die sirkel.

Voltooi die sin: die produk van die van die radius en die gradiënt van die is gelyk aan .

'n Sirkel met middelpunt en 'n radius van eenhede word in die diagram hierbo aangedui. is 'n punt op die omtrek en die vergelyking van die sirkel is:

'n Raaklyn is 'n reguitlyn wat die omtrek van 'n sirkel op net een plek raak.

Die raaklyn raak die sirkel by .

Die radius van sirkel is loodreg op die raaklyn by die punt van aanraking .

Die produk van die gradiënt van die radius en die gradiënt van die raaklyn is gelyk aan .

Hoe om die vergelyking van 'n raaklyn te bepaal:

Bepaal die vergelyking van die sirkel en skryf dit in die vorm

Vanuit die vergelyking, bepaal die koördinate vir die middelpunt van die sirkel .

Bepaal die gradiënt van die radius:

Die radius is loodreg tot die raaklyn aan die sirkel by punt en daarom is:

Skryf die gradiënt-puntvorm van 'n vergelyking vir 'n reguitlyn neer en vervang en die koördinate van . Maak die onderwerp van die vergelyking.

Uitgewerkte voorbeeld 12: Vergelyking van 'n raaklyn aan 'n sirkel

Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by die punt .

Skryf die vergelyking van die sirkel in die vorm

Gebruik die metode van kwadraatsvoltooiing:

Teken 'n skets

Die middelpunt van die sirkel is en die radius is eenhede.

Bepaal die gradiënt van die radius

Bepaal die gradiënt van die raaklyn

Laat die gradiënt van die raaklyn wees.

Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel

Skryf die gradiënt-punt vorm van die vergelyking van 'n reguitlyn neer en vervang en .

Skryf die finale antwoord neer

Die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by is .

Uitgewerkte voorbeeld 13: Vergelyking van 'n raaklyn aan 'n sirkel

Die reguitlyn sny die sirkel by en .

Bereken die koördinate van en .

Skets die sirkel en die reguitlyn op dieselfde stel asse. Merk die punte en .

Bepaal die koördinate van , die middelpunt van koord .

As die middelpunt van die sirkel is, wys dat .

Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by en .

Bepaal die koördinate van , die punt waar twee raaklyne kruis.

Wys dat , en op 'n reguitlyn is.

Bepaal die koördinate van en

Vervang die reguitlyn in die vergelyking van die sirkel en los op vir :

Dit gee die punte en .

Teken 'n skets

Bepaal die koördinate van die middelpunt

Wys dat loodreg op is

Ons moet wys dat die produk van twee gradiënte gelyk is aan . Vanuit die gegewe vergelyking van , weet ons dat .

Bepaal die vergelykings van die raaklyne by en

Raaklyn by :

Bepaal die gradiënt van die radius .

Die raaklyn van 'n sirkel is loodreg op die radius, daarom kan ons skryf:

Vervang en in die vergelyking vir 'n reguitlyn.

Raaklyn by :

Bepaal die gradiënt van die radius .

Die raaklyn van 'n sirkel is loodreg op die radius, daarom kan ons skryf:

Vervang en in die vergelyking vir 'n reguitlyn.

Die vergelykings vir die raaklyne is en .

Bepaal die koördinate van

Stel die twee lineêre uitdrukkings gelyk en los op vir :

Dit gee die punt .

Wys dat , en op 'n reguitlyn lê

Ons moet wys dat daar 'n konstante gradiënt tussen enige twee van die drie punte is. Ons het reeds gewys dat loodreg op is, dus verwag ons dat die gradiënt van die lyn deur , en sal wees.

Daarom lê , en almal op dieselfde lyn .

Uitgewerkte voorbeeld 14: Vergelyking van 'n raaklyn aan 'n sirkel

Bepaal die vergelyking vir die raaklyne aan die sirkel , gegewe dat beide ewewydig is aan die lyn .

Teken 'n skets

Die raaklyn aan die sirkel, ewewydig aan die lyn moet 'n gradiënt van hê. Uit die skets sien ons dat daar twee moontlike raaklyne is.

Bepaal die koördinate van en

Om die koördinate van en te bepaal, moet ons die vergelyking van die lyn, wat loodreg op en deur die middelpunt van die sirkel loop, vind. Dit is die loodregte lyn wat die sirkel sny by en .

Let op dat die lyn deur die middelpunt van die sirkel loop.

Om die koördinate van en te bepaal, vervang ons die reguitlyn in die vergelyking van die sirkel en los op vir :

Dit gee die punte en .

Bepaal die vergelykings van die raaklyne aan die sirkel

Raaklyn by :

Raaklyn by :

Die vergelyking van die raaklyn by punt is en die vergelyking van die raaklyn by punt is .

Uitgewerkte voorbeeld 15: Vergelyking van 'n raaklyn aan 'n sirkel

Bepaal die vergelykings van die raaklyne aan die sirkel vanaf die punt buite die sirkel.

Teken 'n skets

Oorweeg waar die twee raaklyne die sirkel gaan raak

Laat die twee raaklyne vanuit die sirkel by en raak.

Beskou en pas dan Pythagoras se stelling toe.

Nota: van die skets kan ons sien dat 'n negatiewe -koördinate moet hê, daarom moet ons die negatiewe vierkantswortel gebruik. Op 'n soortgelyke wyse moet 'n positiewe koördinaat hê, daarom gebruik ons die positiewe vorm van die vierkantswortel.

Dit gee die punte en

Raaklyn by :

Raaklyn by :

Skryf die finale antwoord neer

Die vergelykings van die raaklyne aan die sirkel is en .

Video: 2BN6

Oefening 7.5Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

'n Sirkel met middelpunt en die punt op die sirkel word gegee. Bepaal die gradiënt van die radius na hierdie punt.

Gegee

die middelpunt van die sirkel is

'n punt op die omtrek van die sirkel

Gevra:

die gradiënt van die radius,

Die gradiënt van die radius is .

Bepaal die gradiënt van die raaklyn aan die sirkel by die punt .

Die raaklyn aan die sirkel by die punt is loodreg op die radius van die sirkel by dieselfde punt: .

Die gradiënt vir die raaklyn is .

Gegee die vergelyking vir die sirkel:

Vind die gradiënt van die radius by die punt op die sirkel.

Gegee

die vergelyking van die sirkel

'n punt op die omtrek van die sirkel

Gevra:

die gradiënt van die radius,

Die koördinate van die middelpunt van die sirkel is .

Teken 'n rowwe skets:

Die gradiënt van die radius is .

Bepaal die gradiënt van die raaklyn aan die sirkel by die punt .

Gegee:

Die raaklyn aan die sirkel by die punt is loodreg op die radius, dus is

Die gradiënt vir die raaklyn is .

Gegee 'n sirkel met die middelpuntkoördinate . Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by die punt .

Die raaklyn is loodreg op die radius dus is .

Skryf die vergelyking vir 'n reguitlyn neer en vervang en .

Die vergelyking vir die raaklyn aan die sirkel is .

Gegee die diagram hieronder:

Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel met middelpunt by die punt .

Gegee

die middelpunt van die sirkel is

'n punt op die omtrek van die sirkel is

Gevra:

die vergelyking vir die raaklyn aan die sirkel in die vorm

Bereken die gradiënt van die radius:

Vergelyking van die raaklyn:

Die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by die punt , is:

Gegee die punt op die sirkel . Vind die vergelyking van die raaklyn by .

Gegee

die vergelyking van die sirkel

'n punt op die omtrek van die sirkel

Gevra:

die vergelyking in die vorm

Die koördinate van die middelpunt van die sirkel is .

Die gradiënt van die radius:

Vergelyking van die raaklyn:

Die vergelyking van die raaklyn is

Bepaal die vergelyking van die sirkel.

Gebruik die afstandformule om die lengte van die radius te bepaal:

Skryf die algemene vergelyking van 'n sirkel en vervang en :

Die vergelyking van die sirkel is .

Bepaal die waarde van .

Vervang die en los op vir die waarde.

Die oplossing wys dat of . Vanuit die grafiek sien ons dat die -koördinaat van positief moet wees, daarom is .

Bepaal die vergelyking vir die raaklyn aan die sirkel by punt .

Bereken die gradiënt van die radius:

Die radius is loodreg op die raaklyn, dus .

Die vergelyking van die raaklyn aan 'n sirkel by die punt , is:

Die reguitlyn sny die sirkel by en .

Bereken die koördinate van en .

Vervang die reguitlyn in die vergelyking van die sirkel en los op vir :

Dit gee die punte en .

Bepaal die lengte van .

Bepaal die koördinate van , die middelpunt van koord .

As die middelpunt van die sirkel is, wys dat .

Bepaal die vergelykings van die raaklyne aan die sirkel by en .

Raaklyn by :

Bepaal die gradiënt van die radius .

Laat die gradiënt van die raaklyn by wees. Die raaklyn aan 'n sirkel is loodreg op die radius, daarom kan ons skryf:

Vervang en in die vergelyking vir 'n reguitlyn.

Raaklyn by :

Bepaal die gradiënt van die radius .

Laat die gradiënt van die raaklyn by wees. Die raaklyn aan 'n sirkel is loodreg op die radius, daarom kan ons skryf:

Vervang en in die vergelyking vir 'n reguitlyn.

Daarom is die vergelykings vir die raaklyn aan die sirkels en .

Bepaal die koördinate van , die punt waar die twee raaklyne kruis.

Stel die twee lineêre vergelykings gelyk en los op vir :

Dit gee die punt .

Wys dat .

Bepaal die vergelykings van die twee raaklyne aan die sirkel, beide ewewydig aan die lyn .

Die raaklyn by , , is ewewydig aan . Om die vergelyking van die tweede ewewydige raaklyn te vind:

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

7.4 Opsomming (EMFCPG)

Video: 2BNG

Pythagoras se stelling: |
Afstandformule: |
Gradiënt: |
Middelpunt van 'n lynsegment: |
Punte op 'n reguitlyn: |

Reguitlyn vergelykings: | Formules:
Tweepuntvorm: |
Gradiënt-puntvorm: |
Gradiënt-afsnitvorm: |
Horisontale lyne: |
Vertikale lyne: |

Ewewydige lyne |  |  |
Loodregte lyne |  |  |

Helling van 'n reguitlyn: die gradiënt van 'n reguitlyn is gelyk aan die raaklyn van die hoek gevorm tussen die lyn en die positiewe rigting van die -as.

Vergelyking van 'n sirkel met die middelpunt by die oorsprong:

As 'n punt op die sirkel met middelpunt en radius is, dan is die vergelyking van die sirkel:

Algemene vergelyking van 'n sirkel met middelpunt by :

As 'n punt op die sirkel met middelpunt en radius is, dan is die vergelyking van die sirkel:

'n Raaklyn is 'n reguitlyn wat die omtrek van 'n sirkel by net een punt raak.

Die radius van 'n sirkel is loodreg op die raaklyn by die punt van aanraking.

Oefening 7.6Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Vind die vergelyking van die sirkel:

met middelpunt en radius

met middelpunt en radius

met middelpunt en radius

met middelpunt en middellyn

met middelpunt en radius

Vind die vergelyking van die sirkel met middelpunt wat deur gaan.

Waar sny dit die lyn ?

Vind die vergelyking van die sirkel met middelpunt wat deur gaan.

Vind die vergelyking van die sirkel met middelpunt wat deur gaan.

Vind die middelpunt en radius van die volgende sirkels:

, eenhede

, eenhede

, eenhede

, eenhede

, eenhede

Vind die en afsnitte van die volgende grafieke:

Vind die middelpunt en radius van die volgende sirkels:

Die middelpunt van die sirkel is en eenhede.

Die middelpunt van die sirkel is en eenhede.

Die middelpunt van die sirkel is en eenhede.

Die middelpunt van die sirkel is en eenhede.

Die middelpunt van die sirkel is en eenhede.

Die middelpunt van die sirkel is en eenhede.

Vind die gradiënt van die radius tussen die punt op die sirkel en die middelpunt .

Gegee

die middelpunt van die sirkel is

'n punt op die omtrek van die sirkel

Gevra:

die gradiënt van die radius

Die gradiënt van die radius is .

Vind die gradiënt van die raaklyn aan die sirkel by die punt .

Die raaklyn aan die sirkel by die punt is loodreg op die radius van die sirkel by dieselfde punt:

Die gradiënt vir die raaklyn is .

Gegee , bepaal die waarde(s) van as op die sirkel lê.

Die punte en lê op die sirkel.

Vind die gradiënt van die raaklyn aan die sirkel by die punt .

Die gradiënt van die raaklyn is .

Gegee 'n sirkel met middelpuntkoördinate . Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by die punt .

Die radius is loodreg op die raaklyn, daarom :

Vervang en om te bepaal:

Die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by die punt is .

Beskou die diagram hieronder:

Vind die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by die punt .

Bepaal die -afsnit () van die lyn deur die punt te vervang.

Die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by is

is 'n punt op die sirkel . Bepaal die vergelyking van die raaklyn by .

Voltooi die kwadraat:

Daarom is die middelpunt van die sirkel en eenhede.

Bereken die gradiënt van die radius:

Bepaal die -afsnit van die lyn deur die punt te vervang.

Die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by die punt is

Vind die vergelyking vir die sirkel wat gegee is.

Die vergelyking van die sirkel is .

Bepaal die waarde van .

Vanaf die grafiek kan ons sien dat die regte -waarde is.

Die koördinate vir punt is .

Bepaal die vergelyking vir die raaklyn aan die sirkel by punt .

.

Bepaal die -afsnit van die lyn deur die punt te vervang.

Die vergelyking vir die raaklyn aan die sirkel by is .

Vind die vergelyking van die raaklyn aan elke sirkel:

by die punt

Die middelpunt van die sirkel is en eenhede.

Die vergelyking vir die raaklyn aan die sirkel is .

by die punt

Die middelpunt van die sirkel is en eenhede.

Die vergelyking vir die raaklyn aan die sirkel is .

by die punt

Die middelpunt van die sirkel is en eenhede.

Die vergelyking vir die raaklyn aan die sirkel is .

by die punt

Die middelpunt van die sirkel is en eenhede.

Die vergelyking vir die raaklyn aan die sirkel is .

Bepaal die vergelykings van die raaklyne aan die sirkel , as beide lyne 'n inklinasiehoek van het.

Die middelpunt van die sirkel is en eenhede.

Gradiënt van die raaklyne:

Die lyn loodreg op die raaklyne wat deur die middelpunt van die sirkel gaan is . Vervang in die vergelyking van die sirkel en los op vir :

Dit gee die punte en

Raaklyn by

Raaklyn by

Die vergelykings van die raaklyne aan die sirkel is en .

Die sirkel met middelpunt het 'n raaklyn by punt . Die vergelyking van is en lê op die -as.

Bepaal die vergelyking van .

Bepaal die koördinate van .

Stel die twee vergelykings gelyk en los op vir :

Bepaal die vergelyking van die sirkel.

Beskryf in woorde hoe die sirkel geskuif moet word sodat by die oorsprong is.

Die sirkel moet eenhede af en eenhede na links geskuif word.

As die lengte van verdriedubbel word en die sirkel eenhede na regs en eenheid opgeskuif word, bepaal die vergelyking van die nuwe sirkel.

Die vergelyking van 'n sirkel met middelpunt is en die vergelyking vir 'n sirkel met middelpunt is . Bewys dat die twee sirkels aan mekaar raak.

Daarom raak die twee sirkels aan mekaar.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Hoofstuk 8: Euklidiese Meetkunde

Sketse is waardevolle en belangrike hulpmiddels. Moedig leerders aan om akkurate diagramme te teken om te help om probleme op te los.

Dit is belangrik om te beklemtoon dat verhouding van sye geen aanduiding is van werklike lengte nie. Dit dui slegs die verhouding tussen lengtes aan.

Om te bewys dat driehoeke gelykvormig is, moet ons aantoon dat twee pare hoeke (HHH) gelyk is OF dat drie pare sye in verhouding is (SSS).

Stellings is eksamineerbaar en word altyd gevra in eksamens. Dit is ook belangrik dat leerders die regte konstruksie, wat benodig word by elke bewys, sal onthou.

Notasie: beklemtoon die belangrikheid van die korrekte volgorde van die letters, aangesien dit aandui watter hoeke gelyk is en watter sye in verhouding is.

As 'n lengte bereken moet word vanaf 'n verhouding, help dit om die verhouding te herskryf met die onbekende lengte in die linker boonste posisie in die verhouding.

8.1 Hersiening (EMFCPH)

Tipes driehoeke (EMFCPJ)

Naam

Diagram

Eienskappe

Ongelyksydig

Alle sye en hoeke is verskillend.

Gelykbenig

Twee sye is ewe lank. Die hoeke teenoor die gelyke sye is ook ewe groot.

Gelyksydig

Al drie sye is ewe lank en al drie hoeke is ewe groot.

Skerphoekig

Elk van die drie binnehoeke is kleiner as .

Stomphoekig

Een binnehoek is groter as .

Reghoekig

Een binnehoek is .

Kongruente driehoeke (EMFCPK)

Voorwaarde

Diagram

SSS

(sy, sy, sy)

SHS

(sy, ingeslote hoek, sy)

HHS

(hoek, hoek, sy)

RSS

(, skuinssy, sy)

Gelykvormige driehoeke (EMFCPM)

Voorwaarde

Diagram

HHH

(hoek, hoek, hoek)

SSS

(sye in verhouding)

Sirkelmeetkunde (EMFCPN)

As die middelpunt is en , dan is .

As die middelpunt is en , dan is .

As en , dan gaan deur middelpunt .

As 'n boog 'n hoek by die middelpunt van 'n sirkel onderspan, dan is die hoek by die middelpunt tweemaal die grootte van die hoek by die omtrek.

Hoeke op die omtrek wat onderspan word deur boë van gelyke lengte (of deur dieselfde boog) is ewe groot.

Koordevierhoeke (EMFCPP)

As die vier sye van 'n vierhoek koorde is van 'n sirkel met middelpunt , dan is:

Rede: (teenoorst. e koordevierhoek supp.)

Rede: (teenoorst. e koordevierhoek supp.)

Rede: (buite koordevierhoek = teenoorst. binne )

Rede: (regoorst. e, buite koordevierhoek)

Om te bewys 'n vierhoek is 'n koordevierhoek:

As of , dan is 'n koordevierhoek.

As of , dan is 'n koordevierhoek.

As of , dan is 'n koordevierhoek.

Raaklyne aan 'n sirkel (EMFCPQ)

'n Raaklyn is loodreg op die radius (), getrek na die punt van kontak met die sirkel.

As en raaklyne is aan 'n sirkel met middelpunt , dan is:

(raaklyn radius)

(raaklyn radius)

(raaklyne vanaf dieselfde punt is ewe lank)

As 'n raaklyn is, dan is en .

As of , dan is 'n raaklyn wat raak by .

Die middelpuntstelling (EMFCPR)

Die lyn wat die middelpunte van twee sye van 'n driehoek verbind, is ewewydig aan die derde sy en gelyk aan die helfte van die lengte van die derde sy.

Gegewe en , kan ons aflei dat en .

Oefening 8.1 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

in 'n sirkel met middelpunt . en . Bereken die waarde van , met opgaaf van redes.

is die middelpunt van die sirkel met en koord .

Bepaal die lengtes van:

is 'n middellyn van die sirkel met middelpunt . halveer en .

Skryf nog twee hoeke neer wat ook gelyk is aan .

Bereken in terme van en gee redes.

Bewys dat 'n middelloodlyn is van .

is 'n middellyn van die sirkel met die middelpunt . en .

Bereken die waardes van die volgende hoeke, met redes:

is die middelpunt van die sirkel met middellyn . by en koord halveer by .

Bewys die volgende:

in die sirkel met middelpunt word verleng na sodat . Druk uit in terme van .

In die sirkel met middelpunt , , en . Bepaal die lengte van .

is 'n middellyn van die sirkel met middelpunt . word verleng na en is 'n raaklyn aan die sirkel. en is 'n reguitlyn.

Bewys die volgende:

is 'n koordevierhoek

en is raaklyne aan die sirkel met middelpunt . is 'n punt op die omtrek en .

Druk die volgende uit in terme van en gee redes:

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

8.2 Verhouding en eweredigheid (EMFCPS)

Verhouding

'n Verhouding beskryf die verwantskap tussen twee hoeveelhede met dieselfde eenhede. Ons kan verhoudings gebruik om massas, hoogtes, lengtes, geldeenhede ens. te vergelyk. 'n Verhouding is 'n verwantskap tussen twee hoeveelhede van dieselfde soort en dit het geen eenhede nie.

Voorbeeld: as die lengte van 'n reghoek is en die breedte is, dan kan ons die verhouding tussen die lengte en die breedte van die reghoek uitdruk as:

Die verhouding van beskryf die lengte van die reghoek relatief tot die breedte.

'n Verhouding wat geskryf word as 'n breuk word gewoonlik in die eenvoudigste vorm gegee.

'n Verhouding gee geen aanduiding van werklike lengte nie. Byvoorbeeld,

Moenie 'n verhouding omskakel na 'n desimale getal nie (alhoewel en dieselfde numeriese waarde het).

Eweredigheid

Voorspel lengtes

'n Opname van lengtes word gegee.

As die verhouding tot is, voltooi die volgende tabel:

Naam | Lengte op 2 jaar oud | Lengte as volwassene
Hendrik |  |
Kagiso |  |
Linda |  |
Mandisa |  |
Prashna |  |

Beskou die diagram hieronder:

As twee of meer verhoudings gelyk is aan mekaar, dan sê ons dat dit eweredige verhoudings is. Eweredigheid beskryf die gelykheid van verhoudings.

As , dan is en in dieselfde verhouding as en .

Gegee

Die lynsegmente en is in dieselfde verhouding as en . Die volgende bewerings is ook waar:

Eweredigheid
Omgekeerde verhouding of resiproke
Kruisvermenigvuldiging

Ons kan ook , , , en vervang om algebraïes te wys dat die bewerings waar is.

Byvoorbeeld,

Oefening 8.2Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Los op vir :

'n Pak met lekkers bevat rooi, blou en geel lekkers in die verhouding onderskeidelik. Bepaal hoeveel lekkers van elke kleur daar in die pak is.

'n Mengsel bevat dele van substans vir elke dele van substans . As die totale massa van die mengsel is, bepaal hoeveel van substans is in die mengsel (korrek tot desimale plekke).

Gegee die diagram hieronder.

Wys dat:

Beskou die lynsegment hieronder getoon.

Druk die volgende uit in terme van en :

is 'n parallelogram met , en .

Bereken die verhouding .

Die area van 'n parallelogram basis hoogte:

Die omtrek van 'n parallelogram .

Om die lengte van te vind, gebruik ons en die stelling van Pythagoras.

en verdeel in die verhouding . Bepaal en .

As en die verhouding van is , bereken en .

Luke se biologie aantekeningboek is lank en breed. Die afmetings van sy lessenaar is in dieselfde verhouding as die afmetings van sy aantekeningboek.

As die lessenaar breed is, bereken die bo-oppervlakte van sy lessenaar.

Luke bedek elke hoek van sy lessenaar met 'n gelykbenige driehoek van karton, soos getoon in die diagram:

Bereken die nuwe omtrek en die oppervlakte van die sigbare gedeelte van die lessenaar.

Gebruik hierdie nuwe oppervlakte en bereken die afmetings van 'n vierkantige lessenaar wat hierdie oppervlakte sou hê.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

8.3 Poligone (EMFCPT)

Eweredigheid in poligone

'n Poligoon is 'n geslote vlak of vorm wat bestaan uit drie of meer lynsegmente.

In vorige grade het ons die eienskappe van die volgende poligone bestudeer:

Driehoek |  | Area
Parallelogram |  | Area
Reghoek |  | Area
Rombus of ruit |  | Area

Vierkant |  | Area
Trapesium |  | Area
Vlieër |  | Area

Uitgewerkte voorbeeld 1: Eienskappe van poligone

is 'n ruit met en .

Bereken die volgende (korrek tot twee desimale plekke) en verskaf redes:

Lengte van .

Lengte van .

Area van .

Gebruik die verhouding om die lengte te bepaal van

Bereken die lengte van

Ons gebruik die eienskappe van 'n ruit en die stelling van Pythagoras om te vind.

Bepaal die oppervlakte van die ruit

Oefening 8.3Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

is 'n reghoek met en .

Bereken (korrek tot twee desimale plekke)

.

Bereken die area van (korrek tot desimale plekke).

Beskou trapesium hieronder. As en die area van , bereken .

is 'n rombus met sylengtes van millimeters. Die hoeklyne halveer mekaar by en die lengte van millimeters. Druk die area van uit in terme van .

In die diagram hieronder is 'n vlieër met , en .

Bepaal (korrek tot die naaste heelgetal).

Bereken area .

is 'n rombus. is die middelpunt van en is die middelpunt van . Bewys dat ook 'n rombus is.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

8.4 Driehoeke (EMFCPV)

Eweredigheid van driehoeke (EMFCPW)

In die diagram hieronder het en dieselfde hoogte aangesien die twee driehoeke tussen dieselfde ewewydige lyne lê .

Driehoeke met gelyke hoogtes het oppervlaktes wat eweredig is aan hulle basisse.

en het dieselfde basis en dieselfde hoogte aangesien beide driehoeke tussen dieselfde ewewydige lyne lê.

Driehoeke met gelyke basisse en tussen dieselfde ewewydige lyne is gelyk in oppervlakte.

en het dieselfde basis en is gelyk in oppervlakte.

Driehoeke aan dieselfde kant van dieselfde basis en wat gelyk is in oppervlakte, lê tussen dieselfde ewewydige lyne.

Uitgewerkte voorbeeld 2: Eweredigheid van driehoeke

Gegee parallelogram met verleng na . , en .

Bereken .

As , toon dat .

Bepaal die lengte van

Ons gebruik die formule vir die oppervlakte van 'n parallelogram om te bereken.

Gebruik eweredigheid om te wys dat

Ons word die verhouding gegee .

Oefening 8.4Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Die diagram hieronder toon drie ewewydige lyne wat gesny word deur twee snylyne en sodat .

Bepaal:

Ons word gegee dat , wat ons as 'n breuk kan skryf en vereenvoudig:

Die lengtes van en , as dit gegee is dat .

Ons kan nie die lengte van bepaal nie aangesien ons nie weet wat die lengte is van of nie. Ons weet slegs dat .

In reghoekige , word ewewydig aan getrek met die middelpunt van . en . Bepaal en .

Gebruik die stelling van Pythagoras om te bepaal.

Gegee trapesium met en .

Bewys dat vir halveer.

Bewys dat die twee hoeklyne ewe lank is.

As , toon dat die oppervlakte .

In die diagram hieronder, word gegee met .

Toon dat die area .

In Graad het ons die middelpuntstelling bewys deur gebruik te maak van kongruente driehoeke.

Voltooi die volgende bewoording van die middelpuntstelling:

"Die lyn wat van 'n driehoek verbind, is aan die derde sy en gelyk aan "

"Die lyn wat die die middelpunte van twee sye van 'n driehoek verbind, is ewewydig aan die derde sy en gelyk aan helfte van die lengte van die derde sy."

In , is en die middelpunte van en onderskeidelik. Bewys .

Wenk: maak 'n konstruksie deur en te trek.

Skryf die omgekeerde van die middelpuntstelling neer.

Omgekeerde: 'n lyn deur die middelpunt van een sy van 'n driehoek, ewewydig aan die tweede sy, halveer die derde sy.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Theorem: Eweredigheidstelling

'n Lyn wat ewewydig getrek word aan een sy van 'n driehoek, verdeel die ander twee sye van die driehoek eweredig.

(Rede: lyn aan een sy )

met lyn

Trek vanaf loodreg op , en vanaf loodreg op .

Trek en .

Soortgelyk, gebruik ons dieselfde metode om te toon dat:

Omgekeerde: eweredigheidstelling

As 'n lyn twee sye van 'n driehoek in dieselfde verhouding verdeel, dan is die lyn ewewydig aan die derde sy.

(Rede: lyn verdeel sye eweredig)

Uitgewerkte voorbeeld 3: Eweredigheidstelling

In , , en . As , en , bepaal die waardes van en , met opgaaf van redes.

Gebruik die eweredigheidstelling om die waardes van en te bepaal.

Beskou :

Beskou :

Spesiale geval: die middelpuntstelling

Die middelpuntstelling is 'n afleiding van die eweredigheidstelling: die lyn wat die middelpunte van twee sye van 'n driehoek verbind, is ewewydig aan die derde sy en gelyk aan die helfte van die lengte van die derde sy.

As en , dan en .

Ons weet ook dat .

Omgekeerde middelpuntstelling

Die lyn wat getrek word vanaf die middelpunt van een sy van 'n driehoek, ewewydig aan 'n tweede sy, halveer die derde sy van die driehoek.

As en , dan is .

Oefening 8.5Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

In , en .

, .

Bereken .

Bereken .

Gebruik die gegewe diagram en bewys die eweredigheidstelling.

Gegee:

Gevra om te bewys:

Konstruksie:Trek en

Bewys: gebruik area van 's

In die diagram hieronder,

As , bereken (korrek tot twee desimale plekke).

Skryf die omgekeerde van die eweredigheidstelling neer en illustreer met 'n diagram.

Omgekeerde van die eweredigheidstelling: 'n lyn wat twee sye van 'n driehoek eweredig verdeel, sal ewewydig wees aan die derde sy.

In , is 'n punt op . is die middelpunt van , is die middelpunt van en is die middelpunt van .

Bewys dat 'n parallelogram is.

Beskou

Bewys dat .

Beskou

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

8.5 Gelykvormigheid (EMFCPX)

Gelykvormige poligone (EMFCPY)

Poligone is gelykvormig as hulle dieselfde vorm het, maar nie noodwendig dieselfde grootte nie. Met ander woorde, een poligoon is 'n vergroting van die ander. Kongruente poligone is ook gelykvormig aangesien hulle dieselfde vorm en dieselfde grootte het; slegs hulle posisie of oriëntasie is verskillend.

Twee poligone met dieselfde getal sye is gelykvormig wanneer:

Alle pare ooreenkomstige hoeke ewe groot is, en

Alle pare ooreenkomstig sye in dieselfde verhouding, of eweredig, is.

In die diagram hierbo, is poligoon gelykvormig aan poligoon as:

Voorwaarde 1:

EN

Voorwaarde 2:

Belangrik

Beide voorwaardes moet waar wees vir twee poligone om gelykvormig te wees.

As twee poligone gelykvormig is, weet ons dat beide voorwaardes waar is.

Uitgewerkte voorbeeld 4: Gelykvormige poligone

Poligone en is gelykvormig. Bepaal die waarde van .

Identifiseer pare ooreenkomstige hoeke

Aangesien die twee poligone gelykvormig is,

Oefening 8.6Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal of die volgende poligone gelykvormig is of nie en gee redes.

Soortgelyk, al die hoeke en die sye is in dieselfde verhouding.

Nie genoeg inligting word gegee nie. Ooreenkomstige hoeke is gelyk.

Nie gelykvormig nie, sye is nie in dieselfde verhouding nie.

Is die volgende bewerings waar of onwaar? Indien onwaar, gee redes of trek 'n toepaslike diagram.

Alle vierkante is gelykvormig.

Waar

Alle reghoeke is gelykvormig.

Onwaar. Pare oorkomstige sye is nie noodwendig in dieselfde verhouding nie.

Alle ruite is gelykvormig.

Onwaar. Ooreenkomstige hoeke is nie noodwendig ewe groot nie.

Alle kongruente poligone is gelykvormig.

Waar

Alle gelykvormige poligone is kongruent.

Onwaar. Ooreenkomstige hoeke is ewe groot maar dit is nie noodwendig waar dat ooreenkomstige sye ewe lank is nie.

Alle kongruente driehoeke is gelykvormig.

Waar

Gelykbenige driehoeke is gelykvormig.

Onwaar. Ooreenkomstige hoeke is nie noodwendig ewe groot nie en pare ooreenkomstige sye is nie noodwendig in dieselfde verhouding nie.

Gelyksydige driehoeke is gelykvormig.

Waar

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Gelykvormigheid van driehoeke (EMFCPZ)

Om te bewys dat twee poligone gelykvormig is, moet ons aantoon dat twee stelle voorwaardes geld: (a) alle pare ooreenkomstige hoeke is ewe groot en (b) alle pare ooreenkomstige sye is in dieselfde verhouding,

Om te bewys dat twee driehoeke gelykvormig is, moet ons slegs aantoon dat een van die voorwaardes waar is. As een van die voorwaardes waar is vir twee driehoeke, dan is die ander voorwaarde noodwendig ook waar.

Theorem: Gelykhoekige driehoeke is gelykvormig

Gelykhoekige driehoeke is gelykvormig.

(Rede: gelykhoekig e)

en met ; ;

Konstruksie: merk op sodat , en merk op sodat .

In en

Soortgelyk, deur te konstrueer op sodat , en merk op sodat .

Dus, gelykhoekige driehoeke is gelykvormig.

Notasie

Die simbool vir kongruensie is .

Die simbool vir gelykvormigheid is .

Wees noukeurig om gelykvormige driehoeke korrek te benoem.

Byvoorbeeld, as , en , dan is .

Moenie skryf nie.

dui ook aan watter sye van die driehoeke eweredig is:

Bewys gelykhoekige driehoeke is gelykvormig:

Die som van die binnehoeke van enige driehoek is . As ons weet dat twee pare hoeke gelyk is, dan sal die oorblywende hoeke in elke driehoek ook gelyk wees. Dus die twee driehoeke is gelykvormig.

Met ander woorde, as ons wil bewys dat twee driehoeke gelykhoekig is, hoef ons slegs aan te toon dat twee paar hoeke gelyk is.

Uitgewerkte voorbeeld 5: Gelykvormigheid van driehoeke

Bewys dat gelykvormig is aan .

Bereken die onbekende hoeke in elke driehoek

Bewys dat die twee driehoeke gelykvormig is

Oefening 8.7Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

In die diagram hieronder is .

Bewys dat .

In

As , bereken die lengte van (korrek tot een desimale plek).

In

In sirkel ,

Bewys dat .

In :

Bewys dat .

As , bereken die radius van sirkel (korrek tot een desimale plek).

Gegewe die figuur met die volgende sylengtes, vind , en .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Theorem: Driehoeke met eweredige sye, is gelykvormig

As die ooreenkomstige sye van twee driehoeke eweredig is, is die twee driehoeke gelykvormig.

(Rede: sye van e in verhouding)

en met

, en

Konstruksie: Trek sodat en .

Theorem: Driehoeke met twee pare sye eweredig en ingeslote hoeke gelyk, is gelykvormig (BEWYS NIE VIR EKSAMENDOELEINDES NIE)

As twee sye van een driehoek eweredig is aan twee sye van 'n ander driehoek en die ingeslote hoeke is gelyk, dan is die twee driehoeke gelykvormig.

(Rede: e met sye eweredig en ingeslote e gelyk)

en met en

en

Konstruksie: trek sodat en .

In en :

Om te bewys driehoeke met eweredige sye is gelykvormig:

Om te bewys die sye van twee driehoeke is eweredig, moet ons aantoon dat al drie pare ooreenkomstige sye in dieselfde verhouding is.

Uitgewerkte voorbeeld 6: Gelykvormigheid van driehoeke

Is in die diagram hieronder?

Toon berekeninge.

Beskou die diagram hieronder. Bepaal of of nie.

Toon berekeninge.

(Diagramme is nie op skaal geteken nie)

Ondersoek eweredigheid van en

Die volgorde waarin die driehoeke benoem is, dui aan watter pare sye eweredig is in gelykvormige driehoeke.

Ondersoek eweredigheid van en

Uitgewerkte voorbeeld 7: Gelykvormigheid van driehoeke

is 'n trapesium, met . Bewys dat .

Identifiseer driehoeke

Daar word van ons verwag om te bewys dat , wat ons ook kan skryf as die verhouding .

Om te bepaal watter twee driehoeke ons moet oorweeg, moet ons kyk na die gegewe lengtes in die verhouding.

Bewys die driehoeke is gelykhoekig

Gebruik eweredigheid

Oefening 8.8Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Oorweeg die diagram hieronder. eenhede en eenhede. Is ? Gee redes.

Ja, .

is 'n middellyn van die sirkel . word ewewydig aan getrek en ontmoet by .

As die radius is en , bereken die lengte van .

[NCS, Vraestel 3, November 2011]

OF

OF

is op die omtrek van die sirkel.

Bewys, met redes, dat:

In :

In :

'n parallelogram is met diagonale wat sny by . word ewewydig aan getrek. word verleng na sodat en word verleng na sodat .

[NCS, Vraestel 3, November 2011]

Toon dat die middelpunt is van .

Bewys dat .

OF

OF

As is, bereken die lengte van .

In en :

OF

In en :

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

8.6 Stelling van Pythagoras (EMFCQ2)

Baie verskillende bewyse vir die stelling van Pythagoras is oor die jare geformuleer. Gelykvormigheid van driehoeke is een metode wat 'n netjiese bewys vir hierdie belangrike stelling verskaf.

Theorem: Stelling van Pythagoras

Die vierkant op die skuinssy van 'n reghoekige driehoek is gelyk aan die som van die vierkante op die ander twee sye.

(Rede: Pythagoras in )

met

Konstruksie: trek .

Omgekeerde stelling van Pythagoras

As die vierkant op een sy van 'n driehoek gelyk is aan die som van die vierkante op die ander twee sye van die driehoek, dan is die hoek ingesluit deur hierdie twee sye 'n regte hoek.

Uitgewerkte voorbeeld 8: Stelling van Pythagoras

In , en . As en , bepaal en (korrek tot die naaste heelgetal).

Gebruik die stelling van Pythagoras om te bepaal

Gebruik eweredigheid om en te bepaal

Skryf die finale antwoord

en

As loodreg op getrek word in enige reghoekige driehoek , dan is:

Oefening 8.9Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

is 'n punt op 'n sirkel met middelpunt . en is die middelpunt van radius .

As die middellyn van die sirkel is, vind .

Los die antwoord in vereenvoudigde wortelvorm.

In , en . eenhede, eenhede, eenhede en eenhede. Bepaal en , en gee redes.

Koord van die sirkel met middelpunt sny reghoekig by punt .

Waarom is ?

In en :

As eenhede en eenhede, bereken die radius van die sirkel.

In :

In die diagram hieronder, is en raaklyne aan die sirkel met middelpunt en .

Bewys dat .

Bewys dat .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

8.7 Opsomming (EMFCQ3)

'n Verhouding beskryf die verwantskap tussen twee hoeveelhede met dieselfde eenhede.

As twee of meer verhoudings gelyk is aan mekaar , dan is en in dieselfde verhouding as en .

'n Poligoon is 'n geslote vlak wat bestaan uit drie of meer lynsegmente.

Driehoeke met gelyke hoogtes het oppervlaktes wat eweredig is aan hulle basisse.

Driehoeke met gelyke basisse en tussen dieselfde ewewydige lyne is gelyk in oppervlakte.

Driehoeke aan dieselfde kant van dieselfde basis en wat gelyk is in oppervlakte, lê tussen dieselfde ewewydige lyne.

'n Lyn wat ewewydig getrek word aan een sy van 'n driehoek, verdeel die ander twee sye van die driehoek eweredig.

Omgekeerde: eweredigheidstelling

As 'n lyn twee sye van 'n driehoek in dieselfde verhouding verdeel, dan is die lyn ewewydig aan die derde sy.

Spesiale geval: die middelpuntstelling

Die lyn wat die middelpunte van twee sye van 'n driehoek verbind, is ewewydig aan die derde sy en gelyk aan die helfte van die lengte van die derde sy.

As en , dan en .

Omgekeerde middelpuntstelling

Die lyn wat getrek word vanaf die middelpunt van een sy van 'n driehoek, ewewydig aan 'n tweede sy, halveer die derde sy van die driehoek.

As en , dan is .

Poligone is gelykvormig as hulle dieselfde vorm het maar verskil in grootte. Een poligoon is 'n vergroting van die ander.

Twee poligone met dieselfde getal sye is gelykvormig wanneer:

Alle pare ooreenkomstig hoeke ewe groot is, en

Alle pare ooreenkomstig sye in dieselfde verhouding, of eweredig, is.

As twee driehoeke gelykhoekig is, dan is die driehoeke gelykvormig.

Driehoeke met sye in verhouding is gelykhoekig en dus gelykvormig

Die vierkant op die skuinssy van 'n reghoekige driehoek is gelyk aan die som van die vierkante op die ander twee sye.

Omgekeerde stelling van Pythagoras

As die vierkant op een sy van 'n driehoek gelyk is aan die som van die vierkante op die ander twee sye van die driehoek, dan is die hoek ingesluit deur hierdie twee sye 'n regte hoek.

Oefening 8.10Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bereken

. Vind .

Deur die volgende figure en lengtes te gebruik, vind en (korrek tot een desimale plek).

en .

Vind in die volgende figure.

In , , en . Bepaal .

, , , .

Bereken die lengtes van , , , en , en vind die verhouding .

In , en . As en , bepaal en (korrek tot twee desimale plekke).

Gebruik die stelling van Pythagoras om te bepaal:

Gebruik eweredigheid om en te bepaal:

Gegewe die figuur met die volgende sylengtes, vind , en .

cm, cm, cm, en cm.

is 'n parallelogram met op .

verleng ontmoet verleng by . sny by .

Bewys dat .

In en :

Bewys dat .

In :

As en , bereken .

is 'n middellyn van sirkel . word verleng na sodat .

is 'n raaklyn aan die sirkel en . verleng ontmoet by .

Bewys dat

is 'n koordevierhoek

In en :

In en :

'n middellyn is van sirkel . .

.

Bewys dat .

Lei vervolgens af dat .

is 'n middellyn van die sirkel met middelpunt . Koord word verleng na . Koord verleng, ontmoet raaklyn by . .

[NCS, Vraestel 3, November 2011]

Bereken die grootte van .

Vind .

OF

Bepaal die grootte van .

Bewys dat .

OF

OF

OF

OF

In en

is 'n koordevierhoek en

is 'n raaklyn aan die sirkel by . en is reguitlyne.

Bewys:

In en :

is 'n raaklyn aan sirkel by . Koord word verleng na . Koord sny koord by en koord by . en . Laat en .

[NCS, Vraestel 3, November 2011]

Vind DRIE ander hoeke wat ook gelyk is aan .

Bewys dat .

In en

Vervolgens, of andersins, bewys dat .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Hoofstuk 9: Statistiek

Leerders kan baie maklik deurmekaar raak met die formules in hierdie hoofstuk. Verduidelik deeglik wat die betekenis van elke simbool in die formule is en maak seker die leerders is bekend met die optellings-notasie.

Doen berekenings eers per hand sodat die leerders al die sleutel konsepte goed verstaan.

Vaardigheid in die gebruik van sakrekenaars is noodsaaklik in hierdie hoofstuk. Die stappe vir die gebruik van SHARP en CASIO sakrekenaars word gewys, maar 'n praktiese demonstrasie is dalk nodig.

Die formule vir 'n populasie variansie en populasie standaardafwyking word gebruik en nie die formules vir 'n steekproef nie.

Berekening van die korrelasiekoëffisiënt vereis die gebruik van die steekproef standaardafwyking, maar die konsepte steekproef en populasie word nie gedek in die CAPS dokument nie. Die formule om die korrelasiekoëffisiënt in hierdie hoofstuk te bereken, is dus en sal dus nie leerders verwar nie. Die regte formule is egter , omdat dit egter 'n ratio(verhouding) is, sal die verskil in noemers tussen die populasie standaardafwyking en die steekproef standaardafwyking mekaar uitkanselleer. Neem kennis dat daar ook ander formules vir die korrelasiekoëffisiënt is, maar dit moet vermy word aangesien die gebruik van die populasie standaardafwyking sal lei tot foutiewe resultate.

Bespreek die verkeerde gebuik van statistiek in die wêreld en moedig hulle aan om daarop te let.

9.1 Hersiening (EMFCQ4)

Woordeskat (EMFCQ5)

Maatstawwe van sentrale neiging/tendens:

Voorsien inligting oor data waardes in die middel van die data versameling.

Die gemiddeld is die 'gemiddelde' waarde van die data versameling. Dit word bereken as waar die die data is en die aantal data inskrywings is. Ons lees as “x streep”.

Die mediaan is die middelste waarde van 'n geordende data versameling. Om die mediaan te bepaal, moet die data eers in stygende of dalende orde gerangskik word en dan kies ons die waarde in die middel van hierdie gesorteerde data. As die middel tussen twee waardes lê, is die mediaan die gemiddeld van daardie twee waardes.

Maatstawwe van verspreiding:

Dit vertel ons hoe verspreid die data versameling is. As die maatstaf van verspreiding klein is, is die data gekonsentreerd in 'n klein gebied. As die maatstaf van verpreiding groot is, is die data versprei oor 'n groot gebied.

Die omvang is die verskil tussen die maksimum en minimum waardes van die data versameling.

Die interkwartielomvang is die verskil tussen die eerste en derde kwartiele van die data versameling. Die kwartiele word op 'n soorgelyke manier as die mediaan bereken. Die mediaan is halfpad in die geordende data versameling en word soms ook die tweede kwartiel genoem. Die eerste kwartiel is kwartpad in die data versameling, terwyl die derde kwartiel driekwartpad in die data versameling is.

As jy jou geordende data versameling begin nommer by 1, is die formule vir die posisie van elke kwartiel die volgende:

Die variansie van die data is die gemiddelde kwadraat van die verskil of afstand tussen die gemiddelde en elke waarde in die data.

Die variansie van die data is in 'n populasie van elemente, , met 'n gemiddelde van .

Die standaardafwyking meet hoe verspreid die waardes in die data versameling rondom die gemiddelde is. Om meer presies te wees, dit is 'n maatstaf van die gemiddelde afstand tussen die waardes van die data in die versameling en die gemiddelde.

Die standaardafwyking is in 'n populasie van elemente, , met 'n gemiddelde van .

Die vyfgetal opsomming kombineer 'n maatstaf van sentrale neiging, die mediaan, met maatstawe van verspreiding, naamlik die omvang en die interkwartielomvang. Om meer presies te wees, die vyfgetal opsomming word in die volgorde geskryf:

minimum

eerste kwartiel

mediaan

derde kwartiel

maksimum

Die vyfgetal opsomming word dikwels visueel voorgestel deur gebruik te maak van 'n mond-en-snordiagram, wat hieronder geïllustreer word.

Video: 2BSD

Uitgewerkte voorbeeld 1: Vyfgetal opsomming

Trek 'n mond-en-snordiagram vir die volgende data versameling:

Bepaal die minimum en maksimum

Omdat die data reeds georden is, is die eerste waarde die minimum van () en die laaste waarde is die maksimum ().

Bepaal die kwartiele

Daar is waardes in die data versameling. Ons kan die figuur hieronder of die formules gebruik om te bepaal waar die kwartiele geleë is.

Deur die figuur hierbo te gebruik, kan ons sien die mediaan is tussen die sesde en sewende waardes geleë. Ons kan dit bevestig deur die gebruik van die formule: Dus is die waarde van die mediaan

Die eerste kwartiel lê tussen die derde en vierde waardes. Ons kan dit bevestig deur die volgende formule te gebruik: Dus is die waarde van die eerste kwartiel

Die derde kwartiel lê tussen die negende en tiende waardes. Ons kan dit bevestig deur die gebruik van die formule: Dus is die waarde van die derde kwartiel

Trek 'n mond-en-snordiagram

Die vyfgetal opsomming is dus nou (; ; ; ; ). Die mond-en-snordiagram wat hierdie vyfpunt opsomming voorstel, word hieronder gegee.

Video: 2BSF

Uitgewerkte voorbeeld 2: Die formule vir 'n populasie variansie en populasie standaardafwyking word gebruik en nie die formules vir 'n steekproef nie

Jy skiet 'n munt keer op en dit land keer op kop. Jy gebruik dieselfde munt en doen nog opskiete. Hierdie keer land dit keer op kop. Jy herhaal die eksperiment keer en kry die volgende resultate vir die landing op kop:

Vir die data versameling hierbo:

Bereken die gemiddelde.

Gebruik 'n tabel en bereken die variansie en standaardafwyking.

Toets jou antwoorde vir variansie en standaardafwyking deur gebruik te maak van 'n sakrekenaar.

Bereken die gemiddelde

Die formule vir die gemiddelde is

In hierdie geval bepaal ons die som van die data en deel dit met om die te kry.

Bereken die variansie deur van 'n tabel gebruik te maak

Die formule vir die variansie is

Ons trek eers die gemiddelde van elke data punt af en kwadreer dan die resultaat.

Die variansie is die som van die laaste kolom van die tabel, gedeel deur , dus is .

Bereken die variansie deur gebruik te maak van die sakrekenaar

Gebruik van die SHARP EL-531VH sakrekenaar

As jy jou sakrekenaar gebruik, moet jy die modus verander na "Stat" ”. Jy doen dit deur [2ndF] en dan [1] te druk. Dit stel jou in staat om eenvariant data in te tik.

Sleutel die data in, ry vir ry:

Sleutel in:

Druk:

Sien:

44

DATA

n =

49

DATA

n =

52

DATA

n =

62

DATA

n =

53

DATA

n =

48

DATA

n =

54

DATA

n =

49

DATA

n =

46

DATA

n =

51

DATA

n =

Let op: Die [DATA] sleutel is dieselfde as die [M+] sleutel.

Kry die waarde van :

Druk:

Druk:

Sien:

RCL

Gebruik van die CASIO -82ZA PLUS sakrekenaar:

Skakel die sakrekenaar aan. Druk [MODE] en kies dan STAT deur [2] te druk. Die volgende sal op die skerm verskyn:

1

2

3

4

5

6

7

8

Druk nou [1] vir variansie en standaardafwyking. Jou skerm moet nou soos volg lyk:

1

2

3

Druk [44] en dan [] om die eerste -waarde in te sleutel onder . Sleutel dan al die waardes op dieselfde manier in.

1

44

2

49

3

52

Druk dan [AC]. Die skerm sal skoon wees, maar al die data sal gestoor wees.

Druk nou [SHIFT][1] om die statistiese berekening op die skerm wat hieronder vertoon word, te kry.

1:

Tik

2

Data

3:

Som

4:

Var

5:

Min/Maks

Kies variansie deur [4] te druk.

1:

n

2

3:

4:

s

Kry die waarde van :

Druk [3] en [=] om die waarde van te kry

Simmetriese en skeefgetrekte data (EMFCQ6)

Verlede jaar het julle van drie vorme van verspreiding geleer: simmetries, skeef na links en skeef na regs.

'n Simmetries verspreiding is waar die data links van die mediaan balanseer met die data regs van die mediaan. Die histogram hieronder is 'n tipiese voorbeeld van 'n simmetriese verspreiding.

Vir 'n simmetriese verspreiding is die gemiddelde omtrent gelyk aan die mediaan en die linkerkantse en regterkantse sterte is gebalanseerd, wat beteken dat hulle omtrent dieselfde lengte het.

As groot getalle data van 'n populasie versamel word, sal 'n grafiek omtrent altyd 'n klokvorm hê. As die data eksamenuitslae was, sal 'n paar leerders gewoonlik baie hoë punte behaal, 'n paar leerders baie lae punte en die meeste leerders se punte sal in die middel wees. Dit is 'n algemene voorbeeld van simmetriese data wat bekend staan as normaal verspreiding. Ons sê 'n verspreiding is normaal as

die gemiddelde, mediaan en modus gelyk aan mekaar is.

dit simmetries is om die gemiddelde.

% van die steekproef binne een standaardafwyking weg van die gemiddelde lê, % binne twee standaardafwykings en % binne drie standaardafwykings weg van die gemiddelde.

Video: 2BSG

Wat gebeur as die toets baie maklik of baie moeilik was? Dan gaan die verspreiding dalk nie simmetries wees nie. As uitermate hoë of lae punte by hierdie verspreiding gevoeg word, dan neig die gemiddelde en mediaan om nader na die punte te skuif en dan word die kurwe skeef.

As die toets baie moeilik was,sal die waardes van die gemiddelde en mediaan na links skuif. In hierdie geval sê ons dat die verspreiding is positief skeef, of skeef na regs.

'n Verspreiding wat skeef na regs is, het die volgende eienskappe:

die gemiddelde is gewoonlik meer as die mediaan;

die stert van die verspreiding is langer aan die regterkant as aan die linkerkant;

die mediaan is nader aan die eerste kwartiel as aan die derde kwartiel.

As die toets maklik was, sal baie van die leerders hoë punte kry en die gemiddelde en die mediaan van die verspreiding sal na regs skuif. Ons sê die verspreiding is negatief skeef, of skeef na links.

'n Verspreiding wat skeef na links is, het die volgende eienskappe:

die gemiddelde is gewoonlik minder as die mediaan;

die stert van die verspreiding is langer aan die linkerkant as aan die regterkant;

die mediaan is nader aan die derde kwartiel as aan die eerste kwartiel.

Die tabel hieronder som al die verskillende kategorieë mooi op.

Skeef na regs (positief) | Simmetries | Skeef na links (negatief)
gemiddelde mediaan | gemiddelde mediaan | gemiddelde minder as mediaan

Uitgewerkte voorbeeld 3: Skewe en simmetriese data

Drie matriekklasse skryf 'n Wiskundetoets. Die toets tel uit punte en elke klas het leerders. Die uitslae van die toets word in die tabel hieronder getoon:

Gr. 12A
Gr. 12B
Gr. 12C

Bepaal vir elke klas die vyfpunt opsomming en teken die mond-en-snor diagramme op dieselfde assestelsel deur gebruik te maak van 'n geskikte skaal.

Bereken die gemiddelde en standaardafwyking vir elke klas.

Vergelyk nou die gemiddelde en mediaan van elke klas met mekaar en lewer kommentaar oor die verspreiding van die toetspunte vir elke klas.

Eers orden ons die data van kleinste na grootste. Hierdie is reeds vir ons gedoen. Daarna verdeel ons die data in kwartiele:

Die minimum van elke datastel is .Die maksimum van elke datastel is .

Aangesien daar waardes in elke datastel is, lê die mediaan op die elfde merkie, wat dit dieselfde maak vir Gr. 12A, Gr. 12B en Gr. 12C.

Die eerste kwartiel se posisie is tussen die vyfde en sesde waardes. Dus is die eerste kwartiel vir Gr. 12A, vir Gr. 12B en vir Gr. 12C.

Die derde kwartiel is tussen die en waardes. Dus is die derde kwartiel vir Gr. 12A en Gr. 12B, en vir Gr. 12C.

Dus kan ons nou die volgende vyfpunt opsommings- en mond-en-snordiagramme saamstel:

Gr. 12A

Gr. 12B

Gr. 12C

Gr. 12A: Gr. 12B: Gr. 12C:

As die gemiddelde groter is as die mediaan, dan is die data positief skeef en as die gemiddelde minder as die mediaan is, is die data negatief skeef.

Gr. 12A: . Die punte van 12A is daarom positief skeef, en dit beteken dat daar baie lae punte was en dat die hoë punte baie meer verspreid was.

Gr. 12B: . Die punte van 12B is daarom negatief skeef, en dit beteken dat daar baie hoë punte in die klas was en dat die lae punte meer verspreid was.

Gr. 12C: . Die punte van 12C is simmetries verspreid, en dit beteken dat daar ewe veel hoë en lae punte in die klas was.

Oefening 9.1 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Sê of die volgende data versamelings simmetries, skeef na regs of skeef na links is.

'n Data versameling met die volgende verspreiding:

skeef na regs

'n Data versameling met die volgende mond-en-snordiagram:

simmetries

'n Data versameling met die volgende histogram:

skeef na links

'n Data versameling met die volgende frekwensie veelhoek:

skeef na regs

'n Data versameling met die volgende verspreiding:

skeef na links

Die volgende data versameling:

; ; ; ; ; ; ; ; ;

Die statistiek van die data versameling is

gemiddeld: ;

eerste kwartiel: ;

mediaan: ;

derde kwartiel: .

Let op dat ons teenstrydige aanduidings kry van die verskillende maniere waarop ons moet besluit of data skeef na links of regs is.

Die gemiddeld is 'n klein bietjie groter as die mediaan. Dit is 'n aanduiding dat die data skeef na regs is.

Die mediaan is bietjie nader aan die derde kwartiel as aan die eerste kwartiel. Dit is 'n aanduiding dat die data skeef na links is.

Omdat hierdie verskille so klein is en omdat dit mekaar weerspreek, kom ons tot die gevolgtrekking dat die data simmetries is.

Vir die volgende data versamelings:

Bepaal die gemiddelde en die vyfgetal opsomming.

Trek die mond-en-snordiagram.

Bepaal die skeefheid van die data.

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Die gemiddelde is .

Om die vyfgetal opsomming te bepaal, moet ons die data orden:

Ons gebruik die diagram hieronder (of die formules) om te bepaal by watter waardes, of tussen watter waardes, die kwartiele lê.

Die minimum waarde is 3 en die maksimum waarde is 45.

Vir die eerste kwartiel is die posisie tussen die derde en vierde waardes. Omdat beide hierdie waardes gelyk is aan , is die eerste kwartiel .

Die mediaan (tweede kwartiel) se posisie is halfpad tussen die sesde en die sewende waardes. Die sesde waarde is en die sewende waarde is , en dit beteken dat die mediaan is.

Die derde kwartiel se posisie is tussen die negende en die tiende waardes. Dus is die derde kwartiel .

Dus is die vyfgetal opsomming (3; 7; ; 33; 45).

Gemiddeld mediaan, dus is die data skeef na regs.

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Die gemiddelde is .

Om die vyfgetal opsomming te bepaal, moet ons die data orden:

Ons gebruik die formules (of die diagram) om te bepaal by watter waarde, of tussen watter waardes, die kwartiele lê.

Die minimum is 8 en die maksimum is 100.

Vir die eerste kwartiel is die posisie tussen die derde en vierde waardes. Omdat beide hierdie waardes gelyk is aan , is die eerste kwartiel .

Die mediaan (tweede kwartiel) se posisie is halfpad tussen die sesde en die sewende waardes. Die sesde waarde en sewende waarde is , en dit beteken dat die mediaan is.

Die derde kwartiel se posisie is tussen die negende en die tiende waardes. Dus is die derde kwartiel .

Dus is die vyfgetal opsomming (8; 21; ; ; 100).

Gemiddeld mediaan, dus is die data skeef na regs.

; ; ; ; ; ; ; ; ;

Die gemiddelde is .

Om die vyfgetal opsomming te bepaal, moet ons die data orden:

Ons gebruik die formules (of die diagram) om te bepaal by watter waarde, of tussen watter waardes, die kwartiele lê.

Die minimum is 11 en die maksimum is 92.

Die eerste kwartiel se posisie lê tussen die derde en die vierde waardes. Omdat die derde 57 is en die vierde 58, is die eerste kwartiel .

Die mediaan (tweede kwartiel) se posisie is halfpad tussen die vyfde en die sesde waardes. Die sesde waarde is 65 en die sewende waarde is , dus is die mediaan .

Die derde kwartiel se posisie is tussen die sewende en die agtste waardes. Dus is die derde kwartiel .

Dis die vyfgetal opsomming (11; ; ; ; 92).

Gemiddeld

; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Die gemiddelde is .

Om die vyfgetal opsomming te bepaal, moet ons die data orden:

Ons gebruik die formules (of die diagram) om te bepaal by watter waarde, of tussen watter waardes, die kwartiele lê.

Die minimum is 1 en die maksimum 99.

Die eerste kwartiel se posisie lê tussen die derde en die vierde waardes. Die derde waarde is 33 en die vierde waarde is 41, dus is die eerste kwartiel .

Die tweede kwartiel (mediaan) is by die sesde posisie. Die sesde waarde is .

Die derde kwartiel se posisie is tussen die agtste en die negende waardes. Dus is die derde kwartiel .

Dus is die vyfgetal opsomming (1; 37; ; ; 99)

Gemiddeld

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Die gemiddelde is .

Om die vyfgetal opsomming te bepaal, moet ons die data orden:

Ons gebruik die formules (of die diagram) om te bepaal by watter waarde, of tussen watter waardes, die kwartiele lê.

Die minimum is en die maksimum is 3.

Die eerste kwartiel is by die vierde posisie. Dus is die eerste kwartiel .

Die mediaan (tweede kwartiel) is by die sewende posisie. Die sewende waarde is .

Vir die derde kwartiel is die posisie by die tiende posisie. Dus die derde kwartiel is .

Dus is die vyfgetal opsomming (; ; ; ; 3).

Gemiddeld

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Die gemiddelde is .

Om die vyfgetal opsomming te bepaal, moet ons die data orden:

Ons gebruik die formules (of die diagram) om te bepaal by watter waarde, of tussen watter waardes, die kwartiele lê.

Die minimum is 25 en die maksimum is 97.

Die eerste kwartiel se posisie is tussen die derde en vierde waardes. Die derde waarde is 44 en die vierde waarde is , en dit beteken dat die eerste kwartiel se waarde is.

Die mediaan (tweede kwartiel) se posisie is halfpad tussen die sesde en die sewende waardes. Die sesde waarde is 60 en die sewende waarde is , en dit beteken dat die mediaan is.

Die derde kwartiel se posisie is tussen die negende en die tiende waardes. Dus is die derde kwartiel .

Dus is die vyfgetal opsomming (25; 45; ; ; 97).

Gemiddeld mediaan, dus is die data simmetries.

Vir die volgende data versamelings:

Bepaal die gemiddeld.

Gebruik 'n tabel om die variansie en die standaardafwyking te bepaal.

Bepaal watter persentasie van die data punte lê binne een standaardafwyking weg van die gemiddelde. Rond jou antwoord af tot die naaste persentasiepunt.

Die formule vir die gemiddeld is

Die formule vir die variansie is

Ons trek eers die gemiddelde van elke data punt af en kwadreer dan die resultaat.

Die variansie is die som van die laaste ry van hierdie tabel gedeel deur , dit is . Die standaardafwyking is die vierkantswortel van die variansie, en is dus .

Die interval wat al die waardes bevat wat een standaardafwyking weg is van die gemiddeld, is . Ons word gevra hoeveel waardes binne die een standaardafwyking van die gemiddeld is, en dit beteken binnekant die interval. Daar is waardes van die data versameling binne-in die interval, en dit is van die data punte.

Die formule vir die gemiddeld is

Die formule vir die variansie is

Ons trek eers die gemiddelde van elke data punt af en kwadreer dan die resultaat.

Die variansie is die som van die laaste ry van hierdie tabel gedeel deur , dit is . Die standaardafwyking is die vierkantswortel van die variansie, en is dus

Die interval van al die waardes wat een standaardafwyking weg is van die gemiddelde, is . Ons word gevra hoeveel waardes binne die een standaardafwyking van die gemiddeld is, en dit beteken binnekant die interval. Daar is waardes van die data versameling binne-in die interval, en dit is van die data punte.

Die formule vir die gemiddeld is

Die formule vir die variansie is

Ons trek eers die gemiddelde van elke data punt af en kwadreer dan die resultaat.

Die variansie is die som van die laaste ry van hierdie tabel gedeel deur , dit is . Die standaardafwyking is die vierkantswortel van die variansie, en is dus .

Die interval wat al die waardes bevat wat een standaardafwyking weg is van die gemiddeld, is . Ons word gevra hoeveel waardes binne die een standaardafwyking van die gemiddeld is, en dit beteken binnekant die interval. Daar is waardes van die data versameling binne-in die interval, en dit is van die data punte.

Gebruik 'n sakrekenaar en bereken die

gemiddeld,

variansie,

en standaardafwyking

van die volgende data versameling:

; ; ; ; ; ; ; ; ;

Gemiddeld =

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Gemiddeld =

; ; ; ; ; ; ; ; ;

Gemiddeld =

; ; ; ; ; ; ; ; ;

Gemiddeld =

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Gemiddeld =

Xolani doen navorsing oor die prys van 'n wit brood by twee verskillende supermarkte. Die data, in rand, word hieronder gegee.

Supermark A |  |  |  |  |  |
Supermark B |  |  |  |  |  |

Bepaal die gemiddelde prys van elke supermark en sê duidelik watter supermark het die laagste gemiddelde.

Supermark A: . Supermark B: . Supermark B het die laagste gemiddeld.

Bepaal die standaardafwyking van elke supermark se pryse.

Standaardafwyking:

Vir Supermark A:

Vir Supermark B:

Watter supermark het die meer konstante prys vir wit brood? Gee redes vir jou antwoord.

Die standaardafwyking vir Supermark A se pryse is minder as die van Supermark B. Dit beteken dat Supermark A meer konstante pryse het (minder veranderlik) as Supermark B.

Die tye vir die atlete wat die vryslag finaal by die 2012 London Olimpiese Spele geswem het, word hieronder getoon. Al die tye is in sekondes.

; ; ; ; ; ; ;

Bereken die gemiddelde tyd.

Bereken die standaardafwyking vir die data.

Hoeveel van die atlete se tye is meer as een standaardafwyking weg van die gemiddeld?

Die gemiddeld is en die standaardafwyking is . Dus bevat die interval al die waardes wat een standaardafwyking van die gemiddeld is . Ons word gevra hoeveel waardes lê verder as een standaardafwyking weg van die gemiddelde, met ander woorde buitekant die interval. Daar is waardes van die data wat buite die interval is.

Die volgende data versameling het 'n gemiddeld van en 'n variansie van .

Bereken die waardes van en .

Deur gebruik te maak van die formule is die gemiddeld

Deur gebruik te maak van die formule is die variansie

Stel in die vergelyking in om te bepaal. Dus is of .

Omdat , het ons of . Dus is die twee onbekende waardes in die data versameling is 13 en 20.

Ons weet nie watter een van die waardes is die en watter een is die nie, omdat die gemiddeld en variansie niks sê omtrent die orde van die data nie.

Die lengte van elke leerder in die klas word gemeet en daar is gevind dat die gemiddelde lengte van die klas was. Gedurende hierdie tyd was daar drie leerders afwesig. Toe die lengtes van die drie leerders ingesluit is by die data van die klas, het die gemiddelde lengte nie verander nie.

As die lengtes van twee van hierdie afwesige leerders en is, bereken die lengte van die derde leerder wat afwesig was. [NSC Vraestel 3 Feb-Maart 2013]

Stel die getal leerders wat eerste gemeet is, gelyk aan .

Die totale lengtes gemeet is .

Stel die lengte van die laaste leerder gelyk aan .

Daar is 184 studente wat Wiskunde neem in 'n eerstejaarsklas by die universiteit. Die punte, uit 100, in die halfjaar eksamen is normaal verspreid met 'n gemiddeld van 72 en 'n standaardafwyking van 9. [NSC Vraestel 3 Feb-Maart 2013]

Watter persentaie van die studente se punte lê tussen 72 en 90?

Dus lê 90 2 standaardafwykings na regs van die gemiddeld.

Vervolgens, % van die studente behaal punte wat tussen 72 en 90 lê.

Ongeveer hoeveel studente se punte lê tussen 45 en 63?

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

9.2 Kurwe passing (EMFCQ7)

Intuïtiewe kurwe passing (EMFCQ8)

In Graad 11 het ons verskeie grafieke soos histogramme, frekwensie veelhoeke en ogiewe gebruik om data visueel voor te stel. Dit is baie bruikbare maniere om univariate/eenveranderlike data uit te beeld, dit is data met slegs een veranderlike soos die lengte van leerders in 'n klas.

Ons het verlede jaar geleer van 'n baie visuele instument wat ons die spreidiagram noem. Spreidiagramme is 'n gewone manier om bivariate/tweeveranderlike data te visualiseer, dit is data met twee veranderlikes. Dit laat ons toe om die rigting en die sterkte van 'n verhouding tussen die twee veranderlikes te identifiseer.

Ons identifiseer die verwantskap tussen twee veranderlikes deur te kyk of die punte op die spreidiagram 'n lineêre, eksponensiële, kwadratiese of enige ander funksie vorm. Hierdie proses om funksies te pas by die data word genoem kurwe passing.

Die sterkte van die verwantskap kan beskryf word as sterk indien die data punte 'n duidelike funksie patroon volg of swak as die data punte meer verspreid is.

By lineêre funksies is die rigting van die verwantskap positief as hoë waardes van die een veranderlike saamval met hoë waardes van die ander of negatief as hoë waardes van die een veranderlike saamval met lae waardes van die ander.

Die tabel hieronder som al die soorte verwantskappe op:

Sterk, positiewe lineêre verwantskap | Sterk, negatiewe lineêre verwantskap
Swak, positiewe lineêre verwantskap | Eksponensiële verwantskap
Kwadratiese verwantskap | Geen verwantskap

Uitgewerkte voorbeeld 4: Intuïtiewe kurwe passing

Bestudeer die spreidiagram hieronder met data versamel van 'n nuwe winkel:

Watter twee veranderlikes word met mekaar vergelyk?

Watter tipe funksie pas die beste by die data?

Is die verwantskap tussen die twee veranderlikes sterk of swak?

Is die verwantskap tussen die twee veranderlikes positief of negatief?

Gebruik jou antwoorde hierbo en beskryf die verwantskap tussen die twee veranderlikes in een sin.

Die veranderlikes wat vergelyk word, is die gemiddelde aantal kliënte per dag en die tyd in maande.

'n Eksponensiële funksie pas die beste by die data.

Die data punte volg 'n duidelike kurwe en is naby mekaar, dus kan die verwantskap beskryf word as baie sterk.

Soos die tyd verloop, neem die aantal kliënte toe, dus kan die verwantskap beskryf word as positief.

Daar is 'n baie sterk, positiewe, eksponensiële verwantskap tussen die gemiddelde daaglikse kliënte en tyd by hierdie nuwe winkel.

By die uitgewerkte voorbeeld hierbo het ons op 'n spreidiagram die gemiddelde daaglikse kliënte van 'n nuwe winkel teenoor tyd gestip en dit het ons toegelaat om die verwantskap tussen die twee veranderlikes te identifiseer. As ons dan nou hierdie verwantskap bepaal het, kan ons 'n ander baie nuttige ding doen - ons kan waardes voorspel waar geen data beskikbaar is nie.

Interpolasie en ekstrapolasie

Wanneer ons waardes voorspel wat binne die data-omvang lê, staan dit bekend as interpolasie. Wanneer ons waardes van 'n veranderlike voorspel wat buite die data-omvang lê, staan dit bekend as ekstrapolasie.

Ekstrapolasie moet baie versigtig gedoen word tensy dit bekend is dat die huidige verwantskap verder sal voortduur buite die data-omvang. 'n Eksponensiële funksie sal byvoorbeeld lineêr lyk as ons net 'n paar data punte beskikbaar het en as ons dan ver genoeg ekstrapoleer, mag ons voorspellings onakkuraat wees.

Om waardes te interpoleer of ekstrapoleer, moet ons probeer om die vergelyking van die funksie wat die beste pas by die data, te vind. Vir lineêre data trek ons 'n reguit lyn deur die data, wat die bestaande data punte die beste sal benader. Hierdie lyn staan bekend as lyn van beste passing of regressielyn. Kom ons probeer dit met die volgende voorbeeld.

Uitgewerkte voorbeeld 5: Passing per hand

Gebruik die data hieronder en teken 'n verspreidingsdiagram en 'n lyn wat die beste pas.

Skryf die vergelyking neer van hierdie lyn wat die beste pas by die data.

Gebruik jou vergelyking om die geskatte waarde van te berken as .

Gebruik jou vergelyking om die geskatte waarde van te berken as .

Skets die grafiek

Kies 'n geskikte skaal vir die asse.

Trek die asse.

Stip die punte.

Tekening van die lyn wat die beste pas

Die volgende stap is om 'n lyn wat so naby as moontlik aan soveel data punte as moontlik is, te trek. Daar behoort min of meer ewe veel punte bo en onder die lyn te wees.

Berekening van die vergelyking van die lyn

Die lyn se vergelyking is .

Vanaf die lyn wat ons getrek het, skat ons die y-afsnit as . Ons skat dat as . Dus het ons dat punte en op die lyn lê. Die gradiënt, m, van die lyn is dus

Ons kan dan uiteindelik die vergelyking van die lyn wat die beste pas, gee as

Bereken die onbekende waardes

Die vergelyking van die lyn is en om die onbekende waardes te bereken, stel ons die bekende waardes in die vergelyking in.

Vir :

Omdat die -waarde binne die omvang van die data is, is dit interpolasie.

Vir :

Omdat die -waarde buite die omvang van die data is, is dit ekstrapolasie.

Oefening 9.2 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Identifiseer die funksie (lineêr, eksponensieël of kwadraties) wat die beste sal pas by die data in die spreidingsdiagramme hieronder:

kwadraties

eksponensieël

lineêr

lineêr

eksponensieël

kwadraties

Beantwoord die volgende vrae deur na die gegewe spreidingsdiagram te verwys.

Watter tipe funksie pas die beste by die data? Lewer kommentaar op die passing van die funksie in terme van sterkte en rigting.

Die data pas by 'n sterk, positiewe lineêre funksie.

Trek 'n lyn wat die beste pas deur die data en bepaal sy vergelyking.

NB: Die antwoord op hierdie vraag hang van elke leerder af. Die metode is belangriker as die finale antwoord. Gee spesiale aandag aan die -afsnit van die lyn wat die beste pas. Leerders trek dikwels hulle lyn deur die oorsprong, selfs al is dit nie gepas nie. Hieronder is 'n illustrasie van hoe 'n leerder te werk moet gaan om die probleem op te los. Die leerder se antwoord hoef nie noodwendig presies soos die model antwoord te lyk nie, maar moet 'n goeie benadering wees.

Die -afsnit is ongeveer 1. Die -waarde by is ongeveer 10. Dus is

Die vergelyking van die lyn wat die beste pas:

Gebruik jou vergelyking en bepaal die benaderde -waarde as .

Die antwoord sal afhang van die leerder se vorige antwoord.

Gebruik jou vergelyking en bepaal die benaderde -waarde as .

Die antwoord sal afhang van die leerder se vorige antwoord.

Tuberkulose (TB) is 'n longsiekte wat veroorsaak word deur bakterieë wat versprei word deur lug as 'n geïnfekteerde persoon nies of hoes. Medisyne-weerstandige TB ontstaan as pasiënte nie hul medikasie reg gebruik nie. Andile is 'n wetenskaplike wat besig is met 'n studie oor 'n nuwe behandeling vir medisyne-weerstandige TB. Vir sy ondersoek moet hy die TB bakterieë kweek. Hy neem twee bakterieë en plaas dit op 'n plaatjie saam met die nodige voedingstowwe. Hy kontroleer hoe die aantal bakterieë toeneem oor tyd. Kyk na sy data in die spreidingsdiagram hieronder en beantwoord die volgende vrae.

Watter tipe funksie sal die beste pas by die data?

Eksponensiële

Die vergelyking vir die groei van die bakterieë is as die oorspronklike aantal bakterieë is, is die groeikoers per eenheidstyd in verhouding met 1, is die tyd in ure, en is die aantal baterieë op 'n gegewe tydstip, . Bepaal die aantal bakterieë wat deur Andile gekweek is na 24 ure as die aantal bakterieë elke uur verdubbel (dit is as die groeikoers % per uur is).

Daar word vir ons vertel dat :

Marelize is 'n navorser by die Departement van Landbou. Sy het opgelet dat boere van oor die hele land verskillende oes opbrengste het en dit hang af van die streek waar hul geleë is. Sy dink dit het te doen met die klimaat van daardie speisifieke streek. Om hierdie idee te toets, het sy data oor oes opbrengste en gemiddelde temperature in die somer by verskeie boere ingesamel. Bestudeer haar data hieronder en beantwoord die volgende vrae.

Identifiseer die tipe funksie wat die beste sal pas by die data.

Kwadraties

Marelize bepaal dat die vergelyking van die funksie wat die beste pas by die data is. Bepaal die optimale temperature geskik vir die groei van koring en die ooreenstemmende oes opbrengs. Rond jou antwoord af tot twee desimale plekke.

Die vraag vereis dat ons die draaipunt van die funksie moet bepaal. Daar is verskeie maniere om dit te doen; twee word hieronder gedoen:

Die eerste metode is om gebruik te maak van die formule :

Die eerste stap is om die vergelyking in die vorm: te skryf. Ons vergelyking is alreeds in die vorm, dus kan ons onmiddellik die waardes instel in die formule vir .

Om te bepaal, stel ons ons -waarde in die kwadratiese vergelyking: in

'n Ander metode is om differensiasie te gebruik:

Die eerste stap is om die vergelyking in die vorm: te skryf. Ons vergelyking is alreeds in hierdie vorm, dus kan ons die vergelyking onmiddellik differensieer.

By die draaipunt, , dus kan ons nou vir oplos:

Die -waarde kan nou ingestel word in die kwadratiese vergelyking om te bepaal:

Daarom is die maksimum temperatuur waar koring sal groei en die ooreenstemmende oes opbrengs is .

Dr Dandara is 'n wetenskaplike wat 'n geneesmiddel probeer vind vir 'n siekte met 'n % sterftesyfer, dit wil sê % van die mense wat die siekte kry, sal sterf. Hy weet van 'n plant wat in tradisionele medisyne gebruik word om hierdie siekte te behandel. Hy onttrek die aktiewe bestanddeel van die plant en toets verskillende dosisse (gemeet in milligram) op verskillende groepe pasiënte. Bestudeer die data hieronder en beantwoord die volgende vrae.

Dosis (mg)

Sterftesyfer (\%)

Teken 'n spreidiagram van die data.

Watter funksie sal die beste pas by die data? Beskryf die passing in terme van sterkte en rigting.

Die data toon 'n sterk, negatiewe lineêre verwantskap.

Trek 'n lyn wat die beste pas deur die data en bepaal sy vergelyking.

Die -afsnit is omtrent 80.

Die -afsnit is omtrent 210.

Dus is

Die vergelyking van die lyn wat die beste pas:

Gebruik jou vergelyking om die dosis te skat vir 'n sterftesyfer van %.

Dr Dandara besluit om die geskatte dosis vir 'n sterftesyfer van % op 'n groep geïnfekteerde pasiënte te toets en te administreer. Hy vind egter dat daar nog steeds 'n sterftesyfer van % is. Noem die statistiese tegniek wat Dr Dandara gebruik om die sterftesyfer van % te skat en verduidelik waarom hierdie vergelyking nie die eksperimentele resultate akkuraat kon voorspel nie.

Dr Dandara gebruik ekstrapolasie om die dosis te bereken as die sterftesyfer is. Ekstrapolasie kan verkeerde skattings tot gevolg hê as die tendens wat binne die data omvang waargeneem word, nie buite die data omvang aangaan nieff. In hierdie geval lyk dit asof 'n dosis groter as nie langer die vergelyking van die funksie wat die peste pas, bevredig nie, dus het ekstrapolasie 'n verkeerde skatting tot gevolg.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

By die vorige uitgewerkte voorbeelde en oefeninge, het jy die lyn wat die beste pas met die hand getrek. Dit kan jou 'n aanvaarbare funksie wat die beste pas by die data gee as die data baie naby mekaar gegroepeer is. Jy en jou klasmaats kon egter vind dat julle antwoorde redelik van mekaar verskil. In die volgende afdeling sal ons 'n meer akkurate manier leer om data by 'n lineêre funksie te pas.

Lineêre regressie (EMFCQ9)

Lineêre regressie analise is 'n statistiese tegniek om te bepaal watter lineêre funksie die beste pas by gegewe data. Ons kan die vergelyking van die regressielyn bepaal deur gebruik te maak van algebraÏese metode genoem kleinste kwadrate-metode, en dit is beskikbaar op die meeste wetenskaplike sakrekenaars. Die lineêre regressie vergelyking kan geskryf word as (ons sê y-hat) of . Natuurlik is albei maar net variasies van die meer bekende vergelyking .

Die kleinste kwadrate-metode is baie eenvoudig. Veronderstel ons kies 'n lyn van beste passing, dan is daar by elke data punt 'n afstand tussen die punt en die lyn. As die lyn die data punte presies pas, sal die afstand by al die data punte nul wees. Hoe swakker die passing, hoe groter word die afstand. Ons kwadreer dan al die afstande en bepaal die som daarvan.

Die lyn wat die beste pas, sal die som van die gekwadreerde afstande minimeer.

Video: 2BTR

Veronderstel ons het 'n data versameling van punte . Ons het ook 'n lyn wat ons probeer pas by die data. Die afstand tussen die eerste data punt en die lyn, byvoorbeeld, is

Ons kwadreer nou elk van hierdie afstande en tel dit dan op. Kom ons noem die som . Dus het ons nou dat

Ons probleen is nou om die waarde van m en c te vind sodat geminimeer word. Kom ons noem hierdie verminderde waardes en onderskeidelik. Dan is die lyn van beste passing . Ons kan en vind deur gebruik te maak van differensiaalrekening, maar dit is maar moeilik, ons sal dus volstaan deur net die resultaat te gee dat

Uitgewerkte voorbeeld 6: Metode van kleinste kwadrate per hand

In die tabel hieronder het ons resultate van die instandhoudingskoste in rand in vergelyking met die ouderdom van die apparate in maande. Ons het data van 5 apparate. Bepaal die vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn per hand.

Apparaat

1

2

3

4

5

Ouderdom ()

Koste ()

Apparaat

1

2

3

4

5

Totaal

80

Uitgewerkte voorbeeld 7: Gebruik van die SHARP EL-531VH sakrekenaar

Bepaal die vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn vir die volgende data met behulp van 'n sakrekenaar:

Dae ()

1

2

3

4

5

Groei by m ()

NB. As jy 'n CASIO sakrekenaar het, doen die volgende uitgewerkte voorbeeld eerste. Kom dan terug na die voorbeeld waarmee ons tans besig is en kyk of jy by dieselfde antwoord op jou sakrekenaar uitkom.

Kry jou sakrekenaar gereed

As jy jou sakrekenaar gebruik, verander die modus van "normal" na “Stat ”. Doen dit deur [2ndF] te druk en dan 2. Hierdie modus laat jou toe om bivariate of tweeveranderlike data in te tik.

Tik die data in

Sleutel die data ry vir ry in:

Sleutel in:

Druk:

Sleutel in:

Druk:

Sien:

1

1

DATA

n =

2

DATA

n =

3

DATA

n =

4

DATA

n =

5

DATA

n =

Let op: Die [()] sleutel is dieselfde as die [STO] sleutel en die [DATA] sleutel is dieselfde as die [M+] sleutel.

Verkryging van regressie uitslae van die sakrekenaar

Vra vir die waardes van die regressie koëffisiënte en .

Druk:

Druk:

Sien:

RCL

RCL

Uitgewerkte voorbeeld 8: Gebruik van die CASIO -82ZA PLUS sakrekenaar

Gebruik 'n sakrekenaar om die kleinste kwadrate lyn wat die beste pas by die data te bepaal

Leerder

1

2

3

4

5

Chemie (\%)

Rekeningkunde (\%)

Vir 'n Chemiepunt van %, watter punt vir Rekeningkunde word deur die kleinste kwadratelyn voorspel?

NB. As jy 'n SHARP sakrekenaar het, maak seker dat jy eers die vorige uitgewerkte voorbeeld doen. As jy dit voltooi het, probeer hierdie voorbeeld doen met behulp van jou sakrekenaar en kyk of jy dieselfde antwoord kry.

Kry jou sakrekenaar gereed

Skakel die sakrekenaar aan. Druk [MODE] en kies dan STAT deur [2] te druk. Die volgende sal op die skerm verskyn:

1

2

3

4

5

6

7

8

Druk nou [2] vir lineêre regressie. Jou skerm sal min of meer so lyk:

1

2

3

Tik die data in

Druk [52] en dan [] om die eerste punt in te sleutel onder . Sleutel dan die ander waardes op dieselfde manier in, vir die -veranderlike (die Chemie punte) in die volgorde wat dit in die data versameling gegee word. Beweeg die aanwyser dwars en op en sleutel 48 in onder y teenoor 52 in die -kolom. Hou aan om die ander -waardes (die Rekeningkunde punte) in te sleutel sodat hulle korrek verbind met die ooreenstemmende -waardes.

1

52

2

55

3

Druk dan [AC]. Die skerm sal skoon wees, maar al die data sal gestoor wees.

Druk nou [SHIFT][1] om die statistiese berekening op die skerm wat hieronder vertoon word, te kry.

1:

Tik

2

Data

3:

Edit

4:

Som

5:

Var

6:

Min/Maks

7:

Reg

Kies regressie deur [7] te druk.

1:

A

2

B

3:

r

4:

5:

Verkryging van regressie uitslae van die sakrekenaar

Druk [1] en [=] om die waarde van die -afsnit te kry, (tot twee desimale plekke)

Ten slotte, om die helling te kry, gebruik die volgende sleutel volgorde: [SHIFT][1][7][2][]. Die sakrekenaar gee (tot twee desimale plekke)

Die vergelyking van die regressielyn is dus:

Druk [AC][65][SHIFT][1][7][5][]

Dit gee 'n (voorspelbare) Rekeningkunde punt van

Oefening 9.3 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal die vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn deur gebruik te maak van die tabel met data hieronder. Rond en af tot twee desimale plekke.

Gebruik jou sakrekenaar om die vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn vir die volgende data versamelings te bepaal:

3

|  |  | 4 | 1 |  | 5 |  |  |  |
| -10 |  |  | -46 |  |  |  |  |  | -94

|  |  | -2 | 9 |  | 10 |  | 3 | 8 | 15
| -2 | 6 | 11 |  | 17 | 21 | 21 |  |  |

Bepaal die vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn vir elke stel data waardes hieronder. Rond en af tot twee desimale plekke in die finale antwoord.

(Wenk: vermenigvuldig die noemer en die teller van die formule vir met )

Die tabel hieronder toon die gemiddelde onderhoudskoste in rand van 'n sekere model motor teenoor die ouderdom van die motor in jare.

Ouderdom () | 1 | 3 | 5 | 6 | 8 | 9 | 10
Koste () | 1000 | 1500 | 1600 | 1800 | 2000 | 2400 | 2600

Teken 'n spreidiagram van die data.

Voltooi die tabel hieronder, vul die totale van elke kolom in die laaste ry in:

Ouderdom () | Koste () |  |
1 |  |  |
3 |  |  |
5 |  |  |
6 |  |  |
8 |  |  |
9 |  |  |
10 |  |  |

Ouderdom () | Koste () |  |
1 |  |  | 1
3 |  |  | 9
5 |  |  | 25
6 |  |  | 36
8 |  |  | 64
9 |  |  | 81
10 |  |  | 100

Gebruik jou tabel en bepaal die vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn. Rond en af tot twee desimale plekke.

Gebruik jou vergelyking om te voorspel wat die koste gaan wees om 'n jaar oue model motor te onderhou.

Gebruik jou vergelyking om te voorspel wat die ouderdom van die motor sal wees in die jaar as die totaal van die onderhoudskoste vir die eeste keer meer as word.

Dus sal die onderhoudskoste vir die eerste keer die bedrag van oorskrei as die motor 13 jaar oud is.

Juf. Colly het altyd volgehou dat daar 'n verwantskap is tussen 'n leerders se vermoë om die taal van onderrig te verstaan en hulle punte in Wiskunde. Omdat sy Wiskunde onderrig in Engels, het sy besluit om leerders se Wiskunde punte en Engels punte met mekaar te vergelyk om sodoende die verwantskap tussen die twee punte te ondersoek. 'n Steekproef van haar data word hieronder in die tabel getoon:

Engels \% () | 28 | 33 | 30 | 45 | 45 | 55 | 55 | 65 | 70 | 76 | 65 | 85 | 90
Wiskunde \% () | 35 | 36 | 34 | 45 | 50 | 40 | 60 | 50 | 65 | 85 | 70 | 80 | 90

Voltooi die tabel hieronder, vul die totale van elke kolom in die laaste ry in:

Engels \% () | Wiskunde \% () |  |
28 | 35 |  |
33 | 36 |  |
30 | 34 |  |
45 | 45 |  |
45 | 50 |  |
55 | 40 |  |
65 | 50 |  |
70 | 65 |  |
76 | 85 |  |
65 | 70 |  |
85 | 80 |  |
90 | 90 |  |

Engels \% () | Wiskunde \% () |  |
28 | 35 | 980 | 784
33 | 36 |  |
30 | 34 |  | 900
45 | 45 |  |
45 | 50 |  |
55 | 40 |  |
65 | 50 |  |
70 | 65 |  |
76 | 85 |  |
65 | 70 |  |
85 | 80 |  |
90 | 90 |  |

Gebruik jou tabel en bepaal die vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn. Rond en af tot twee desimale plekke.

Gebruik jou vergelyking om die Wiskunde punt van 'n leerder wat % vir Engels gekry het te skat, korrek tot twee desimale plekke.

Gebruik jou vergelyking om te voorspel wat die Engels punt van 'n leerder is wat % vir Wiskunde gekry het, korrek tot twee desimale plekke.

Lengte van voete en hoogtes van studente word in die tabel hieronder gegee.

Hoogte (cm)

Lengte van voete (cm)

Gebruik die voetlengte as jou -veranderlike en teken 'n spreidiagram van die data.

Identifiseer en beskryf enige tendense wat in die spreidiagram aangetoon word.

Sterk (of redelik sterk), positiewe, lineêre tendens

Bepaal die vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn deur die formules te gebruik en trek dan die lyn op jou grafiek. Rond en af tot twee desimale plekke in jou finale antwoord.

Voetlengte () | Lengte () |  |
27 |  |  | 729
23 |  |  | 529
20 |  |  | 400
28 |  |  | 784
22 |  |  | 484
20 |  |  | 400
24 |  |  | 576
26 |  |  | 676
29 |  |  | 841
22 |  |  | 484

Bevestig jou resultate deur die kleinste kwadrate regressielyn te bereken met behulp van 'n sakrekenaar.

Die antwoord behoort dieselfde te wees as c).

Gebruik jou vergelyking om die lengte van 'n student met 'n voetlengte van te voorspel.

Gebruik jou vergelyking om die voetlengte van 'n student met lengte , korrek tot twee desimale syfers, te voorspel.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Alhoewel ons nou 'n akkurate metode het om die lyn van beste passing te bepaal, weet ons nog steeds nie regtig hoe akkuraat hierdie lyn by ons data pas nie. Ons kan 'n kleinste kwadrate regressielyn pas op enige bivariante data, ook as die twee veranderlikes nie 'n lineêre verwantskap toon nie. Indien die passing "nie goed is nie", mag ons aanvaarde waardes van en in egter ook verkeerd wees. Vervolgens gaan ons nou 'n kwantitatiewe maatstaf aanleer waarmee ons sal kan vasstel hoe goed ons lyn regtig by ons data pas.

9.3 Korrelasie (EMFCQB)

Die lineêre korrelasiekoëffisiënt, , is 'n maatstaf wat vir ons die sterkte en rigting van 'n verwantskap tussen twee veranderlikes aandui. Die korrelasiekoëffisiënt . Wanneer , is daar 'n perfekte negatiewe korrelasie ,wanneer , is daar geen korrelasie nie en wanneer is daar 'n perfekte positiewe korrelasie.

Positief, sterk
Positief, redelik sterk
Positief, swak

Negatief, redelik sterk
Negatief, swak
Geen korrelasie

NB. Verwys na die vyfde punt aan die begin van die hoofstuk in verband met die formule vir die korrelasiekoëffisiënt.

Die lineêre korrelasiekoëffisiënt, , kan bereken word deur gebruik te maak van hierdie formule

waar die gradiënt van die kleinste kwadrate regressielyn is,

die standaardafwyking van die -waardes is en

die standaardafwyking van die -waardes is.

Dit staan bekend as die Pearson's produk moment korrelasiekoëffisiënt. Dit is baie makliker om op 'n sakrekenaar te doen waar jy net eenvoudig die prosedure volg vir die regressie vergelyking, en voortgaan om te bepaal.

In die algemeen:

Positief | Sterkte | Negatief
| geen korrelasie |
| baie swak |
| swak |
| gemiddeld |
| sterk |
| baie sterk |
| perfekte korrelasie |

Korrelasie impliseer nie dat daar 'n oorsaaklike verband is nie! Net omdat twee veranderlikes korreleer beteken dit nie dat hul oorsaaklik verbind is nie, bv. as A en B korreleer, beteken dit nie dat A vir B veroorsaak nie en vice versa. Dit is 'n algemene fout wat deur baie mense gemaak word, veral deur joernaliste wat op soek is na hul volgende sappige storie.

Byvoorbeeld, roomysverkope en haai aanvalle korreleer. Dit beteken nie dat roomysverkope skynbaar veroorsaak dat daar meer haai aanvalle is nie. Inteendeel, 'n eenvoudiger verklaring sou wees dat hoe warmer dit is, hoe groter is die waarskynlikheid dat mense roomys sal koop en ook die waarskynlikheid dat meer mense strand toe sal gaan, wat weer die waarskynlikheid van 'n haai aanval kan vergroot.

Video: 2BVG

Uitgewerkte voorbeeld 9: Die korrelasiekoëffisiënt

'n Kardioloog wou die verwantskap tussen rustende hartklop en piek hartklop tydens oefening toets. Hartklop word gemeet in slae per minuut (spm). Die volgende stel data is ingesamel van die 12 deelnemers aan die studie nadat hulle op 'n trapmeul gehardloop het teen vir 10 minute.

Rustende hartklop | 48 | 56 | 90 | 65 | 75 | 78 | 80 | 72 | 82 | 76 | 68 | 62
Piek hartklop | 138 | 136 | 180 | 150 | 151 | 161 | 155 | 154 | 175 | 158 | 145 | 155

Teken 'n spreidiagram van die data. Gebruik rustende hartklop as jou -veranderlike.

Gebruik jou sakrekenaar om die vergelyking van die lyn van beste passing te bepaal.

Skat wat die hartklop van 'n persoon met 'n rustende hartklop van sal wees na oefening.

Bepaal die korrelasiekoëffisiënt , , sonder die gebruik van 'n sakrekenaar. Bevestig jou antwoord deur jou sakrekenaar te gebruik.

Tot watter gevolgtrekking kom jy wat die verwantskap tussen rustende hartklop en hartklop na oefening aanbetref?

Teken die spreidiagram

Kies 'n geskikte skaal vir die asse.

Trek die asse.

Stip die punte.

Bereken die vergelyking van die lyn van beste passing

Soos jy vantevore geleer het, gebruik jou sakrekenaar en bepaal die waardes vir en .

Die vergelyking van die lyn van beste passing is dus

Bepaal die geskatte waarde van

As , deur ons vergelyking te gebruik, is die geskatte waarde vir :

Bereken die korrelasiekoëffiënt

Die formule vir is:

Ons het alreeds die waarde van en jy weet hoe om te bereken behulp van uitgewerkte voorbeeld 5, so ons moet nog net die waardes van en bereken. Die formule vir die standaardafwyking is:

Jy moet eers die waardes van en bereken en dan 'n tabel, soos die een hieronder gegee, voltooi.

Rustende hartklop () | Piek hartklop () |  |
48 | 138 | 529 |
56 | 136 | 225 |
90 | 180 | 361 |
65 | 150 | 36 |
75 | 151 | 16 |
78 | 161 | 49 |
80 | 155 | 81 |
72 | 154 | 1 |
82 | 175 | 121 |
76 | 158 | 25 |
68 | 145 | 9 |
62 | 155 | 81 |

Bevestig jou antwoord met behulp van 'n sakrekenaar

As jy eers weet hoe om die vergelyking van die lyn van beste passing met jou sakrekenaar te bereken, is dit voor die hand liggend om die waarde van te bepaal. Nadat jy al jou en waardes in jou sakrekenaar in STAT modus ingelees het :

op 'n SHARP sakrekenaar: sleutel [RCL] dan [r] (dieselfde sleutel as [])

op 'n CASIO rekenaar: sleutel [SHIFT] dan [STAT], [5],[3] dan []

Lewer kommentaar op die korrelasiekoëffiënt

Dus is daar 'n sterk, positiewe, lineêre verwantskap tussen rustende hartklop en piek hartklop gedurende oefening. Dit beteken dat hoe hoër jou rustende hartklop is, hoe hoër sal jou piek hartklop waarskynlik gedurende oefening wees.

Oefening 9.4 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal die korrelasiekoëffiënt vir die volgende data stelle met die hand en lewer kommentaar op die sterkte en rigting van die korrelasie. Rond jou antwoorde af tot twee desimale syfers.

Dus is die korrelasie tussen en negatief maar swak.

Dus is die korrelasie tussen en positief en middelmatig.

Dus is die korrelasie tussen en positief en baie sterk.

Deur jou sakrekenaar te gebruik, bereken die waarde van die korrelasiekoëffisiënt, tot twee desimale syfers, vir die volgende data stelle en beskryf die sterkte en rigting van die korrelasie.

, negatief, baie sterk

, negatief, swak

, geen korrelasie

, positief, baie swak

, positief, sterk

Bereken en beskryf die rigting en sterkte van vir elkeen van die stel data waardes hieronder. Rond alle -waardes af tot twee desimale syfers.

Die Aardrykskunde onderwyser, Mnr Chadwick, het onderstaande data stel aan sy klas gegee om die konsep te illustreer dat gemiddelde temperatuur afhang van hoe ver 'n plek van die ewenaar af is ( bekend as die breedtegraad). Daar is 90 grade tussen die ewenaar en die noordpool. Die ewenaar word gedefinieer as 0 grade. Ondersoek onderstaande data stel en beantwoord die daaropvolgende vrae.

Stad | Grade N () | Gemiddelde temp. () |  |  |  |
Kaïro | 43 | 22 |  |  |  |
Berlyn | 53 | 19 |  |  |  |
Londen | 40 | 18 |  |  |  |
Lagos | 6 | 32 |  |  |  |
Jerusalem | 31 | 23 |  |  |  |
Madrid | 40 | 28 |  |  |  |
Brussels | 51 | 18 |  |  |  |
Istanbul | 39 | 23 |  |  |  |
Boston | 43 | 23 |  |  |  |
Montreal | 45 | 22 |  |  |  |
Totaal: |  |  |  |  |

Kopieer en voltooi die tabel.

Stad | Grade N () | Gemiddelde temp. () |  |  |  |
Kaïro | 43 | 22 | 946 |  |  |
Berlyn | 53 | 19 |  |  |  |
Londen | 40 | 18 |  |  |  |
Lagos | 6 | 32 | 192 | 36 |  |
Jerusalem | 31 | 23 | 713 | 961 |  |
Madrid | 40 | 28 |  |  |  |
Brussels | 51 | 18 | 918 |  |  |
Istanbul | 39 | 23 | 897 |  |  |
Boston | 43 | 23 | 989 |  |  |
Montreal | 45 | 22 | 990 |  |  |
Totaal: | 391 | 228 |  |  |  |

Deur van jou tabel gebruik te maak, bepaal die vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn. Rond en tot twee desimale syfers af in jou finale antwoord.

Gebruik jou sakrekenaar om jou vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn te bevestig.

Antwoord behoort soos bostaande te lyk.

Deur van jou tabel gebruik te maak, bereken die waarde van die korrelasiekoëffisiënt tot twee desimale syfers.

Wat kan jy aflei omtrent die verwantskap tussen hoe ver noord 'n stad is en sy gemiddelde temperatuur?

Daar is 'n sterk negatiewe, lineêre korrelasie tussen hoe ver noord 'n stad is (breedtegraad) en gemiddelde temperatuur.

Maak 'n benaderde skatting van die breedtegraad van Parys as dit 'n gemiddelde temperatuur van het.

'n Taxi bestuurder het die aantal kilometer wat sy taxi afgelê het per rit en sy brandstofkoste per kilometer in rand , aangeteken. Ondersoek die tabel van sy data hieronder en beantwoord die daaropvolgende vrae.

Afstand () | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 20 | 25 | 30
Koste () |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | 2

Teken 'n spreidiagram van die data.

Gebruik jou sakrekenaar om die vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn te bepaal en teken hierdie lyn op jou spreidiagram. Rond en af tot twee desimale syfers in jou finale antwoord.

Gebruik jou sakrekenaar om die korrelasiekoëffisiënt tot twee desimale plekke te bepaal.

Beskryf die verwantskap tussen die afstand afgelê per rit en die brandstofkoste per kilometer.

Daar is 'n baie sterk, negatiewe, lineêre verwantskap tussen afstand afgelê per rit en die brandstofkoste per kilometer.

Voorspel die afstand afgelê as die koste per kilometer is.

Die tyd, in sekondes, om 'n taak te voltooi en die aantal foute gemaak in die taak is aangeteken vir 'n monster van 10 primêre skool leerders. Die data word voorgestel in onderstaande tabel. [Aangepas van NKV Vraestel 3 Feb-Maart 2013]

Tyd geneem om taak te voltooi (in sekondes) | 23 | 21 | 19 | 9 | 15 | 22 | 17 | 14 | 21 | 18
Aantal foute gemaak |  |  |  |  |  |  |  |  |  |

Teken 'n spreidiagram van die data.

Wat is die invloed van meer tyd geneem om die taak te voltooi op die aantal foute gemaak?

Wanneer meer tyd geneem word om die taak te voltooi, maak die leerders minder foute.

OF

Wanneer minder tyd geneem word om die taak te votooi, maak die leerders meer foute.

Bepaal die vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn en teken hierdie lyn op jou spreidiagram. Rond en af tot twee desimale syfers in jou finale antwoord.

Bepaal die korrelasiekoëffisiënt tot twee desimale syfers.

Voorspel die aantal foute wat gemaak sal word deur 'n leerder wat 13 sekondes neem om die taak te voltooi.

Lewer kommentaar op die sterkte van die verwantskap tussen die veranderlikes.

Daar is 'n sterk negatiewe verwantskap tussen die veranderlikes.

'n Platemaatskappy ondersoek die verwantskap tussen die aantal kere wat 'n CD gespeel word op 'n nasionale radiostasie en die nasionale verkope van dieselfde CD gedurende die volgende week. Die data hieronder is versamel vir 'n ewekansige steekproef van 10 CD's. Die verkoopsyfers is afgerond tot die naaste 50. [NKV Vraestel 3 November 2012]

Aantal kere wat CD gespeel is | 47 | 34 | 40 | 34 | 33 | 50 | 28 | 53 | 25 | 46
Weeklikse verkope van die CD |  |  |  |  |  |  |  |  |  |

Teken 'n spreidiagram van die data.

Bepaal die vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn.

Bereken die korrelasiekoëffisiënt.

Voorspel, korrek tot die naaste , die weeklikse verkope vir 'n CD wat keer gespeel is op die radiostasie in die vorige week.

Lewer kommentaar op die sterkte van die verwantskap tussen die veranderlikes.

Daar is 'n baie sterk positiewe verwantskap tussen die aantal kere wat 'n CD gespeel is en die verkope van die CD in die volgende week.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

9.4 Opsomming (EMFCQC)

Kurwe passing is die proses om funksies op data te pas.

Intuïtiewe krommepassing vind plaas wanneer visueel besluit word of die punte op die spreidiagram pas by 'n lineêre, eksponensiële, kwadratiese of enige ander funksie.

Die lyn van beste passing of tendenslyn is 'n reguitlyn deur die data wat die beste benadering van die beskikbare data punte gee. Dit maak die skatting vir ontbrekende data waardes moontlik.

Interpolasie is die tegniek wat gebruik word om waardes te voorspel wat binne die omvang van die beskikbare data val.

Ekstrapolasie is die tegniek wat gebruik word om die waarde van veranderlikes te voorspel buite die omvang van die beskikbare data.

Lineêre regressie analise is 'n statistiese tegniek om uit te vind presies watter lineêre funksie pas die beste by 'n gegewe data stel.

Die kleinste kwadrate metode is 'n algebraïse metode om die lineêre regressie vergelyking te vind. Die lineêre regressie vergelyking word geskryf as , waar

Die lineêre korrelasiekoëffisiënt, , 'n maatstaf wat vir ons die krag en rigting van 'n verwantskap tussen twee veranderlikes gee, word bepaal deur die gebruik van die vergelyking :

Die korrelasiekoëffisiënt . Wanneer , is daar 'n perfekte negatiewe korrelasie , wanneer , is daar geen korrelasie nie en wanneer , is daar 'n perfekte positiewe korrelasie.

Oefening 9.5 Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Die aantal SMS boodskappe, gestuur deur 'n groep tieners, is aangeteken oor 'n tydperk van 'n week. Daar is gevind dat die data normaal versprei is met 'n gemiddelde van 140 boodskappe en 'n standaardafwyking van 12 boodskappe. [NKV Vraestel 3 Feb-Maart 2012]

Beantwoord die volgende vrae met verwysing na die informasie wat gegee is in die grafiek:

Watter persentasie tieners het minder as 128 boodskappe gestuur?

128 is 1 standaardafwyking na die linkerkant van die gemiddelde, daarom is die persentasie tieners wat minder as 128 boodskappe gestuur het:

Watter persentasie tieners het tussen 116 en 152 boodskappe gestuur ?

116 minute is 2 standaardafwykings van die gemiddelde af, dus %.

152 minute is 1 standaardafwyking van die gemiddelde af, dus %.

Persentasie tieners wat tussen 116 en 152 boodskappe gestuur het

'n Maatskappy vervaardig lekkers deur gebruik te maak van 'n masjien wat werk vir 'n paar uur per dag. Die aantal ure wat die masjien werk en die hoeveelheid lekkers vervaardig, word aangeteken.

Masjien ure
Lekkers vervaardig

Bepaal die lineêre regressie vergelyking van die data en skat die masjien ure wat nodig is om lekkers te vervaardig.

Deur die gebruik van 'n sakrekenaar, is die vergelyking:

Dus, die geskatte aantal masjien ure nodig om 300 lekkers te vervaardig is:

Die winste van 'n nuwe winkel is aangeteken vir die eerste 6 maande. Die eienaar wil sy toekomstige verkope voorspel. Die wins, per maand, was sover ; ; ; ; ; .

Bereken die lineêre regressie funksie vir die data, deur profyt te gebruik as jou -veranderlike. Rond en af tot twee desimale syfers.

Gee 'n benaderde skatting vir die volgende twee maande.

Die eienaar wil 'n profyt van maak. Skat hoeveel maande dit sal neem.

Dit sal 13 maande maande neem om 'n profyt van te maak.

'n Kitskos maatskappy vervaardig hamburgers. Die aantal hamburgers vervaardig en die koste word aangeteken vir 'n week.

Hamburgers vervaardig
Koste

Bepaal die lineêre regressie funksie wat die beste by die data pas. Gebruik hamburgers vervaardig as jou -veranderlike en rond en af tot twee desimale syfers.

Bereken die waarde van die korrelasiekoëffisiënt, korrek tot twee desimale syfers, en lewer kommentaar op die sterkte en rigting van die korrelasie.

Daar is 'n sterk, positiewe, lineêre korrelasie.

As die totale koste per dag is, skat die aantal hamburgers vervaardig. Rond jou antwoord af tot die naaste heelgetal.

Dus is 528 burgers vervaardig.

Wat is die koste van hamburgers?

'n Data stel in verband met 'n ondersoek in biseps lengte en lengte van studente is aangeteken in die tabel hieronder. Beantwoord die daaropvolgende vrae:

Lengte van regter biseps (cm)
Hoogte (cm)

Teken 'n spreidiagram van die data stel.

Bepaal vergelyking van die regressielyn.

Skets die regressielyn op die grafiek.

Bereken die korrelasiekoëffisiënt .

Watter gevolgtrekking kan jy maak met betrekking tot die verwantskap tussen die lengte van die regter biseps en die lengte van die studente in die data stel?

Die lengte van die regter biseps en die lengte van die studente het 'n sterk, positiewe lineêre verwantskap.

'n Klas het twee toetse geskryf en die onderskeie toetspunte is aangeteken in die tabel hieronder. Volpunte vir die eerste toets was , en die tweede toets het uit getel.

Leerder | Toets 1 | Toets 2
| (Volpunte: ) | (Volpunte: )

Is daar 'n sterk korrelasie tussen die punte van die eerste en tweede toets? Wys waarom of waarom nie.

Deur 'n sakrekenaar te gebruik, , wat 'n baie sterk, positiewe, lineêre korrelasie is tussen die punte van die eerste en tweede toets.

Een van die leerders (in Ry 18) het nie die tweede toets geskryf nie. Gegewe haar toetspunt vir die eerste toets, bereken 'n verwagte toetspunt vir die tweede toets. Rond die toetspunt af tot die naaste heelgetal.

Deur 'n sakrekenaar te gebruik, is die kleinste kwadrate regressielyn vergelyking:

Dus, die verwagte punt vir die tweede toets van die leerder in Ry 18 is:

Dus die verwagte punt vir die tweede toets van die leerder in ry 18, is 11 uit 30.

Lindiwe werk vir Eskom, die Suid Afrikaanse elektrisiteitsverspreider. Sy weet dat op warm dae meer elektrisiteit as die gemiddelde gebruik word om huise te verkoel. Om 'n akkurate voorspelling te kan maak oor hoeveel meer elektrisiteit gegenereer moet word, wil sy die presiese aard van die verwantskap tussen temperatuur en elektrisiteitsverbruik vasstel.

Die onderstaande data illustreer die piek temperatuur in grade Celsius op tien opeenvolgende dae gedurende die somer en die gemiddelde aantal eenhede elektrisiteit gebruik deur 'n aantal huishoudings. Ondersoek haar data en beantwoord die vrae wat daarop volg.

Piek temperatuur () | 32 | 40 | 30 | 28 | 25 | 38 | 36 | 20 | 24 | 26
Gemiddelde aantal eenhede () | 37 | 45 | 35 | 30 | 20 | 40 | 38 | 15 | 20 | 22

Teken 'n spreidiagram van die data.

Deur die formules vir en te gebruik, bepaal die vergelyking van die kleinste kwadrate lyn.

Gemiddelde aantal eenhede () | Piek temp. () |  |
37 | 32 |  |
45 | 40 |  |
35 | 30 |  | 1225
30 | 28 | 840 | 900
20 | 25 | 500 | 400
40 | 38 |  |
38 | 36 |  |
15 | 20 |  |
20 | 24 |  |
22 | 26 |  |

Bepaal die waarde van die korrelasiekoëffisiënt, , met die hand.

Ons het alreeds die waarde van met die hand bereken in bostaande vraag, so ons moet nog net en bereken.

Gemiddelde aantal eenhede () | Piek temp. () |  |
32 | 37 |  |
40 | 45 |  |
30 | 35 |  |
28 | 30 |  |
25 | 20 |  |
38 | 40 |  |
36 | 38 |  |
20 | 15 |  |
24 | 20 |  |
26 | 22 |  |

Wat kan Lindiwe aflei omtrent die verwantskap tussen piek temperature en die aantal elektrisiteitseenhede gebruik?

Daar is 'n baie sterk, positiewe, lineêre korrelasie tussen piek temperature en gemiddelde aantal elektrisiteitseenhede wat 'n huishouding gebruik.

Voorspel die gemiddelde aantal elektrisiteitseenhede gebruik deur 'n huishouding op 'n dag met 'n piek temperatuur van . Gee jou antwoord tot die naaste eenheid en identifiseer wat hierdie tipe voorspelling genoem word.

Die waarde wat ons gevra was om te voorspel, is buite die omvang van die beskikbare data. Dit staan bekend as ekstrapolasie.

Lindiwe het vermoed dat die verwantskap tussen temperatuur en elektrisiteitsverbruik nie lineêr vir alle temperature was nie. Sy het toe besluit om data vir piek temperature tot en met te versamel. Ondersoek die grafiek van haar data hieronder en identifiseer watter tipe funksie die beste sal pas op die data en beskryf die aard van die verwantskap tussen temperatuur en elektrisiteit vir die nuwe beskikbare data.

'n Kwadratiese funksie sal die beste by die data pas. Huishoudelike elektrisiteitsverbruik is op sy minimum teen omtrent gemiddeld. Soos die piek temperatuur kouer of warmer word as hierdie punt, verhoog elektrisiteitsverbruik.

Lindiwe word deur haar seniors gevra om vas te stel watter dag die beste is om onderhoud uit te voer op een van hul kragstasies. Sy het vasgestel dat die vergelyking die beste op haar data pas. Gebruik haar vergelyking om die piek temperatuur en gemiddelde aantal eenhede gebruik, te skat op die dag wat die kleinste hoeveelheid elektrisiteitsopwekking nodig is.

Die vraag verwag van ons om die minimum waarde van die kwadratiese vergelyking te bepaal. Daar is 'n paar maniere om dit te doen, twee word hieronder gewys.

Die eerste metode is om gebruik te maak van die formule :

Die eerste stap is om die vergelyking in die vorm: te skryf. Ons vergelyking is alreeds in die vorm, dus kan ons onmiddellik die waardes instel in die formule vir .

Om te bepaal, stel ons ons -waarde in die kwadratiese vergelyking: in.

'n Ander metode is om differensiasie te gebruik:

Die eerste stap is om die vergelyking in die vorm: te skryf. Ons vergelyking is alreeds in hierdie vorm, dus kan ons die vergelyking onmiddellik differensieer.

By die draaipunt, , dus kan ons nou vir oplos:

Die -waarde kan nou ingestel word in die kwadratiese vergelyking om te bepaal:

Dus is die piek temperatuur, wanneer elektrisiteitsaanvraag op sy laagste is, en die ooreenstemmende gemiddelde huishoudelike elektrisiteitsverbruik is .

Hieronder is 'n lys van data in verband met 12 lande en hul onderskeie koolsuurgas vrystellingsvlakke per persoon per jaar (gemeet in ton) en die bruto binnelandse produk (BBP is 'n maatstaf van produkte geproduseer en dienste gelewer binne 'n land gedurende 'n jaar) per persoon (in US dollars). Data is afkomstig van die Wêreldbank en die VSA se Departement van Energie se koolstofdioksied Inligting Analise Sentrum.

| vrystellings per kapita (x) | BBP per kapita (y)
Suid Afrika |  |
Thailand |  |
Italië |  |
Australië |  |
China |  |
Indië |  |
Kanada |  |
Verenigde Koninkryk |  |
Verenigde State |  |
Saudi Arabië |  |
Iran |  |
Indonesië |  |

Teken 'n spreidiagram van die data stel.

Teken jou skatting van die lyn van beste passing op jou spreidiagram aan en bepaal die vergelyking van jou lyn van beste passing.

Die -afsnit is benaderd 1000. By , is benaderd . Dus is,

Die vergelyking van die lyn wat die beste pas:

Gebruik jou sakrekenaar om die vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn te bepaal. Rond en af tot twee desimale syfers in jou finale antwoord.

en , dus

Gebruik jou sakrekenaar om die korrelasiekoëffisiënt, , te bepaal. Rond jou antwoord af tot twee desimale syfers.

Watter gevolgtrekking kan jy maak in verband met die verwantskap tussen vrystellings per jaar en BBP per kapita vir die lande in die data stel?

Daar is 'n sterk, positiewe, lineêre korrelasie tussen vrystellings per jaar en BBP per kapita vir die lande in die data stel.

Kenia het 'n BBP per kapita van . Gebruik jou vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn om die jaarlikse vrystellings van Kenia te skat, korrek tot twee desimale syfers.

'n Groep studente het op Saterdae 'n kursus in Statistiek bygewoon oor 'n periode van 10 maande. Die aantal Saterdae waarop 'n student afwesig was, is aangeteken teenoor die finale punt wat die student behaal het. Die informasie is vervat in 'n tabel hieronder. [Aangepas van NKV Vraestel 3 Feb-Maart 2012]

Aantal Saterdae afwesig | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 5 | 6 | 7
Finale punt (as ) |  |  |  |  |  |  |  |  |

Teken 'n spreidiagram van die data.

Bereken die vergelyking van die kleinste-kwadrate lyn en teken dit op jou spreidiagram.

Bereken die korrelasiekoëffisiënt.

Lewer kommentaar op die tendens van die data.

Hoe meer Saterdae afwesig, hoe laer die punt.

Voorspel die finale punt van 'n student wat vier Saterdae afwesig was.

Grant en Christie oefen saam vir 'n half-marathon oor 8 weke. Christie is baie fikser as Grant, maar sy het hom uitgedaag om haar tyd te klop in die resies. Grant het 'n strawwe oefenprogram begin volg om sodoende sy tyd te probeer verbeter.

Hulle het elke Sondag die tyd aangeteken wat dit neem om 'n half-marathon te voltooi. Die eerste opgetekende Sondag word aangedui as week 1. Die half-marathon vind plaas op die agtste Sondag, d.i. week 8. Ondersoek die data stel in the tabel hieronder en beantwoord die daaropvolgende vrae.

Week | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
Grant se tyd (HH:MM) | 02:01 | 01:59 | 01:55 | 01:53 | 01:47 | 01:42
Christie se tyd (HH:MM) | 01:40 | 01:42 | 01:38 | 01:39 | 01:37 | 01:35

Teken 'n spreidiagram van die data stelle. Teken Grant en Christie se data op dieselfde assestelsel. Gebruik 'n om Grant se data punte aan te dui en vir Christie se data punte. Omskep alle tyd in minute.

Lewer kommentaar op en vergelyk alle tendense wat jy waarneem in die data.

Albei data stelle toon negatiewe, lineêre tendense. Grant se data weerspieël 'n vinniger dalende tendens as die tendens van Christie se data.

Bepaal die vergelykings van die kleinste kwadrate regressielyne vir Grant se data en Christie se data. Teken hierdie lyne op jou spreidiagram. Gebruik verskillende kleure vir elkeen.

Bereken die korrelasiekoëffisiënt en lewer kommentaar op die passing vir elke data stel.

Aanvaar dat die waargenome tendense voortgaan. Sal Grant vir Christie klop in die resies?

Grant sal vir Christie klop as . Om die punt van interseksie van die tendense te bepaal, maak ons elke dieselfde.

Die resies vind in week 8 plaas. , dus sal dit vir Grant onmoontlik wees om Christie se tyd te klop wanneer die resies plaasvind.

Aanvaar dat die waargeneemde tendense voortgaan. Ekstrapoleer die week waarin Grant in staat sal wees om 'n half-marathon in minder tyd as Christie af te lê.

Sien antwoord e). Grant sal Christie se tyd kan klop in die negende week.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Hoofstuk 10: Waarskynlikheid

Hierdie hoofstuk skep goeie geleenthede vir eksperimente en aktiwiteite in die klaskamer waar die onderwyser teoretiese waarskynlikheid en 'n aantal moontlike rangskikkings in die praktyk kan illustreer. In die oefeninge is baie gebruik gemaak van voorbeelde uit die regte lewe en jy kan besluit om sommige van hierdie konsepte met eksperimente in die klas te illustreer.

Die terminologie en gebruik van taal in hierdie afdeling kan verwarrend wees, veral vir tweede-taal sprekers. Bespreek terminologie gereeld en beklemtoon vir leerders dat hulle vrae noukeurig moet lees.

Vereniging en snyding, of deursnit, simbole is ingesluit, maar "en" en "of" is die voorkeur notasie in CAPS.

Maak seker dat jy die verskille tussen 'en', 'of', 'slegs' en 'beide' duidelik uiteensit. Byvoorbeeld, in die alledaagse spreektaal mag daar geen verskil tussen tee- en koffiedrinkers en tee- of koffiedrinkers wees nie, maar in waarskynlikheid het die 'en' en 'of' baie spesifieke betekenisse. Tee- en koffiedrinkers verwys na die snyding van teedrinkers, d.w.s. diegene wat beide drankies drink, terwyl tee- of koffiedrinkers verwys na die vereniging, d.w.s. diegene wat slegs tee drink, die wat slegs koffie drink en die wat beide drink.

Sommige leerders mag faktoriaal notasie uitdagend vind. 'n Uitgebreide stel probleme, soos of , is ingesluit om te probeer om party van die wanopvattings uit te stryk, maar jy mag nodig hê om stadiger te beweeg met sommige leerders.

Let daarop dat die formule vir die rangskikking van verskillende items in verskillende plekke bv. NIE ingesluit is in CAPS nie en leerders behoort dus hierdie probleme logies op te los.

Wanneer die fundamentele telbeginsel op waarskynlikheidsprobleme toegepas word, mag leerders sukkel om te weet wanneer om waarkynlikhede te vermenigvuldig en wanneer om op te tel. Wanneer 'n aantal verskillende uitkomste pas by 'n gewenste resultaat, word die waarskynlikheid van al die uitkomste bymekaargetel. Wanneer die waarskynlikheid bepaal word dat twee of meer gebeurtenisse sal plaasvind, word die individuele waarskynlikhede met mekaar vermenigvuldig.

10.1 Hersiening (EMFCQD)

Terminologie (EMFCQF)

Uitkoms: 'n enkele waarneming van 'n onsekere of onwillekeurige proses (genoem 'n eksperiment). Byvoorbeeld, wanneer jy per ongeluk 'n boek laat val, mag dit op die voorkant van die boek val, of op die rugkant of op 'n sykant. Elk van hierdie opsies is 'n moontlike uitkoms.

Steekproefruimte van 'n eksperiment: die versameling van alle moontlike uitkomste van die eksperiment. Byvoorbeeld, die steekproefruimte wanneer jy 'n enkele -kantige dobbelsteen gooi, is die versameling . Vir 'n gegewe eksperiment, is daar presies een steekproefruimte. Die steekproefruimte word aangedui met die letter .

Gebeurtenis: 'n versameling uitkomste vir 'n eksperiment. Byvoorbeeld, as jy 'n standaard pak van 52 kaarte het, kan 'n uitkoms wees om 'n skoppens kaart of 'n koning kaart te trek.

Waarskynlikheid van 'n gebeurtenis: 'n reële getal tussen en , met die eindwaardes ingesluit, wat beskryf hoe groot die kans is dat 'n gebeurtenis sal plaasvind. 'n Waarskynlikheid van beteken die uitkoms van die eksperiment sal nooit in die gebeurtenisversameling wees nie. 'n Waarskynlikheid van beteken die uitkoms van die eksperiment sal altyd in die gebeurtenisversameling wees. Wanneer alle moontlike uitkomste van 'n eksperiment 'n gelyke kans het om te gebeur, is die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis die aantal uitkomste in die gebeurtenisversameling as 'n breuk van die aantal uitkomste in die steekproefruimte. Om 'n waarskynlikheid te bereken, verdeel jy die aantal suksesvolle uitkomste deur die aantal moontlike uitkomste.

Relatiewe frekwensie van 'n gebeurtenis: die aantal kere wat die gebeurtenis voorkom gedurende eksperimentele proewe, verdeel deur die totale aantal proewe uitgevoer. Byvoorbeeld, as ons 'n muntstuk kere opskiet en dit land keer op kop, dan is die relatiewe frekwensie van die kop-uitkoms .

Vereniging van gebeurtenisse: die versameling van alle uitkomste wat voorkom in ten minste een van die gebeurtenisse. Vir gebeurtenisse, genoem en , skryf ons die vereniging as “”. 'n Ander manier om die vereniging te skryf is om versamelingnotasie te gebruik: . Byvoorbeeld, as al die lande in Afrika is en al die lande in Europa, is of al die lande in Afrika en Europa tesame.

Deursnit van gebeurtenisse: die versameling van alle uitkomste wat voorkom in al die gebeurtenisse. Vir gebeurtenisse en , skryf ons die deursnit as “”. 'n Ander manier om die deursnit te skryf, is om versamelingnotasie te gebruik: . Byvoorbeeld, as sokkerspelers is en krieketspelers, sal en verwys na diegene wat beide sokker en krieket speel.

Wedersyds uitsluitende gebeurtenisse: gebeurtenisse met geen gemeenskaplike uitkoms nie, , is 'n leë versameling. Wedersyds uitsluitende gebeurtenisse kan nooit gelyktydig voorkom nie. Byvoorbeeld, die gebeurtenisse dat 'n getal ewe is en dat dieselfde getal onewe is, is wedersyds uitsluitend aangesien dieselfde getal nooit ewe en onewe kan wees nie.

Komplementêre gebeurtenisse: twee wedersyds uitsluitende gebeurtenisse wat altesaam al die uitkomste in die steekproefruimte bevat. Vir 'n gebeurtenis , skryf ons die komplement as “”. 'n Ander notasie of skryfwyse vir die komplement is .

Afhanklike en onafhanklike gebeurtenisse: twee gebeurtenisse, en , is onafhanklik as die uitkoms van die eerste gebeurtenis nie die uitkoms van die tweede gebeurtenis beïnvloed nie. Byvoorbeeld, as jy 'n muntstuk opskiet en dit land op stert en jy skiet dit weer op en dit land op kop, beïnvloed die een uitkoms nie die ander een nie. Twee gebeurtenisse, C en D, is afhanklik as die uitkoms van die een gebeurtenis die uitkoms van die ander een beïnvloed. Byvoorbeeld, as jou kosblik toebroodjies en appels bevat, en jy eet een van die items, sal dit die aantal keuses, wanneer jy besluit om 'n tweede item te eet, beïnvloed.

Video: 2BWC

10.2 Identiteite (EMFCQG)

Die optelreël (ook genoem die somreël) vir enige gebeurtenisse, en is: Hierdie reël gee die verband tussen die waarskynlikhede van gebeurtenisse en hulle vereniging en snyding.

Die optelreël vir wedersyds uitsluitende gebeurtenisse is: Hierdie reël is 'n spesiale geval van die vorige reël. Omdat die gebeurtenisse wedersyds uitsluitend is, .

Die komplementreël is: Hierdie reël is 'n spesiale geval van die vorige reël. Aangesien en komplementêr is, .

Die produkreël vir onafhanklike gebeurtenisse en is:

As twee gebeurtenisse en afhanklik is, sal:

Net omdat twee gebeurtenisse wedersyds uitsluitend is, beteken dit nie noodwendig dat hulle onafhanklik is nie. Om te toets of gebeurtenisse wedersyds uitsluitend is, toets ons altyd of . Om te toets of gebeurtenisse onafhanklik is, toets ons altyd of . Sien die oefeninge hieronder vir voorbeelde van gebeurtenisse wat wedersyds uitsluitend en onafhanklik is in verskillende kombinasies.

Uitgewerkte voorbeeld 1: Afhanklike en onafhanklike gebeurtenisse

Skryf neer watter van die volgende gebeurtenisse afhanklik en watter onafhanklik is.

Die leerderraad kies 'n hoofleier en daarna 'n onderhoofleier.

'n Sak bevat blou albasters en rooi albasters. Jy neem 'n rooi albaster uit die sak en sit dit dan terug voor jy weer 'n ander albaster uit die sak haal.

Vra die vraag: Het die beskikbare keuses vir die tweede gebeurtenis verander as gevolg van die eerste gebeurtenis

Ja, want nadat die hoofleier gekies is, is daar minder raadslede beskikbaar waaruit die onderleier gekies kan word. Daarom is die twee gebeurtenisse afhanklik.

Nee, want as jy die eerste albaster terugsit in die sak, is daar dieselfde aantal en kleursamestelling van keuses vir die tweede albaster. Die twee gebeurtenisse is onafhanklik.

Uitgewerkte voorbeeld 2: Onafhanklike en afhanklike gebeurtenisse

'n Sak bevat geel en swart krale. Ons haal enige albaster uit die sak, teken sy kleur aan en sit dit terug in die sak. Ons haal dan weer enige kraal uit die sak en teken sy kleur aan.

Wat is die waarskynlikheid dat die eerste kraal geel is?

Wat is die waarskynlikheid dat die tweede kraal swart is?

Wat is die waarskynlikheid dat die eerste kraal geel en die tweede kraal swart sal wees?

Is 'n geel eerste kraal en 'n swart tweede kraal onafhanklike gebeurtenisse?

Waarskynlikheid van 'n geel kraal eerste

Aangesien daar 'n totaal van krale is, waarvan geel is, is die waarskynlikheid om 'n geel kraal eerste te trek

Waarskynlikheid van 'n swart kraal tweede

Dit is gegee dat die eerste kraal teruggesit word in die sak voor ons die tweede kraal uithaal. Dit beteken dat wanneer ons die tweede kraal trek, is daar weer 'n totaal van krale in die sak, waarvan swart is. Dus, die waarskynlikheid om 'n swart kraal te trek is

Waarskynlikheid van geel eerste en swart tweede

Wanneer twee krale uit die sak gehaal word, is daar moontlikhede. Ons kan

'n geel kraal en dan weer 'n geel kraal

'n geel kraal en dan 'n swart kraal

'n swart kraal en dan 'n geel kraal

'n swart kraal en dan weer 'n swart kraal

kry.

Ons wil die waarskynlikheid bepaal vir die tweede uitkoms in die geval waar ons 'n geel kraal eerste uithaal. Aangesien daar geel krale is en krale altesaam, is daar maniere om 'n geel kraal eerste te kry. Nou sit ons die eerste kraal terug sodat daar weer geel krale en swart krale in die sak is. Dus daar is maniere om 'n swart kraal tweede te trek as die eerste kraal geel was. Dit beteken daar is maniere om 'n geel kaart eerste en 'n swart kraal tweede te trek. So, die waarskynlikheid om 'n geel kraal eerste en 'n swart kraal tweede te trek is .

Afhanklik of onafhanklik?

Volgens die definisie is gebeurtenisse onafhanklik as en slegs as

In hierdie probleem:

Aangesien , is die gebeurtenisse onafhanklik.

Video: 2BWD

Uitgewerkte voorbeeld 3: Onafhanklike en afhanklike gebeurtenisse

In die vorige voorbeeld het ons enige kraal uitgehaal en dit teruggesit in die sak voor ons verder gegaan het. Dit word genoem onttrekking met vervanging. In hierdie uitgewerkte voorbeeld, sal ons dieselfde prosedure volg, behalwe dat ons nie die eerste kraal terugsit in die sak nie. Dit word genoem onttrekking sonder vervanging.

Dus, ons trek enige kraal uit 'n sak met rooi en groen krale en teken sy kleur aan. Dan, sonder om hierdie eerste kraal terug te sit, trek ons enige ander kraal uit die sak en teken die kleur aan.

Wat is die waarskynlikheid dat die eerste kraal rooi sal wees?

Wat is die waarskynlikheid dat die tweede kraal groen sal wees?

Wat is die waarskynlikheid dat die eerste kraal rooi is en die tweede kraal groen?

Is die gebeurtenisse dat eerste kraal rooi en die tweede kraal groen sal wees, onafhanklik?

Tel die aantal uitkomste

Ons sal die aantal maniere ondersoek waarop ons die verskillende moontlike uitkomste kan kry wanneer ons krale uithaal. Die moontlike uitkomste is

'n rooi kraal en dan weer 'n rooi kraal (RR);

'n rooi kraal en dan 'n groen kraal (RG);

'n groen kraal en dan 'n rooi kraal (GR);

'n groen kraal en dan nog 'n groen kraal (GG).

Vir die eerste uitkoms moet ons 'n rooi kraal eerste kry. Aangesien daar rooi krale is en krale in totaal, is daar maniere om 'n rooi kraal eerste te kry. Nadat ons 'n rooi kraal eerste uitgehaal het, is daar nou rooi krale en groen krale oor. Dus daar is maniere om 'n rooi kraal tweede te kry as die eerste kraal ook rooi was. Dit beteken dat daar maniere is om 'n rooi kraal eerste sowel as 'n rooi kraal tweede te kry. Die waarskynlikheid van die eerste uitkoms is .

Vir die tweede uitkoms moet ons 'n rooi kraal eerste kry. Soos in die eerste uitkoms, is daar maniere om 'n rooi kraal eerste te kry en daar is nou rooi krale en groen krale oor. Dus daar is maniere om 'n groen kraal tweede te kry as die eerste kraal rooi was. Dit beteken dat daar maniere is om 'n rooi kraal eerste en 'n groen kraal tweede te kry. Die waarskynlikheid van die tweede uitkoms is .

In die derde uitkoms is die eerste kraal groen en die tweede is rooi. Dus daar is maniere om 'n groen kraal eerste te kry en daar is nou groen en rooi krale oor. Dus daar is maniere om 'n rooi kraal tweede te kry as die eerste kraal groen was. Dit beteken dat daar maniere is om 'n rooi kraal eerste en 'n groen kraal tweede te kry. Die waarskynlikheid van die derde uitkoms is .

In die vierde uitkoms is die eerste en tweede krale beide groen. Aangesien daar groen krale en krale in totaal is, is daar maniere om 'n groen kraal eerste te kry. Nadat ons 'n groen kraal uitgehaal het, bly daar rooi krale en groen krale oor in die sak. Dus daar is maniere om 'n groen kraal tweede te trek as die eerste kraal ook groen was. Dit beteken dat daar maniere is om 'n groen kraal eerste en 'n groen kraal tweede te kry. Dus die waarskynlikheid van die vierde uitkoms is .

Om op te som, hierdie is die moontlike uitkomste en hulle waarskynlikhede:

eerste kraal rooi en tweede kraal rooi (RR): ;

eerste kraal rooi en tweede kraal groen (RG): ;

eerste kraal groen en tweede kraal rooi (GR): ;

eerste kraal groen en tweede kraal groen (GG): .

Waarskynlikheid van 'n rooi kraal eerste

Om die waarskynlikheid te bepaal om 'n rooi kraal met die eerste trekking te kry, kyk ons na al die uitkomste wat 'n rooi kraal eerste bevat. Dit is

'n rooi kraal en dan weer 'n rooi kraal (RR);

'n rooi kraal en dan 'n groen kraal (RG)

Die waarskynlikheid van die eerste uitkoms is en die waarskynlikheid van die tweede uitkoms is . Deur die twee waarskynlikhede bymekaar te tel, sien ons dat die waarskynlikheid om 'n rooi kraal eerste te trek, is.

Dit is dieselfde as in die vorige uitgewerkte voorbeeld, wat nie 'n verrassing behoort te wees nie aangesien die waarskynlikheid van die eerste kraal rooi, nie beïnvloed word daardeur of ons die eerste kraal terugsit in die sak voor die tweede trekking of nie.

Waarskynlikheid van 'n groen kraal tweede

Om die waarskynlikheid te bepaal om 'n groen kraal met die tweede trekking te kry, kyk ons na al die uitkomste wat 'n groen kraal tweede bevat. Hulle is

'n rooi kraal en dan 'n groen kraal (RG)

'n groen kraal en dan nog 'n groen kraal(GG)

Die waarskynlikheid van die eerste uitkoms is en die waarskynlikheid van die tweede uitkoms is . Deur hierdie twee waarskynlikhede bymekaar te tel, sien ons die waarskynlikheid van 'n groen kraal tweede is

Waarskynlikheid van rooi eerste en groen tweede

Ons het alreeds die waarskynlikheid bereken dat die eerste kraal rooi en die tweede kraal groen is (RG). Dit is .

Afhanklik of onafhanklik?

Volgens die definisie is gebeurtenisse onafhanklik as en slegs as

In hierdie probleem:

Aangesien , is die gebeurtenisse afhanklik.

Uitgewerkte voorbeeld 4: Die optelreël vir wedersyds uitsluitende gebeurtenisse

'n Steekproefruimte, , bestaan uit al die natuurlike getalle kleiner as . is die gebeurtenis om 'n ewe getal te trek in 'n ewekansige trekking. is die gebeurtenis om in so 'n trekking 'n priemgetal te trek. Is en wedersyds uitsluitende gebeurtenisse? Bewys dit deur die optelreël te gebruik.

Skryf die steekproefruimte neer

Die steekproefruimte bevat al die natuurlike getalle kleiner as .

Skryf die gebeurtenisse neer

Die ewe natuurlike getalle kleiner as is :

Die priemgetalle kleiner as is :

Deur ons gebeurtenisversamelings neer te skryf, kan ons alreeds sien dat en die gebeurtenis deel en dat hulle dus nie wedersyds uitsluitend is nie. Maar, die vraag verwag van ons om dit te bewys deur die optelreël te gebruik, so laat ons voortgaan om dit te doen.

Bereken die waarskynlikhede

Die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis is die aantal uitkomste in die gebeurtenisversameling gedeel deur die getal uitkomste in die steekproefruimte. Daar is uitkomste in die steekproefruimte.

Aangesien daar uitkomste is in die gebeurtenisversameling,

Aangesien daar uitkomste is in die gebeurtenisversameling,

Die gebeurtenis van 'n priemgetal of 'n ewe getal is die vereniging van bogenoemde twee gebeurtenisversamelings. Daar is elemente in die vereniging van die gebeurtenisversamelings, dus .

Is die twee gebeurtenisse wedersyds uitsluitend?

Om te toets of twee gebeurtenisse wedersyds uitsluitend is, kan ons die optelreël gebruik. Vir twee wedersyds uitsluitende gebeurtenisse, Dus die snyding van en is nie-nul. Dit beteken dat die gebeurtenisse en nie wedersyds uitsluitend is nie.

Uitgewerkte voorbeeld 5: Die optelreël

Die waarskynlikheid dat 'n persoon tee drink is . Die waarskynlikheid dat 'n persoon koffie drink is . Die waarskynlikheid dat 'n persoon tee drink of koffie drink of beide, is . Bepaal die waarskynlikheid dat 'n persoon tee sowel as koffie drink.

Bepaal of die gebeurtenisse wedersyds uitsluitend is

Laat die waarskynlikheid dat 'n persoon tee drink en die waarksynlikheid dat 'n persoon koffie drink .

Vanaf die inligting wat in die vraag gegee is, weet ons dat:

Dus die gebeurtenisse is nie wedersyds uitsluitend nie.

Bereken die waarskynlikheid dat 'n persoon tee en koffie drink.

Deur die optelreël te gebruik, weet ons dat:

Dus die waarskynlikheid dat 'n persoon tee sowel as koffie drink, is .

Video: 2BWF

Uitgewerkte voorbeeld 6: Die komplementreël

Joe wil 'n snoepwinkel by sy skool oopmaak maar hy is nie seker watter soorte koeldranke hy in voorraad moet hou nie. Voordat hy oopmaak, ondervra hy 'n steekkproef van leerders om te bepaal van watter soorte koeldranke hulle hou. Uit sy navorsing het hy bepaal dat die waarskynlikheid dat 'n leerder kola drink, is , die waarskynlikheid dat 'n leerder limonade drink, is en die waarskynlikheid dat 'n leerder nie een van die twee drink nie, is . Bepaal:

die waarskynlikheid dat 'n leerder kola en limonade drink.

die waarskynlikheid dat 'n leerder slegs kola of slegs limonade drink.

Bepaal die waarskynlikheid dat 'n leerder kola of limonade drink

Laat die waarskynlikheid dat 'n leerder kola drink en die waarskynlikheid dat 'n leerder limonade drink .

Vanaf die inligting wat in die vraag gegee is, weet ons dat:

Gebruik die komplementreël:

Bereken die waarskynlikheid dat 'n leerder kola en limonade drink

Gebruik die optelreël:

Die waarskynlikheid dat 'n leerder beide kola en limonade drink, is .

Bepaal die waarskynlikheid dat 'n leerder slegs kola of slegs limonade drink

Hierdie vraag verwag van ons om die waarskynlikheid te bereken dat 'n leerder van limonade of van kola hou, maar nie van beide nie. Ons kan dit skryf as: aangesien 'n leerder van kola of van limonade kan hou, maar nie van albei nie.

Ons weet alreeds en , dus die waarskynlikheid van 'n leerder wat slegs kola of slegs limonade drink is .

Oefening 10.1Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bepaal of die volgende gebeurtenisse afhanklik of onafhanklik is en gee 'n rede vir jou antwoord:

Joan het 'n boks met geel, groen en oranje lekkers. Sy haal 'n geel lekker uit en eet dit. Dan kies sy 'n ander lekker en eet dit.

Die twee gebeurtenisse is afhanklik omdat daar minder lekkers is om van te kies as sy die tweede keuse maak.

Vuzi gooi 'n dobbelsteen tweekeer.

Die twee gebeurtenisse is onafhanklik omdat die uitkoms van die eerste gooi geen invloed het op die uitkoms van die tweede gooi nie.

Celia kies enige kaart uit 'n pak van 52 kaarte. Sy is ongelukkig met haar keuse, dus sit sy die kaart terug in die pak, skommel die kaarte en kies 'n tweede kaart.

Die twee gebeurtenisse is onafhanklik omdat die versameling kaarte in die pak onveranderd is elke keer wat Celia willekeurig 'n kaart kies.

Thandi het 'n sak krale. Sy kies willekeurig 'n geel kraal, kyk daarna en sit dit terug in die sak. Sy kies enige ander kraal, sien dit is rooi en sit dit terug in die sak.

Die twee gebeurtenisse is onafhanklik omdat daar dieselfde versameling krale is elke keer wat Thandi een kies.

Mark het 'n houer met sakrekenaars. Party van hulle werk, ander is stukkend. Hy kies 'n sakrekenaar op 'n ewekansige manier, sien dat dit nie werk nie en gooi dit weg. Hy kies dan 'n ander sakrekenaar, sien dat dit werk en hou dit.

Die twee gebeurtenisse is afhanklik omdat Mark minder sakrekenaars het om van te kies wanneer hy weer een vat.

Dit word gegee dat ; en ,

Is gebeurtenisse en wedersyds uitsluitend? Gee 'n rede vir jou antwoord.

Vir die gebeurtenisse om wedersyds uitsluitend te wees, moet gelyk wees aan . In hierdie geval = , dus die gebeurtenisse is nie wedersyds uitsluitend nie.

Is die gebeurtenisse en onafhanklik? Gee 'n rede vir jou antwoord.

Vir gebeurtenisse om onafhanklik te wees:

Dus die gebeurtenisse is onafhanklik.

Is en in die volgende voorbeelde afhanklik of onafhanklik?

Dus die gebeurtenisse is afhanklik.

Dus die gebeurtenisse is onafhanklik.

.

Is en wedersyds uitsluitend?

Vir en om wedersyds uitsluitend te wees: .

Die gebeurtenisse is dus nie wedersyds uitsluitend nie.

Is en onafhanklik?

Vir A en B om onafhanklik te wees,

Dus die gebeurtenisse is onafhanklik.

Simon gooi 'n dobbelsteen tweemaal. Wat is die waarskynlikheid om die volgende te kry:

twee drieë?

'n priemgetal en dan 'n ewe getal?

Daar is 3 moontlike priemgetalle op die dobbelsteen, naamlik 2, 3 en 5, en daar is 3 moontlike ewe getalle, naamlik 2, 4 en 6.

geen drieë?

As geen drieë gegooi word nie, dan bly daar 5 moontlikhede oor vir elk van die gebeurtenisse.

slegs een drie?

In die steekproefruimte is daar 36 moontlike uitkomste. Daar is twee maniere om slegs een drie te kry: om 'n 3 te kry met die eerste gooi en 'n ander getal as 3 met die tweede gooi, of 'n 3 met die tweede gooi en 'n ander getal as 3 met die eerste gooi. Die uitkomste wat slegs een 3 bevat is: ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

ten minste een drie?

In die steekproefruimte is daar 36 moontlike uitkomste. Die uitkomste wat ten minste een 3 bevat, is: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Die sokkerspan van Mandalay Sekondêre Skool moet beide van hulle volgende twee wedstryde wen om te kwalifiseer vir die finaal. Die waarskynlikheid dat Mandalay Sekondêr hulle eerste sokkerwedstryd teen Ihlumelo Hoërskool wen, is en die waarskynlikheid dat hulle hulle tweede sokkerwedstryd teen Masiphumelele Sekondêr wen, is . Aanvaar elke wedstryd is 'n onafhanklike gebeurtenis.

Wat is die waarskynlikheid dat hulle sal deurdring na die finaal?

Wat is die waarskynlikheid dat hulle nie een van hierdie wedstryde wen nie?

Om die waarskynlikheid te bereken dat geen wedstryd gewen word nie, gebruik:

Hierdie oplossing maak gebruik van die komplementreël waarmee leerders bekend behoort te wees. Ons sal die reël later in meer detail hersien.

Wat is die waarskynlikheid dat hulle slegs een van hulle wedstryde wen?

Daar is twee moontlike uitkomste: wen-nie wen of nie wen-wen. Laat wen .

Jy is gevra om aan te neem dat die wedstryde onafhanklike gebeurtenisse is, maar dit is in realiteit onwaarskynlik. Noem sommige faktore wat jy dink wat mag aanleiding gee daartoe dat die uitkomste van die wedstryde afhanklik is?

Dit is 'n oop-einde vraag wat ontwerp is om leerders krities te laat dink oor die afhanklike of onafhanklike aard van regte lewe gebeurtenisse. Voorbeeld antwoorde kan insluit besering of skorsing van spelers gedurende die eerste wedstryd, spanmoraal indien hulle die eerste wedstryd wen of verloor, ens.

'n Potloodsakkie bevat 2 rooi penne en 4 groen penne. 'n Pen word uitgehaal uit die sak en dan teruggeplaas voordat 'n tweede pen uitgehaal word. Bereken:

Die waarskynlikheid om 'n rooi pen eerste raak te vat as 'n groen pen tweede getrek word.

Die gebeurtenisse is onafhanlik, dus:

Die waarskynlikheid om 'n groen pen tweede te trek as die eerste pen wat uitgehaal is, rooi was.

Die gebeurtenisse is onafhanlik, dus:

Die waarskynlikheid om 'n rooi pen eerste en 'n groen pen tweede te trek.

'n Kosblik bevat toebroodjies en appels. Vuyele kies 'n kositem willekeurig en eet dit. Hy kies dan 'n ander kositem willekeurig en eet dit. Bepaal die volgende:

Die waarskynlikheid dat die eerste item 'n toebroodjie is.

Die waarskynlikheid dat die eerste item 'n toebroodjie en die tweede item 'n appel is.

Eerste item toebroodjie en tweede item appel (SA):

Die waarskynlikheid dat die tweede item 'n appel is.

Daar is twee moontlike uitkomste om 'n appel tweede te eet:

eerste item toebroodjie en tweede item appel (SA):

eerste item appel en tweede item appel(AA):

Is die gebeurtenisse in a) en c) afhanklik? Bevestig you antwoord met 'n berekening.

Dus die gebeurtenisse is afhanklik.

Gegewe dat ; en , bepaal deur berekening of gebeurtenisse en :

wedersyds uitsluitend is.

Dus, en is nie wedersyds uitsluitend nie.

onafhanklik is.

Gevolglik is en onafhanklik.

en is twee gebeurtenisse in 'n steekproefruimte waar ; en . Bepaal die waarde van as:

en wedersyds uitsluitend is.

Vir en om wedersyds uitsluitend te wees:

en onafhanlik is.

Vir en om onafhanklik te wees:

en is twee gebeurtenisse in die steekproefruimte waar ; ; en . Bepaal:

of gebeurtenisse en onafhanklik is. Bevestig jou antwoord met 'n berekening.

Vir onafhanklike gebeurtenisse

Gevolglik is en onafhanklik.

Die waarskynlikheid dat 'n Wiskunde onderwyser op 'n sekere dag afwesig gaan wees van die skool is . Die waarskynlikheid dat die Wetenskap onderwyser op dieselfde dag afwesig gaan wees, is .

Dink jy hierdie twee gebeurtenisse is onafhanklik? Gee 'n rede vir jou antwoord.

Leerder afhanklik. Byvoorbeeld: Nee, daar kan 'n virus of 'n siekte wees wat deur die skool versprei, en daarom kan die afwesigheid van beide onderwysers afhanklik wees.

Aanvaar die gebeurtenisse is onafhanklik, wat is die waarskynlikheid dat die Wiskunde onderwyser of die Wetenskap onderwyser afwesig sal wees?

Laat die waarskynlikheid dat die Wiskunde onderwyser afwesig is wees en die waarskynlikheid dat die Wetenskap onderwyser afwesig is wees.

Wat is die waarskynlikheid dat nie die Wiskunde onderwyser of die Wetenskap onderwyser afwesig is nie?

Langa Krieketklub speel twee krieket wedstryde teen verskillende klubs. Die waarskynlikheid dat hulle die eerste wedstryd wen, is en die waarskynlikheid dat hulle die tweede wedstryd wen, is . As ons aanvaar die uitslae van die wedstryde is onafhanklik, bereken die waarskynlikheid dat Langa Krieketklub:

beide wedstryde sal wen.

Laat die waarskynlikheid wees dat hulle die eerste wedstryd wen en die waarskynlikheid dat hulle die tweede wedstryd wen.

nie die eerste wedstryd wen nie.

een of albei van die twee wedstryde wen.

nie een van die twee wedstryde wen nie.

wen nie die eerste wedstryd nie en wen die tweede wedstryd.

Twee spanne werk aan die finale probleem in 'n Wiskunde Olimpiade. Hulle het 10 minute oor om die probleem klaar te maak. Die waarskynlikheid dat span A die probleem betyds gaan oplos, is % en die waarskynlikheid dat span B die probleem betyds gaan oplos, is %. Bereken die waarskynlikheid dat beide spanne sal klaarmaak voor die tyd verby is.

Laat die waarskynlikheid dat span A sal klaarkry wees en die waarskynlikheid dat span B sal klaarkry wees. Die spanne werk apart, dus die twee gebeurtenisse is onafhanklik.

Thabo en Julia het gestry of mense tee of koffie verkies. Thabo het voorgestel dat hulle 'n ondersoek doen om die geskil op te los. In totaal het hulle 24 mense gevra en gevind dat 8 van hulle verkies om koffie te drink en 12 van hulle verkies om tee te drink. Die getal mense wat tee, koffie of beide drink, is 16. Bepaal:

die waarskynlikheid dat 'n persoon tee of koffie of beide drink.

Laat die aantal mense wees wat koffie drink en die aantal mense wat tee drink.

die waarskynlikheid dat 'n persoon nie tee of koffie drink nie.

die waarskynlikheid dat 'n persoon koffie en tee drink.

die waarskynlikheid dat 'n persoon nie koffie drink nie.

of die gebeurtenis dat 'n persoon koffie drink en die gebeurtenis dat 'n persoon tee drink onafhanklik is.

Dus die gebeurtenisse is onafhanklik.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

10.3 Hulpmiddels en tegnieke (EMFCQH)

Venndiagramme word gebruik om te toon hoe gebeurtenisse verwant is aan mekaar. 'n Venndiagram kan baie help wanneer berekeninge met waarskynlikhede gedoen word. In 'n Venndiagram word elke gebeurtenis voorgestel met 'n vorm, dikwels 'n sirkel of 'n reghoek. Die gebied binne die vorm verteenwoordig die uitkomste ingesluit in die gebeurtenis en die gebied buite die vorm verteenwoordig die uitkomste wat nie in die gebeurtenis ingesluit is nie.

Boomdiagramme is nuttig vir die organisering en die visualisering van die verskillende moontlike uitkomste van 'n reeks, of opeenvolging, van gebeurtenisse. Elke tak van die boom wys 'n uitkoms van 'n gebeurtenis, tesame met die waarskynlikheid van daardie uitkoms. Vir elke moontlike uitkoms van die eerste gebeurtenis, trek ons 'n lyn waarby ons die waarskynlikheid skryf van daardie uitkoms en die toestand van die wereld as daardie uitkoms realiseer. Dan doen ons dieselfde vir elke moontlike uitkoms van die tweede gebeurtenis. Die waarskynlikheid van 'n reeks uitkomste word bereken as die produk van die waarskynlikhede langs al die takke van die reeks.

Twee-rigting tabelle is 'n hulpmiddel om rekord te hou van die tellings of persentasies in 'n waarskynlikheidsprobleem. Twee-rigting tabelle is veral baie nuttig om uit te pluis of gebeurtenisse afhanklik of onafhanklik is.

Uitgewerkte voorbeeld 7: Venndiagramme

Daar is 200 seuns in Graad 12 by Marist Brothers Hoërskool. Hulle deelname aan sport kan as volg afgebreek word:

107 speel rugby

90 speel sokker

63 speel krieket

35 speel rugby en sokker

23 speel rugby en krieket

15 speel rugby, sokker en krieket

190 seuns speel rugby, sokker en krieket

Hoeveel van die seuns neem nie deel een van hierdie sportsoorte nie?

Trek 'n Venndiagram om die gegewe inligting te illustreer en gebruik dit om die volgende vrae te beantwoord:

Hoeveel spelers speel sokker en krieket, maar nie rugby nie?

Wat is die waarskynlikheid dat 'n willekeurig gekose Graad 12 seun by Marist Brothers Hoërskool sal deelneem aan ten minste twee van die sportsoorte: rugby, sokker of krieket? Gee jou antwoord korrek tot 3 desimale plekke.

Bereken die aantal seuns wat geeneen van die genoemde sportsoorte speel nie

Ten einde die aantal seuns te bereken wat aan geen van hierdie sportsoorte deelneem nie, trek ons die aantal seuns wat aan enige van die drie sportsoortedeelneem af van die totale aantal seuns in die steekproefruimte.

Dus seuns speel nie rugby, krieket of sokker nie.

Trek die buitelyn van die Venndiagram

Laat: die steekproefruimte; rugby; sokker en krieket. Sit hierdie inligting op die Venn diagram:

Bereken die tellings vir verskillende groeperings

Die volgende groeperings bestaan:

Rugby, krieket en sokker:

Rugby en sokker maar nie krieket nie:

Rugby en krieket maar nie sokker nie:

Krieket en sokker maar nie rugby nie:

Slegs rugby:

Slegs sokker:

Slegs krieket:

Nie rugby, krieket of sokker nie:

Vul die tellings in op die Venndiagram

Bereken die onbekende waardes

Aangesien 190 van die seuns aan ten minste een van die sportsoorte deelneem en deur die waardes op ons Venndiagram te gebruik, kan ons die volgende vergelyking opstel om vir op te los.

Ons weet dat:

Dus daar is 12 seuns wat krieket en sokker speel, maar nie rugby nie.

Bereken die waarskynlikheid dat 'n willekeurig gekose Graad 12 seun ten minste twee van die sportsoorte speel

Ons weet wat die aantal seuns is wat twee of meer van die sportsoorte rugby, krieket of sokker speel, en ons weet wat is die totale aantal seuns. Dus kan ons die waarskynlikheid bereken deur die volgende vergelyking te gebruik:

Gevolglik is die waarskynlikheid dat 'n willekeurig gekose Graad 12 seun ten minste 2 van óf rugby óf krieket óf sokker speel, of %.

Video: 2BWZ

Uitgewerkte voorbeeld 8: Boomdiagramme

Die waarskynlikheid dat die vloer van 'n supermark nat sal wees wanneer dit oopmaak in die oggend is % en daar is 'n % waarskynlikheid dat die vloer baie nat sal wees. Die waarskynlikheid dat 'n persoon sal gly en val as die vloer droog is, is % en dit is driemaal meer waarskynlik dat 'n persoon sal val as die vloer nat is. As die vloer baie nat is, is die waarskynlikheid dat 'n persoon sal val . Trek 'n boomdiagram om die gegewe inligting voor te stel, toon die waarskynlikhede van elke uitkoms en gebruik dit om die volgende vrae te beantwoord:

Wat is die waarskynlikheid dat 'n persoon op enige gegewe dag sal val?

Wat is die waarskynlikheid dat 'n persoon op enige gegewe dag nie sal val nie?

Is die gebeurtenisse dat die vloer droog is en dat 'n persoon val onafhanklik? Bevestig jou antwoord met 'n berekening.

Identifiseer die gebeurtenisse

Daar is drie uitkomste vir die vloer, naamlik droog, nat of baie nat en twee uitkomste vir 'n persoon, naamlik val of nie val nie.

Trek die eerste vlak van die boomdiagram

Hierdie boomdiagram toon die moontlik uitkomste en waarskynlikhede van die status van die vloer.

Trek die tweede vlak van die boomdiagram

Hierdie boomdiagram toon die moonlike uitkomste en waarskynlikhede gebaseer daarop of die vloer baie nat, nat of droog is. Onthou die som van die waarskynlikhede vir enige stel of vlak van vertakkings is 1. Gebruik dit as 'n logiese kontrole wanneer jy die boomdiagram saamstel.

Bereken die waarskynlikhede van die verskeie uitkomste

Ons kan die waarskynlikheid van elke uitkoms bereken deur die vermenigvuldiging van die waarskynlikhede langs die pad vanaf die begin van die boom tot die einde van die tak wat die gewenste uitkoms bevat.

Bereken die waarskynlikheid van val of nie val

Ons kan die waarskynlikheid bereken van val of nie val deur die waarskynlikhede van al die verwagte uitkomste op te tel.

Dus, die waarskynlikheid om te val op 'n gegewe dag is % en die waarskynliheid van nie val is %.

Bepaal of 'n vloer wat droog is en 'n persoon wat val, onafhanklike gebeurtenisse is

Logies lyk dit asof hierdie gebeurtenisse afhanklik is maar die vraag verwag van ons om dit te bewys met 'n berekening. Ons kan dit doen deur die reël vir onafhanklike gebeurtenisse te gebruik:

Dus kan ons tot die gevolgtrekking kom dat die vloer wat droog is en 'n persoon wat val afhanklike gebeurtenisse is.

Oefening 10.2Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

'n Opname is gedoen onder 'n groep leerders om te bepaal watter tipe TV programme hulle geniet: aksie, komedie of drama. Laat aksie, komedie en drama wees. Die resultaat van die opname word getoon in die Venndiagram hier onder.

Bestudeer die Venndiagram en bepaal die volgende:

die totale aantal leerders in die opname

die aantal leerders wat geeneen van die genoemde tipes TV programme geniet nie

die waarskynlikheid dat 'n leerder ten minste twee van hierdie tipes TV programme geniet

Beskryf, in woorde, die betekenis van elk van vrae c) tot h) in die konteks van hierdie probleem.

: die waarskynlikheid dat leerders nie aksie TV programme geniet nie

: die waarskynlikheid dat leerders aksie of drama TV programme geniet

: die waarskynlikheid dat leerders aksie, drama en komedie TV programme geniet

: die waarskynlikheid dat leerders nie aksie en drama TV programme geniet nie

: die waarskynlikheid dat leerders aksie TV programme geniet of komedie TV programme nie geniet nie

: die waarskynlikheid dat leerders nie aksie of komedie TV programme geniet nie

By Thandokulu Sekondêre Skool, is daar leerders in Graad 12, waarvan 270 een of meer van die vakke Wiskunde, Geskiedenis of Ekonomie neem. Die vakkeuse is sodanig dat almal wat Fisiese Wetenskap neem, moet ook Wiskunde neem en niemand wat Fisiese Wetenskap neem kan Geskiedenis of Ekonomie neem nie. Die volgende is bekend oor die aantal leerders wat hierdie vakke neem:

70 neem Geskiedenis

50 neem Ekonomie

120 neem Fisiese Wetenskappe

200 neem Wiskunde

20 neem Wiskunde en Geskiedenis

10 neem Geskiedenis en Ekonomie

25 neem Wiskunde en Ekonomie

leerders neem Wiskunde en Geskiedenis en Ekonomie

Stel bostaande inligting voor met 'n Venndiagram. Laat Wiskunde wees, Geskiedenis , Fisiese Wetenskap en Ekonomie wees.

Bepaal die aantal leerders, , wat Wiskunde, Geskiedenis en Ekonomie neem.

Dus leerders neem Wiskunde, Geskiedenis en Ekonomie.

Bepaal en beskryf in woorde wat jou antwoord beteken.

Dit is die waarskynlikheid dat 'n leerder nie Wiskunde, Geskiedenis of Ekonomie neem nie.

Bepaal die waarskynlikheid dat 'n leerder ten minste twee van hierdie vakke neem.

Hierdie vraag verwag van ons om die som te vind van die waarskynlikhede van al die leerders wat ten minste twee vakke neem. Dit sluit die deursnit of snyding in van elk van hierdie vakke.

'n Groep van mense is gevra oor die sportsoorte wat hulle op televisie kyk. Die versamelde inligting word hieronder gegee:

kyk rugby, krieket of sokker

kyk rugby, krieket en sokker

kyk rugby en krieket

kyk rugby en sokker

kyk rugby

kyk krieket

kyk sokker

kyk krieket en sokker maar nie rugby nie

Stel al die inligting hierbo voor in 'n Venn diagram. Laat rugbykykers , krieketkykers en sokkerkykers .

Kry die waarde van .

Bepaal

Bepaal

Is krieketkyk en rugbykyk onafhanklike gebeurtenisse? Bevestig jou antwoord met 'n berekening.

Dus is rugbykyk en krieketkyk onafhanklike gebeurtenisse.

Daar is seuns en dogters in die Engelse klas. Tydens elke les word twee leeders lukraak gekies om 'n mondeling te doen.

Stel die samestelling van die Engelse klas in 'n boomdiagram voor. Sluit alle moontlike uitkomste en waarskynlikhede in.

Bereken die waarskynlikheid dat 'n seun en 'n dogter gekies word om 'n mondeling te doen in enige bepaalde les.

Bereken die waarskynlikheid dat ten minste een van die leerders wat gekies word om in 'n bepaalde les 'n mondeling te doen 'n seun is.

Let op: Hierdie vraag kan beantwoord word óf deur die uitkomste wat 'n seun insluit, dus nie (dogter; dogter), van 1 af te trek (sien hieronder) óf deur die drie uitkomste wat wel 'n seun insluit op te tel. Beide metodes is reg.

Is die gebeurtenisse om eerste 'n seun te kies en om tweede 'n dogter te kies afhanklik of onafhanklik? Regverdig jou antwoord met 'n berekening.

Daarom is die gebeurtenisse om 'n seun eerste te kies en om 'n dogter tweede te kies afhanklik.

Tydens Julie in Kaapstad is die waarskynlikheid dat dit op 'n lukraak gekose dag sal reën . Óf Gladys loop skool toe óf sy kry 'n geleentheid saam met haar ouers in hulle motor. As dit reën is die waarskynlikheid dat Gladys se ouers haar met die motor skool toe sal neem . As dit nie reën nie is die waarskynlikheid dat Gladys se ouers haar met die motor skool toe sal neem .

Stel die ingligting hierbo in 'n boomdiagram voor. Toon al die moontlike uitkomste en hul onderskeie waarskynlikhede op jou diagram aan.

Wat is die waarskynlikheid dat dit 'n reënerige dag is en dat Gladys skool toe loop?

Wat is die waarskynlikheid dat Gladys se ouers haar met die motor skool toe neem?

Daar is twee soorte eiendomsinbrake: inbrake by privaat wonings en inbrake by besigheidspersele. In Metropolis is 'n inbraak by 'n privaat woning vier keer so waarskynlik as 'n inbraak by 'n besigheidsperseel. Die volgende statistieke vir elke tipe inbraak is verkry vanaf die Metropolis polisiekantoor.

Inbrake by privaat wonings

Na afloop van 'n inbraak:

% misdadigers word binne in hegtenis geneem.

% misdadigers word na in hegtenis geneem.

% misdadigers word nooit vir daardie besondere tipe inbraak in hegtenis geneem nie.

Inbrake by besigheidspersele

Na afloop van 'n inbraak:

% misdadigers word binne in hegtenis geneem.

% misdadigers word na in hegtenis geneem.

% misdadigers word nooit vir daardie besondere tipe inbraak in hegtenis geneem nie.

Stel die inligting hierbo in 'n boomdiagram voor. Wys alle uitkomste en hul onderskeie waarskynlikhede.

Bereken die waarskynlikheid dat daar by 'n privaat woning ingebreek word en dat niemand in hegtenis geneem word nie.

Bereken die waarskynlikheid dat die inbrekers by privaat wonings en besigheids-persele in hegtenis geneem word.

Gebruik jou antwoord in die vorige vraag om 'n boomdiagram op te stel ten einde die waarskynlikheid te bepaal dat 'n inbreker na, op die meeste, drie inbrake in hegtenis geneem word.

Die antwoord kan ook bereken word deur die waarskynlikheid dat daar nie 'n arrestasie na drie inbrake is nie, van 1 af te trek:

Ons sal hierdie beginsel gebruik om die volgende vraag te beantwoord.

Bepaal na hoeveel inbrake 'n inbreker ten minste 'n

% kans het om in hegtenis geneem te word.

% kans het om in hegtenis geneem te word.

Gestel is die aantal inbrake

Na inbrake is daar ten minste 'n % kans om in hegtenis geneem te word.

Na inbrake is daar ten minste 'n % kans om in hegtenis geneem te word.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Uitgewerkte voorbeeld 9: Twee-rigting tabelle

Die tabel hieronder wys die resultate van die toetsing van twee verskillende behandelings op 240 vrugtebome wat 'n siekte het wat die bome laat doodgaan. Behandeling behels die versigtige verwydering van besmette takke en behandeling behels die verwydering van die besmette takke asook om die boom te besproei met antibiotika.

| Boom gaan binne 4 jaar dood | Boom lewe 4 jaar | Totaal
Behandeling A |  |  |
Behandeling B |  |  |
Totaal |  |  |

Vul die ontbrekende waardes op die tabel in.

Wat is die waarskynlikeheid dat 'n boom behandeling B ontvang het?

Wat is die waarskynlikheid dat 'n boom langer as 4 jaar sal lewe?

Wat is die waarskynlikheid dat 'n boom behandeling B gegee word en langer as 4 jaar lewe?

Van die bome wat behandeling B ontvang het, wat is die waarskynlikheid dat 'n boom langer as 4 jaar lewe?

Is die gebeurtenisse dat 'n boom behandeling B gegee word en dat dit langer as 4 jaar lewe onafhanklik? Regverdig jou antwoord met 'n berekening.

Voltooi die gebeurlikheidstabel

Omdat elke kolom moet optel na sy totaal toe, kan ons uitwerk wat die aantal bome is wat in elke kategorie vir behandelings A en B val. Ons kan dan elke ry optel om die totale aan die regterkant van die tabel te verkry.

| Boom gaan binne 4 jaar dood | Boom lewe 4 jaar | Totaal
Behandeling A |  |  |
Behandeling B |  |  |
Totaal |  |  |

Bereken die vereiste waarskynlikhede

Vir die tweede vraag moet ons die waarskynlikheid dat 'n boom behandeling B kry, bepaal. Dit beteken dat ons nie behandeling A in die berekening insluit nie. Dus is die waarskynlikheid dat behandeling B aan 'n boom gegee word, die verhouding tussen die aantal bome wat behandeling B ontvang en die totale aantal bome.

Soortgelyk vir die derde vraag, die waarskynlikheid dat 'n boom meer as jaar sal lewe:

In die vierde vraag moet ons die waarskynlikheid dat 'n boom behandeling B ontvang en langer as jaar lewe bepaal.

In die vyfde vraag is daar 'n subtiele verskil van die vierde vraag. Hier moet ons die waarskynlikheid bepaal dat uit die bome wat behandeling B ontvang, 'n boom langer as jaar lewe. Dit beteken dat ons slegs belangstel in daardie bome wat behandeling B ontvang. Ons hoef nie langer om te gee oor die bome wat behandeling A gegee word nie, so ons noemer moet ooreenkomstig aangepas word.

Onafhanklikheid

Ons moet bepaal of die gebeurtenisse dat 'n boom behandeling B ontvang en dat dit langer as jaar lewe, afhanklik of onafhanklik is. Volgens ons definisie is die twee gebeurtenisse onafhanklik as en slegs as

Vanaf hierdie waarskynlikhede kan ons sien dat Daarom is die gebeurtenisse dat 'n boom behandeling B ontvang en dat dit langer as jaar lewe, afhanklik.

Oefening 10.3Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

'n Aantal bestuurders is gevra oor die aantal motorongelukke waarin hulle die afgelope 10 jaar betrokke was. 'n Gedeelte van die versamelde data word in die tabel hieronder vertoon.

| 2 ongelukke | 2 ongelukke | Totaal
Vroulik |  |  |
Manlik |  |  |
Totaal |  |  |

Wat is veranderlikes wat hier ondersoek word en wat is die doel wat die navorsing?

Die veranderlikes is geslag en die aantal ongelukke oor 'n tydperk van 10 jaar. Die doel van die navorsing is om te bepaal of daar 'n verband is tussen die geslag van 'n bestuurder en die aantal ongelukke waarby 'n bestuurder betrokke is.

Voltooi die tabel.

| 2 ongelukke | 2 ongelukke | Totaal
Vroulik |  |  |
Manlik |  |  |
Totaal |  |  |

Bepaal of geslag en die aantal ongelukke onafhanklik is deur middel van 'n berekening.

Ons sien dat in alle gevalle is. Dus is die aantal motorongelukke afhanklik van die geslag van die bestuuder.

Navorsers het 'n studie gedoen om te toets hoe doeltreffend 'n sekere inenting is om malaria te voorkom. 'n Gedeelte van hulle data word hieronder gewys:

| Malaria | Geen malaria | Totaal
Manlik |  |  |
Vroulik |  |  |
Totaal |  |  |

Bereken die waarskynlikheid dat 'n ewekansig gekose deelnemer aan die studie vroulik is.

Bereken die waarskynlikheid dat 'n ewekansig gekose deelnemer aan die studie malaria het.

As vroulikheid en om malaria te hê onafhanklike gebeurtenisse is, bereken die waarde van .

Deur die waarde van te gebruik, vul die ontbrekende waardes op die tabel in.

| Malaria | Geen malaria | Totaal
Manlik | 27 | 189 |
Vroulik | 81 | 567 |
Totaal |  |  |

Die reaksietyd van bestuurders gedurende 'n noodstop is getoets. Binne die studiegroep (kohort) is die waarskynlikheid dat 'n ewekansig-gekose bestuurder nie ouer as jaar is nie . Die waarskynlikheid van 'n reaksietyd van minder as is .

Bereken die aantal bestuurders wat jaar en jonger is.

Bereken die aantal bestuurders wat 'n reaksietyd van minder as het.

As ouderdom en reaksietyd onafhanklike gebeurtenisse is, bereken die aantal bestuurders wat jaar en jonger is en wat 'n reaksietyd van minder as het.

Voltooi die tabel hieronder.

| Reaksietyd | Reaksietyd | Totaal
jaar |  |  |
jaar |  |  |
Totaal |  |  | 400

| Reaksietyd /strong> | Reaksietyd | Totaal
jaar | 84 | 36 | 120
jaar | 196 | 84 | 280
Totaal | 280 | 120 | 400

'n Nuwe behandeling vir griep (influensa) is getoets op 'n aantal pasiënte om vas te stel of dit beter werk as as 'n placebo of fopmedisyne (wat geen geneeskundige waarde het nie). Die tabel hieronder wys die resultate drie dae ná behandeling:

| Griep | Geen griep | Totaal
Fopmedisyne |  |  |
Behandeling |  |  |
Totaal |  |  |

Voltooi die tabel.

| Griep | Geen griep | Totaal
Fopmedisyne |  |  |
Behandeling |  |  |
Totaal |  |  |

Bereken die waarskynlikheid dat 'n pasiënt die behandeling ontvang.

Bereken die waarskynlikheid dat 'n pasiënt na drie dae geen griep het nie.

Bereken die waarskynlikheid dat 'n pasiënt die behandeling ontvang en na drie dae geen griep het nie.

Deur 'n berekening te doen, bepaal of 'n pasiënt die behandeling ontvang en of 'n pasiënt na drie dae nie geen griep het nie, afhanklike of onafhanklike gebeurtenisse is.

Dus, om die behandeling te ontvang en om na drie dae geen griep te hê nie, is afhanklike gebeurtenisse.

Bereken die waarskynlikheid dat 'n pasiënt wat behandeling ontvang na drie dae geen griep het nie.

Bereken die waarskynlikheid dat 'n pasiënt wat fopmedisyne ontvang na drie dae geen griep het nie.

Vergelyk jou antwoorde in f) en g). Sal jy aanbeveel dat die nuwe behandeling gebruik word vir pasiënte wat griep het?

Die waarskynlikheid daarvan om geen griep na drie dae te hê nie is baie groter as die nuwe behandeling gebruik word. Dus word die gebruik daarvan aanbeveel.

'n Hospitaal probeer besluit of hulle die nuwe behandeling gaan aankoop. Die nuwe behandeling is baie duurder as die ou behandeling. Volgens die hospitaalrekords het slegs van die grieppasiënte wat die ou behandeling ontvang het, steeds na drie dae griep.

Stel 'n tweerigting gebeurlikheidstabel op wat die data van die ou en nuwe behandelings vergelyk.

Deur die data in jou tabel te gebruik, gee raad aan die hospitaal of hulle die nuwe behandeling behoort te koop of nie.

| Griep | Geen griep | Totaal
Ou behandeling |  |  |
Nuwe behandeling |  |  |
Totaal |  |  |

Die waarskynlikheid om na drie dae griep te hê as die nuwe behandeling geneem is, is ongeveer dieselfde as die ou behandeling. Daarom behoort die hospitaal nie die nuwe, duurder behandeling te koop nie.

Menslike immuniteitsgebrekvirus (MIV) raak % van die Suid-Afrikaanse bevolking.

As 'n MIV toets 'n % akkuraatheidskoers het (d.w.s. % van die tyd is die toets reg, % van die tyd is die toetsresultaat verkeerd), stel 'n tweerigting gebeurlikheidstabel op wat die verwagte resultate wys as van die algemene bevolking getoets word.

As mense getoets word en die voorkomskoers % is:

| Siek | Gesond | Totaal
Positief |  |  |
Negatief |  |  |
Totaal |  |  |

As die toets % akkuraat is:

| Siek | Gesond | Totaal
Positief |  |  |
Negatief |  |  |
Totaal |  |  |

Bereken die waarskynlikheid dat 'n persoon wat positief toets vir MIV nie die siekte het nie, korrek tot twee desimale plekke.

Let op dat hierdie waarskynlikheid groter is as wat deur die '% akkuraatheid' van die toets te kenne gee word.

In die praktyk word 'n persoon wat positief toets vir MIV altyd 'n tweede keer getoets. Bereken die waarskynlikheid dat 'n MIV-negatiewe persoon positief toets ná twee toetse, korrek tot vier desimale plekke.

'n Skaars niersiekte raak slegs uit mense en die toets vir hierdie siekte het 'n % akkuraatheidskoers.

Teken 'n tweerigting gebeurlikheidstabel wat die resultate wys as van die algemene bevolking getoets word.

As mense getoets word en die voorkomskoers % is:

| Siek | Gesond | Totaal
Positief |  |  |
Negatief |  |  |
Totaal |  |  |

As die toets % akkuraat is:

| Siek | Gesond | Totaal
Positief |  |  |
Negatief |  |  |
Totaal |  |  |

Bereken die waarskynlikheid dat 'n persoon wat positief toets vir hierdie seldsame niersiekte, wel siek is met die siekte, korrek tot twee desimale plekke.

Let op dat dit beteken dat 'n positiewe resultaat % van die tyd verkeerd is! Dit is 'n belangrike konsep in die mediese wetenskap. Vir baie skaars siektes moet toetse baie akkuraat wees, anders is dit betekenisloos.

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

10.4 Die fundamentele telbeginsel (EMFCQJ)

Wiskunde het begin met mense wat tel. Aanvanklik is vingers, boontjies en knope gebruik om te help tel, maar hierdie hulpmiddels is slegs prakties vir klein getalle. Wat gebeur as 'n groot aantal items getel moet word?

Hierdie afdeling fokus op hoe wiskundige tegnieke gebruik word om 'n verskeidenhede van items te tel.

Inleiding (EMFCQK)

'n Belangrike aspek van waarskynlikheidsleer is die vermoë om te bepaal wat die totale aantal uitkomste is as veelvuldige gebeurtenisse beskou word.

Byvoorbeeld, wat is die totale aantal uitkomste as 'n dobbelsteen gerol word en 'n muntstuk dan opgeskiet word? Die rol van die dobbelsteen het ses moontlik uitkomste ( of ) en die opskiet van 'n muntstuk het uitkomste (kop of stert). Die steekproefruimte (alle moontlike uitkomste) kan as vog voorgestel word:

Daarom is daar moontlike uitkomste.

Die gebruik van lyste, tabelle en boomdiagramme is slegs prakties vir gebeurtenisse met 'n paar uitkomste. As die getal uitkomste groei is dit nie meer prakties om die verskillende moontlikhede te lys nie en in plaas daarvan word die fundamentele telbeginsel gebruik.

Die fundamentele telbeginsel

Die fundamentele telbeginsel sê dat as daar uitkomste in gebeurtenis is en uitkomste in gebeurtenis , dan is daar uitkomste in gebeurtenisse en saam.

As ons hierdie beginsel toepas op die vorige voorbeeld kan ons maklik die aantal moontlike uitkomste bereken deur die aantal moontlike dobbelsteengooie te vermenigvuldig met die aantal uitkomste om 'n muntstuk op die skiet: uitkomste. Dit laat ons toe om die volgende te formuleer:

As daar moontlike uitkomste is vir gebeurtenis , en uitkomste vir gebeurtenis , dan is die totale aantal moontlike uitkomste vir beide gebeurtenisse .

Dit kan veralgemeen word tot gebeurtenisse, waar die aantal gebeurtenisse is. Die aantal uitkomste vir gebeurtenisse is:

Die volgorde waarin die eksperimente gedoen word, beïnvloed nie die totale aantal moontlike uitkomste nie.

Uitgewerkte voorbeeld 10: Keuses sonder herhaling

'n Wegneem eetplek het 'n 4-stuk spesiale aanbod wat bestaan uit 'n toebroodjie, sop, poeding en iets om te drink vir R . Hulle bied die volgende keuses aan vir:

Toebroodjie: hoendermayonnaise, kaas en tamatie, tunamayonnaise, ham en blaarslaai

Sop: Tamatie, hoendernoedel, groente

Nagereg: roomys, stuk koek

Te drinke: tee, koffie, Coke, Fanta, Sprite

Hoeveel moontlike maaltye is daar?

Bepaal hoeveel komponente daar in die maaltyd is

Daar is 4 komponente: toebroodjie, sop, nagereg en iets om te drink.

Bepaal hoeveel keuses daar vir elke komponent is

Maaltyd komponent

Toebroodjie

Sop

Nagereg

Te drinke

Aantal keuses

Gebruik die fundamentele telbeginsel om te bepaal hoeveel verkillende maaltye moontlik is

So daar is moontlike maaltye.

In die vorige voorbeeld is daar 'n aantal opsies vir elke keuse. Maar wat gebeur as die aantal keuses onveranderd is elke keer as jy kies?

Byvoorbeeld, as 'n muntstuk drie keer opgeskiet is, wat is die totale aantal uitkomste? Elke keer wat 'n muntstuk opgeskiet word, is daar twee moontlike uitkomste, naamlik kop of stert. Die muntstuk word keer opgeskiet. Ons kan 'n boomdiagram gebruik om te bepaal wat die totale aantal uitkomste is:

Vanaf hierdie boomdiagram kan ons sien dat daar in totaal 8 moontlike uitkomste is.

Dit is moontlik om 'n boomdiagram te teken vir die opskiet van drie verskillende muntstukke. Sodra die aantal gebeurtenisse egter toeneem, vermeerder die totale aantal uitkomste tot op 'n punt waar dit onprakties is om die boomdiagram te teken.

Byvoorbeeld, dink hoe 'n boomdiagram sou lyk as ons 'n munt drie keer opskiet. In hierdie geval is 'n veel makliker opsie die gebruik van die fundamentele telbeginsel. Ons weet dat elke keer wat 'n munt opgeskiet word, is daar twee moontlike uitkomste. Dus, as ons 'n munt ses keer opskiet is die totale moontlike uitkomste ekwivalent daaraan om 2 ses keer met homself te vermenigvuldig.

Nog 'n voorbeeld is as jy die letters A, B, C en D het en jy wil weet hoeveel maniere daar is om hulle in drieletter patrone te rangskik as herhaling toegelaat word, soos in ABA, DCA, BBB, ens. Jy sal sien daar is maniere. Dit is so omdat jy vir die eerste letter in die patroon enige van die vier beskikbare letters kan kies, vir die tweede kan jy ook enige van die vier letters kies, en so ook vir die derde letter. Vermenigvuldig dan die hoeveelheid keuses vir elke letter in die patroon met mekaar om die totale aantal rangskikkings te kry:

Dit laat ons toe om die volgende te formuleer:

Wanneer jy objekte het om van te kies en jy kies hulle keer, dan is die totale aantal moontlikhede

Uitgewerkte voorbeeld 11: Keuses met herhaling

'n Skool speel 'n reeks van sokkerwedstryde. Vir elke wedstryd is daar moontlikhede: wen, gelykop speel, of verloor. Hoeveel moontlike resultate is daar vir die reeks?

Bepaal hoeveel uitkomste jy het om van te kies vir elke gebeurtenis

Daar is uitkomste vir elke wedstryd: wen, gelykop eindig of verloor.

Bepaal die aantal gebeurtenisse

Daar is wedstryde en dus is die aantal gebeurtenisse .

Bepaal die totale aantal moontlike uitkomste

Daar is moontlike uitkomste vir elke van die gebeurtenisse en dus is die totale aantal moontlike uitkomste vir die reeks van wedstryde

Oefening 10.4Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Tarryn het vyf verskillende rompe, vier verskillende toppe en drie pare skoene. As al die kleure mekaar komplementeer, hoeveel verskillende uitrustings kan sy saamstel?

In 'n veelvuldige keuse vraestel met vrae kan die antwoorde A, B, C of D wees. Hoeveel verskillende maniere is daar om die vraestel te beantwoord?

'n Debietkaart benodig 'n vyfsyfer PIN wat bestaan uit syfers van 0 tot 9. Syfers mag herhaal word. Hoeveel moontlike PIN's is daar?

In die Gauteng provinsie het die unieke nommerplate opgeraak in 2010. Voor 2010 is nommerplate gevorm in die formaat LLLDDDGP waar L enige letter van die alfabet kan wees, behalwe klinkers en Q en waar D 'n syfer tussen 0 en 9 is. Die nuwe formaat, wat die regering van Gauteng ingebring het, is LLDDLLGP. Hoeveel meer nommerplate is moontlik met die nuwe formaat as met die ou formaat?

Dus is daar meer moontlike nommerplate met die nuwe formaat.

'n Geskenkmandjie bevat een CD, een boek, een boks lekkergoed, een pakkie neute en een bottel vrugtesap. Die persoon wat die mandjie saamstel, kan kies uit vyf verskillende CDs, agt verskillende boeke, drie verskillende bokse lekkergoed, vier soorte neute en ses geure vrugtesap. Hoeveel verskillende geskenkmandjies kan saamgestel word?

Die kode van 'n kluis het die vorm XXXXYYY waar X enige syfer van 0 to 9 is en Y letters van die alfabet voorstel. Hoeveel kodes is moontlike in elke van die volgende gevalle:

die syfers en letters van die alfabet mag herhaal word.

die syfers en letters van die alfabet mag herhaal word, maar die kode mag nie 'n nul of enige van die klinkers in die alfabet bevat nie.

Ons sluit die syfer en die klinkers (A; E; I; O; U) uit, wat ander syfers en letters laat oorbly om van te kies.

die syfers en letters van die alfabet kan herhaal word, maar die die syfers mag alleen priemgetalle wees en die letters X, Y and Z word nie in die kode toegelaat nie.

Die priemgetalle is , , en . Dit gee ons vier moontlike syfers. As ons die letters X, Y en Z uitsluit, het ons letters om van te kies.

'n Restaurant bied vier verskillende voorgeregte, agt verskillende hoofgeregte en ses verskillende nageregte aan. 'n Klant kan kies om net een gereg te eet, om twee verskillende gange te eet of 'n driegang maaltyd te bestel. As al die geregte beskikbaar is, hoeveel maaltydopsies bied die restaurant aan?

'n Persoon wat net 'n voorgereg eet het 4 keuses

'n Persoon wat net 'n hoofgereg eet het 8 keuses

'n Persoon wat net 'n nagerag eet, het 6 keuses

'n Persoon wat 'n voorgereg en 'n hoofgereg eet, het keuses

'n Persoon wat 'n voorgereg en 'n nagereg eet, het keuses

'n Persoon wat 'n hoofgereg en 'n nagereg eet, het keuses

'n Persoon wat al drie gange eet het, keuses

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

10.5 Faktoriaal notasie (EMFCQM)

Uitgewerkte voorbeeld 12: Die rangskikking van uitkomste sonder herhaling

Agt atlete neem deel aan 'n wedren. Op hoeveel maniere kan al plekke in wedren gerangskik word?

Enige van die atlete kan eerste kom. Nou is daar net vir die tweede plek aangesien 'n atleet nie eerste en tweede plek kan behaal nie. Dan is daar net atlete oor wat derde kan kom, wat vierde kan kom, wat vyfde kan kom, wat sesde kan kom, wat sewende kan kom en atleet wat laaste kom. Dus is die aantal maniere waarop die atlete gerangskik kan word as volg:

Soos in die bostaande voorbeeld is dit algemeen in telprobleme dat die uitkoms van die eerste gebeurtenis die aantal moontlikhede vir die tweede gebeurtenis verminder met presies , en die uitkoms van die tweede gebeurtenis verminder die aantal moontlikhede van die derde gebeurtenis met meer, ens.

Aangesien hierdie soort probleem dikwels voorkom, het ons 'n spesiale notasie om die antwoord voor te stel. Vir 'n heelgetal, , stel die notasie (lees faktoriaal) die volgende voor:

Dit laat ons toe om die volgende te formuleer:

Die totale aantal moontlike rangskikkings van verskillende objekte is

met die volgende definiesie: 0! = 1.

Uitgewerkte voorbeeld 13: Faktoriaal notasie

Bepaal

Bewys dat

Bewys dat

Ons weet van die definisie van faktoriaal dat . Dit kan egter vervelig wees om elke vermeniguldigingstap op papier uit te werk of om dit in te sleutel op 'n sakrekenaar. Gelukkig is daar 'n knoppie op jou sakrekenaar wat dit veel makliker maak. Om jou sakrekenaar te gebruik om die faktoriaal van 'n getal te bereken:

Sleutel die syfer in.

Druk SHIFT op jou Casio of 2ndF op jou Sharp sakrekenaar.

Druk dan op jou Casio of op jou Sharp sakrekenaar.

Laastens, druk "is gelyk aan" om die die antwoord te bereken.

As ons hierdie stappe volg vir , kry ons as die antwoord.

Brei die faktoriaal notasie uit:

Brei die faktoriaal notasie uit:

Indien , kry ons . Dié is 'n uitsonderlike geval. Beide en dus, so die vergelyking bly geldig.

Oefening 10.5Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Bereken die volgende met 'n sakrekenaar:

Bereken die volgende met 'n sakrekenaar:

Bewys dat die volgende waar is:

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

10.6 Toepassing op telprobleme (EMFCQN)

Uitgewerkte voorbeeld 14: Verdere rangkskikking van uitkomste sonder herhaling

Agt atlete neem deel aan 'n wedren. Op hoeveel verskillende manier kan die eerste drie plekke gerangskik word?

Agt verskillende atlete kan die eerste plekke behaal. Vir die eerste plek is daar verskillende keuses. Vir die tweede plek is daar verskillende keuses en vir die derde plek is daar verskillende keuses. Dus kan agt atlete die eerste plekke behaal op:

Uitgewerkte voorbeeld 15: Rangskikking van objekte met beperkings

Op hoeveel verskillende maniere kan 7 seuns van verskillende ouderdomme op 'n bank sit as:

die jongste seun langs die oudste seun sit?

die jongste en oudste seuns nie langs mekaar mag sit nie?

Hierdie vraag is 'n bietjie anders as die vorige probleme oor rangskikking met herhaling. In hierdie vraag het ons die beperking dat die oudste en die jongste seuns saam moet sit. Die maklikste manier om hieroor te dink, is om elke stel objekte wat saam moet wees as 'n enkele objek te beskou.

As ons stel dat 'n seun is, en dat onderskrifte die volgorde van ouderdom aandui, kan ons die objekte wat gerangskik moet word, as volg sien:

As die jongste en die oudste seuns as 'n enkele objek hanteer word, is daar ses verskillende objekte om te rangskik en dus is daar verskillende rangskikkings. Die jongste en oudste seuns kan egter op verskillende maniere rangskik word en steeds saam wees.

Dus is daar:

Die rangskikkings waar die jongste en oudste seuns nie saam sit nie is die totale aantal rangskikkings minus die aantal rangskikkings waar die oudste en jongste saam sit. Dus is daar:

Oefening 10.6Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Hoeveel verskillende moontlike uitkomste is daar vir 'n swemgeleentheid met 6 deelnemers?

Hoeveel verskillende moontlike uitkomste is daar vir die goue (1ste), silwer (2de) en brons (3de) plekke in 'n swemgeleentheid met 6 deelnemers?

Susan wil haar vriende besoek in Pretoria, Johannesburg, Phalaborwa, Oos London en Port Elizabeth. Op hoeveel verskillende maniere kan die besoeke gerangskik word?

'n Hoofseun, 'n onderhoofseun, 'n hoofmeisie en 'n onderhoofmeisie moet gekies word uit 'n studenteraad wat bestaan uit 18 meisies en 18 seuns. Op hoeveel maniere kan hulle gekies word?

Twintig verskillende mense skryf in vir 'n golfkompetisie. Net die eerste ses van hulle kan pryse wen. Op hoeveel verskillende maniere kan pryse gewen word?

Drie letters van die woord 'Empty' word in 'n ry gerangskik. Hoeveel verskillende rangskikkings is moontlik?

'Pool'balle (potspelballe) is genommer van to . Jy het net een stel balle. Op hoeveel verskillende maniere kan jy:

al balle rangskik? Skryf jou antwoord in wetenskaplike notasie en rond af tot twee desimale.

vier van die balle rangskik?

Die kapteins van al die sportspanne van 'n skool moet langs mekaar staan vir 'n foto. Die skool se sportsprogram bied rugby, krieket, hokkie, sokker, netbal en tennis aan.

In hoeveel verskillende volgordes kan hulle staan vir die foto?

In hoeveel verskillende volgordes kan hulle staan vir die foto as die rugbykaptein heel links staan en die krieket kaptein heel regs?

Aangesien ons nie kan kies waar om die rugby- en krieketkapteins te plaas nie, is daar net mense oor om te rangskik.

In hoeveel verskillende volgordes kan hulle staan as die rugbykaptein, netbalkaptein en krieketkaptein langs mekaar moet staan.

As die rugbykaptein, netbalkaptein en krieketkaptein as een objek hanteer word omdat hulle saam moet staan, is daar dan vier objekte om te rangskik. Dus is daar verskillende rangskikkings. Die rugbykaptein, netbalkaptein en krieketkaptein kan ook posisies omruil op verskillende maniere en dus is daar:

Hoeveel verskillende driesyfer getalle kan gevorm word met die syfers 1 tot 6 as:

herhaling nie toegelaat word nie?

herhaling toegelaat word?

Daar is twee verskillende rooi boeke en drie verskillende blou boeke op 'n rak.

Op hoeveel verskillende maniere kan hierdie boeke gerangskik word?

As jy die rooi boeke bymekaar wil hê, op hoeveel verskillende maniere kan die boeke gerangskik word?

As die rooi boeke as een objek hanteer word is daar vier verskillende objekte om te rangskik en dus is daar verskillende rangskikkings. Die rooi boeke kan ook onder mekaar op verskillende maniere gerangskik word en dus is daar:

As jy al die rooi boeke bymekaar wil hê en al die blou boeke bymekaar wil hê, op hoeveel verskillende maniere kan die boeke gerangskik word?

Daar is twee groepe boeke, rooi en blou, wat gerangskik kan word op verskillende maniere. Dan is daar twee rooi boeke wat op op verskillende maniere gerangskik kan word en drie blou boeke wat op maniere gerangskik kan word. Dus is daar

Daar is twee verskillende Wiskundeboeke, drie verskillende Natuurwetenskapboeke, twee verskillende Lewenswetenskapboeke en vier verskillende Rekeningkundeboeke op 'n rak. Op hoeveel verskillende maniere kan hulle gerangskik word as:

die volgorde nie saak maak nie?

al die boeke van dieselfde vak saam geplaas word?

Daar is vier groepe boeke wat op verskillende maniere gerangskik kan word. Twee van die boeke is Wiskundeboeke, drie is Natuurwetenskapboeke, twee is Lewenswetenskap boeke en vier is Rekeningkundeboeke. Dus is daar:

die twee Wiskundeboeke eerste geplaas word?

Die Wiskundeboeke kan op verskillende maniere gerangksik word terwyl die oorblywende boeke op verskillende maniere gerangskik kan word. Dus is daar:

die Rekeningkundeboeke langs mekaar geplaas word?

Die Rekeningkundeboeke kan op verskillende maniere gerangskik word en, as hulle as 'n enkele objek beskou word, kan hulle op verskillende maniere saam met die ander boeke gerangskik word. Dus is daar:

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Uitgewerkte voorbeeld 16: Rangskikking van letters

As jy die woord 'OMO' neem, hoeveel verskillende letter-rangskikkings kan ons maak as:

ons die twee O's as verskillende letters beskou?

ons die twee O's as identiese letters beskou?

Aangesien ons die twee O's as verskillende letters beskou, skryf ons die eerste O as en die tweede O as . Die verskillende rangskikkings is as volg:

Ons kan sien, nadat ons al die rangskikkings uitgeskryf het, dat daar verskillende maniere is om die letters te rangskik. Hierdie metode is nie prakties as daar 'n groot aantal letters is nie. In plaas hiervan kan ons die antwoord veel makliker bereken met die fundamentele telbeginsel.

Met die fundamentele telbeginsel, aangesien daar letters in die woord OMO is as ons elke O behandel as 'n verskillende letter is, daar verskillende rangskikkings.

As ons die twee O's as identiese letters beskou is net rangskikkings moontlik:

Ons kan dit ook bereken met 'n aangepasde weergawe van die vorige identiteit. Ons weet dat as ons elke letter as anders beskou is daar rangskikkings. Ons moet egter, wanneer ons duplikaat letters het, die identiese rangskikkings van hierdie letters verwyder van ons finale antwoord. Dus deel ons deur die faktoriaal van die hoeveelheid wat die letter herhaal word.

In hierdie voorbeeld verskyn O twee keer en dus deel ons deur : .

Uitgewerkte voorbeeld 17: Die aantal letter-rangskikkings vir 'n langer woord

As jy die woord 'BASSOON' neem, hoeveel rangskikkings kan jy maak as:

herhaalde letters as verskillend beskou word?

herhaalde letters as identies beskou word?

die woord begin met 'n O en herhaalde letters as identies beskou word?

die woord begin en eindig met dieselfde letter en herhaalde letters as identies beskou word?

Daar is letters in die woord 'BASSOON'. As ons al die letter as verskillend beskou is daar rangskikkings.

As die herhaalde letters as identies beskou word, is daar twee S'e en twee O's. Hierdie is soortgelyk aan die vorige uitgewerkte voorbeeld, behalwe dat meer as een letter nou herhaal word. As meer as een letter nou herhaal word moet ons die totale aantal rangskikkings deel deur die produk van die faktoriale van die hoeveelheid kere wat elke letter herhaal word.

As die woord begin met 'n 'O' is daar steeds 6 letters waarvan twee S'e is.

As die woord begin en eindig met dieselfde letter is daar 2 moontlikhede:

S - - - - - S met die letters tussenin wat bestaan uit 'B','A','O','O' en 'N'. Dus: .

O - - - - - O met die letters tussenin wat bestaan uit 'B','A','S','S' en 'N'. Dus: .

Dus, die totale aantal rangskikkings .

Dit laat ons toe om die volgende te formuleer:

Vir 'n stel van objekte waarvan dieselfde is, dieselfde is, dieselfde is, is die totale aantal rangskikkings

Oefening 10.7Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

Jy het die woord 'EXCELLENT'.

As die herhaalde letters as verskillend beskou word, hoeveel letter-rangskikkings is moontlik?

As die herhaalde letters as identies beskou word, hoeveel letter-rangskikkings is moontlik?

Daar is 3 E's en 3 L'e en dus moet ons deel deur en .

As die eerste en laaste letters identies is, hoeveel letter-rangskikkings is daar?

Die woord kan begin en eindig met E of L. Met 'n E is daar letter-rangskikkings (deel deur 2 L'e) en met L is daar letter-rangskikkings (deel deur 3 E's). Dus is daar:

Hoeveel letter-rangskikkings is daar as die rangskikking met 'n L begin?

Dit is ekwivalent daaraan om een L te verwyder uit van die stel letters beskikbaar vir rangskikking. Dus is daar:

Hoeveel letter-rangskikkings is moontlik as die woord einding met 'n T?

Dit is ekwivalent daaraan om die T te verwyder uit van die stel letters beskikbaar vir rangskikking. Dus is daar:

Jy het die woord 'ASSESSMENT'.

As die herhaalde letters as verskillend beskou word, hoeveel letter-rangskikkings is moontlik?

As die herhaalde letters as identies beskou word, hoeveel letter-rangskikkings is moontlik?

As die eerste en laaste letters identies is, hoeveel letter-rangskikkings is daar?

Die woord kan begin en eindig met S of E. Met 'n S is daar letter-rangskikkings (deel deur 2 E's en 2 oorblywende S'e) en met E is daar letter-rangskikkings (deel deur 4 S'e). Dus is daar:

Hoeveel letter-rangskikkings kan gemaak word as die rangskikking begin met 'n klinker?

Die woord kan begin en eindig met A of E. Met 'n S is daar letter-rangskikkings (deel deur 2 E's en 4 S'e) en met E is daar letter-rangskikkings (deel deur 4 S'e). Dus is daar:

Hoeveel letter-rangskikkings is moontlik as al die S'e aan die begin van die woord is?

Dit is ekwivalent daaraan om al die S'e te verwyder uit die beskikbare letters. Dus is daar:

Op 'n klavier verteenwoordig die wit klawers die volgende note: C, D, E, F, A, G, B. Hoeveel deuntjies, sewe note in lengte, kan gekomponeer word met hierdie note as:

'n noot slegs een keer gespeel mag word?

die note herhaal mag word?

die note herhaal mag word en die deuntjie begin en eindig met 'n D?

Die deuntjie wat begin en eindig met 'n D los vyf moontlike posisies waarin die sewe note gerangskik kan word. Dus is daar:

die deuntjie bestaan uit 3 D's, 2 B's en 2 A's.

Daar is drie swart krale en vier wit krale in 'n ry. Op hoeveel verskillende manier kan die krale gerangskik word as?

krale met dieselfde kleur as verskillend beskou word?

krale met dieselfde kleur as identies beskou word?

Daar is agt balle op 'n tafel. Party is wit en party is rooi. Die wit balle is identies en die rooi balle is identies. Die balle word een vir een verwyder. In hoeveel verskillende volgordes kan die balle verwyder word as:

sewe van die balle rooi is?

drie van die balle rooi is?

daar vier van elke kleur is?

Hoeveel viersyfer getalle kan gevorm word met die syfers 3,4,6 en 7 as:

daar herhaling mag wees?

elke syfer slegs een keer gebruik mag word?

as die getal onewe is en herhaling toegelaat word?

As die getal onewe is, moet dit eindig in 3 of 7. As dit in 3 eindig is daar verskillende rangskikkings van die eerste drie syfers en, ooreenkomstig, as dit met 7 eindig is daar verskillende rangskikkings. Dus is daar

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

10.7 Toepassing op waarskynlikheidprobleme (EMFCQP)

As die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis bepaal moet word en die totale aantal rangskikkings in die steekproefruimte, , en van die gebeurtenis, , is groot, dan is die tegnieke vroeër in hierdie hoofstuk moontlik nie meer prakties nie. In hierdie geval moet die waarskynlikheid met die fundamentele telbeginsel bereken word. Die waarskynlikheid van die gebeurtenis is die totale aantal rangskikkings van die gebeurtenis gedeel deur die totale aantal rangskikkings in die steekproefruimte of .

Uitgewerkte voorbeeld 18: Persoonlike identifikasienommers (PIN's)

Elke kliënt van 'n bank het 'n persoonlike identifikasienommer (PIN) wat bestaan uit vier ewekansig gekose syfers van 0 to 9.

Hoeveel PIN's kan gevorm word as die syfers herhaal mag word?

Hoeveel PIN's kan gevorm word as die syfers nie mag herhaal nie?

As 'n PIN gevorm word deur vier syfers ewekansig te kies en syfers herhaal mag word, wat is die waarskynlikheid dat die PIN ten minste een 8 bevat?

As 'n PIN gevorm word deur vier syfers ewekansig te kies en syfers mag nie herhaal word nie, wat is die waarskynlikheid dat die PIN ten minste een 8 bevat?

As syfers herhaal mag word: jy het syfers om van te kies en jy moet vier keer kies; dus, die aantal moontlike PIN's .

Indien syfers nie mag herhaal nie: jy het 10 syfers vir jou eerste keuse, nege vir jou tweede, agt vir jou derde en sewe vir jou vierde keuses. Daarom is .

Laat die gebeurtenis wees dat ten minste een agt gekies is. Daarom is die komplement van die gebeurtenis dat geen agts gekies is nie.

Indien geen agts gekies is nie, dan is daar slegs nege syfers om van te kies. Daarom, .

Die totale hoeveelheid rangskikkings in die versameling, soos bereken in Vraag 1, is . Daarom:

Laat die gebeurtenis wees dat ten minste een agt gekies is. Daarom is die komplement van die gebeurtenis dat geen agts gekies is nie.

Indien geen agts gekies is nie, dan is daar slegs 9, dan 8, dan 7 en dan 6 syfers om van te kies aangesien ons nie 'n syfer mag herhaal sodra dit gekies is nie. Daarom, .

Die totale hoeveelheid rangskikkings in die versameling, soos bereken in Vraag 1, is . Daarom:

Uitgewerkte voorbeeld 19: Nommerplate

Die nommerplate van 'n motor bestaan uit enige drie letters van die alfabet (behalwe vir klinkers en 'Q'), gevolg deur enige syfers ( tot ). Indien 'n motor willekeurig gekies is, wat is die waarskynlikheid dat sy nommerplaat met 'n 'Y' begin en met 'n onewe getal eindig?

Identifiseer watter gebeurtenisse getel word

Die nommerplaat begin met 'n 'Y', dus is daar slegs opsie vir die eerste letter, en eindig met 'n onewe syfer, dus is daar opsies vir die laaste syfer ().

Vind die aantal gebeurtenisse

Gebruik die telbeginsel. Vir die tweede en derde letters is daar moontlikhede ( letters in die alfabet, minus klinkers en 'Q'). Daar is moontlikhede vir die eerste en tweede syfers.

Vind die totale aantal moontlike nommerplate

Gebruik die telbeginsel. Hierdie keer kan die eerste en laaste syfer enigiets wees.

Bereken die waarskynlikheid

Die waarskynlikheid is die aantal uitkomste in die gebeurtenis gedeel deur die totale aantal uitkomste in die steekproefruimte.

Uitgewerkte voorbeeld 20: Waarskynlikheid van woordrangskikking

Sien voorbeeld 16 vir konteks. Indien jy die woord 'BASSOON' neem en sy letters lukraak herrangskik, wat is die moontlikheid dat die woord met dieselfde letter begin en eindig indien herhaalde letters as identies beskou word?

Indien die woord met dieselfde letter begin en eindig, is daar 'n totaal van 120 moontlike rangskikkings (verkry uit voorbeeld 16). Laat hierdie gebeurtenis wees.

Die totale aantal moontlike rangskikkings indien herhaalde letters as identies beskou word (verkry uit voorbeeld 16).

Daarom, die waarskynlikheid van 'n rangskikking wat met dieselfde letter begin en eindig is

Oefening 10.8Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

'n Musiekgroep beplan 'n konserttoer deur Suid-Afrika. Hulle sal in Kaapstad, Port Elizabeth, Pretoria, Johannesburg, Bloemfontein, Durban en Oos-Londen optree.

Op hoeveel verskillende maniere kan hulle hulle toer beplan indien daar geen beperkings is nie?

Hoeveel verskillende toerbeplannings is daar indien dit in Kaapstad begin en in Durban eindig?

Dit verminder die beskikbare voorwerpe (stede) met twee, dus

Indien die toer stede willekeurig kies, wat is die waarskynlikheid dat hul vertoning in Kaapstad, Port Elizabeth, Durban en Oos-Londen opeenvolgend sal plaasvind? Beantwoord tot 3 desimale plekke.

Indien die stede saamgegroepeer word, kan hulle as 'n enkele voorwerp in die rangskikking beskou word, dus is daar verskillende maniere om die voorwerpe te rangskik. Met die gegroepeerde stede is daar verskillende maniere om hulle te rangskik. Daarom is daar .

Daarom is die waarskynlikheid van enige rangskikking waar Kaapstad, Port Elizabeth, Durban en Oos-Londen opeenvolgend gebeur:

'n Sekere restaurant het die volgende opsies op die spyskaart beskikbaar vir 'n driegang maaltyd:

VOORGEREG | HOOFGEREG | NAGEREG
Kalamari slaai | Braaihoender | Roomys en sjokoladesous
Oesters | Gekrummelde skaaptjops | Aarbeie en room
Vis in knoffelsous | Skaapvleis bobotie | Malvapoeding met vla
| Hoenderschnitzel | Pere in brandewynsous
| Groentelasange |
| Hoenderklontjies |

Hoeveel verskillende driegang maaltye is moontlik?

Wat is die waarskynlikheid dat 'n driegang maaltyd hoender sal bevat?

Agt verskillende pare jeans en 5 verskillende hemde hang op 'n reling.

Op hoeveel verskillende maniere kan die klere op die reling gerangskik wees?

Op hoeveel verskillende maniere kan die klere gerangskik wees as al die jeans saamhang en al die hemde saamhang?

Die hemde en jeans vorm twee groepe, wat op maniere gerangskik kan word. Die vyf hemde kan op maniere gerangskik word en die jeans kan op manier gerangskik word.

Wat is die waarskynlikheid, korrek tot drie desimale plekke, dat die klere gerangskik kan word met 'n hemp aan een kant en 'n paar jeans aan die ander kant?

Die vyf verskillende keuses van hemde en agt verskillende keuses van pare jeans kan verskillende rangskikkings aan die kante van die reling vorm.

Daar is verskillende maniere om 'n hemp aan die een kant en 'n paar jeans aan die ander kant te rangskik: S - - - - - - - - - - - J and J - - - - - - - - - - - S

As 'n hemp aan een kant en 'n paar jeans aan die ander kant is, bly daar verskillende rangskikkings van die oorblywende klere oor.

Daarom is daar:

Die waarskynlikheid van 'n klere rangskikking met 'n hemp aan die een kant en 'n paar jeans aan die ander kant

'n Fotograaf plaas agt stoele in 'n ry in sy studio om die debatspan af te neem. Die span bestaan uit drie seuns en vyf meisies.

Op hoeveel verskillende maniere kan die debatspan sit?

Wat is die waarskynlikheid dat 'n spesifieke seun en 'n spesifieke meisie langs mekaar sal sit?

Beskou die spesifieke seun en meisie as een groep. Die groep kan op verskillende maniere sit. Die hoeveelheid maniere hoe hierdie groep en die oorblywende 6 mense kan sit, is . Daarom is die totale aantal maniere hoe hierdie spesifieke seun en meisie langs mekaar op die foto kan sit . Die waarkynlikheid dat 'n spesifieke seun en meisie langs mekaar kan sit, is:

As die letters van die woord 'COMMITTEE' lukraak rangskik is, wat is die moontlikheid dat die letter-rangskikkings begin en eindig met dieselfde letter?

Daar is 2 M's, 2 T's en 2 E's en 'n totaal van 9 letters.

Totale aantal letter-rangskikking is

Waarkynlikheid dat die eerste en laaste letter dieselfde is:

M(COITTEE)M \\ Totaal van 7 letters waarvan daar 2E's en 2T's is \\ Hoeveelheid letter-rangskikkings

T(MCOIEEM)T\\ Totaal van 7 letters waarvan daar 2E's en 2M's is \\ Hoeveelheid letter-rangskikkings

E(TTMCOIM)E \\ Totaal van 7 letters waarvan daar 2T's en 2M's is \\ Hoeveelheid letter-rangskikkings

Totale aantal van letter-rangskikking as die letter-rangskikkings met dieselfde letter begin en eindig .

Vier verskillende Wiskundeboeke, drie verskillende Ekonomieboeke en twee verskillende Geografieboeke is op 'n rak rangskik. Wat is die waarskynlikheid dat al die boeke van dieselfde vak langs mekaar rangskik is?

Totale aantal van verskillende maniere waarop die boeke rangskik kan word, is .

Daar is 3 vakke se boeke wat op maniere rangskik kan word.

Daarom, die totale aantal rangskikkings as al die vakke saam rangskik is

'n Nommerplaat bestaan uit drie letters van die alfabet (behalwe vir F en S) gevolg deur drie syfers van 0 tot 9. Die nommers en letters mag herhaal. Bereken die waarskynlikheid dat 'n ewekansig gekose nommerplaat:

met die letter D begin en met die syfer 3 eindig.

Totale aantal rangskikkings

Totale aantal rangskikkings wat met D begin en met 3 eindig is .

het presies een D.

Die 'D' kan by die eerste, tweede of derde posisie wees. Die ander twee letters kan nie 'n 'D' insluit nie, wat 23 ander letters oorlaat. Daarom is daar

bevat ten minste een 5.

In die 13-syfer identifikasie (ID) nommers van Suid-Afrikaanse burgers:

is die eerste ses syfers van die geboortedag van die persoon in YYMMDD formaat

dui die volgende vier syfers geslag aan, met en hoër wat na manlik verwys en tot wat na vroulik verwys

is die volgende syfer die land ID; 0 is Suid-Afrika en 1 is nie.

was die tweede laaste syfer 'n rasidentifikasie, maar deesdae is dit 8 vir almal

is die laaste syfers 'n beheersyfer, wat die res van die syfer verifieer.

Neem aan dat die beheersyfer 'n ewekansig gegenereerde syfer tussen 0 tot 9 is en ignoreer die feit dat die skrikkeljaar 'n ekstra dag het.

Bereken die totale aantal moontlike ID nommers.

Vir alle beskikbare rangskikkings en indein 'n ID syfer as ABCDEFGHIJKLM gestruktueer is:

A en B is enige twee syfers tussen 00 en 99 (jaar)

C en D is enige twee syfers tussen 01 en 12 (maand)

E en F is enige twee syfers van 01 tot 28, 30 of 31 afhangende van die maand (dag)

G, H,I en J is enige twee syfers van 0001 tot 9999 (geslag)

K is óf 0 óf 1

L is 'n 8

M is enige syfer tussen 0 en 9

Daarom, die totale aantal moontlike ID nommers vir 30-dag maande is: Daarom, die totale aantal moontlike ID nommers vir 31-dag maande is: Daarom, die totale aantal moontlike ID nommers vir Februarie is: Daarom, die totale aantal moontlike ID nommers is:

Bereken die waarskynlikheid dat 'n lukraak gegenereerde ID nommer 'n manlike Suid-Afrikaanse burger is wat gedurende die 1980's gebore is. Skryf jou antwoord korrek tot twee desimale plekke.

Daar is 'n klomp inligting in die probleem en ons kan dit vereenvoudig deur die toepaslike inligting te identifiseer. Ons wil die waarskynlikheid bereken dat 'n ID nommer is vir 'n manlike Suid-Afrikaanse burger wat gedurende die 1980's gebore, is. Dit beteken ons moet kyk na die syfers vir die land, geslag en geboortejaar.

Indien 'n ID nommer as ABCDEFGHIJKLM gestruktueer is:

Vir 'n Suid-Afrikaner is K 0.

Vir 'n man is GHIJ van tot .

Vir iemand gebore gedurende die 1980's is AB tussen 80 en 89

Dit verskaf kombinasies vir ABGHIJK.

Sonder enige beperkings, is die totale kombinasies vir ABGHIJK .

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

10.8 Opsomming (EMFCQQ)

Die optelreël (ook genoem die somreël) vir enige gebeurtenisse, en is Hierdie reël gee die verband tussen die waarskynlikhede van gebeurtenisse en hulle vereniging en snyding.

Die optelreël vir wedersyds uitsluitende gebeurtenisse is Hierdie reël is 'n spesiale geval van die vorige reël. Omdat die gebeurtenisse wedersyds uitsluitend is, .

Die komplementreël is Hierdie reël is 'n spesiale geval van die vorige reël. Aangesien en komplementêr, .

Die produkreël vir onafhanklike gebeurtenisse en is:

As twee gebeurtenisse en afhanklik is, sal:

Venndiagramme word gebruik om te toon hoe gebeurtenisse verwant is aan mekaar. 'n Venndiagram kan baie help wanneer berekeninge met waarskynlikhede gedoen word. In 'n Venndiagram word elke gebeurtenis voorgestel met 'n vorm, dikwels 'n sirkel of 'n reghoek. Die gebied binne die vorm verteenwoordig die uitkomste ingesluit in die gebeurtenis en die gebied buite die vorm verteenwoordig die uitkomste wat nie in die gebeurtenis is nie.

Boomdiagramme is nuttig vir die organisering en die visualisering van die verskillende moontlike uitkomste van 'n reeks, of opeenvolging, van gebeurtenisse. Elke tak van die boom wys 'n uitkoms van 'n gebeurtenis, tesame met die waarskynlikheid van daardie uitkoms. Vir elke moontlike uitkoms van die eerste gebeurtenis, trek ons 'n lyn waarby ons die waarskynlikheid skryf van daardie uitkoms en die toestand van die wereld as daardie uitkoms realiseer. Dan doen ons dieselfde vir elke moontlike uitkoms van die tweede gebeurtenis. Die waarskynlikheid van 'n reeks uitkomste word bereken as die produk van die waarskynlikhede langs al die takke van die reeks.

Twee-rigting of gebeurlikheidstabelle is 'n hulpmiddel om rekord te hou van die tellings of persentasies in 'n waarskynlikheidsprobleem. Twee-rigting tabelle is veral baie nuttig om uit te pluis of gebeurtenisse afhanklik of onafhanklik is.

Die fundamentele telbeginsel sê dat indien daar uitkomste vir gebeurtenis en uitkomste vir gebeurtenis is, dan is daar verkillende moontlike uitkomste vir beide gebeurtenisse.

Wanneer jy voorwerpe het om van te kies en jy kies keer uit hulle, en indien die getal keuses dieselfde bly na elke keuse, dan is die totale aantal moontlikhede

Die aantal rangskikkings van verskillende voorwerpe is

Vir 'n versameling van voorwerpe, waarvan daar k deelversamelings met herhaalde voorwerpe is m.a.w. is dieselfde, is dieselfde, is dieselfde, dan is die aantal rangskikkings

Oefening 10.9Practice online to master this topic, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"

'n OTM-kaart het 'n viersyfer PIN. Die vier syfers mag herhaal en elkeen van hulle kan gekies word uit die syfers 0 tot 9.

Wat is die totale getal van moontlike PIN's?

Wat is die waarskynlikheid om die eerste syfer korrek te raai?

Wat is die waarskynlikheid om die tweede syfer korrek te raai?

Indien jou OTM-kaart gesteel word, wat is die waarskynlikheid, korrek tot vier desimale plekke, dat 'n dief al vier syfers op sy eerste raaiskoot reg raai?

Na drie foutiewe PIN probeerslae word 'n OTM-kaart geblok om gebruik te word. Indien jou OTM-kaart gesteel word, wat is die waarskynlikheid, korrek tot vier desimale plekke, dat 'n dief die kaart sal blok? Neem aan die dief probeer elke keer 'n verskillende PIN.

Die LOTTO reëls sê die volgende:

Ses nommers van syfers 1 tot 49 word getrek - hiedie word 'n 'trekking' genoem.

Nommers word nie vervang nadat hul getrek is nie, so jy kan nie dieselfde getal meer as een maal hê nie.

Die rangskikking van die nommers maak nie saak nie.

Jy besluit om 'n LOTTO kaartjie te koop wat uit nommers bestaan.

Hoeveel verskillende moontlike LOTTO trekkings is daar? Beantwoord in wetenskaplike notasie en rond af tot die tweede desimaal na die komma.

Voltooi die boomdiagram hieronder nadat die eerste twee LOTTO nommers getrek is en wys die moontlike uitkomste en waarskynlikhede van jou kaartjie.

Wat is die waarskynlikheid om die eerste syfer reg te trek?

Wat is die waarskynlikheid om die tweede syfer korrek te trek as jou eerste syfer korrek is?

Wat is die waarskynlikheid om die tweede syfer korrek te trek as jou eerste syfer nie korrek getrek is nie?

Wat is die waarskynlikheid om die tweede syfer korrek te trek?

Hierdie is die som van waarskynlikhede van die uitkomste waar die tweede syfer korrek getrek is:

Let op dat die antwoord dieselfde is as die waarskynlikheid om die eerste syfer korrek te trek. Indien jy onbewus is oor die uitkomste van vorige gebeurtenisse, is die waarskynlikheid van die uitkomste van 'n sekere gebeurtenis gelyk aan die waarskynlikheid van die uitkomste van die eerste gebeurtenis. Leerders is nie verplig om hierdie konsep te leer nie, maar die konsep is interessant om op te let.

Wat is die waarskynlikheid om al LOTTO nommers korrek te hê? Skryf jou antwoord in wetenskaplike notasie, afgerond tot die tweede desimaal na die komma.

Die bevolking statistieke van Suid-Afrika wys dat % van alle babas wat gebore word, is meisies. Bereken die waarskynlikheid dat 'n egpaar wat beplan om kinders te hê, 'n seun gevolg deur 'n meisie en dan weer 'n seun sal hê. Neem aan dat elke geboorte 'n onafhanklike gebeurtenis is. Skryf jou antwoord as 'n persentasie, korrek tot twee desimale plekke.

Fezille en Vuzi skryf 'n Wiskunde toets. Die waarskynlikheid dat Fezille die toets sal slaag is . Die waarskynlikheid dat Vuzi die toets sal slaag is . Wat is die waarskynlikheid dat slegs een van hulle die toets sal slaag?

Landlyn telefoonnommers is 10 syfers lank. Nommers begin met nul gevolg deur syfers gekies van die syfers 0 tot 9. Herhaling is toegelaat.

Hoeveel verskillende telefoonnommers is moontlik?

Die eerste drie syfers van 'n nommer vorm die area kode. Die area kode vir Kaapstad is . Hoeveel verskillende telefoonnommers is beskikbaar vir Kaapstad?

Wat is die waarskynlikheid dat die tweede syfer 'n ewe getal is?

Daar is ewe getalle tussen 0 en 9, daarom

Ignoreer die eerste syfer, wat is die waarskynlikheid dat 'n telefoonnommer slegs uit onewe syfers bestaan? Skryf jou antwoord tot drie desimale plekke.

Let op na die woord 'POSSIBILITY'.

Hoeveel verskillende maniere kan die letters gerangskik word as herhaalde letters as identies beskou word?

Daar is twee S'e en drie I's, daarom is daar:

Wat is die waarskynlikheid dat 'n lukraak gegenereerde rangskikking van die letters sal begin met drie I's? Skryf jou antwoord as 'n breuk.

Indien die rangskikking met drie I's begin, bly POSSBLTY oor om rangskik te word.

Die kode vir 'n kluis bestaan uit syfers, gekies uit die syfers tot . Geen syfer word herhaal nie. Bepaal die waarskynlikheid vir 'n kode waar die eerste syfer onewe is en geen van die eerste drie syfers 'n nul mag wees nie. Skryf jou antwoord as 'n persentasie, korrek tot twee desimale plekke.

Daar is onewe syfers van tot , so daar is vyf rangskikkings vir die eerste syfer.

Vir die tweede syfer is daar syfers oor om te rangskik aangesien die eerste syfer en nul verwyder is.

Vir die derde syfer is daar syfers oor om te rangskik aangesien nul en die eerste twee syfers verwyder is.

Vir die vierde syfer is daar syfers ( is nou ingesluit) oor wat in ! maniere gekombineer kan word vir die oorblywende syfers.

Vier verskillende rooi boeke en drie verskillende blou boeke moet op 'n rak rangskik word. Wat is die waarskynlikheid dat al die rooi boeke en al die blou boeke sal saamstaan?

Totale aantal van rangskikkings

As die rooi boeke saam staan en die blou boeke saam staan, dan is daar twee groepe boeke wat op maniere rangskik kan word.

Dan is daar vier rooi boeke wat op maniere gerangskik kan word en drie blou boeke wat op maniere gerangskik kan word.

Die waarskynlikheid dat Thandiswa op 'n Saterdagaand sal gaan dans (gebeurtenis ) is en die waarskynlikheid dat sy sal gaan fliek is (gebeurtenis ). Bepaal die waarskynlikheid dat sy sal:

gaan dans en gaan fliek as en onafhanklik is.

gaan dans of gaan fliek as en onderling uitsluitend is.

gaan dans en gaan fliek as .

nog gaan dans, nog gaan fliek as .

Drie seuns en vier meisies sit in 'n ry.

Op hoeveel verskillende maniere kan hulle in die ry sit?

Wat is die waarskynlikheid dat hulle in afwisselende geslagte sit?

Daar is slegs een manier hoe hulle kan sit: GBGBGBG

Die getal maniere hoe hulle afwisselend kan sit

Die nommerplaat op 'n motor bestaan uit enige 3 letters van die alfabet (behalwe klinkers, J en Q) gevolg deur enige 3 syfers van 0 tot 9. Vir 'n motor wat lukraak gekies word, wat is die waarskynlikheid dat die nommerplaat met 'n Y begin en met 'n onewe syfer eindig? Skryf jou antwoord as 'n breuk.

Die nommerplaat begin met 'n Y, so daar is slegs 1 keuse vir die eerste letter.

Die nommerplaat eindig met 'n onewe syfer, so daar is 5 opsies (1, 3, 5, 7, 9)

Daar is 19 letters beskikbaar, want die 5 klinkers (A, E, I, O, U), J en Q word uitgesluit.

Daar is vier swart balle en geel balle in 'n sak. Thandi haal 'n bal uit, merk sy kleur op en plaas dit terug in die sak. Dan haal sy nog 'n bal uit en merk ook sy kleur op. As die waarskynlikheid dat beide balle dieselfde kleur is, is, bepaal die waarde van .

Deur 'n boomdiagram te gebruik, kan die verskillende uitkomste en waarskynlikhede soos volg geïllustreer word:

Oplos van :

For more exercises, visit www.everythingmaths.co.za and click on "Practice Maths"